Structures

Fiche de cours Structures
GROUPES (1 LOI)
▷DÉFINITION(Groupe) : ensemble Gmuni d’une loi de composition
interne ∗:
1/ (associative) a∗(b∗c)=(a∗b)∗c,
2/ (élément neutre) ∃e∈G,∀g∈G,g∗e=e∗g=g,
3/ (symétrique) ∀g∈G,∃g′∈Gtel que g∗g′=g′∗g=e.
▷DÉFINITION(Sous-groupe) :Hest un sous-groupe de (G,∗) si Hmuni
de ∗a une structure de groupe.
▷PROPOSITION(Caractérisation des sous-groupes) :H⊂Gnon vide est
un sous-groupe de (G,·) ssi ∀x,y∈H,x·y−1∈H.
▷PROPOSITION(Caractérisation des sous-groupes) :H⊂Gnon vide est
un sous-groupe de (G,·) ssi ∀x,y∈H,x·y∈Het x−1∈H(Hest stable
par la loi et par passage au symétrique).
▷DÉFINITION(Morphisme de groupes) : soit (G,∗) et (G′,∗′) deux
groupes. On appelle morphisme de groupes entre Get G′toute ap-
plication f:G→G′telle que
∀(g1,g2)∈G×G,f(g1∗g2)=f(g1)∗′f(g2).
On a alors f(e)=e′et f(x−1)=(f(x))−1.
▷DÉFINITION(Image et noyau) : soit f:G→G′.
Ûimage de f, Im f={f(x),x∈G}. C’est un sous-groupe de G′et
y∈Im fssi il existe x∈G,y=f(x).
Ûnoyau de f, ker f={x∈G,f(x)=e′}. C’est un sous-groupe de G.
Exemples :
âf:x7→ 2xest un morphisme de (Z,+) dans lui même avec ker f=
{0} et Im f=2Z.
âf:x7→ exp(x) est un morphisme de (R,+) dans (R∗
+,×) avec
ker f={0} et Im f=R∗
+.
âf:θ7→ exp(iθ) est un morphisme de (R,+) dans (U,×) avec
ker f=2πZet Im f=U.
ANNEAUX (2 LOIS)
▷DÉFINITION(Anneau) : ensemble Amuni de deux lois +et ·tel que
1/ (A,+) groupe commutatif (élément neutre noté 0).
2/ la loi (produit) ·est interne et associative.
3/ le produit est distributif à droite et à gauche par rapport à l’addi-
tion.
4/ il existe un élément neutre, noté 1, pour la multiplication.
▷DÉFINITION(Vocabulaire) : soit (A,+,·) un anneau
ÛAest commutatif si la loi ·est commutative.
Ûa∈Aest un diviseur de 0 s’il est non nul et s’il existe b̸= 0 tel que
a.b=0.
ÛAest intègre s’il n’a aucun diviseur de 0. Dans ce cas un produit est
nul ssi l’un des facteurs est nul.
▷DÉFINITION(Sous-anneau) :B⊂Aest un sous-anneau de As’il
contient 1, ∀(a,b)∈B×B,a+bet a·bsont dans Bet Bmuni des lois
induites (+,·) possède une structure d’anneau.
Exemples :
â(Z,+,·) et (R[X],+,·) sont des anneaux commutatifs et intègres.
â(C0(I,R),+,·) est un anneau commutatif mais il n’est pas intègre.
âSi Eest un espace vectoriel, (L(E),+,◦) est un anneau non com-
mutatif, non intègre.
▷PROPOSITION(Règles de calcul) : si a,b∈Acommutent alors
Û(a+b)n=
n
∑
k=0(n
k)akbn−k,
Ûan−bn=(a−b)(n−1
∑
k=0
akbn−1−k).
CORPS (2 LOIS)
▷DÉFINITION(Corps) : On dit que (K,+,·) est un corps si
1/ (K,+,.) est un anneau commutatif. On note 0 l’élément neutre
pour +(appelé élément nul) et 1 l’élément neutre pour ·
2/ tout x∈Knon nul est inversible : il existe y∈Ktel que x·y=y·x=1
(on note alors y=x−1).
on définit comme précédemment les notions de sous-corps et de mor-
phismes de corps.
Exemples :
âQ,Ret Csont des corps. Dans cet ordre, ils sont des sous-corps du
corps suivant.
âDans un corps, tous les éléments non nuls sont simplifiables, il n’y
a donc pas de diviseur de zéro. Pour qu’un anneau ait une chance
d’être un corps, il faut donc qu’il soit intègre (mais ce n’est pas suf-
fisant).
1 Année 2016/2017

Fiche de cours Structures
ESPACES VECTORIELS (2 LOIS)
▷DÉFINITION(Espace vectoriel) : Soit (K,+,.) un corps commutatif. On
dit que (E,+,.) est un espace vectoriel sur Ksi
1/ la loi +est une loi interne et (E,+) est un groupe commutatif.
2/ la loi . est une loi externe : {K×E→E
(λ,x)7→ λ.xqui vérifie
Û(λ+µ).x=λ.x+µ.x
Ûλ.(x+y)=λ.x+λ.y
Ûλ.(µ.x)=(λ.µ).x
Û1.x=x
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés les vecteurs, les élé-
ments du corps de base Ksont appelés scalaires. Le vecteur λ.xest
noté simplement λx.
▷PROPOSITION(Règles de calcul) : Soit Eun K-espace vectoriel, on a
(x,y∈Eet λ∈K)
1/ 0K.x=0E.
2/ λ.0E=0E.
3/ −(λx)=(−λ)x=λ(−x)
4/ λ(x−y)=λx−λy
ALGÈBRE (3 LOIS)
▷DÉFINITION(Algèbre) : Soit Kun corps. On dit que (A,+,⋆,.) est une
K-algèbre si
1/ (A,+,.) est un K-espace vectoriel.
2/ (A,+,⋆) est un anneau.
3/ (λ.x)⋆y=x⋆(λ.y)=λ.(x⋆y) pour λ∈Ket x,y∈A.
En pratique, il y a une loi interne « additive » et deux lois « multi-
plicatives », l’une correspond à la multiplication par les constantes,
l’autre à une multiplication interne. On peut également voir une al-
gèbre comme un espace vectoriel muni d’une multiplication interne
(avec des propriétés entre les deux multiplications).
Exemples :
âF(A,K) (ensemble des applications d’un ensemble Adans K=R
ou C) est une algèbre.
âC0(I,K),Ck(I,K) ou C∞(I,K) sont des algèbres.
âR[X] et C[X] sont des algèbres.
âRNou CNles ensembles des suites à valeurs dans Rou Csont des
algèbres.
â(L(E),+,◦,.) l’ensemble des endomorphismes d’un espace vec-
toriel Eest une algèbre.
âMn(K) l’ensemble des matrices carrées de taille nest une algèbre.
2 Année 2016/2017