Structures

Structures
Fiche de cours
G ROUPES (1 LOI )
A NNEAUX (2 LOIS )
▷D ÉFINITION(Groupe) : ensemble G muni d’une loi de composition
interne ∗ :
▷D ÉFINITION(Anneau) : ensemble A muni de deux lois + et · tel que
1/ (A, +) groupe commutatif (élément neutre noté 0).
2/ la loi (produit) · est interne et associative.
3/ le produit est distributif à droite et à gauche par rapport à l’addition.
4/ il existe un élément neutre, noté 1, pour la multiplication.
1/ (associative) a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c,
2/ (élément neutre) ∃e ∈ G, ∀g ∈ G, g ∗ e = e ∗ g = g ,
3/ (symétrique) ∀g ∈ G, ∃g ′ ∈ G tel que g ∗ g ′ = g ′ ∗ g = e.
▷D ÉFINITION(Sous-groupe) : H est un sous-groupe de (G, ∗) si H muni
de ∗ a une structure de groupe.
▷D ÉFINITION(Vocabulaire) : soit (A, +, ·) un anneau
▷P ROPOSITION(Caractérisation des sous-groupes) : H ⊂ G non vide est
un sous-groupe de (G, ·) ssi ∀x, y ∈ H , x · y −1 ∈ H .
Û A est commutatif si la loi · est commutative.
Û a ∈ A est un diviseur de 0 s’il est non nul et s’il existe b ̸= 0 tel que
▷P ROPOSITION(Caractérisation des sous-groupes) : H ⊂ G non vide est
un sous-groupe de (G, ·) ssi ∀x, y ∈ H , x · y ∈ H et x −1 ∈ H (H est stable
par la loi et par passage au symétrique).
Û A est intègre s’il n’a aucun diviseur de 0. Dans ce cas un produit est
▷D ÉFINITION(Morphisme de groupes) : soit (G, ∗) et (G ′ , ∗′ ) deux
groupes. On appelle morphisme de groupes entre G et G ′ toute application f : G → G ′ telle que
▷D ÉFINITION(Sous-anneau) : B ⊂ A est un sous-anneau de A s’il
contient 1, ∀(a, b) ∈ B × B, a + b et a · b sont dans B et B muni des lois
induites (+, ·) possède une structure d’anneau.
a.b = 0.
nul ssi l’un des facteurs est nul.
∀(g 1 , g 2 ) ∈ G ×G, f (g 1 ∗ g 2 ) = f (g 1 ) ∗′ f (g 2 ).
Exemples :
On a alors f (e) = e ′ et f (x −1 ) = ( f (x))−1 .
â (Z, +, ·) et (R[X ], +, ·) sont des anneaux commutatifs et intègres.
▷D ÉFINITION(Image et noyau) : soit f : G → G ′ .
â (C 0 (I , R), +, ·) est un anneau commutatif mais il n’est pas intègre.
Û image de f , Im f = { f (x), x ∈ G}. C’est un sous-groupe de G ′ et
â Si E est un espace vectoriel, (L (E ), +, ◦) est un anneau non com-
y ∈ Im f ssi il existe x ∈ G, y = f (x).
Û noyau de f , ker f = {x ∈ G, f (x) = e ′ }. C’est un sous-groupe de G.
mutatif, non intègre.
▷P ROPOSITION(Règles de calcul) : si a, b ∈ A commutent alors
( )
n n
∑
a k b n−k ,
Û (a + b)n =
k
k=0
)
(
n−1
∑ k n−1−k
n
n
a b
.
Û a − b = (a − b)
Exemples :
â f : x 7→ 2x est un morphisme de (Z, +) dans lui même avec ker f =
{0} et Im f = 2Z.
â f : x 7→ exp(x) est un morphisme de (R, +) dans (R∗+ , ×) avec
k=0
ker f = {0} et Im f = R∗
+.
C ORPS (2 LOIS )
â f : θ 7→ exp(i θ) est un morphisme de (R, +) dans (U, ×) avec
ker f = 2πZ et Im f = U.
▷D ÉFINITION(Corps) : On dit que (K , +, ·) est un corps si
1/ (K , +, .) est un anneau commutatif. On note 0 l’élément neutre
pour + (appelé élément nul) et 1 l’élément neutre pour ·
2/ tout x ∈ K non nul est inversible : il existe y ∈ K tel que x·y = y ·x = 1
(on note alors y = x −1 ).
on définit comme précédemment les notions de sous-corps et de morphismes de corps.
Exemples :
â Q, R et C sont des corps. Dans cet ordre, ils sont des sous-corps du
corps suivant.
â Dans un corps, tous les éléments non nuls sont simplifiables, il n’y
a donc pas de diviseur de zéro. Pour qu’un anneau ait une chance
d’être un corps, il faut donc qu’il soit intègre (mais ce n’est pas suffisant).
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Année 2016/2017
Structures
Fiche de cours
E SPACES VECTORIELS (2 LOIS )
A LGÈBRE (3 LOIS )
▷D ÉFINITION(Espace vectoriel) : Soit (K, +, .) un corps commutatif. On
dit que (E , +, .) est un espace vectoriel sur K si
▷D ÉFINITION(Algèbre) : Soit K un corps. On dit que (A, +, ⋆, .) est une
K-algèbre si
1/ (A, +, .) est un K-espace vectoriel.
2/ (A, +, ⋆) est un anneau.
3/ (λ.x) ⋆ y = x ⋆ (λ.y) = λ.(x ⋆ y) pour λ ∈ K et x, y ∈ A.
1/ la loi + est une loi interne et (E , +) est un groupe commutatif.
{
K×E → E
2/ la loi . est une loi externe :
qui vérifie
(λ, x) 7→ λ.x
Û
Û
Û
Û
En pratique, il y a une loi interne « additive » et deux lois « multiplicatives », l’une correspond à la multiplication par les constantes,
l’autre à une multiplication interne. On peut également voir une algèbre comme un espace vectoriel muni d’une multiplication interne
(avec des propriétés entre les deux multiplications).
(λ + µ).x = λ.x + µ.x
λ.(x + y) = λ.x + λ.y
λ.(µ.x) = (λ.µ).x
1.x = x
Exemples :
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés les vecteurs, les éléments du corps de base K sont appelés scalaires. Le vecteur λ.x est
noté simplement λx.
â F (A, K) (ensemble des applications d’un ensemble A dans K = R
ou C) est une algèbre.
â C 0 (I , K), C k (I , K) ou C ∞ (I , K) sont des algèbres.
▷P ROPOSITION(Règles de calcul) : Soit E un K-espace vectoriel, on a
(x, y ∈ E et λ ∈ K)
1/
2/
3/
4/
â R[X ] et C[X ] sont des algèbres.
â RN ou CN les ensembles des suites à valeurs dans R ou C sont des
0K .x = 0E .
λ.0E = 0E .
−(λx) = (−λ)x = λ(−x)
λ(x − y) = λx − λy
algèbres.
â (L (E ), +, ◦, .) l’ensemble des endomorphismes d’un espace vectoriel E est une algèbre.
â Mn (K) l’ensemble des matrices carrées de taille n est une algèbre.
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Année 2016/2017