1 Le groupe symétrique

STAGE OLYMPIQUE AOUT 2015
ECHANGER DES CHOSES AU HASARD, QU’EST CE QUE CA DONNE ?
1 Le groupe sym´etrique
Imaginons que l’une personne ait npaires de chaussettes rang´ees dans ntiroirs num´erot´es de 1
`a n, une par tiroir. Supposons qu’apr`es s’ˆetre habill´ee un certain nombre de fois, cette personne
se retrouve `a nouveau avec une paire de chaussette dans chacun des ntiroirs. Cependant, les
places des chaussettes ont pu changer. La chaussette initialement dans le tiroir 1 se retrouve
dans un des ntiroirs, dont le num´ero sera not´e ici σ(1), la chaussette initialement dans le tiroir
2 se retrouve dans un autre tiroir, num´ero σ(2), et ainsi de suite jusqu’`a la chaussette du tiroir
nqui se retrouve dans le tiroir σ(n). Les entiers σ(1), σ(2), . . . , σ(n) sont exactement les entiers
1,2, . . . , n, pris dans un ordre quelconque.
L’action qui consiste `a mettre dans le tiroir σ(j) la chaussette initialement dans le tiroir
j, pour tout jentre 1 et n, s’appelle une permutation. Elle est cod´ee par la bijection σde
{1, . . . , n}dans {1, . . . , n}: pour cette raison, on identifiera cette permutation `a σ.
Si on met la chaussette du tiroir jdans le tiroir σ(j) pour tout j, et ensuite la chaussette du
tiroir kdans le tiroir τ(k) pour tout k,σ, τ ´etant deux bijections de {1, . . . , n}dans {1, . . . , n},
la chaussette initialement dans le tiroir jse retrouve `a la fin dans le tiroir τ(σ(j)) = τ◦σ(j)
pour tout j.
Ainsi, effectuer des permutations successives revient `a composer les bijections de {1, . . . , n}
correspondantes.
L’ensemble de toutes les bijections de {1, . . . , n}, muni de l’op´eration de composition des
bijections (σ, τ)7→ στ := σ◦τ, forme ce qu’on appelle un groupe, ce qui signifie que les
propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees :
•La composition des bijections est associative (si on compose trois permutations, le r´esultat
ne d´ependent pas de la mani`ere dont on regroupe deux d’entre elles).
•Elle admet un ´el´ement neutre Id, correspondant `a la fonction identi´e de {1, . . . , n}: cette
permutation revient `a laisser chacune des chaussettes dans son tiroir.
•Toute permutation σadmet une bijection r´eciprique σ−1(consistant `a remettre les chaus-
settes dans les tiroirs o`u ils ´etaient au d´epart), qui est un inverse de σpour la composition,
c’est-`a-dire que σσ−1=σ−1σ=Id.
Le groupe des permutations de {1, . . . , n}est aussi appel´e groupe sym´etrique de degr´e n: il est
not´e Sn.
Pour choisir une bijection de {1, . . . , n}, on a nchoix possibles pour l’image de 1, puis une
fois cette image fix´ee, n−1 choix pour l’image de 2, puis une fois cette deuxi`eme image fix´ee,
n−2 choix pour l’image de 3, n−3 pour l’image de 4, ..., 2 choix pour l’image de n−1, puis un
seul choix pour l’image de n(qui est impos´ee par le choix des images de 1, . . . , n −1). Au total,
il y a donc n(n−1)(n−2) . . . 2.1 = n! choix possibles pour une permutation de {1, . . . , n},
c’est-`a-dire que le groupe sym´etrique Snan! ´el´ements (on dit ´egalement que ce groupe est
d’ordre n!).
Exemple : Le groupe S5a 120 ´el´ements, dont σtel que σ(1) = 3, σ(2) = 2, σ(3) = 1, σ(4) =
5, σ(5) = 4 et τtel que τ(1) = 1, τ(2) = 2, τ (3) = 4, τ(4) = 5, τ(5) = 3. On v´erifie alors que
σ2=Id et donc que σ−1=σ. D’autre part, τ−1laisse fixe 1 et 2, et envoie respectivement
3,4,5 sur 5,3,4; on v´erfie alors que τ2=τ−1et donc que τ3=Id. Enfin στ =σ◦τenvoie
1

1,2,3,4,5 respectivement sur 3,2,5,4,1 (dans ce cas, on applique d’abord τ, puis σ), et τσ
envoie 1,2,3,4,5 sur 4,2,1,3,5 (on applique σ, puis τ). Ceci prouve que la loi du groupe
sym´etrique n’est pas commutative en g´en´eral : on v´erifie que Snn’est un groupe commutatif
que pour n= 1 et n= 2.
2 D´ecomposition en cycles des permutations
Dans l’exemple pr´ec´edent, si on suit les images successives de 1 obtenues en it´erant σ, on
trouve 1,3,1,3, . . . . Les images successives de 4 sont 4,5,4,5, . . . . Enfin 2 est un point fixe de
la permutation. Ainsi, chacun des ensembles {1,3},{2}et {4,5}est globalement invariant par
σ, et au sein de chacun des ensembles {1,3}et {4,5}, les deux ´el´ements sont ´echang´es par σ.
Autrement dit, σest le produit, dans n’importe quel ordre, des deux premutations ´echangeant
respectivement 1 et 3, 4 et 5. On notera σ= (13)(45), ou σ= (13)(2)(45) pour bien pr´eciser
que 2 est un point fixe de σ.
Pour τ, 1 et 2 restent fixes, et les images successives de 3 sont 3,4,5,3,4,5, . . . . Ainsi,
τpermute circulairement, dans cet ordre, les ´el´ement 3,4 et 5 : on dit que τest un cycle
de longueur 3, ou un 3-cycle. On pourra noter τ= (345), ou alors τ= (1)(2)(345) pour
bien pr´eciser que 1 et 2 sont des points fixes. Les ensembles {1},{2}et {3,4,5}sont alors
globalement invariants par τ. On a τ2=τ−1= (354) 6=τ= (345) (donc l’ordre des ´el´ements
est important dans un cycle de longueur 3 ou plus), et on v´erifie, d’apr`es les calculs pr´ec´edents,
que στ = (135) = (135)(2)(4) et que τ σ = (143) = (143)(2)(5), donc ces deux produits sont
des 3-cycles.
D’une mani`ere g´en´erale, on peut montrer que toute permutation peut ˆetre d´ecompos´ee de
mani`ere unique en un produit de cycles dont les supports sont disjoints. Par exemple, la permu-
tation µde {1,...,15}envoyant 1,2,...,15 respectivement sur 3, 4, 5, 9, 8, 7, 11, 14, 10, 12, 6,
2, 1, 13, 15 peut s’´ecrire comme le produit de cycles (1,3,5,8,14,13)(2,4,9,10,12)(6,7,11)(15),
15 ´etant l’unique point fixe de µ.
L’´ecriture d’une permutation comme produit (commutatif dans ce cas particulier) de cycles
`a supports disjoints est tr`es pratique pour ´etudier ses puissances, et en particulier la plus petite
puissance qui est ´egale `a l’identit´e (l’exposant de cette puissance est ce qu’on appelle l’ordre
de la permutation dans le groupe sym´etrique). Par exemple, du fait que la puissance kd’un
k-cycle est ´egale `a l’identit´e, on peut calculer:
µ2015 = (1,3,5,8,14,13)2015(2,4,9,10,12)2015 (6,7,11)2015
= (1,3,5,8,14,13)−1(2,4,9,10,12)0(6,7,11)−1= (1,13,14,8,5,3)(6,11,7)
= (1,13,14,8,5,3)(2)(4)(6,11,7)(9)(10)(12)(15).
La puissance nde µest ´egale `a l’identit´e si et seulement si chacun des cycles de la d´ecomposition
pr´ec´edente devient l’identit´e apr`es ´el´evation `a la puissance n, donc si et seulement si nest
divisible par 6,5 et 3. On en d´eduit que la permutation µest d’ordre 30.
D’une mani`ere g´en´erale, l’ordre d’une permutation est le plus petit commun multiple des
longueurs des cycles impliqu´es dans la d´ecomposition en produit de cycles `a supports disjoints.
Exemple (battage parfait d’un jeu de cartes) : On bat un jeu de 32 cartes de la
mani`ere suivante : on divise le jeu en deux tas de 16 cartes, et ensuite on alterne les cartes
des deux tas de mani`ere parfaitement rigoureuse. Si on num´erote de 1 `a 32 la position des
cartes, on v´erifie que le battage correspond `a la permutation envoyant les ´el´ements de 1 `a 32
respectivement sur 1,3,5,7,9,...,31,2,4,6,...,32. Les ´el´ements 1 et 32 restent donc fixes.
Pour le autres, on peut v´erifier que pour tout kentre 1 et 30, k+ 1 est envoy´e sur 2k+ 1,
2

2kd´esignant le reste de 2kmodulo 31. En it´erant la permutation, on en d´eduit que tous les
cycles de la d´ecomposition pr´ec´edente, autres que les points fixes 1 et 32, sont de la forme
(k+ 1,2k+ 1,4k+ 1,8k+ 1,16k+ 1), puisque 32k+ 1 = k+ 1. Ces cycles sont de longueur 5,
et donc la permutation est ´egalement d’ordre 5. Ainsi, si on bat parfaitement 5 fois un jeu de
32 cartes, on retombe sur l’ordre initial. Plus g´en´eralement, pour un jeu de 2mcartes, l’ordre
de la permutation est l’ordre de 2 modulo 2m−1, en particulier, comme 28−1 = 51 ×5, le
battage d’un jeu de 52 cartes redonne la situation initiale au bout de 8 coups seulement.
3 Signature d’une permutation
Soit σune permutation de Sn. Pour toute paire {i, j}(i6=j), le ratio
Rσ({i, j}) := σ(j)−σ(i)
j−i
ne d´epend pas de l’ordre dans lequel on prend les ´el´ements de la paire : si on ´echange iet j,
le num´erateur et le d´enominateur sont tous deux chang´es de signe, et donc le quotient reste le
mˆeme. On peut alors consid´erer ce qu’on appelle la signature de la permutation σ, not´ee (σ),
d´efinie comme ´etant le produit des Rσ({i, j}) pour toutes les n(n−1)/2 paires {i, j}d’´elements
de {1, . . . , n}. On a donc
(σ) = Y
1≤i<j≤n
σ(j)−σ(i)
j−i.
Pour σ, τ ∈Sn, on a
(στ) = Y
1≤i<j≤n
σ(τ(j)) −σ(τ(i))
j−i=Y
1≤i<j≤n
σ(τ(j)) −σ(τ(i))
τ(j)−τ(i)Y
1≤i<j≤n
τ(j)−τ(i)
j−i
soit
(στ) = (τ)Y
1≤i<j≤n
Rσ({τ(i), τ(j)}).
Or il n’est pas difficile de v´erifier que lorsque {i, j}parcourt l’ensemble des paires d’´el´ements
de {1, . . . , n}, il en est de mˆeme pour {τ(i), τ(j)}. On en d´eduit
(στ) = (τ)Y
1≤i<j≤n
Rσ({i, j})
soit
(στ) = (σ)(τ).
Du fait de cette ´egalit´e, et comme la signature d’une permutation est un r´eel non nul, on dit
que est un morphisme de groupe de Snvers R∗.
On peut ˆetre plus pr´ecis sur les valeurs possibles de (σ). En effet, si on prend la valeur
absolue de cette signature, on obtient au num´erateur le produit de |σ(j)−σ(i)|pour toutes
les paires {i, j}de {1, . . . , n}, et au d´enominateur le produit de |j−i|. On v´erifie que les deux
produits sont identiques `a ordre pr`es des facteurs, ce qui implique que |(σ)|= 1. Par ailleurs,
le signe du facteur (σ(j)−σ(i))/(i−j) est positif si σconserve l’ordre des ´el´ements iet j, et
n´egatif si σchange cet ordre.
On dit qu’on a une inversion pour chaque paire {i, j}telle que σrenverse l’ordre des ´el´ements
iet j. On a alors le r´esultat suivant : (σ) = 1 si σa un nombre pair d’inversions, et (σ) = −1
3

si σa un nombre impair d’inversions. Dans le premier cas, on dit que σest une permutation
paire et dans le deuxi`eme, que σest une permutation impaire.
On peut alors dire que est un morphisme de Snvers le groupe {−1,1}muni de la mul-
tiplication. Cette propri´et´e de morphisme implique le r´esultat suivant : la parit´e d’un produit
fini de permutations est ´egale `a la somme des parit´es des permutations formant le produit.
Exemples : Consid´erons la permutation σ∈S5introduite pr´ec´edemment, envoyant 1, 2,
3, 4, 5 sur 3, 2, 1, 5, 4. Les ´el´ements 1 et 2 sont envoy´es respectivement sur 3 et 2 donc la paire
{1,2}donne une inversion. Les ´el´ements 1 et 3 donnent 3 et 1, d’o`u une autre inversion. Pour
1 et 4, on obtient 3 et 5, donc pas d’inversion car l’ordre des ´el´ements est conserv´e. Pour 1 et
5, on obtient 3 et 4 donc pas d’inversion non plus. En regardant les autres paires, on v´erifie
que celles qui donnent une inversion sont {2,3}et {4,5}. Il y a donc 4 inversions en tout, et la
permutation est paire.
On peut faire le mˆeme calcul pour τ, pour laquelle les inversions sont donn´ees par les paires
{3,5}et {4,5}, soit deux inversions et une permutation paire.
Comme σet τsont des permutations paires, tous les produits qu’on peut former avec σ,τ
et leurs inverses sont des permutations paires.
Un cas particulier tr`es important de permutations sont les transpositions, qui sont par
d´efinition les cycles de longueur 2. On v´erifie que les inversions de la transposition (ij) pour
i<jsont {i, k}et {k, j}pour i<k<j, et {i, j}. Il y en a donc 2(j−i)−1 : toute
transposition est une permutation impaire.
Un des points justifiant l’importance des transpositions est le fait qu’elles engendrent tout
le groupe sym´etrique, c’est `a dire que toute permutation peut ˆetre ´ecrite comme un produit de
transpositions. En effet, pour toute permutation σ∈Sn, soit σ(n) = n, soit σ(n) = j < n, et
dans ce cas σ= (jn)σ0o`u σ0(n) = n. Dans les deux cas, on se ram`ene `a la d´ecomposition d’une
permutation laissant nfixe, et donc pour n≥2, on ram´ene le probl`eme de la d´ecomposition
d’une permutation de {1, . . . , n}`a celui de la d´ecomposition d’une permutation de {1, . . . , n−1}.
L’existence d’une d´ecomposition en produit de transpositions est alors d´eduite par r´ecurrence
sur n.
La d´ecomposition d’une permutation en produit de transpositions n’est pas unique si n≥2
(par exemple Id = (12)2), mais sa parit´e l’est, car elle doit ˆetre n´ecessairement ´egale `a celle de
la permutation.
On peut facilement calculer la parit´e d’une permutation en fonction de sa d´ecomposition
en cycles `a supports disjoints. En effet, tout cycle a une parit´e oppos´ee `a celle de sa longueur,
puisque pour k≥2, le k-cycle (j1, . . . , jk) peut ˆetre d´ecompos´e en le produit, dans cet ordre, des
k−1 transpositions (j1, j2),(j2, j3),...,(jk−1, jk). On en d´eduit ´egalement que la parit´e d’une
permutation est celle de nmoins le nombre total de cycles dans la d´ecomposition pr´ec´edente,
points fixes compris.
Exemples : La permutation pr´ec´edente µest le produit d’un 6-cycle (impair), d’un 5-cycle
(pair) et d’un 3-cycle (pair). La permutation µest donc impaire. On peut ´egalement voir cela
en observant qu’il y a 4 cycles en tout (le point fixe 15 compris), et que 15 −4 = 11.
Le battage d’un jeu de 32 cartes est donn´e par un produit de six cycles de longueur 5 (avec
deux points fixes), donc c’est une permutation paire. Pour le battage d’un jeu de 52 cartes, de
l’arithm´etique modulo 51 que nous ne d´etaillons pas ici permet de v´erifier qu’il y a deux points
fixes 1 et 52, un 2-cycle (18,35) et six 8-cycles. Cela fait en tout 9 cycles, et la permutation
est impaire car 52 −9 = 43.
Le jeu du taquin : Sam Loyd, `a la fin du dix-neuvi`eme si`ecle, a propos´e le jeu suivant:
on dispose d’un cadre carr´e compos´e de 15 petits carreaux num´erot´es de 1 `a 15, pouvant glisser
parall`element aux cˆot´es du cadre, et d’une case vide. A chaque mouvement, on fait glisser
4

vers la case vide un des petits carreaux qui lui est adjacent. Dans la configuration de d´epart,
les carreaux sont dans l’ordre suivant, ligne par ligne: (1,2,3,4), (5,6,7,8), (9,10,11,12),
(13,15,14), la case vide ´etant en bas `a droite. Le but du jeu est d’obtenir la mˆeme position
qu’au d´ebut, sauf pour les carreaux 14 et 15 qui sont remis dans l’ordre (14 `a gauche de 15).
Le but de ce jeu est impossible `a atteindre. En effet, supposons qu’on ait une solution.
Si on colorie les cases du jeu comme un ´echiquier, la couleur de la case vide change `a chaque
mouvement. Comme la case vide reprend sa place initiale `a la fin, on doit faire un nombre pair
de mouvements. Mais par ailleurs, si on note 16 la case vide, chaque mouvement revient `a faire
une transposition (de la forme (j, 16) pour 1 ≤j≤15). Comme la permutation obtenue `a la fin
est impaire (c’est la transposition (14,15)), il doit y avoir un nombre impair de mouvements.
On a donc une contradiction.
Ce raisonnement reste valable pour toute permutation impaire des ´el´ements de 1 `a 15. Il
ne prouve pas que toutes les permutations paires sont possibles `a atteindre, cependant on peut
montrer que c’est bien le cas.
Le groupe altern´e : Tout produit de permutations paires et de leurs inverses est une
permutation paire. On en d´eduit que l’ensemble des permutations paires forment un groupe.
Ce groupe est appel´e groupe altern´e, et pour les permutations de {1, . . . , n}, il est not´e An.
Si n= 1, An=Snest le groupe `a un seul ´el´ement. Si n≥2, l’application σ7→ (12)σest
une bijection de Anvers son compl´ementaire Ac
n, la bijection r´eciproque de Ac ndans An´etant
donn´ee par la mˆeme formule. On en d´eduit qu’exactement la moiti´e des permutations de Sn
sont dans An: ce dernier groupe est donc de cardinal n!/2 pour tout n≥2.
Le cardinal de A1et de A2est ´egal `a 1 : ces groupes ne contiennent que la permutation
identit´e. Le cardinal de A3est ´egal `a 3 : ce groupe contient l’identit´e et les deux cycles de
longueur 3. Il est isomorphe au groupe des entiers modulo 3 : les isomorphismes sont obtenus
en associant 0 `a l’identit´e, 1 `a un des 3-cycles et 2 `a l’autre. On voit en particulier que Anest
commutatif pour n≤3 : ce n’est plus le cas pour n≥4.
4 Que peut-on dire si on prend une permutation al´eatoire?
Dans cette section, nous allons fixer n≥1 et tirer au hasard, uniform´ement, une permutation
σde degr´e n, c’est `a dire un ´el´ement de Sn. Chaque permutation a donc une chance sur n!
d’ˆetre tir´ee. On peut se poser la question suivante : quelle est la ”structure typique” de σ.
Nous venons de voir que pour n≥2, il y avait exactement une chance sur deux que la
permutation soit paire.
On peut ´etudier d’autres caract´eristiques de la permutation σ, plus pr´ecis´ement de sa struc-
ture en produit de cycles.
Nombre moyen de points fixes : On peut se poser la question suivante : si un groupe de
personnes s’´echangent leurs chapeaux au hasard, combien en moyenne se retrouvent `a garder
celui qu’ils avaient au d´epart ? Cela revient `a calculer le nombre moyen de points fixes de la
permutation al´eatoire σintroduite ci-dessous.
Il se trouve que le calcul donne un r´esultat tr`es simple (ce calcul correspond `a l’exercice
1 des IMO 1987, ann´ee o`u la m´edaille d’or n´ecessitait 42 points...). En effet, pour chaque
j∈ {1,2, . . . , n}, la probabilit´e que jsoit un point fixe est ´egal `a 1/n! fois le nombre de
permutations laissant jfixe. Or choisir une telle permutation revient `a choisir une permutation
des n−1 ´el´ements restants apr`es avoir retir´e j. Cela fait (n−1)! permutations donc une
probabilit´e (n−1)!/n! = 1/n que jsoit fixe. Ainsi chaque j∈ {1, . . . , n}donne en moyenne
1/n point fixe, donc comme il y nchoix pour j, le nombre moyen de points fixes de σest
simplement ´egal `a 1. Ainsi, en moyenne une personne retrouve son chapeau...
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