1,2,3,4,5 respectivement sur 3,2,5,4,1 (dans ce cas, on applique d’abord τ, puis σ), et τσ
envoie 1,2,3,4,5 sur 4,2,1,3,5 (on applique σ, puis τ). Ceci prouve que la loi du groupe
sym´etrique n’est pas commutative en g´en´eral : on v´erifie que Snn’est un groupe commutatif
que pour n= 1 et n= 2.
2 D´ecomposition en cycles des permutations
Dans l’exemple pr´ec´edent, si on suit les images successives de 1 obtenues en it´erant σ, on
trouve 1,3,1,3, . . . . Les images successives de 4 sont 4,5,4,5, . . . . Enfin 2 est un point fixe de
la permutation. Ainsi, chacun des ensembles {1,3},{2}et {4,5}est globalement invariant par
σ, et au sein de chacun des ensembles {1,3}et {4,5}, les deux ´el´ements sont ´echang´es par σ.
Autrement dit, σest le produit, dans n’importe quel ordre, des deux premutations ´echangeant
respectivement 1 et 3, 4 et 5. On notera σ= (13)(45), ou σ= (13)(2)(45) pour bien pr´eciser
que 2 est un point fixe de σ.
Pour τ, 1 et 2 restent fixes, et les images successives de 3 sont 3,4,5,3,4,5, . . . . Ainsi,
τpermute circulairement, dans cet ordre, les ´el´ement 3,4 et 5 : on dit que τest un cycle
de longueur 3, ou un 3-cycle. On pourra noter τ= (345), ou alors τ= (1)(2)(345) pour
bien pr´eciser que 1 et 2 sont des points fixes. Les ensembles {1},{2}et {3,4,5}sont alors
globalement invariants par τ. On a τ2=τ−1= (354) 6=τ= (345) (donc l’ordre des ´el´ements
est important dans un cycle de longueur 3 ou plus), et on v´erifie, d’apr`es les calculs pr´ec´edents,
que στ = (135) = (135)(2)(4) et que τ σ = (143) = (143)(2)(5), donc ces deux produits sont
des 3-cycles.
D’une mani`ere g´en´erale, on peut montrer que toute permutation peut ˆetre d´ecompos´ee de
mani`ere unique en un produit de cycles dont les supports sont disjoints. Par exemple, la permu-
tation µde {1,...,15}envoyant 1,2,...,15 respectivement sur 3, 4, 5, 9, 8, 7, 11, 14, 10, 12, 6,
2, 1, 13, 15 peut s’´ecrire comme le produit de cycles (1,3,5,8,14,13)(2,4,9,10,12)(6,7,11)(15),
15 ´etant l’unique point fixe de µ.
L’´ecriture d’une permutation comme produit (commutatif dans ce cas particulier) de cycles
`a supports disjoints est tr`es pratique pour ´etudier ses puissances, et en particulier la plus petite
puissance qui est ´egale `a l’identit´e (l’exposant de cette puissance est ce qu’on appelle l’ordre
de la permutation dans le groupe sym´etrique). Par exemple, du fait que la puissance kd’un
k-cycle est ´egale `a l’identit´e, on peut calculer:
µ2015 = (1,3,5,8,14,13)2015(2,4,9,10,12)2015 (6,7,11)2015
= (1,3,5,8,14,13)−1(2,4,9,10,12)0(6,7,11)−1= (1,13,14,8,5,3)(6,11,7)
= (1,13,14,8,5,3)(2)(4)(6,11,7)(9)(10)(12)(15).
La puissance nde µest ´egale `a l’identit´e si et seulement si chacun des cycles de la d´ecomposition
pr´ec´edente devient l’identit´e apr`es ´el´evation `a la puissance n, donc si et seulement si nest
divisible par 6,5 et 3. On en d´eduit que la permutation µest d’ordre 30.
D’une mani`ere g´en´erale, l’ordre d’une permutation est le plus petit commun multiple des
longueurs des cycles impliqu´es dans la d´ecomposition en produit de cycles `a supports disjoints.
Exemple (battage parfait d’un jeu de cartes) : On bat un jeu de 32 cartes de la
mani`ere suivante : on divise le jeu en deux tas de 16 cartes, et ensuite on alterne les cartes
des deux tas de mani`ere parfaitement rigoureuse. Si on num´erote de 1 `a 32 la position des
cartes, on v´erifie que le battage correspond `a la permutation envoyant les ´el´ements de 1 `a 32
respectivement sur 1,3,5,7,9,...,31,2,4,6,...,32. Les ´el´ements 1 et 32 restent donc fixes.
Pour le autres, on peut v´erifier que pour tout kentre 1 et 30, k+ 1 est envoy´e sur 2k+ 1,
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