Exercices - Feuille1

Universit´e Paul Verlaine-Metz, ann´ee 2007/2008 - J-P. Croisille 1
Universit´e Paul Verlaine-Metz - UFR MIM Ann´ee 2007/2008
Master de Math´ematiques, ann´ee M1
Module Mod´elisation et introduction `a la programmation
Exercices - Feuille1
1- Calcul du polynˆome d’interpolation de Lagrange
Soit x0< x1< ... < xn−1< xnet f0, ...fn∈R. On consid`ere, pour calculer le polynˆome
d’interpolation de Lagrange p(x) = c0+c1x+... +cnxnassoci´e aux donn´ees (x0, f0),...(xn, fn)
l’algorithme suivant
•Calcul des cien r´esolvant un syst`eme lin´eaire (n+ 1) ×(n+ 1) que l’on pr´ecisera.
•Assemblage de p(x) par (algorithme 1),
p:=c_0;
de i=1:N faire,
p:=p+ c_i*x^i
fin i;
1) Programmer cet algorithme en matlab. On utilisera
x=A\b
pour r´esoudre le syst`eme lin´eaire Ax =b.
2) Combien de multiplications l’algorithme 1 fait-il intervenir ?
3) Programmer le sch´ema de Horner pour ´evaluer p(x), c’est-`a-dire l’algorithme suivant,
p:=c_N;
de i=N-1:-1:0 faire,
p:=c_i+ p*x;
fin i;
4) Combien de multiplications le sch´ema de Horner fait-il intervenir ?
2- Algorithme de Neville pour le calcul du polynˆome d’interpolation de Lagrange
1) Soit n+ 1 points x0, x1, ..., xn∈[a, b] et y0, y1, .., yn∈R. On consid`ere les polynˆomes pk
i∈ Pk,
i= 0,1, ..n −k,k= 0, .., n d´efinis (de fa¸con unique ) par la propri´et´e d’interpolation
pk
i(xj) = yj, j =i, .., i +k(1)
Montrer que pour xfix´e, les valeurs pk
i(x) peuvent ˆetre ´evalu´ees par la relation de r´ecurrence
(algorithme de Neville)
p0
i(x) = yi
pk
i(x) = (x−xi)pk−1
i+1 (x)−(x−xi+k)pk−1 i(x)
xi+k−xi
, k = 1, .., n (2)
2) Ecrire un programme matlab qui permet d’´evaluer les pk
iau point xfix´e par l’utilisateur.

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3- Algorithme de calcul des diff´erences divis´ees de Newton
1) Soit fune fonction d´efinie sur [a, b] et a≤x0< x1< x2< ... < xn≤b. Rappeler la formule
de r´ecurrence permettant de calculer les diff´erences divis´ees f[x0, x1, .., xk]. Rappeler ´egalement
pourquoi le polynˆome de Lagrange s’´ecrit
PN(x) = f[x0]+ (x−x0)f[x0, x1]+(x−x0)(x−x1)f[x0, x1, x2]+ {
N−1
Y
j=0
(x−xj)}f[x0, x1, ...xN] (3)
2) V´erifier que l’algorithme suivant qui n’utilise qu’un vecteur c(:) calcule effectivement toutes
les diff´erences divis´ees de Newton.
c_N:= f_N; % f_N=f(x_N)
de j=N-1:-1:0 faire
c_j:=f_j; % f_j=f(x_j)
de k=j+1,...N, faire
c_k=(c_k-c_{k-1})/(x_k-x_j);
fin pour k;
fin pour j
3) Programmer cet algorithme en matlab. Le programme doit avoir
•En entr´eee, la s´erie des couples de valeurs (xj, f (xj)), j = 0, ..., n
•En sortie le vecteur c.
4) En d´eduire un algorithme de calcul du polynˆome de Lagrange en une s´erie de points fix´es par
l’utilisateur, utilisant la formule (3).
4- Comportement de l’interpol´e de Lagrange
1) On consid`ere la fonction f(x) = sin(x) sur [a, b] = [0, π] et p(x) le polynˆome d’interpolation de
Lagrange de f(x) en n+ 1 points distincts. Montrer que l’erreur d’interpolation e(x) = f(x)−p(x)
v´erifie
|e(x)| ≤ πn+1
(n+ 1)! (4)
2) Utiliser un programme de calcul du polynˆome de Lagrange pour v´erifier num´eriquement ceci.
3) On consid`ere la fonction de Runge
x∈[−5,5] 7→ 1
1 + x2(5)
V´erifier avec un programme de calcul du polynˆome d’interpolation de Lagrange que l’interpol´e de
Lagrange aux points xi=−5+10 i
n, 0 ≤i≤nne converge pas vers f(x) aux points xn−1/2= 5−5 n.

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5- Comparaison interpol´e de Lagrange/mesures effectives
On consid`ere le tableau de donn´ees astronomiques mesur´ees suivant (νest une fr´equence lumineuse
et E(ν) un taux d’extinction lumineuse).
νE(ν)νE(ν)νE(ν)
>0.00 -3.10 3.65 3.10 >5.88 4.77
0.29 -2.94 >4.00 4.19 6.25 5.02
>0.45 -2.72 4.17 4.90 >6.71 5.05
>0.80 -2.23 >4.35 5.77 7.18 5.39
1.11 -1.60 >4.57 6.57 >8.00 6.55
>1.43 -0.78 >4.76 6.23 8.50 7.45
1.82 0.00 5.00 5.52 >9.00 8.45
>2.27 1.00 >5.26 4.90 9.50 9.80
2.50 1.30 5.56 4.65 >10.00 11.30
>2.91 1.80
1) Tracer le polynˆome d’interpolation de Lagrange p(x) bas´e sur les donn´es marqu´ees >.
2) Evaluer pour les autres donn´ees la pr´ediction faite par p(x) et la valeur effectivement mesur´ee.
Quelle est l’interpr´etation?
6- Norme de l’op´erateur d’interpolation de Lagrange
On consid`ere l’application lin´eaire Xqui associe `a une fonction continue f∈C0[a, b] muni de la
norme kfk= supx∈[a,b]|f(x)|son polynˆome interpol´e de Lagrange X(f)∈ Pn⊂C0[a, b] en les
points a≤x0< x1, ... < xn≤bsuppos´es fix´es. Montrer que X∈ L(C0[a, b]) et que sa norme est
donn´ee par
kXk= max
a≤x≤b
n
X
k=0
|lk(x)|(6)
o`u les lk(x) sont les polynˆomes ´el´ementaires de Lagrange.
7- Interpol´e de Hermite
Un polynˆome de type interpol´e de Hermite d’une fonction f(x) est un polynˆome qui interpole
aux points xj,j= 0,1, ...n les valeurs de f(xj) et ´egalement les valeurs de d´eriv´ees f(k)(xj). On
consid`ere ici le probl`eme d’interpolation de Hermite suivant:
Soit n+ 1 points distincts x0, x1, ..., xn∈[a, b] et 2n+ 2 valeurs y0, y1, ..., yn∈R,y′
0, y′ 1, ..., y′ n∈R,
on cherche p(x)∈ P2n+1 solution de
p(xj) = yj, p′(xj) = y′
j, j = 0, ..., n (7)
1) Soit lk(x) le polynˆome ´el´ementaire de Lagrange associ´e aux xk. On note
H0
k(x) = [1 −2l′ k(xk)(x−xk)][lk(x)]2, H1 k(x) = (x−xk))[lk(x)]2(8)
V´erifier que
H0
k(xj) = H1′ k(xj) = δjk
H0′
k(xj) = H1 k(xj) = 0 (9)
for j, k = 0, ..., n.
2) Montrer que le polynˆome d´efini par
p=
n
X
k=0
[ykH0
k+y′ kH1 k] (10)

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satisfait la relation (7).
3) Montrer que le polynˆome d´efini par (10) est l’unique polynˆome satisfaisant (7).
4) Rappeler le principe de calcul du polynˆome de Hermite p(x) par diff´erences divis´ees, g´en´eralisant
la m´ethode de Newton. Comment choisir les ¯xjet comment calcule-t-on les termes f[¯x0,¯x1, ...¯x2n+1]
pour que l’on ait l’identit´e
p(x) = f[¯x0]+(x−x0)f[¯x0,¯x1]+(x−¯x0)(x−¯x1)f[¯x0,¯x1,¯x2]+{
2n
Y
j=0
(x−¯xj)}f[¯x0,¯x1, ...¯x2n+1] (11)