À quelle autre expression le nombre est-il

QCM
Que vaut
Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Entourez-la.
?
À quelle autre expression le nombre
est-il égal ?
Quels sont les nombres premiers entre eux ?
774 et 338
63 et 44
1 035 et 774
Quel nombre est en écriture scientifique ?
Exercice 1
1) Les nombres 682 et 352 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
682 et 352 sont tous les deux pairs, donc 2 est un diviseur commun à 682 et 352 ; ils ne sont pas premiers entre eux.
2) Calculer le plus grand diviseur commun (PGCD) de 682 et 352.
Algorithme d’Euclide
682 = 352 x 1 + 330
352 = 330 x 1 + 22
330 = 15 x 22 + 0
Le dernier reste non nul est 22, donc PGCD (682 ; 352) = 22.
3) Rendre irréductible la fraction
en indiquant clairement la méthode utilisée.
Exercice 2
1) Trouver le PGDC de 6 209 et 4 435 en détaillant la méthode.
Algorithme d’Euclide
6 209 = 4 435 x 1 + 1 774
4 435 = 1 774 x 2 + 887
1 774 = 887 x 2 + 0
Le dernier reste non nul est 887, donc PGCD (4 435 ; 1 774) = 887.
2) En utilisant le résultat de la question précédente, expliquer pourquoi la fraction
n'est pas irréductible.
Une fraction est irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, c'est-à-dire lorsque
leur PGCD vaut 1. Le PGCD de 4 435 et 1 774 vaut 887, donc ces deux nombres sont divisibles par 887.
On peut simplifier la fraction par 887, elle n’est pas irréductible.
3) Donner la fraction irréductible égale à
.
.
Exercice3
Montrer, en détaillant les calculs, que les nombres A, B et C ci-dessous sont tous égaux à un même nombre entier.
Exercice 4
Dans cet exercice, tous les calculs devront être détaillés.
1) Calculer l'expression : A =
(donner le résultat sous sa forme la plus simple).
2) Donner l'écriture scientifique du nombre B tel que : B =
3) Écrire sous la forme
(où
est un entier) le nombre C tel que : C =
4) On considère l'expression D =
5)
Développer et simplifier :
.
. Ecrire D sous la forme
.
où
est un nombre entier relatif.
.
Exercice 5
1) 288 et 224 sont-ils premiers entre eux ? Expliquer pourquoi.
288 et 224 sont tous les deux pairs, donc 2 est un diviseur commun à 288 et 224 ; ils ne sont pas premiers entre eux.
2) Déterminer le PGCD de 288 et 224.
Algorithme d’Euclide
288 = 224 x 1 + 64
224 = 64 x 3 + 32
64 = 32 x 2 + 0
Le dernier reste non nul est 32, donc PGCD (288 ; 224) = 32.
3)
Écrire la fraction
sous forme irréductible.
4) Un photographe doit réaliser une exposition en présentant ses œuvres sur des panneaux contenant chacun le
même nombre de photos de paysage et le même nombre de portraits.
Il dispose de 224 photos de paysage et de 288 portraits.
Combien peut-il réaliser au maximum de panneaux en utilisant toutes les photos ?
Combien chaque panneau contient-il de photos de paysage et de portraits ?
Il pourra réaliser 32 panneaux contenant chacun 7 photos de paysages et 9 photos de portraits.
Exercice 6
1) Calculer le PGCD des nombres 135 et 210.
Algorithme d’Euclide
210 = 135 x 1 + 75
135 = 75 x 1 + 60
75 = 60 x 1 + 15
60 = 15 x 4 + 0
Le dernier reste non nul est 15, donc PGCD (135 ; 210) = 15.
2) Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au dessus de la baignoire avec un nombre entier de
carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible.
Sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et 135 cm de largeur, déterminer la longueur, en cm, du côté
d'un carreau. Combien faudra-t-il alors de carreaux ?
Pour que le nombre de carreaux soit un entier, il faut que la taille d’un carreau soit un diviseur commun à 210 et 135.
La plus grande taille possible correspond au PGCD de 210 et 135, donc il faut prendre des carreaux de 15 cm de côté.
210 15 = 14. Il faudra 14 carreaux en hauteur.
135 15 = 9. Il faudra 9 carreaux en largeur.
14 x 9 = 126. Il faut 126 carreaux en tout.
Problème
Une entreprise doit rénover un local.
Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle.
La longueur est 6,40 m, la largeur est 5,20 m
et la hauteur sous plafond est 2,80 m.
Il comporte une porte de 2 m de haut sur 0,80 m de large et
trois baies vitrées de 2 m de haut sur 1,60 m de large.
Première partie : Peinture des murs et du plafond
Les murs et le plafond doivent être peints. L'étiquette ci-dessous est collée sur les pots de la peinture choisie.
1. a) Calculer l'aire du plafond.
6,40 x 5,20 = 33,28.
L’aire du plafond est de 33,38 m².
b) Combien de litres de peinture faut-il pour peindre le plafond ?
33,38 4 = 8,32.
Il faut 8,32L pour peindre le plafond.
Peinture pour murs et plafond
Séchage rapide
Contenance : 5 litres
Utilisation recommandée : 1 litre pour 4 m2
2. a) Prouver que la surface de mur à peindre est d'environ 54 m2.
Aire des côtés : (2,80 x 5,20 x 2) + (6,40 x 2,80 x 2) = 29,12 + 35,84 = 64,96.
Aire de la porte : 2 x 0,8 = 1,6
Aire des baies vitrées : 3 x 2 x 1,6 = 9,6
Aire des murs : 64,96 – (1,6 + 9,6) = 64,96 – 11,2 = 53,76.
La surface de mur à peindre est de 53,76 m².
b) Combien de litres de peinture faut-il pour peindre les murs ?
53,76 4 = 13,44
Il faut 13,44L de peinture pour les murs.
3. De combien de pots de peinture l'entreprise doit-elle disposer pour ce chantier ?
8,32 + 13,44 = 21,76 Il faut 21,76 L de peinture.
21,76 5 = 4,352 Il faut 5 pots de peinture pour ce chantier.
Deuxième partie : Pose d'un dallage sur le sol
1. Déterminer le plus grand diviseur commun à 640 et 520.
Algorithme d’Euclide
640 = 520 x 1 + 120
520 = 120 x 4 + 40
120 = 40 x 3 + 0
Le dernier reste non nul est 40, donc PGCD (640 ; 520) = 40.
2. Le sol du local doit être entièrement recouvert par des dalles carrées de même dimension.
L'entreprise a le choix entre des dalles dont le côté mesure 20 cm, 30 cm, 35 cm, 40 cm ou 45 cm.
a) Parmi ces dimensions, lesquelles peut-on choisir pour que les dalles puissent être posées sans découpe ?
6,40 m = 640 cm et 5,20 m = 520 cm.
Pour ne pas avoir de découpes, il faut que la taille des dalles soit un diviseur commun à 640 et 520, c'est-à-dire un
diviseur du PGCD de 640 et 520. Les tailles possibles sont donc : 20 cm et 40 cm.
b) Dans chacun des cas trouvés, combien faut-il utiliser de dalles ?
Dalles de 20 cm : 640 20 = 32.
520 20 = 26.
32 x 26 = 832.
Dalles de 40 cm : 640 40 = 16.
520 40 = 13.
16 x 13 = 832.
Il faut 832 dalles de 20 cm de côté.
Il faut 208 dalles de 40 cm de côté.
Troisième partie : Coût du dallage
Pour l'ensemble de ses chantiers, l'entreprise se fournit auprès de deux grossistes. Les tarifs proposés pour des
paquets de 10 dalles sont :
Grossiste A : 48 € le paquet, livraison gratuite.
Grossiste B : 42 € le paquet, livraison 45 € quel que soit le nombre de paquets.
1. Quel est le prix pour une commande de 9 paquets :
a) avec le grossiste A ?
48 x 9 = 432
Avec le grossiste A, 9 paquets coûtent 432 €.
b) avec le grossiste B ?
42 x 9 + 45 = 423
Avec le grossiste B, 9 paquets coûtent 423 €.
2. Exprimer en fonction du nombre de paquets :
a) le prix PA en euros d'une commande
de paquets avec le grossiste A ;
PA = 48 x
b) le prix PB en euros d'une commande
de paquets avec le grossiste B.
PB = 42 x + 45
3. a) Représenter graphiquement chacun de ces
deux prix en fonction de dans le repère donné.
Si = 0, PA = 0 et PB = 45
Si = 10, PA = 480 et PB = 465
PA est représenté en rouge, et PB en jaune.
c) Quel est, selon le nombre de paquets achetés, le tarif le plus avantageux ?
Les deux droites se croisent à environ à 7,5 paquets.
Jusqu’à 7 paquets, la droite rouge est en-dessous de la droite jaune, donc le tarif A est le plus avantageux.
A partir de 8 paquets, le tarif B est le plus avantageux.