fonction logarithme neperien

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FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
I. Définition
La fonction exponentielle est continue et strictement
croissante sur , à valeurs dans
0;
.
Pour tout réel a de
0;
l'équation
exa
admet une unique
solution dans .
Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a, l'unique solution de
l'équation
exa
. On la note
lna
.
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction :
ln: 0; 
lnxx
Exemple :
L'équation
ex5
admet une unique solution : Il s'agit de
xln5
.
A l'aide de la calculatrice, on peut obtenir une valeur
approchée :
x1,61
.
Remarque :
Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et
logarithme népérien sont symétriques par rapport à la
droite d'équation
yx
.
Conséquences :
a)
a
xe
est équivalent à
lnax
avec x > 0
b)
ln10
;
lne1
;
ln1
e 1
c) Pour tout x,
lnexx
d) Pour tout x strictement positif,
eln xx
Démonstrations :
a) Par définition b)- Car
e01
e1e
et
e11
e
c) Si on pose
yex
, alors
xln ylnex
d) Si on pose
ylnx
, alors
xeyeln x
Exemples :
eln 2 2
et
lne44
Propriété : Pour tous réels x et y strictement positifs, on a :
a)
ln lnx y x y  
b)
lnxln yxy

2
Démonstration :
a)
xyeln xeln ylnxln y
b)
xyeln xeln ylnxln y
Méthode : Résoudre une équation ou une inéquation
Résoudre dans I les équations et inéquations suivantes :
a)
ln 2x
,
0;I 
b)
15 x
e
,
I
 c)
3ln 4 8x
,
0;I 
d)
ln 6 1 2x
,
1;
6
I
e)
54
xx
ee
,
I
a)
lnx2
       La solution est
e2
.
b)
ex15
             La solution est
ln51
.
c)
3lnx48
                ² La solution est
e4
.
d)
ln 6 1 2x
 S=
e21
6;
.
e)
ex54ex
L'ensemble solution est donc
5
;ln 3
.
II. Propriétés de la fonction logarithme népérien
1) Relation fonctionnelle
Théorème : Pour réel x et y strictement positif, on a :
ln ln lnx y x y  
Remarque : Cette formule permet de transformer un produit en somme.
Démonstration :
eln(xy)xyeln xeln yeln xln y
Donc
ln ln lnx y x y  
Remarque : Cette formule permet de transformer un produit en somme.
Ainsi, celui qui aurait à effectuer 36 x 62, appliquerait cette formule, soit :
    (voir table ci-contre)
L’addition étant beaucoup plus simple à effectuer que la multiplication, on trouve
facilement :  ≈ 3,3487
En cherchant dans la table, le logarithme égal à 3,3487, on trouve 2232, soit : 36
x 62 = 2232.
2) Formules
Corollaires : Pour tous réels x et y strictement positifs, on a :
a)
ln 1
x lnx
b)
ln x
ylnxln y
c)
ln x1
2lnx
d)
ln ln
n
x n x
avec n entier relatif

3
Démonstrations :
a)
11
ln ln ln ln1 0xx
xx
b)
11
ln ln ln ln ln ln
xx x x y
y y y
c)
2ln ln ln ln lnx x x x x x    
d)
ln
ln ln n
nx
n x x n
e e x e  
Donc
ln ln n n x x
Exemples :
a)
1
ln ln2
2
b)
3
ln ln3 ln4
4
c)
ln 5 1
2ln5
d)
2
ln64 ln 8 2ln8
Méthode : Simplifier une expression
ln 3 5 ln 3 5A   
B3ln2 ln52ln3
Clne2ln 2
e
Méthode : Résoudre une équation ou une inéquation
1) Résoudre dans  l’équation :
6x2
2) Résoudre dans
0;
l'équation :
x53
3) 8 augmentations successives de t % correspondent à une augmentation globale de 30 %.
Donner une valeur approchée de t.
1)
6x2
2) Comme
x0
, on a :
x53
 Remarque :
31
5
se lit "racine cinquième de 3" et peut se noter
3
5
.
3) Le problème revient à résoudre dans
0;
l'équation :  
Comme 
Une augmentation globale de 30 % correspond à 8 augmentations successives d'environ 3,3 %.
III. Etude de la fonction logarithme népérien
1) Continuité et dérivabilité
Propriété : La fonction logarithme népérien est continue sur
0;
.
- Admis -

4
Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur
0;
et
(lnx)' 1
x
.
Démonstration :
Nous admettons que la fonction logarithme népérien est dérivable sur
0;
.
Posons
f(x)eln x
. Alors
f'(x)(lnx)'eln xx(lnx)'
Comme
f(x)x
, on a
f'(x)1
. Donc
x(lnx)' 1
et donc
(lnx)' 1
x
.
Exemple :
Dériver la fonction suivante sur l'intervalle
0;
:
f(x)lnx
x
2) Variations
Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur
0;
.
Démonstration :
Pour tout réel x > 0,
(lnx)' 1
x0
.
3) Convexité
Propriété : La fonction logarithme népérien est concave sur
0;
.
Démonstration :
Pour tout réel x > 0,
(lnx)' 1
x
.
(lnx)''   1
x20
donc la dérivée de la fonction ln est strictement décroissante sur
0;
et donc
la fonction logarithme népérien est concave sur cet intervalle.
4) Limites aux bornes
Propriété :
lim
x lnx 
et
lim
x0
x0
lnx 
On peut justifier ces résultats par symétrie de la courbe
représentative de la fonction exponentielle.

5
5) Tangentes particulières
Rappel :
Une équation de la tangente à la courbe
Cf
au point d'abscisse a est :   -.
Dans le cas de la fonction logarithme népérien, l'équation est de la forme :  
-
- Au point d'abscisse 1, l'équation de la tangente est   
- soit :
yx1
.
- Au point d'abscisse e, l'équation de la tangente est
1lny x e e
e
soit :
y1
ex
.
6) Courbe représentative
On dresse le tableau de variations de la fonction
logarithme népérien :
Valeurs particulières :   et  
Méthode : Etudier les variations d'une fonction
1) Déterminer les variations de la fonction f définie sur
0;
par
f(x)3x2lnx
.
2) Etudier la convexité de la fonction f.
1) Sur
0;
, on a
f'(x) 12
x2x x
. Comme
x0
,
f'(x)
est du signe de
2x
.
La fonction f est donc strictement croissante sur
0;2
et strictement décroissante sur
2;
.
On dresse le tableau de variations :
f(2) 322ln2 12ln2
2) Sur
0;
, on a
2 2 2
1 2 1 22
''( ) 0
xx xx
fx x x x
.
La fonction
f'
est donc décroissante sur
0;
. On en déduit que la fonction f est concave sur
0;
.