Mathématiques en lycée

Recherche d’une valeur approchée de π
(méthode de Monte Carlo)
Alexandre, Julie et Coralie passent l’après midi chez Coralie. Julie veut faire un gâteau de semoule et Alexandre
s’amuse avec Google Earth. Il montre à ses amies sur sa tablette numérique le lycée Eiffel et le lac des Près du
Hem d’Armentières.
Julie est surprise de la taille du lac :
« Quelle est son aire ? »
« Je ne sais pas ! »
C’est alors que Coralie renverse le paquet de semoule sur la photo (attention, ne pas reproduire
l’expérience !)
En regardant les dégâts, elle s’exclame :
« J’ai trouvé comment obtenir une bonne approximation de l’aire du lac ! . »
A quoi Coralie a-t-elle pensé ?
Appeler le professeur
On se propose d’utiliser la même méthode pour trouver une valeur approchée du nombre π (sans semoule !)
1) Dans un repère d’origine O, construire le carré de centre O, dont les côtés de longueur 2 sont parallèles aux
axes. (on pourra choisir 4 cm pour unité)
2) Construire le cercle de centre O et de rayon 1
3) En considérant les aires du disque et du carré, comment retrouver π ?
4) En utilisant la méthode de Coralie, proposer une méthode pour approcher π
5) Pour écrire l’algorithme qui simule le placement de points dans le carré, deux questions :
a. Comment placer un point au hasard dans le carré ?
b. Comment vérifier si ce point est dans le cercle ou non ?
Appeler le professeur
6) Écrire l’algorithme simulant le placement de n points dans le carré, vérifiant leur appartenance ou non au
disque, calculant les fréquences correspondantes et affichant 4 fois celles-ci.
Appeler le professeur
7) Écrire cet algorithme avec Algobox. On demandera au logiciel de construire les points de couleur différents
suivants qu’ils sont dans le disque ou à l’extérieur du disque. Le faire tourner.
Appeler le professeur
Approximation de π par la méthode de Monte Carlo
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
VARIABLES
x EST_DU_TYPE NOMBRE
y EST_DU_TYPE NOMBRE
D EST_DU_TYPE NOMBRE
n EST_DU_TYPE NOMBRE
f EST_DU_TYPE NOMBRE
k EST_DU_TYPE NOMBRE
p EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE n
f PREND_LA_VALEUR 0
p PREND_LA_VALEUR 0
TRACER_SEGMENT (-1,-1)->(-1,1)
TRACER_SEGMENT (-1,1)->(1,1)
TRACER_SEGMENT (1,1)->(1,-1)
TRACER_SEGMENT (1,-1)->(-1,-1)
POUR k ALLANT_DE 1 A n
DEBUT_POUR
x PREND_LA_VALEUR 2*random()-1
y PREND_LA_VALEUR 2*random()-1
D PREND_LA_VALEUR sqrt(pow(x,2)+pow(y,2))
SI (D<=1) ALORS
DEBUT_SI
f PREND_LA_VALEUR f+1
TRACER_POINT (x,y)
FIN_SI
SINON
DEBUT_SINON
p PREND_LA_VALEUR p+1
TRACER_POINT (x,y)
FIN_SINON
FIN_POUR
f PREND_LA_VALEUR 4*f/n
p PREND_LA_VALEUR 4*p/n
AFFICHER "approximation de pi "
AFFICHER f
AFFICHER "approximation de l’aire restante "
AFFICHER p
39: FIN_ALGORITHME