Un cristal mathématique doté des propriétés spéciales du cristal de

Un cristal mathématique…
(CIRS 2008)
TEXTE et TEST

Un cristal mathématique… matricola :
NOM : Prénom :
10/09/14
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Un cristal mathématique doté des propriétés spéciales du cristal de
diamant
1. Les hommes se sont longtemps émerveillés de la lueur captivante du diamant. Quelle
est l’explication de cette étonnante beauté ? Le mathématicien Toshikazu Sunada
explique dans un article de la revue Notices of the American Mathematical Society, que
certains secrets de la beauté du diamant sont mis en lumière par une analyse
mathématique de sa structure microscopique de cristal. Il s’avère que cette structure
présente certaines propriétés spéciales, et, plus particulièrement des propriétés de
symétrie.
2. L’on pourrait créer, note Sunada, un modèle mathématique idéalisé d’un cristal, en
travaillant sur ses dispositifs principaux, à savoir les atomes et les liens entre ceux-ci. Les
atomes y sont représentés par des points, appelés « sommets », et les liens sont
représentés par des lignes, appelées « arêtes ». Le type de réseau constitué des
sommets et d’arêtes est appelé « graphe ». Un cristal est construit en partant d’un graphe
modulaire et en joignant ensemble des copies de celui-ci d’une manière périodique. Il y a
ainsi deux modèles qui opèrent dans un cristal : le modèle des arêtes liant les sommets
dans les graphes modulaires, modèle des liaisons entre atomes, et le modèle périodique
liant des copies des graphes. Il est dès lors possible de créer des cristaux mathématiques
à l’infini en faisant varier les graphes et la manière dont ils sont périodiquement joints.
3. Le cristal de diamant présente deux propriétés-clés qui le distinguent des autres
cristaux. La première, appelée « symétrie maximale », concerne la symétrie de
l’arrangement des graphes modulaires. Certains arrangements sont plus symétriques que
d’autres, et si l’un débute avec un arrangement donné, l’on peut le déformer en
maintenant la périodicité et les liaisons entre les atomes, pour le rendre plus symétrique.
Dans le cas du cristal de diamant, il s’avère qu’aucune déformation de l’arrangement
périodique ne peut le rendre plus symétrique qu’il n’est. Le diamant présente donc une
symétrie maximale. N’importe quel cristal peut être déformé en un cristal de symétrie
maximale, mais cette propriété, seule, n’est pas suffisante pour différencier le cristal de
diamant.
4. Le diamant présente en effet une autre propriété spéciale, appelée « la propriété
isotropique forte ». Cette propriété ressemble à la symétrie rotationnelle qui caractérise le
cercle et la sphère : de quelque manière que l’on fasse tourner un cercle ou une sphère,
ils ont toujours le même aspect. Le cristal de diamant présente une propriété similaire :
observé à partir de la direction d’une arête ou de celle d’une autre, il présente toujours le
même aspect.

Un cristal mathématique… matricola :
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5. Sunada fait remarquer que, de tous les cristaux qu’il est mathématiquement possible de
construire, un seul partage avec ce diamant ces deux propriétés. Il l’a dénommé cristal
K_4, parce qu’il est fait à partir d’un graphe appelé K_4, qui consiste en 4 points, dont
n’importe lesquels de deux sommets considérés sont reliés par une arête. Le cristal K_4
n’est pas moins beau que le cristal de diamant, écrit Sunada. Il note qu’il n’existe pour
l’heure qu’à l’état d’objet mathématique. Il est intéressant de se demander s’il est possible
qu’il apparaisse dans la nature ou puisse être synthétisé, déclare-t-il. Sunada cite ici
l’exemple du fullerène, dont la structure est celle d’un ballon de football, qui avait été
mathématiquement identifié avant d’être trouvé, en 1990, dans la nature et dénommé
molécule C_60.
Janvier 2008
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TEST
Pourriez-vous, en lisant ce texte et le paragraphe n° 1, fournir deux auteurs ou sources de
cette information ? Répondre brièvement en justifiant votre réponse : utiliser l’expression
de la CAUSE)
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Quelle est la profession de Monsieur Sunada ? (répondre par une phrase complète)
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Paragraphe 2.
Relever dans ce paragraphe deux formes du « IL » impersonnel ave le verbe qui les
accompagne :
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Relever une expression de la conséquence :
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Poser une question commençant par chacune de ces expressions : combien, comment,
et à laquelle vous répondrez à l’aide d’une information du paragraphe :
Combien ________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Réponse : _______________________________________________________________
________________________________________________________________________
Comment________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Réponse : _______________________________________________________________
________________________________________________________________________
Qu’est-ce qu’un graphe ?
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Paragraphes 2 -3. :
Les termes utilisés par Sunada pour exposer son modèle peuvent faire penser à deux
autres sciences :
Citez ces deux autres sciences et les termes qui vous y font penser, et le nom des
personnes qui font profession de ces sciences
sciences
Termes révélateurs
profession
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Paragraphe 3 :
« …cette propriété, seule, n’est pas suffisante pour différencier le cristal de diamant. «
Réécrire cette phrase en substituant le verbe suffire , conjugué au présent de l’indicatif , à
l’expression soulignée :
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Paragraphe 4 :
« observé à partir de la direction d’une arête ou de celle d’une autre, il présente toujours le
même aspect. »
Réécrire cette phrase en commençant par si :
Si ______________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Paragraphe 5 :
Relever dans ce paragraphe deux subjonctifs présents :
_________________________ _______________________
Réécrire la phrase dans laquelle ils se trouvent en utilisant le verbe pouvoir au présent de
l’indicatif :
________________________________________________________________________
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Poser une question avec Quand et dont la réponse peut être trouvée dans ce
paragraphe :
Quand __________________________________________________________________
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Réponse : _______________________________________________________________
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Où a-t-on trouvé un ballon de football ?
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