Un cristal mathématique… (CIRS 2008) TEXTE et TEST Un cristal mathématique… NOM : matricola : Prénom : 2 Un cristal mathématique doté des propriétés spéciales du cristal de diamant 1. Les hommes se sont longtemps émerveillés de la lueur captivante du diamant. Quelle est l’explication de cette étonnante beauté ? Le mathématicien Toshikazu Sunada explique dans un article de la revue Notices of the American Mathematical Society, que certains secrets de la beauté du diamant sont mis en lumière par une analyse mathématique de sa structure microscopique de cristal. Il s’avère que cette structure présente certaines propriétés spéciales, et, plus particulièrement des propriétés de symétrie. 2. L’on pourrait créer, note Sunada, un modèle mathématique idéalisé d’un cristal, en travaillant sur ses dispositifs principaux, à savoir les atomes et les liens entre ceux-ci. Les atomes y sont représentés par des points, appelés « sommets », et les liens sont représentés par des lignes, appelées « arêtes ». Le type de réseau constitué des sommets et d’arêtes est appelé « graphe ». Un cristal est construit en partant d’un graphe modulaire et en joignant ensemble des copies de celui-ci d’une manière périodique. Il y a ainsi deux modèles qui opèrent dans un cristal : le modèle des arêtes liant les sommets dans les graphes modulaires, modèle des liaisons entre atomes, et le modèle périodique liant des copies des graphes. Il est dès lors possible de créer des cristaux mathématiques à l’infini en faisant varier les graphes et la manière dont ils sont périodiquement joints. 3. Le cristal de diamant présente deux propriétés-clés qui le distinguent des autres cristaux. La première, appelée « symétrie maximale », concerne la symétrie de l’arrangement des graphes modulaires. Certains arrangements sont plus symétriques que d’autres, et si l’un débute avec un arrangement donné, l’on peut le déformer en maintenant la périodicité et les liaisons entre les atomes, pour le rendre plus symétrique. Dans le cas du cristal de diamant, il s’avère qu’aucune déformation de l’arrangement périodique ne peut le rendre plus symétrique qu’il n’est. Le diamant présente donc une symétrie maximale. N’importe quel cristal peut être déformé en un cristal de symétrie maximale, mais cette propriété, seule, n’est pas suffisante pour différencier le cristal de diamant. 4. Le diamant présente en effet une autre propriété spéciale, appelée « la propriété isotropique forte ». Cette propriété ressemble à la symétrie rotationnelle qui caractérise le cercle et la sphère : de quelque manière que l’on fasse tourner un cercle ou une sphère, ils ont toujours le même aspect. Le cristal de diamant présente une propriété similaire : observé à partir de la direction d’une arête ou de celle d’une autre, il présente toujours le même aspect. 10/09/14 Un cristal mathématique… NOM : matricola : Prénom : 3 5. Sunada fait remarquer que, de tous les cristaux qu’il est mathématiquement possible de construire, un seul partage avec ce diamant ces deux propriétés. Il l’a dénommé cristal K_4, parce qu’il est fait à partir d’un graphe appelé K_4, qui consiste en 4 points, dont n’importe lesquels de deux sommets considérés sont reliés par une arête. Le cristal K_4 n’est pas moins beau que le cristal de diamant, écrit Sunada. Il note qu’il n’existe pour l’heure qu’à l’état d’objet mathématique. Il est intéressant de se demander s’il est possible qu’il apparaisse dans la nature ou puisse être synthétisé, déclare-t-il. Sunada cite ici l’exemple du fullerène, dont la structure est celle d’un ballon de football, qui avait été mathématiquement identifié avant d’être trouvé, en 1990, dans la nature et dénommé molécule C_60. Janvier 2008 © Centre International de Recherche Scientifique Tous droits réservés _____________ TEST Pourriez-vous, en lisant ce texte et le paragraphe n° 1, fournir deux auteurs ou sources de cette information ? Répondre brièvement en justifiant votre réponse : utiliser l’expression de la CAUSE) ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Quelle est la profession de Monsieur Sunada ? (répondre par une phrase complète) ________________________________________________________________________________ Paragraphe 2. Relever dans ce paragraphe deux formes du « IL » impersonnel ave le verbe qui les accompagne : ___________________________________ 10/09/14 __________________________________ Un cristal mathématique… NOM : matricola : Prénom : 4 Relever une expression de la conséquence : _________________________ Poser une question commençant par chacune de ces expressions : combien, comment, et à laquelle vous répondrez à l’aide d’une information du paragraphe : Combien ________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Réponse : _______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Comment________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Réponse : _______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Qu’est-ce qu’un graphe ? ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ Paragraphes 2 -3. : Les termes utilisés par Sunada pour exposer son modèle peuvent faire penser à deux autres sciences : Citez ces deux autres sciences et les termes qui vous y font penser, et le nom des personnes qui font profession de ces sciences sciences Termes révélateurs profession _______________________ ________________________ _________________________ _______________________ ________________________ _________________________ 10/09/14 Un cristal mathématique… NOM : matricola : Prénom : 5 Paragraphe 3 : « …cette propriété, seule, n’est pas suffisante pour différencier le cristal de diamant. « Réécrire cette phrase en substituant le verbe suffire , conjugué au présent de l’indicatif , à l’expression soulignée : ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Paragraphe 4 : « observé à partir de la direction d’une arête ou de celle d’une autre, il présente toujours le même aspect. » Réécrire cette phrase en commençant par si : Si ______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Paragraphe 5 : Relever dans ce paragraphe deux subjonctifs présents : _________________________ _______________________ Réécrire la phrase dans laquelle ils se trouvent en utilisant le verbe pouvoir au présent de l’indicatif : ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Poser une question avec Quand et dont la réponse peut être trouvée dans ce paragraphe : Quand __________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Réponse : _______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Où a-t-on trouvé un ballon de football ? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 10/09/14 Un cristal mathématique… NOM : matricola : Prénom : 6 Question générale : Quelles propriétés du diamant nous sont présentées dans ce texte ? (rédiger une phrase complète) ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 10/09/14