1. Roulement d`un prisme hexagonal.

IPHO Epreuve théorique 1998 - 1 –
1. Roulement d'un prisme hexagonal.
On considère un solide rigide cylindrique dont la section est un hexagone régulier comme certains
types de crayons. La masse de ce prisme est notée M et est répartie uniformément. La longueur de
chacun des côtés de l'hexagone est notée a. Le moment d'inertie I du prisme hexagonale par rapport à
son axe de symétrie est
2
12
5MaI =
Le moment d'inertie par rapport à une des arrêtes est
2
12
17 Ma'I =
fig 1 : solide cylindrique de section hexagonale
1. Le prisme est initialement au repos sur un plan incliné faisant un petit angle θ avec l'horizontale.
On suppose que les facettes du prisme sont légèrement concaves de telle sorte que seules les arrêtes du
prisme touchent le plan incliné. L'effet de cette concavité sur le moment d'inertie peut être négligée. Le
prisme est maintenant déplacé par rapport à sa position d'équilibre et roule de manière irrégulière sur le
plan incliné. On suppose que le frottement empêche tout glissement et que le prisme reste toujours en
contact avec le plan. La vitesse de rotation juste avant qu'une arrête donnée ne touche le plan est notée
i
ω et on note la vitesse de rotation juste après l'impact
f
ω .
Démontrer la relation suivante
if
sω=ω et déterminer la valeur du coefficient s.
fig 2 : prisme hexagonal roulant sur un plan incliné
2. L'énergie cinétique du prisme juste avant et après l'impact est notée de manière similaire
i
K et
f
K . Montrer que l'on peut écrire
if
KrK = et déterminer l'expression du coefficient r .

IPHO Epreuve théorique 1998 - 2 –
3. Pour que le roulement se poursuive et qu'un nouvel impact se produise, l'énergie cinétique doit
dépasser une valeur minimale que l'on peut écrire sous la forme :
MgaK
min,i
δ= où g est l'accélération
de pesanteur. Déterminer l'expression de δ en fonction de l’inclinaison du plan θ et du coefficient
r .
4. Si la condition de la question 3 est vérifiée, l'énergie cinétique tendra vers une valeur limite lors
du mouvement de roulement du prisme. En supposant que cette limite existe, montrer que peut s'écrire
sous la forme
MgaK
,i
κ=
0
et déterminer l'expression du coefficient κ en fonction de θ et de r .
5. Calculer à 0,1° près l'angle minimal θ pour lequel le mouvement de roulement irrégulier, une fois
amorcé, continue indéfiniment.
2. Eau sous une calotte glaciaire.
Une calotte glaciaire est une plaque de glace (dont l'épaisseur peut aller jusqu’à quelques km),
reposant sur le sol et pouvant s'étendre horizontalement sur des distances de la dizaine à la centaine de
km. Dans ce problème, on considère la fusion de la glace et le comportement de l'eau sous une couche
de glace tempérée i.e. une couche de glace à la température de fusion. On suppose que dans de telles
conditions, le champ de pression dans la glace suit les lois de la statique des fluides mais que la calotte
glaciaire se déforme en se cassant, principalement lors de mouvements verticaux. On donne les valeurs
suivantes.
-
Masse volumique de l'eau :
33
100001 m/kg.,
w
=ρ
- Masse volumique de la glace :
33
109170 m/kg.,
i
=ρ
- Capacité thermique de la glace : K/kg/J.,c
i
3
1012
−
=
- Chaleur latente massique de fusion de la glace : kg/J.,L
i
5
1043=
- Masse volumique des roches et du magma :
33
1092 m/kg.,
r
=ρ
-
Capacité thermique des roches et du magma : K/kg/Jc
r
700=
- Chaleur latente massique de fusion de la roche et du magma : kg/J.,L
r
5
1043=
- Flux moyen surfacique de chaleur à travers la surface de la terre :
2
060 m/W,J
Q
=
- Température de fusion de la glace : CT °= 0
0
1. On considère que la couche de glace est située en un point où elle reçoit le flux moyen surfacique
de l'intérieur de la terre. En utilisant les données de la table, déterminer l'épaisseur d de la couche de
glace fondue chaque année.

IPHO Epreuve théorique 1998 - 3 –
fig 2.1. coupe de la calotte glaciaire reposant sur une surface plane inclinée sur l’horizontal : S :
surface ; G : sol ; I : calotte glaciaire.
2. On considère maintenant la surface supérieure de la calotte glaciaire. Le sol en dessous la glace est
incliné d'un angle α sur l'horizontale. La surface supérieure de la couche de glace fait un angle β avec
l'horizontale (voir figure 2.1). L'épaisseur verticale de la glace en x=0 est h
0
. Ainsi, les surfaces
inférieures et supérieures de la calotte glaciaire peuvent être décrites par les équations suivantes :
α= tanxy
1
et β+= tanxhy
02
Déterminer une expression pour la pression en un point de la surface inférieure de la calotte
glaciaire en fonction de son abscisse x .

IPHO Epreuve théorique 1998 - 4 –
Déterminer une condition sur β et α pour que l'eau contenue entre le sol et la couche de glace ne
coule dans aucune direction. Montrer que cette condition est de la forme
α
=
β
tanstan .
Déterminer le coefficient s.
Le plan
x,y 80
1
= (figure 2.2) modélise la surface de la terre sous une couche de glace. L'épaisseur
verticale
0
h en x=0 est de 2 km . On suppose que l'eau en dessous de la couche est en équilibre. Sur
la feuille de réponse, dessiner le plan d'équation y
1
et ajouter un plan montrant la surface supérieure de
la glace. Indiquer sur la figure de quels plans il s'agit.
3. On considère une épaisse couche de glace, initialement d'épaisseur constante D=2,0km dans
laquelle s'est formé un cône d'eau liquide,de rayon r=1,0 km et de hauteur H=1,0km obtenu par
fusion de la glace. On suppose que cette formation n’entraîne que des mouvements verticaux pour la
glace restante.
Démontrer à l’aide de calculs et d’un schéma la forme de la surface de la calotte après que le cône
d’eau se soit formé et que l’équilibre hydrostatique ait été atteint.
fig 2.3. : coupe verticale du cône d’eau liquide à l’intérieur de la calotte glaciaire. S : surface, W : eau
liquide, G : sol, I : calotte glaciaire.
4. Lors d’une expédition annuelle, un groupe international de scientifiques a exploré une calotte
glaciaire en Antarctique. Cette région est habituellement formée d’une vaste plaine mais cette année-là,
ils découvrirent un cratère profond, de forme conique de profondeur h=100 m et de rayon r=500 m
(figure 2.4). L’épaisseur de la glace dans cette région est de 2000 m.
Après discussion, les scientifiques ont conclut que l’hypothèse la plus probable était qu’il y avait eu
une petit éruption volcanique sous la calotte glaciaire. Une petite quantité de magma est apparue sous

IPHO Epreuve théorique 1998 - 5 –
la calotte glaciaire, s’est solidifié et a fait fondre un certain volume de glace. Les chercheurs ont essayé
d’estimer le volume de magma apparu et de faire une hypothèse sur ce qu’il était advenu de l’eau liquide
ainsi formée.
On suppose que les mouvements de la glace sont verticaux. On suppose également que le magma
était complètement fondu et initialement à 1200 °C. Pour plus de simplicité, on suppose que le magma
a un volume conique de base circulaire situé à la verticale de la dépression conique située à la surface. Le
temps de montée du cône est court par rapport comparé au temps caractéristique des échanges de
chaleur. Le flux de chaleur est supposé vertical de tel façon que la volume de glace fondue à un instant
donné soit limité par un cône de même axe vertical que le cône de magma.
Avec toutes ces hypothèses, la fusion de la glace s’effectue en deux étapes. Dans un premier temps,
l’eau n’est pas à l’équilibre à la surface du magma et s’écoule donc. L’eau est alors supposée à 0°C.
Ensuite, l’équilibre hydrostatique est atteint et l’eau s’accumule au dessus du magma au lieu de
s’écouler.
Déterminer les grandeurs suivantes lorsque l’équilibre thermique est atteint :
4.1. La profondeur H à laquelle se trouve le sommet du cône d’eau liquide par rapport au niveau
initial de la calotte.
4.2. La hauteur h
1
du cône de magma ;
4.3. La masse totale d’eau liquide produite et la masse m’ d’eau qui s’est écoulée.
Représenter sur la feuille de réponse, à l’échelle, la forme du magma et de l’eau liquide restante.
Utiliser le système de coordonnées suggéré à la figure 2.4.
Fig 2.4. : coupe verticale selon l’axe de la dépression conique dans une calotte glaciaire. S : surface,
G : sol, I : calotte glaciaire, M : magma, W : eau liquide. La figure n’est pas à l’échelle.