1. Roulement d`un prisme hexagonal.

IPHO
Epreuve théorique 1998
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1. Roulement d'un prisme hexagonal.
On considère un solide rigide cylindrique dont la section est un hexagone régulier comme certains
types de crayons. La masse de ce prisme est notée M et est répartie uniformément. La longueur de
chacun des côtés de l'hexagone est notée a. Le moment d'inertie I du prisme hexagonale par rapport à
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son axe de symétrie est I = Ma2
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Le moment d'inertie par rapport à une des arrêtes est I' =
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Ma2
12
fig 1 : solide cylindrique de section hexagonale
1. Le prisme est initialement au repos sur un plan incliné faisant un petit angle θ avec l'horizontale.
On suppose que les facettes du prisme sont légèrement concaves de telle sorte que seules les arrêtes du
prisme touchent le plan incliné. L'effet de cette concavité sur le moment d'inertie peut être négligée. Le
prisme est maintenant déplacé par rapport à sa position d'équilibre et roule de manière irrégulière sur le
plan incliné. On suppose que le frottement empêche tout glissement et que le prisme reste toujours en
contact avec le plan. La vitesse de rotation juste avant qu'une arrête donnée ne touche le plan est notée
ωi et on note la vitesse de rotation juste après l'impact ωf .
Démontrer la relation suivante ωf = sωi et déterminer la valeur du coefficient s.
fig 2 : prisme hexagonal roulant sur un plan incliné
2. L'énergie cinétique du prisme juste avant et après l'impact est notée de manière similaire Ki et
Kf . Montrer que l'on peut écrire Kf = r Ki et déterminer l'expression du coefficient r.
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3. Pour que le roulement se poursuive et qu'un nouvel impact se produise, l'énergie cinétique doit
dépasser une valeur minimale que l'on peut écrire sous la forme : Ki,min = δ Mga où g est l'accélération
de pesanteur. Déterminer l'expression de δ en fonction de l’inclinaison du plan θ et du coefficient r.
4. Si la condition de la question 3 est vérifiée, l'énergie cinétique tendra vers une valeur limite lors
du mouvement de roulement du prisme. En supposant que cette limite existe, montrer que peut s'écrire
sous la forme Ki,0 = κ Mga et déterminer l'expression du coefficient κ en fonction de θ et de r.
5. Calculer à 0,1° près l'angle minimal θ pour lequel le mouvement de roulement irrégulier, une fois
amorcé, continue indéfiniment.
2. Eau sous une calotte glaciaire.
Une calotte glaciaire est une plaque de glace (dont l'épaisseur peut aller jusqu’à quelques km),
reposant sur le sol et pouvant s'étendre horizontalement sur des distances de la dizaine à la centaine de
km. Dans ce problème, on considère la fusion de la glace et le comportement de l'eau sous une couche
de glace tempérée i.e. une couche de glace à la température de fusion. On suppose que dans de telles
conditions, le champ de pression dans la glace suit les lois de la statique des fluides mais que la calotte
glaciaire se déforme en se cassant, principalement lors de mouvements verticaux. On donne les valeurs
suivantes.
-
Masse volumique de l'eau : ρ w = 1,000.10 3 kg / m3
Masse volumique de la glace : ρi = 0,917.10 3 kg / m3
Capacité thermique de la glace : ci = 2,1.10 −3 J/ kg / K
Chaleur latente massique de fusion de la glace : Li = 3,4.10 5 J/ kg
Masse volumique des roches et du magma : ρr = 2,9.10 3 kg / m3
Capacité thermique des roches et du magma : cr = 700 J/ kg / K
Chaleur latente massique de fusion de la roche et du magma : Lr = 3,4.10 5 J/ kg
Flux moyen surfacique de chaleur à travers la surface de la terre : JQ = 0,06 W / m2
Température de fusion de la glace : T0 = 0°C
1. On considère que la couche de glace est située en un point où elle reçoit le flux moyen surfacique
de l'intérieur de la terre. En utilisant les données de la table, déterminer l'épaisseur d de la couche de
glace fondue chaque année.
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fig 2.1. coupe de la calotte glaciaire reposant sur une surface plane inclinée sur l’horizontal : S :
surface ; G : sol ; I : calotte glaciaire.
2. On considère maintenant la surface supérieure de la calotte glaciaire. Le sol en dessous la glace est
incliné d'un angle α sur l'horizontale. La surface supérieure de la couche de glace fait un angle β avec
l'horizontale (voir figure 2.1). L'épaisseur verticale de la glace en x=0 est h0. Ainsi, les surfaces
inférieures et supérieures de la calotte glaciaire peuvent être décrites par les équations suivantes :
y1 = x tan α et y2 = h0 + x tan β
Déterminer une expression pour la pression en un point de la surface inférieure de la calotte
glaciaire en fonction de son abscisse x .
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Déterminer une condition sur β et α pour que l'eau contenue entre le sol et la couche de glace ne
coule dans aucune direction. Montrer que cette condition est de la forme tan β = s tan α .
Déterminer le coefficient s.
Le plan y1 = 0,8x (figure 2.2) modélise la surface de la terre sous une couche de glace. L'épaisseur
verticale h0 en x=0 est de 2 km . On suppose que l'eau en dessous de la couche est en équilibre. Sur
la feuille de réponse, dessiner le plan d'équation y1 et ajouter un plan montrant la surface supérieure de
la glace. Indiquer sur la figure de quels plans il s'agit.
3. On considère une épaisse couche de glace, initialement d'épaisseur constante D=2,0km dans
laquelle s'est formé un cône d'eau liquide,de rayon r=1,0 km et de hauteur H=1,0km obtenu par
fusion de la glace. On suppose que cette formation n’entraîne que des mouvements verticaux pour la
glace restante.
Démontrer à l’aide de calculs et d’un schéma la forme de la surface de la calotte après que le cône
d’eau se soit formé et que l’équilibre hydrostatique ait été atteint.
fig 2.3. : coupe verticale du cône d’eau liquide à l’intérieur de la calotte glaciaire. S : surface, W : eau
liquide, G : sol, I : calotte glaciaire.
4. Lors d’une expédition annuelle, un groupe international de scientifiques a exploré une calotte
glaciaire en Antarctique. Cette région est habituellement formée d’une vaste plaine mais cette année-là,
ils découvrirent un cratère profond, de forme conique de profondeur h=100 m et de rayon r=500 m
(figure 2.4). L’épaisseur de la glace dans cette région est de 2000 m.
Après discussion, les scientifiques ont conclut que l’hypothèse la plus probable était qu’il y avait eu
une petit éruption volcanique sous la calotte glaciaire. Une petite quantité de magma est apparue sous
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la calotte glaciaire, s’est solidifié et a fait fondre un certain volume de glace. Les chercheurs ont essayé
d’estimer le volume de magma apparu et de faire une hypothèse sur ce qu’il était advenu de l’eau liquide
ainsi formée.
On suppose que les mouvements de la glace sont verticaux. On suppose également que le magma
était complètement fondu et initialement à 1200 °C. Pour plus de simplicité, on suppose que le magma
a un volume conique de base circulaire situé à la verticale de la dépression conique située à la surface. Le
temps de montée du cône est court par rapport comparé au temps caractéristique des échanges de
chaleur. Le flux de chaleur est supposé vertical de tel façon que la volume de glace fondue à un instant
donné soit limité par un cône de même axe vertical que le cône de magma.
Avec toutes ces hypothèses, la fusion de la glace s’effectue en deux étapes. Dans un premier temps,
l’eau n’est pas à l’équilibre à la surface du magma et s’écoule donc. L’eau est alors supposée à 0°C.
Ensuite, l’équilibre hydrostatique est atteint et l’eau s’accumule au dessus du magma au lieu de
s’écouler.
Déterminer les grandeurs suivantes lorsque l’équilibre thermique est atteint :
4.1. La profondeur H à laquelle se trouve le sommet du cône d’eau liquide par rapport au niveau
initial de la calotte.
4.2. La hauteur h1 du cône de magma ;
4.3. La masse totale d’eau liquide produite et la masse m’ d’eau qui s’est écoulée.
Représenter sur la feuille de réponse, à l’échelle, la forme du magma et de l’eau liquide restante.
Utiliser le système de coordonnées suggéré à la figure 2.4.
Fig 2.4. : coupe verticale selon l’axe de la dépression conique dans une calotte glaciaire. S : surface,
G : sol, I : calotte glaciaire, M : magma, W : eau liquide. La figure n’est pas à l’échelle.
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3. Plus rapide que la lumière ?
3.1. Texte d’énoncé.
Dans ce problème, on analyse et interprète des mesures effectuées en 1994 sur les ondes radio émises
par une source située dans notre galaxie.
Le récepteur était accordé à une large bande de longueurs d’onde de quelques centimètres. La figure
3.1 montre une série d’images enregistrées à des instants différents. Les courbes correspondent à des
points émettant des ondes avec la même intensité, un peu comme des lignes de niveaux sur une carte
géographique. Les deux maxima de la figure ont été interprétés comme étant deux objets s’éloignant
d’un centre commun figuré par une croix sur les images (ce centre que l’on suppose fixe est lui aussi
une émetteur d’ondes, mais principalement à d’autres longueurs d’onde). Les mesures furent effectuées
à la même heure, à des jours différents.
L’échelle de la figure est donnée par un segment figurant une seconde d’arc (1’’=1/3600°). La
distance des corps céleste au centre de la figure, indiquée par une croix, est estimée à R=12,5 kpc. Un
kiloparsec (kpc) vaut 3,09.1019 m. La vitesse de la lumière est c = 3,00.108 m / S. On ne demande pas
de calculs d’incertitudes.
1. On note les positions angulaires des deux émetteurs radio par rapport à leur centre commun θ1(t)
et θ2(t) où l’indice 1 correspond à l’objet de gauche et l’indice 2 à celui de droite. Les vitesses angulaires,
dans le référentiel terrestre sont ω1 et ω2. Les vitesses linéaires transverses apparentes sont notées v'1,⊥ et
v'2,⊥ .
En utilisant la figure 3.1., faire un graphique pour trouver les valeurs numériques de ω1 et ω2 en
millième de seconde d’arc par jour (msa/j). Déterminer également les valeurs de v'1,⊥ et v'2,⊥ . Certains
résultats peuvent paraître surprenants.
2. Afin d’expliquer le paradoxe survenu à la question 1, on considère une source lumineuse se
déplaçant avec une vitesse v avec un angle φ ( 0 ≤ φ ≤ π ) par rapport à la direction d’un observateur
lointain (figure 3.2). On écrira cette vitesse v=βc où c est la vitesse de la lumière. La distance mesurée,
séparant l’observateur de la source, est R. φ est l’angle défini dans la question 2, pour l’objet de gauche
(noté 1 dans la question 1). La vitesse de la source, vue de l’observateur, est ω et la vitesse linéaire
apparente perpendiculaire à la ligne de visée (vitesse orthoradiale) est v’⊥.
Trouver ω et v’⊥ en fonction de β, R et φ.
3. On suppose que les deux objets, décrits dans l’introduction et dans la question 1, bougent dans
deux directions opposées avec des vitesses identiques v=βc. Les résultats de la question précédente
permettent de calculer β et φ des vitesses angulaires ω1 et ω2 et de la distance R. Soit φ l’angle définie
dans la question 2 pour l’objet de gauche (noté 1 dans la question 1).
Démontrer les expressions de β et φ en fonction de grandeurs connues et faire l’application
numérique.
4. Dans la situation de la question 1 (un seul objet), trouver la condition pour que la vitesse
orthoradiale v’⊥ soit supérieure à la vitesse de la lumière c.
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fig 3.2 : l’observateur est situé en O et la position initiale de la source de lumière est A. Le vecteur
vitesse est v
Déterminer la condition sous la forme β> f(φ) et donner l’expression de f.
Dessiner la région physiquement pertinente dans le plan (β, φ), Hachurer la région du plan où la
condition v’⊥ >c est vérifiée.
5. Toujours dans le problème à un corps de la question 2, déterminer l’expression de la vitesse
maximale v’⊥max de la vitesse apparente orthoradiale v’⊥ pour un β donné. Remarquer que cette vitesse
tend vers l’infini quand β→1
6. L’estimation de R donnée dans l’introduction n’est pas très précise. Les scientifiques ont essayé de
concevoir une méthode plus directe pour déterminer R. Une de ces méthodes est la suivante : on
suppose que l’on peut identifier et mesurer le déplacement doppler des longueurs d’onde λ1 et λ2 de
radiations émises par les deux objets, correspondant à une radiation connue λ0.
(
)
−1/ 2
et en
En partant des équations pour l’effet doppler relativiste : λ = λ 0 (1− β cosφ) 1− β2
supposant, comme auparavant que les deux objets ont la même vitesse v, montrer que l’inconnue β peut
être exprimée en fonction de λ0, λ1 et λ2 selon :
β = 1−
αλ2 0
(λ1 + λ2 )2
Déterminer la valeur numérique de α.
On peut remarquer que ceci signifie que les mesures de longueurs d’onde vont permettre d’obtenir
une nouvelle estimation de la distance.
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fig 3.1 : émission d’ondes radio par une source située dans la voix lactée.
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