Sur la distance entre cubes et carrés

Sur la distance entre cubes et carrés
Serguey Bernikov
18 janvier 2012
RÉSUMÉ
L’objectif de cet article très court est de proposer la démonstration d’un fait lu-
dique : 26 est le seul entier naturel encadré par un carré (25) et par un cube (27).
C’est l’occasion, sans aller dans les détails, d’illustrer l’apport de l’arithmétique
des nombres plus compliqués que les entiers.
Dire qu’un entier zest encadré par un carré et un cube revient à dire que
z−1 = x3et z+ 1 = y2, où xet ysont également des entiers. Alors, y2=
(z−1) + 2 = x3+ 2, et la recherche de zse ramène à la résolution d’une
équation diophantienne à deux inconnues :
y2=x3+ 2,
d’inconnues xet y. C’est cette équation que j’étudie dorénavant.
1 Réduction du problème
Une observation cruciale, dans notre étude, est qu’on peut factoriser cette
équation. Comment ? Si on avait eu l’équation diophantienne y2=x3+ 2, un
autre problème très proche à se poser à titre d’exercice, l’équation aurait pu être
transformée en y2−2 = x3, qu’on sait factoriser en (y−√2)(y+√2) = x3à l’aide
d’une identité remarquable (car (√2)2= 2). Comme on fait de l’arithmétique,
donc un problème avec des nombres entiers, l’apparition de √2 peut compliquer
la tâche, mais je montrerai comment passer outre.
Cependant, ici, on a l’équation diophantienne y2=x3−2, certes équivalente
ày2+ 2 = x3, mais qu’on ne peut pas factoriser aussi facilement que l’équation
précédente. Il faut donc emprunter une idée géniale à Leonhard Euler (1707-
1783), en introduisant le nombre icomme suit : je rappelle que iest un nombre
tel que i2=−1, et les nombres de la forme a+ib (avec aet bréels) sont
des nombres complexes. Il est important pour la suite de se rappeler que si
a+ib =c+id, alors a=cet b=d: c’est ce qu’on appelle « identifier les
parties réelles et imaginaires ». D’un intérêt non discutable en mathématiques,
j’utiliserai ici une petite identité que ipermet :
a2+b2= (a+ib)(a−ib),
ce qui ressemble de près à l’identité
a2−b2= (a+b)(a−b).
1

Ceci étant dit, notre équation y2+ 2 = x3devient (y+i√2)(y−i√2) = x3. Il
n’est pas encore évident que c’est une idée géniale, et ça a même l’air bien plus
compliqué qu’avant : en effet, alors qu’on travaillait jusqu’à présent avec des
nombres entiers, maintenant on travaille avec des nombres de la forme a+i√2b
où aet bsont des entiers ! Heureusement, la prochaine section montre que même
si on change de cadre, on ne doit pas être si dépaysé que ça.
2 Arithmétique dans Z[i√2]
J’appelle Z[i√2] l’ensemble des éléments de la forme a+i√2b, avec aet b
des entiers ∗. L’idée dans ce chapitre est la suivante : les notions de nombres
premiers, de divisibilité, etc., existent également pour ces entiers, et j’explique
comment.
Pour rappel, un nombre premier classique est un entier pqui n’admet pas
d’autres diviseurs que 1 et lui-même. Pour être honnête, c’est un peu faux, dit
ainsi : en effet, 2 est premier mais admet −1 et −2 comme diviseurs également :
on a 2 = (−1) ·(−2). La définition précise est la suivante : si ps’écrit p=mn
avec met ndes entiers, alors soit m, soit négale ±1. Ainsi, ses seuls diviseurs
sont 1, −1, pet −p. Ainsi, 2, 3 et 5 sont premiers (par exemple), mais 4 ne l’est
pas : on peut l’écrire 4 = 2 ·2, et 2 6=±1. En général, pour un ensemble autre
que Z, on doit changer quelque peu la définition de nombre premier, mais dans
le cas de Z[i√2] c’est la même !
Par exemple, i√2 est premier : si i√2 = mn, avec m=a+i√2bet n=
c+i√2d, alors on peut vérifier que 2 = (a2+2b2)(c2+2d2). On a écrit 2 comme
produit de deux entiers, or 2 est premier, donc a2+ 2b2= 1 ou c2+ 2d2= 1 †.
Si a2+ 2b2= 1 (par exemple), ceci impose a=±1 et b= 0, donc m=±1. De
même si c2+ 2d2= 1. i√2 vérifie donc bien la définition d’un nombre premier.
Par contre, 3 est certes un nombre premier parmi les entiers, mais n’est pas un
nombre premier dans Z[i√2], on peut l’écrire 3 = (1 + i√2)(1 −i√2) et aucun
des deux termes du produit n’est égal à ±1. On perd donc quelques nombres
premiers, mais on en gagne, comme ci-dessus.
J’ai utilisé sans le dire un résultat sur les nombres complexes : si a+ib =
(c+id)(e+if), alors a2+b2= (c2+d2)(e2+f2), ce qui n’est pas évident! C’est
ce qu’on appelle la « multiplicativité de la norme » ; par définition, la norme
d’un élément de la forme a+i√2best a2+ 2b2.
∗. La notation Z[i√2] provient du fait que pour créer cet ensemble, on « combine » les
éléments de Zet i√2 de toutes les manières possibles, en excluant cependant la division.
Quand on autorise la division, on obtient l’ensemble Q(i√2).
†. Et non pas ±1, puisque ces quantités sont clairement positives.
2

La proposition qui fait tout marcher est la suivante :
Théorème 1 On peut effectuer des divisions euclidiennes dans Z[i√2].
La division euclidienne pour les entiers est celle qu’on apprend à poser dès l’école
primaire. Savoir comment la poser pour les nombres de la forme a+i√2bn’est
pas très important; si vous êtes intéressés, il faut juste savoir qu’au lieu de
« faire rentrer le plus grand multiple de 7 dans 34 » quand on veut faire la
division de 34 par 7 (par exemple), on doit « faire rentrer le plus grand multiple
de 1 + i√2 dans 5 + i7√2 » où le plus « grand » multiple est celui dont la
norme est la plus grande. Dans le jargon mathématique, on dit que Z[i√2] est
un anneau euclidien.
La présence d’une division euclidienne, que ce soit pour Zou pour Z[i√2],
est à l’origine de l’arithmétique, et permet d’utiliser pour Z[i√2] les mêmes
résultats d’arithmétique que pour Z, en transposant les notions.
3 Résolution de y2=x3−2
Appliquons tout ce qu’on vient d’apprendre à notre équation diophantienne :
on l’avait écrite sous la forme (y+i√2)(y−i√2) = x3. Une première observation
est que y+i√2 et y−i√2 sont premiers entre eux : je rappelle que deux nombres
sont premiers entre eux si ±1 est l’unique diviseur commun aux deux nombres.
Ou encore, si aucun nombre premier ne divise les deux nombres à la fois.
Pour le montrer, je suppose qu’il existe un nombre premier pqui divise à la
fois y+i√2 et y−i√2. Alors, il divise également la différence des deux, à savoir
y+i√2−(y−i√2) = 2i√2. J’utilise alors le lemme d’Euclide :
Théorème 2 (Lemme d’Euclide) Si pest un nombre premier et divise ab,
alors pdivise aou b.
De deux choses l’une, donc :
– soit pdivise 2, auquel cas p=i√2 qui est le seul diviseur premier de 2
(2 = (−1) ·(i√2)2) ;
– soit pdivise i√2 qui est lui aussi premier, comme on l’a vu ci-dessus.
Alors, p=i√2 (pne peut pas être égal à ±1).
Dans les deux cas, p=i√2 et on peut en conclure que x3est pair : En effet,
comme i√2 divise à la fois y+i√2 et y−i√2, le produit i√2·i√2 = −2 divise
le produit (y+i√2)(y−i√2) = x3. Alors, comme x3est pair, xest aussi pair ‡.
Alors, y2aussi est pair, car y2=x3−2 est la différence de deux nombres pairs.
Ainsi, yest aussi pair. Écrivons x= 2ket y= 2l, ce qu’on peut faire parce
qu’ils sont pairs. En injectant ceci dans y2=x3−2, on trouve
4l2= 8k3−2,
d’où, après simplifications, 2l2= 4k3−1, puis 1 = 4k3−2l2= 2(2k3−l2) :
absurde, on ne peut pas écrire 1 comme produit de deux entiers autres que 1
et −1 ! Cette absurdité découle du fait qu’on a supposé qu’un nombre premier
pdivisait à la fois y+i√2 et y−i√2, donc la vérité est qu’il n’en existe pas,
donc ils sont premiers entre eux.
‡. La contraposée est plus facile à montrer : si xest impair, alors x3est impair par un
calcul direct, en posant x= 2k+ 1.
3

Alors, j’assure qu’on peut écrire y+i√2 comme un nombre au cube, de même
pour y−i√2. En effet, si on écrit xcomme un produit de nombres premiers, ce
qu’on peut toujours faire avec un nombre (par exemple 105 = 3 ·5·7 dans Z),
on obtient x=p1···pnpuis x3=p3
1···p3 n= (y+i√2)(y−i√2), donc y+i√2
et y−i√2 ont dans leurs décompositions en nombres premiers uniquement des
p3
i
§, et sont des nombres au cube.
C’est là qu’on peut conclure : écrivons y+i√2 = (a+i√2b)3. En développant
péniblement, on trouve :
y+i√2 = a3+ 3i√2a2b−6ab2−i2√2b3= (a3−6ab2) + i(3√2a2b−2√2b3).
En identifiant partie réelle et imaginaire, on trouve y=a3−6ab2et √2 =
3√2a2b−2√2b3, qu’on peut encore écrire 1 = (3a2−2b2)b. Ceci impose b=±1,
et ±1 = 3a2−2.
– Si 3a2−2 = 1, alors 3a2= 3 donc a2= 1 et a=±1. Dans le cas a= 1, on
trouve donc y=a3−6ab2= 1 −6 = −5, puis, comme y2=x3−2, on a
x3= 27 = 33donc x= 3. Dans le cas a=−1, on trouve y=−1 + 6 = 5,
et de même x= 3.
– Si 3a2−2 = −1, alors 3a2= 1, ce qui est impossible.
Bref, on a donc pour uniques solutions x= 3, y =−5 et x= 3, y = 5. 
La seconde solution s’exprime plus « concrètement » : 27 et 25 sont les seuls
carrés et cubes à être espacés de 2, ou encore : 26 est le seul entier positif à être
encadré par un carré et un cube.
§. On ne peut pas avoir, par exemple, p2
1dans y+i√2 et p1dans y−i√2, sinon p1diviserait
les deux à la fois et ils ne seraient pas premiers entre eux : c’est là que ça sert.
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