La géométrie du cercle
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CHAPITRE 10 La géométrie du cercle Les trajectoires d’un modèle réduit d’avion ou d’un satellite artificiel sont circulaires. Des forces agissent sur ces deux objets pour les garder sur leur trajectoire circulaire. Que devient la trajectoire de ces objets lorsque ces forces cessent soudainement d’agir ? Quelle sera alors la direction de l’avion ou du satellite par rapport au cercle ? Dans ce chapitre, tu exploreras certaines propriétés du cercle et tu les utiliseras pour résoudre différents problèmes. Ce que tu apprendras : • appliquer les propriétés des cercles pour déterminer les mesures inconnues d’angles et de segments de droite ; • résoudre des problèmes qui impliquent les propriétés des cercles. Lien histoire Euclide, un mathématicien grec, a vécu environ 300 ans avant Jésus-Christ. Il est considéré comme le « père de la géométrie ». Dans son livre Les Éléments, il a présenté de façon claire les principes de base de la géométrie et il en a donné des preuves rigoureuses. Les Éléments est un des premiers livres qui a été publié après l’invention, au quinzième siècle, de l’imprimerie. On le considère comme l’un des plus anciens manuels savants. Pour en savoir davantage sur Euclide, visite le site www.cheneliere.ca et suis les liens. 374 Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 374 18/11/09 22:02:38 Mots clés corde angle au centre angle inscrit arc médiatrice tangente Lien littératie La toile d’araignée t’aidera à créer des liens entre des concepts. Elle t’aide à comprendre comment les nouveaux concepts sont liés. Corde Dessine une toile d’araignée dans ton journal de mathématiques. Tu la remplieras en définissant les différents termes à mesure que tu avanceras dans le chapitre. Tan g ent e u le a tre cen g An Géométrie du cercle An gle ice tr dia Mé ins crit Arc Trace un grand cercle avec un compas sous ta toile d’araignée quand tu l’auras terminée. Dans le cercle, dessine les parties que tu as définies et ajoute une légende. Utilise différentes couleurs pour caractériser les diverses parties du cercle. Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 375 375 18/11/09 22:02:45 Mon organisateur Aide pour étudier Organisateur du chapitre 10 Étape 4 Matériel Place quatre feuilles 8,5 × 11 l’une par-dessus l’autre et agrafe-les aux quatre coins. Utilise un compas pour dessiner un cercle de 7,5 cm de rayon sur la feuille du dessus. Découpe les quatre épaisseurs autour du cercle. Plie les quatre feuilles en deux. Inscris les titres sur les pages du haut. La première page est illustrée ci-dessous. • • • • • • feuille de papier de format 11 × 17 compas six feuilles de papier quadrillé 8,5 × 11 ciseaux agrafeuse règle sd angle ans un Concepts clés: ce • Des angles inscrits sous-tendus par le même arc ou la même corde sont congruents. Cord e Diamètre • La mesure d’un angle au centre est égale au double de la mesure d’un angle inscrit sous-tendu par le même arc. Réciproquement. la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure d’un angle au centre sous-tendu par le même arc. • La mesure d’un angle inscrit sous-tendu par un diamètre est égale à 90 degrés. Ang le on Ray Plie en une feuille 11 × 17 en deux dans le sens de la longueur, et pince-la au milieu. Plie les côtés extérieurs vers l’intérieur pour qu’ils se rencontrent au milieu. Utilise un compas pour tracer un cercle et écris les termes comme dans l’illustration. 10 . Étape 1 es e rcl 1L Étape 5 Agraphe les livrets que tu as fabriqués aux étapes 2, 3 et 4 à l’organisateur. Mots clés: Corde Plie une feuille de papier 8,5 × 11 en deux sur sa longueur. Plie-la ensuite en trois dans l’autre sens. Coupe la feuille à deux endroits jusqu’au pli pour former trois livrets. Inscris les termes comme dans l’illustration. 10 . Mots clés: Corde Angle au centre sd angle ans un Concepts clés: Arc ce e rcl Étape 2 es 1L • Des angles inscrits sous-tendus par le même arc ou la même corde sont congruents. Angle au centre Angle inscrit • La mesure d’un angle au centre est égale au double de la mesure d’un angle inscrit sous-tendu par le même arc. Réciproquement. la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure d’un angle au centre sous-tendu par le même arc. Médiatrice • La mesure d’un angle inscrit sous-tendu par un diamètre est égale à 90 degrés. Tangente Angle inscrit Comment utiliser ton organisateur Étape 3 Arc Plie une feuille de papier 8,5 × 11 en deux sur sa longueur. Plie-la ensuite en trois dans l’autre sens. Coupe la feuille à deux endroits jusqu’au pli pour former trois livrets. Inscris les termes comme dans l’illustration. Médiatrice Tangente 376 À mesure que tu avanceras dans ce chapitre, écris les définitions des mots clés sous les volets à droite et à gauche. Dans le livret du centre, il y a deux pages pour chaque section du chapitre. Inscris les mots clés sur la première page et donne des exemples sur la deuxième page. Il y a aussi un cercle supplémentaire pour des notes additionnelles. Au verso de ton organisateur, dns la section « Ce que je dois travailler », note les tâches que tu dois accomplir et coche-les à mesure que tu les effectues. Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 376 18/11/09 22:02:51 Lien mathématique La géométrie dans la conception graphique Les architectes, les ingénieurs, les graphistes et beaucoup d’artistes comptent sur leur compréhension des principes de géométrie pour effectuer leur travail. Le cercle est une forme très importante pour les Autochtones. La roue de médecine, qui sert de base aux enseignements spirituels, prend souvent la forme d’un cercle fait de pierres. Fais ces activités avec une ou un autre élève. 1. Sur une feuille de papier-calque, trace un cercle dont le diamètre est au moins de 5 cm. 2. a) Plie la feuille de façon à ce que le cercle soit divisé en deux parties égales. Déplie la feuille. Le long du pli, trace un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle. b) Quel est le nom mathématique de ce segment de droite ? 3. a) Plie de nouveau le cercle en deux parties égales pour créer un autre pli. Trace un segment de droite le long de ce nouveau pli. b) Quel est le nom mathématique de l’intersection des deux segments de droite ? 4. a) Estime la mesure des quatre angles que tu as formés. b) Mesure les angles avec un rapporteur. Ton estimation était-elle juste ? c) Quelle est la somme des mesures des quatre angles au centre ? 5. Un club environnemental veut utiliser ce logo. Quel est le type de triangle utilisé dans ce schéma ? Explique ta réponse. Comment peux-tu réaliser ce logo ? 6. Dessine différents polygones réguliers (avec six côtés ou moins), à l’extérieur ou à l’intérieur du cercle, de façon à ce que les côtés ou les sommets des polygones touchent le cercle. Quelles difficultés as-tu éprouvées ? 7. Fais un remue-méninges pour trouver des entreprises qui utilisent des formes circulaires dans leurs annonces publicitaires. Dans ce chapitre, tu concevras le plan d’une œuvre artistique, d’un logo ou d’une annonce publicitaire. Tu apprendras certaines propriétés géométriques qui t’aideront à concevoir des dessins qui comprennent des cercles. Lien mathématique 4126-M_02I_374-409.indd 377 377 18/11/09 22:02:53 10.1 Les angles dans un cercle Objectifs Madeleine, Jennifer et Nicole vont tirer dans un filet désert. Si leurs tirs sont tous précis, qui a la meilleure chance de marquer un but ? Après cette leçon, tu pourras… • décrire la relation entre les angles inscrits dans un cercle ; • décrire la relation entre l’angle inscrit et l’angle au centre sous-tendus par le même arc. Explorer la relation entre les angles d’un cercle Matériel • compas ou géoplan 1. Trace un grand cercle et nomme son centre C. avec des élastiques D B Trace une corde AB et un angle au centre BCA. Mesure ∠BCA. • rapporteur • règle 2. Construis un angle inscrit BDA. Quelle est la corde • segment de droite qui joint deux points d’un cercle C mesure de ∠BDA ? A 3. Quelle est la relation entre les angles BCA et BDA ? 4. Construis un deuxième angle inscrit BEA. Quelle est la mesure de ∠BEA ? angle au centre • angle formé par deux rayons d’un cercle 5. Choisis un point du cercle compris entre D et E. Construis un autre angle inscrit • angle formé par deux cordes qui ont un point commun sur le cercle angle inscrit de façon à ce que ses côtés passent par les extrémités de l’ arc AB. Quelle est la mesure de cet angle inscrit ? 6. Répète les étapes 1 à 5 avec un cercle qui a un rayon différent du précédent et trace une nouvelle corde AB. arc (de cercle) • portion d’un cercle corde angle au centre angle inscrit 378 Réfléchis et vérifie 7. a) Quelle est la relation entre un angle au centre et l’angle inscrit sous- A Arc tendus par le même arc ? b) Quelle est la relation entre tous les angles inscrits sous-tendus par le même arc ? B 8. Selon toi, quelle joueuse de hockey a la meilleure chance de marquer un but dans un filet désert ? Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 378 18/11/09 22:02:57 Fais des liens Tu peux utiliser les propriétés des angles d’un cercle pour résoudre des problèmes. Angles inscrits Des angles inscrits sous-tendus par le même arc sont congruents. Angles au centre et angles inscrits La mesure d’un angle au centre est égale au double de la mesure d’un angle inscrit sous-tendu par le même arc. Exemple 1 : Déterminer la mesure des angles dans un cercle Le point C est le centre du cercle, m∠AEB = 35°. a) Quelle est la mesure de ∠ADB ? Justifie ta réponse. b) Quelle est la mesure de ∠ACB ? Justifie ta réponse. E D Lien littératie 35° Un angle sous-tendu par un arc ou une corde est un angle dont les côtés coupent le cercle aux deux extrémités de l’arc. CC B A Lien Internet Solution a) Les angles ADB et AEB sont congruents, car ils sont sous-tendus par le même arc. Si tu veux explorer les propriétés du cercle à l’aide d’un géoplan ou d’un logiciel de géométrie, visite le site www.cheneliere.ca et suis les liens. Donc, m∠ADB = 35°. b) L’angle au centre ACB est sous-tendu par le même arc AB que l’angle inscrit AEB. La mesure d’un angle au centre est égale au double de la mesure d’un angle inscrit sous-tendu par le même arc. ∠ACB = 2∠AEB = 2 × 35° = 70° Donc, m∠ACB = 70°. Montre ce que tu sais Le point C est le centre du cercle. m∠DAB = 55°. Quelles sont les mesures des angles DEB et DCB ? Justifie tes réponses. D A 55° CC B E 10.1 Les angles dans un cercle 4126-M_02I_374-409.indd 379 379 18/11/09 23:28:22 Exemple 2 : Utiliser des angles inscrits et des angles au centre pour reconnaître des relations Le point C est le centre du cercle. Diamètre AB = 10 cm Corde BD = 6 cm B 6 cm D C a) Quelle est la mesure de ∠ADB ? Explique ton raisonnement. b) Quelle est la longueur de la corde AD ? Justifie ta réponse. 10 cm A Solution a) Le diamètre AB coupe le cercle en deux demi-cercles. Puisque AB est une ligne droite, la mesure de l’angle au centre ACB est 180°. Donc, ∠ADB doit être la moitié de 180°, car il s’agit d’un angle inscrit soustendu par le même arc. La mesure de ∠ADB est 90°. b) Puisque m∠ADB = 90°, ABD est un triangle rectangle. On peut utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de AD. AD2 + BD2 = AB2 AD2 + 62 = 102 AD2 + 36 = 100 AD2 = 64___ AD = √64 AD = 8 Donc, mAD = 8 cm. Montre ce que tu sais Le point C est le centre du cercle. AB est un diamètre. Corde AD = 12 cm Corde BD = 5 cm a) Quelle est la mesure de ∠ADB ? Explique ton raisonnement. b) Quelle est la longueur du diamètre AB ? 380 A C 12 cm 5 cm B D Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 380 18/11/09 22:02:59 Exemple 3 : Utiliser des angles au centre et des angles inscrits pour résoudre des problèmes Julien est un courtier en immeubles. Pour son travail, il photographie des maisons en vente. Il y a deux mois, il a photographié une maison avec un appareil muni d’un objectif donnant un champ de vision de 70°. Aujourd’hui, il veut rephotographier cette maison, mais il a oublié son premier objectif. Le seul objectif qu’il a lui procure un champ de vision de 35°. X 70° Maison À quels endroits peut-il se placer pour photographier la maison dans sa totalité ? Pourquoi as-tu choisi ces endroits ? Solution Dessine un cercle dont le centre est situé au sommet de l’angle de 70°. Utilise un côté de l’angle comme rayon du cercle. Construis un certain nombre d’angles inscrits sous-tendus par la façade de la maison. Tous les endroits situés aux sommets de ces angles sont des endroits d’où Julien peut prendre une photo. La mesure de ces angles inscrits est égale à la moitié de l’angle au centre. Stratégies Tracer un schéma Reconnaître toutes les possibilités 70° ÷ 2 = 35° La mesure de chaque angle inscrit est de 35°, ce qui correspond au champ de vision qu’offre l’objectif de son appareil. Tout point de l’arc majeur à l’extérieur de la maison peut donc être choisi, sous réserve des possibilités d’accès et de la présence d’obstacles visuels. 35° Lien littératie X 70° Maison Un arc majeur est plus grand qu’un demicercle. Un arc mineur est plus petit qu’un demi-cercle. Montre ce que tu sais L’angle du faisceau d’une lampe de poche mesure 25° et le champ de vision qu’offre la lentille d’un appareil photo est de 50°. De quelle façon peux-tu placer l’appareil photo et la lampe de poche pour que l’appareil photo couvre toute l’aire illuminée par la lampe de poche ? 10.1 Les angles dans un cercle 4126-M_02I_374-409.indd 381 381 18/11/09 22:03:00 Concepts clés D • Des angles inscrits sous-tendus par le même arc de cercle ont la même mesure : ∠DEB = ∠DAB. • La mesure d’un angle au centre est égale au double de la mesure d’un angle inscrit soustendu par le même arc : ∠DCB = 2∠DAB. • La mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure d’un angle au centre sous-tendu par 1 ∠DCB. le même arc : ∠DAB = __ 2 • La mesure d’un angle inscrit sous-tendu par un diamètre est égale à 90°. Lien littératie Les signes identiques indiqués aux angles inscrits DEB et DAB servent à montrer que ces angles sont congruents. C E B A C A B D Vérifie tes connaissances Communique tes idées D 1. Dans cette figure, la mesure de ∠BDA est égale à la moitié de la mesure de ∠BCA. Cette règle est-elle aussi vraie pour la mesure de ∠BEA ? Explique ton raisonnement. A E ? C B 2. Maddie a tracé un cercle avec un compas. Elle a utilisé une règle pour dessiner un diamètre. Elle a ensuite construit un angle inscrit dont les extrémités coïncident avec les extrémités du diamètre. Quelle est la mesure de l’angle inscrit qu’elle a construit ? Comment le sais-tu ? Exerce-toi Si tu as besoin d’aide pour répondre aux questions 3 à 5, revois l’exemple 1 de la page 379. 3. Quelles sont les mesures de ∠ADB et ∠AEB ? Justifie tes réponses. 4. a) Quelle est la mesure de ∠FJG ? Explique ton raisonnement. b) Quelle est la mesure de ∠FCG ? Justifie ta réponse. E H D 23° C 82° B C F J G A 382 Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 382 18/11/09 22:03:00 5. Trace un cercle, un angle au centre de 60° et deux angles inscrits sous-tendus par le même arc que l’angle au centre. Indique toutes les mesures. Si tu as besoin d’aide pour répondre aux questions 6 et 7, revois l’exemple 2 de la page 380. 6. Le point C est le centre d’un cercle. Diamètre AD = 17 cm Corde BD = 15 cm 17 cm A 9. Pour une représentation théâtrale à l’école, on a disposé trois projecteurs à l’arrière de la salle, juste au-dessus des spectateurs, sur un arc. Chaque projecteur projette un faisceau avec un angle d’ouverture de 22° et couvre complètement l’avant-scène rectangulaire. Utilise un schéma et détermine l’emplacement idéal pour prendre une photo en utilisant un appareil qui offre un champ de vision de 44°. D C 15 cm B a) Quelle est la mesure de ∠ABD ? Explique ta réponse. b) Quelle est la longueur de la corde AB ? 7. Le point C est le centre d’un cercle de 8 cm de rayon. m∠FEG = 45°. E 45° 8 cm F C G a) Quelle est la mesure de ∠FCG ? b) Quelle est la longueur de la corde FG ? Arrondis ta réponse au dixième de centimètre près. Si tu as besoin d’aide pour répondre aux questions 8 et 9, revois l’exemple 3 de la page 381. 8. Après une panne de courant, Jacques aide sa mère à illuminer le panneau électrique. Le faisceau de sa lampe de poche fait un angle de 15° tandis que celui de la lampe de poche de sa mère fait un angle de 30°. Utilise un schéma et détermine le meilleur endroit où Jacques doit se placer pour illuminer la même aire du panneau que l’aire illuminée par la lampe de poche de sa mère. Applique ce que tu sais 38° B 10. Le point C est le centre du cercle et ∠ABD est égal à 38°. Justifie tes C réponses à ces questions. a) Quelle est la mesure de ∠ACD ? A b) De quel type est le triangle ACD ? c) Quelle est la mesure de ∠CAD ? 11. Le point C est le centre du cercle et m∠CFE = 25°. Justifie tes réponses à ces questions. a) Quelle est la mesure de ∠ECF ? b) Quelle est la mesure de ∠EGF ? 25° F C G E 10.1 Les angles dans un cercle 4126-M_02I_374-409.indd 383 D 383 18/11/09 22:03:01 12. Soit m∠KJM = 15° et m∠JML = 24°. C est le centre du cercle. Quelle est la mesure de ces angles ? 15. Trouve la mesure des angles inconnus x et y dans ces figures. Le point C est le centre du cercle. a) 15° J K b) 135° C 24° x C y x y M L c) a) ∠KLM b) ∠JKL c) ∠JCL d) ∠KCM 34° G 56° D E C xy 15° m∠ADE = 56°. A 55° y C 13. Dans cette figure, m∠BAD = 34° et B d) x 16. Crée un problème de géométrie où il est question d’un angle au centre et dont la réponse est un angle inscrit qui mesure 30°. Illustre ton problème avec un schéma. 17. Soit un cercle de centre C et de diamètre AB. La mesure de l’angle inscrit ADE est de 14°. Quelles sont les mesures des angles ACE et ABE ? Dessine la figure. a) Quelle est la mesure de ∠ABE ? b) Quelle est la mesure de ∠AGB ? Approfondissement c) Quel est le type du triangle ABG ? 18. Trouve la mesure des angles inconnus x et y d) Quelle est la mesure de ∠DGE ? 14. Après avoir examiné cette figure géométrique, Amanda décide d’utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de la corde AB. Cette méthode est-elle adéquate ? Explique ta réponse. D dans ces figures. Le point C est le centre du cercle. a) b) 25° C y x 40° 190° C y x 55° C A 4m 4m B 384 Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 384 18/11/09 22:03:04 21. Dans un demi-cercle, m∠HBE = 27°. C est 19. Le diamètre d’un trou situé sur le diamètre et au milieu de AB. circulaire est de 20 cm. Quelle est la longueur maximale du côté d’un carré inscrit dans ce cercle ? 20 cm 27° C B A E H 20. Calcule la valeur de x dans ces figures. a) b) B E 3x C A 3x - 16° 4x + 2° C E F D x + 18° G Détermine la mesure de ces angles et justifie mathématiquement tes réponses. a) ∠BHA b) ∠BEH c) ∠AEG d) ∠ACG e) ∠BCG D a) Utilise un cercle et autant d’angles inscrits et d’angles au centre que tu le désires pour concevoir une œuvre artistique. b) Décris la façon dont les angles et les segments de droite de ta création sont reliés. Lien techno Les angles au centre et les angles inscrits Dans cette activité, tu utiliseras un logiciel interactif de géométrie pour explorer des angles au centre et des angles inscrits dans un cercle. Pour faire cette activité, visite le site www.cheneliere.ca et suis les liens. Explore 1. a) Quelle est la mesure de l’angle au centre ? b) Quelle est la mesure de l’angle inscrit ? c) Quelle est la mesure de l’arc mineur BC ? 2. Fais glisser le point A autour du cercle. Que deviennent les mesures des angles BOC et BAC ? Pourquoi ? 3. Fais glisser le point B ou le point C autour du cercle. Prends en note au moins quatre mesures de l’angle inscrit et de l’angle au centre à partir de différents endroits du cercle. ∠BAC ∠BOC 4. Décris la relation entre l’angle au centre BOC et l’angle inscrit BAC sous-tendu par le même arc. 10.1 Les angles dans un cercle 4126-M_02I_374-409.indd 385 385 18/11/09 22:03:05 10.2 Les propriétés des cordes Objectifs Après cette leçon, tu pourras… • décrire la relation entre le centre d’un cercle, une corde et la médiatrice de la corde. Une archéologue a découvert un morceau d’un médaillon aztèque. Si elle prétend que le médaillon, à l’origine, était circulaire, comment peut-elle en déterminer la circonférence ? Matériel • compas • papier à calquer • règle Explorer les cordes d’un cercle 1. Trace un grand cercle sur du papier à calquer et deux cordes différentes. 2. Trace la médiatrice de chaque corde. Quelle méthode pourrais-tu utiliser dans cette construction ? médiatrice • Une médiatrice coupe un segment en son milieu et lui est perpendiculaire. 3. Nomme le point d’intersection des deux médiatrices. 4. Discute de ta construction avec une ou un autre élève. Réfléchis et vérifie 5. a) Que remarques-tu au sujet du point d’intersection des deux médiatrices du numéro 3 ? b) Penses-tu que ceci est vrai pour toutes les cordes d’un cercle donné ? Comment peux-tu vérifier ta prédiction ? Lien Internet Tu peux explorer ces propriétés géométriques en utilisant un ordinateur. Visite le site www.cheneliere.ca et suis les liens. 6. Comment l’archéologue peut-elle utiliser les médiatrices pour déterminer la circonférence du médaillon aztèque ? 386 Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 386 18/11/09 22:03:06 Fais des liens Tu peux utiliser les propriétés des cordes d’un cercle pour résoudre des problèmes. Médiatrice d’une corde Une droite qui passe par le centre d’un cercle et qui est perpendiculaire à une corde et divise la corde en deux parties congruentes. Exemple 1 : Diviser une corde en deux parties congruentes avec un rayon Le rayon CD divise la corde AB en deux parties congruentes. La corde AB mesure 8 cm. Le rayon du cercle est égal à 5 cm. Quelle est la longueur du segment de droite CE ? Justifie ta réponse. C E A B D Solution Puisque CD est un rayon qui divise la corde AB en deux parties égales, alors CD est perpendiculaire à AB et m∠AEC = 90°. La longueur de AE est de 4 cm, car CD divise la corde AB de 8 cm en deux parties congruentes. Le rayon AC est égal à 5 cm. Si on applique le théorème de Pythagore à ACE, Stratégies Organiser, analyser, résoudre C 5 cm A E 4 cm B D CE2 + AE2 = AC2 CE2 + 42 = 52 CE2 + 16 = 25 CE2 = 9 __ CE = √9 CE = 3. Donc, CE mesure 3 cm. C’est la plus courte distance de la corde AB au centre du cercle. Montre ce que tu sais Le rayon CH divise la corde FG en deux parties égales. La corde FG mesure 12 cm. Le rayon du cercle est égal à 10 cm. Quelle est la longueur de CJ ? H F J G C 10.2 Les propriétés des cordes 4126-M_02I_374-409.indd 387 387 18/11/09 22:03:08 Exemple 2 : Utiliser les propriétés des cordes pour résoudre des problèmes Louise veut percer un trou au centre d’une table circulaire pour installer un parasol. Utilise un schéma pour expliquer comment elle peut trouver le centre du cercle. Le savais-tu ? Les menuisiers utilisent une équerre pour tracer des angles droits ou vérifier si un angle est de 90°. Solution Trace deux cordes. Trouve le milieu de chaque corde. Utilise une équerre pour tracer les médiatrices des deux cordes. Le point d’intersection des deux médiatrices est le centre de la table circulaire. C Montre ce que tu sais Marc veut planter un cerisier au centre d’un parterre circulaire. Comment peut-il déterminer l’endroit exact où il devra le planter, en utilisant les propriétés du cercle ? Concepts clés • La médiatrice d’une corde passe par le centre du cercle. • Les médiatrices de deux cordes se coupent au centre du cercle. • Si une droite divise une corde en deux parties égales et passe par le centre du cercle, alors cette droite est perpendiculaire à la corde. • Si une droite passe par le centre d’un cercle et coupe une corde à angle droit, alors cette droite coupe la corde en deux parties congruentes. • La plus courte distance entre le centre d’un cercle et une corde est la droite perpendiculaire à la corde. 388 C Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 388 18/11/09 22:03:08 Vérifie tes connaissances Communique tes idées 1. Comment sais-tu que le diamètre d’un cercle forme un angle droit avec la corde à leur point d’intersection ? C 2. Comment peux-tu trouver le centre du cercle en utilisant les deux cordes de cette figure ? 3. Annie explique à Denis les propriétés des médiatrices. « Les médiatrices des cordes d’un cercle ont trois propriétés importantes : • La médiatrice divise la corde en deux segments de droite congruents. • La médiatrice coupe la corde à angle droit ; elles sont perpendiculaires. • La médiatrice passe par le centre ; elle contient le diamètre. Si deux de ces propriétés sont vérifiées, alors la troisième l’est aussi. » L’explication d’Annie est-elle juste ? Que veut dire son troisième énoncé ? Exerce-toi Si tu as besoin d’aide pour répondre aux questions 4 et 5, revois l’exemple 1 de la page 387. 4. CD est la médiatrice de la corde AB. Le rayon du cercle est égal à 15 cm. La corde AB mesure 24 cm. Quelle est la longueur de CE ? Explique ton raisonnement. 5. Le rayon CF est la médiatrice de la corde HJ. CG mesure 4 mm. La corde HJ mesure 14 mm. Quel est le rayon du cercle ? Arrondis ta réponse au dixième de millimètre près. Justifie ta réponse. H F G C E A C J B D 10.2 Les propriétés des cordes 4126-M_02I_374-409.indd 389 389 18/11/09 22:03:12 Si tu as besoin d’aide pour répondre à la question 6, revois l’exemple 2 de la page 388. 6. Maëva veut dessiner une cible circulaire au 9. Calcule la longueur inconnue x. Arrondis tes réponses au dixième d’unité près. a) b) centre de son trampoline. Utilise un schéma pour lui expliquer comment déterminer le centre du trampoline. x 9 C 10 6 3 C x 10. La section transversale d’un tuyau circulaire contient une certaine quantité d’eau. La distance horizontale à la surface de l’eau est de 34 cm. Le diamètre intérieur du tuyau fait 50 cm. Quelle est la profondeur maximale de l’eau ? Arrondis ta réponse au centimètre près. Applique ce que tu sais 7. Soit un cercle de 17 m de rayon. Le rayon CD est perpendiculaire à la corde AB. Leur point d’intersection, E, est situé à 8 m du centre C. Quelle est la longueur de la corde AB ? Explique ton raisonnement. 34 cm A D E 50 cm 8m C 11. Quelle est l’aire du ABD si le rayon CD = 5 cm et que mBC = 3 cm ? 17 m D B 5 cm 8. Soit un cercle de 11,1 cm de rayon. Le rayon CM est perpendiculaire à la corde LK, et MQ mesure 3,4 cm. Quelle est la longueur de la corde LK ? Arrondis ta réponse au dixième de centimètre près. L A B E M Q C 390 C K 12. Le diamètre d’un cercle est égal à 50 mm. Une corde mesure 14 mm. Quelle est la plus courte distance du centre C à la corde ? Dessine un schéma pour expliquer ta solution. Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 390 18/11/09 22:03:13 13. Comment peux-tu trouver, en utilisant les propriétés des cordes, le centre d’une table qui a la forme d’un octogone régulier ? Trace un schéma pour expliquer ta méthode. 16. Le point E est le milieu de la corde MP. HJ est un diamètre du cercle. C est le centre du cercle et m∠HCP = 130°. H 130° C P E J M Détermine les mesures de ces angles. Justifie tes réponses. a) ∠HMP b) ∠HEM c) ∠MHJ d) ∠MPJ e) ∠PCE f) ∠CPE 14. Laura a utilisé un compas pour tracer un cercle de rayon égal à 8 cm. Elle a eu l’impression que son dessin était imprécis et a déchiré la feuille. Comment peux-tu utiliser ce morceau pour vérifier la précision de sa figure ? 17. Un pilote d’hélicoptère examine le niveau d’eau d’un bassin situé dans une région éloignée. D’en haut, le pilote évalue le diamètre de la surface de l’eau à 7,3 m. L’aqueduc a la forme d’un hémisphère de 12 m de diamètre intérieur. Quelle est la profondeur de l’eau ? Arrondis ta réponse au dixième de mètre près. 15. Dans ce cercle, mAE = 20 cm, mDE = 16 cm, mAF = 7,2 cm et m∠BFE = 90°. D 16 cm F A C E B Détermine ces mesures et justifie tes réponses. Arrondis les longueurs au dixième de centimètre près. a) ∠ADE b) AD c) DF d) BD 10.2 Les propriétés des cordes 4126-M_02I_374-409.indd 391 391 18/11/09 22:03:15 18. On a demandé à Quentin de trouver la longueur de la corde AB. On lui a dit que le rayon du cercle fait 13 cm, que le rayon CD est perpendiculaire à la corde AB et que la corde AB est à 5 cm du centre du cercle C. E 20. a) Comment sais-tu que FGH est un triangle rectangle ? 3x + 2° H A D Approfondissement G C x B Trouve les erreurs de Quentin et détermine la longueur réelle de AB. Solution de Quentin A On trace le rayon AC, qui est l’hypoténuse du triangle rectangle AEC. Par le théorème de Pythagore, on détermine que 5 cm D E C B EC2 + AC2 = AE2 132 + 52 = AE2 169 + 25 = AE2 2 194 = AE___ AE = √ 194 AE ≈ 13,9 Puisque CD est un rayon et qu’il est perpendiculaire à AB, alors CD divise la corde AB en deux parties égales. AB ≈ 2 X 13,9 AB ≈ 27,8 Donc, AB mesure environ 27,8 m. F b) Trouve algébriquement la valeur de x et détermine les mesures des angles aigus du FGH. 21. Le segment de droite OC divise les cordes AB et DE en deux parties égales. Soit O, le centre du gros cercle et C, le centre du petit, explique que AB est parallèle à DE ? A O D B E C 19. Certains tuyaux cylindriques de plastique sont renforcés à l’intérieur par des poutres en I. La longueur des deux cordes parallèles est de 10 mm et elles sont séparées par une distance de 12 mm. Quel est le diamètre du tuyau circulaire ? Arrondis ta réponse au dixième de millimètre près. 392 Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 392 18/11/09 22:03:16 Les Autochtones des plaines de l’Ouest et les moines tibétains créent des mandalas. Un mandala est une œuvre d’art encadrée dans un cercle conçue pour attirer l’œil de l’observateur vers le centre du cercle. Les mandalas ont une signification spirituelle pour leurs créateurs. Dans cette photo, un moine utilise du sable coloré pour créer un mandala. a) Inspire-toi de ce mandala pour fabriquer ton propre mandala en suivant le même modèle. Par exemple, tu peux créer un mandala pour commémorer le travail d’un grand mathématicien. Ne crée qu’une partie du mandala. b) Si tu veux exposer ton mandala, tu dois connaître la superficie qu’il couvrira une fois qu’il sera terminé. Quelle est l’estimation raisonnable de la circonférence de ton mandala ? Explique ton raisonnement. c) Selon toi, comment les moines tibétains s’assurent-ils de la symétrie de leurs mandalas ? Comment peux-tu utiliser tes connaissances sur les propriétés du cercle pour t’aider ? Lien Internet Si tu veux en savoir davantage sur les mandalas de sable, visite le site www.cheneliere.ca et suis les liens. Lien techno Les droites perpendiculaires à une corde Dans cette activité, tu utiliseras un logiciel interactif de géométrie pour explorer les perpendiculaires d’une corde qui passent par le centre d’un cercle. Pour faire cette activité, visite le site www.cheneliere. ca et suis les liens. Explore 1. a) Quelle est la mesure de ∠OCB ? b) Quelle est la mesure du segment de droite AC ? c) Quelle est la mesure du segment de droite BC ? 2. Fais glisser le point A vers une nouvelle position sur le cercle. a) Décris le changement dans la mesure de ∠OCB lorsque tu fais glisser le point A vers des nouvelles positions sur le cercle. b) Quels sont les changements dans les mesures des segments de droite AC et BC ? Explique ta réponse. 3. Fais glisser le point B autour du cercle. a) Que devient la mesure de ∠OCB ? b) Que deviennent les longueurs des segments de droite AC et BC ? 4. Quelles conclusiosn peux-tu tirer au sujet de ∠OCB, c’est-à-dire l’angle formé par le segment de droite et le milieu de la corde qui a son sommet au centre du cercle ? 5. Quelles conclusions peux-tu tirer au sujet de la relation entre le segment de droite AC et le segment de droite BC ? 10.2 Les propriétés des cordes 4126-M_02I_374-409.indd 393 393 18/11/09 22:03:17 10.3 Les tangentes à un cercle Objectifs Après cette leçon, tu pourras… • expliquer la relation entre les tangentes à un cercle et les rayons du cercle. Lorsqu’une auto effectue un virage, les roues forment un angle différent par rapport à l’auto. Chaque roue parcourt son propre cercle. Quelle est la relation entre les quatre cercles lorsque l’auto effectue un virage ? Explorer des cercles et leurs tangentes Matériel • schéma du cercle en rotation 1. Trouve le milieu de chaque segment qui représente un pneu de l’auto. • rapporteur • règle Les roues tournent selon des angles différents. 2. Trace la perpendiculaire issue de chaque tangente (à un cercle) • une droite qui touche un cercle en un seul point • le point d’intersection est appelé point de tangence Tangente C 394 Point de tangence milieu des segments de droite vers l’intérieur du cercle de rotation. Réfléchis et vérifie 3. Que remarques-tu au sujet du point d’intersection des perpendiculaires ? 4. a) Chaque roue suit une trajectoire circulaire particulière. Qu’ont en commun ces cercles ? b) En te basant sur tes observations, détermine la mesure de l’angle formé par la tangente au cercle et le rayon au point de tangence. Lien Internet Si tu veux explorer davantage les propriétés du cercle, visite le site www.cheneliere.ca et suis les liens. Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 394 18/11/09 22:03:20 Fais des liens Tu peux utiliser les propriétés des tangentes d’un cercle pour résoudre des problèmes. Tangente d’un cercle Une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon du cercle au point de tangence. Relation entre les tangentes et les cordes d’un cercle Une corde perpendiculaire à une tangente au point de tangence passe par le centre du cercle et est un diamètre. Exemple 1 : Déterminer des mesures d’angle dans un cercle en utilisant une tangente Dans cette figure, AB est tangent au cercle au point D, BE contient le diamètre FE et m∠ABE = 50°. A D 50° B F C E a) b) c) d) Quelle est la mesure de ∠BDC ? Justifie ta réponse. Quelle est la mesure de l’angle au centre DCE ? Explique ton raisonnement. De quel type est le triangle CDE ? Justifie ta réponse. Quelle est la mesure de ∠DEC ? Explique ton raisonnement. Solution a) Puisque AB est tangent au cercle au point D, alors le rayon CD est perpendiculaire au segment de droite AB. Donc, m∠BDC = 90°. b) La somme des angles d’un triangle est 180°. Dans le BCD, ∠DCB = 180° - 90° - 50° ∠DCB = 40° Lien littératie Puisque ∠DCE et ∠DCB forment une droite, ils sont supplémentaires. ∠DCE + ∠DCB = 180° ∠DCE + 40° = 180° ∠DCE = 180° - 40° ∠DCE = 140° La somme des angles supplémentaires est égale à 180°. c) Le triangle CDE est isocèle, car CD et CE sont deux rayons du cercle, et tous les rayons d’un cercle sont congruents. 10.3 Les tangentes à un cercle 4126-M_02I_374-409.indd 395 395 18/11/09 22:03:24 d) Méthode 1 : Utiliser des angles dans un triangle La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. m∠DCE = 140°. Puisque CDE est un triangle isocèle, les angles adjacents aux côtés 1 × 40° ou 20°. congruents ont la même mesure. m∠DEC = __ 2 m∠DEC = 20° Méthode 2 : Utiliser des angles inscrits Les angles DEF et DEC sont congruents, car F et C sont sur la même droite. C’est un angle inscrit sous-tendu par le même arc que l’angle DCF. Puisque la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure d’un angle au centre sous-tendu par le même arc, 1 × 40° ou 20°. m∠DEC = __ 2 m∠DEC = 20° Montre ce que tu sais Le segment de droite AF est tangent au cercle au point E. Le segment de droite DF contient le diamètre DB et m∠CFE = 34°. Quelles sont les mesures des angles CEF, ECF, et EDF ? Explique ton raisonnement. D A C E B 34° F Exemple 2 : Utiliser la relation entre les tangentes et les cordes Dans cette figure, AB est tangent au cercle au point B et BD est le diamètre. mAB = 7 mm, mAD = 25 mm et BCE est équilatéral. D 25 mm C E A a) b) c) d) 396 B 7 mm Quelle est la longueur du diamètre BD ? Justifie ta réponse. Quelle est la longueur de la corde BE ? Explique ton raisonnement. Quelle est la mesure de l’angle inscrit BED ? Justifie ta réponse. Quelle est la longueur de la corde DE ? Justifie ta réponse et arrondis-la au millimètre près. Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 396 18/11/09 22:03:24 Solution a) Le diamètre BD est perpendiculaire à la tangente AB, car B est le point de tangence au cercle. Dès lors, m∠ABD = 90° et ABD est un triangle rectangle. Stratégies Organiser, analyser, résoudre On applique le théorème de Pythagore à ABD. AB2 + BD2 = AD2 72 + BD2 = 252 49 + BD2 = 625 BD2 = 576 ____ BD = √576 BD = 24 La longueur du diamètre BD est de 24 mm. b) BC et CE sont des rayons du cercle. Puisque BCE est équilatéral, le côté BE est égal à la longueur du rayon ou à la moitié du diamètre. 1 (24) = 12 __ 2 La longueur de la corde BE est de 12 mm. c) L’angle inscrit BED est sous-tendu par un diamètre. C’est donc un angle droit. m∠BED = 90° La mesure de l’angle inscrit BED est 90°. d) On applique le théorème de Pythagore à BDE. BE2 + DE2 = BD2 122 + DE2 = 242 144 + DE2 = 576 DE2 = 576 - 144 DE2 = 432 ____ DE = √432 DE ≈ 21 La longueur de la corde DE est, au millimètre près, de 21 mm. Montre ce que tu sais Dans cette figure, PQ est tangent au cercle au point Q. QR est un diamètre du cercle. mPQ = 9 mm et mPR = 41 mm. QCS est équilatéral. a) Quelle est la mesure de QR ? Justifie ta réponse. b) Quelle est la mesure de QS ? Explique ton raisonnement. c) Quelle est la mesure de RS ? Justifie ta réponse et arrondis au millimètre près. R C 41 mm S Q 9 mm P 10.3 Les tangentes à un cercle 4126-M_02I_374-409.indd 397 397 18/11/09 22:03:24 Lien science Un objet qui se déplace sur une trajectoire circulaire se déplacera le long d’une tangente au cercle si la force qui tire l’objet vers le centre du cercle ne s’exerce plus soudainement. Cette force est appelée force centripète. Exemple 3 : Résoudre des problèmes avec des tangentes à un cercle Un patineur de vitesse s’entraîne sur une piste circulaire de 40 m de rayon. Il tombe et glisse hors de la piste le long d’une droite tangente au cercle. Si sa glissade est de 22 m, à quelle distance se trouve-t-il du centre de la piste ? Arrondis ta réponse au dixième de mètre près. Dessine un schéma pour illustrer ton explication. Solution Sur cette figure, le patineur de vitesse tombe au point A et glisse jusqu’au point B. Puisque le segment de droite AB est tangent au cercle, il est perpendiculaire au rayon AC. On peut utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la distance BC qui représente la distance entre le patineur et le centre de la piste. Lien sports Jeremy Wotherspoon, de Red Deer, en Alberta, est l’un des meilleurs patineurs de vitesse canadiens. Il a établi plusieurs records sur une distance de 500 m. B 22 m A 40 m C BC2 = AB2 + AC2 BC2 = 222 + 402 BC2 = 484 + 1600 BC2 = 2084 _____ BC = √2084 BC ≈ 45,7 Après avoir glissé 22 m, le patineur se trouve donc à environ 45,7 m du centre de la piste. Montre ce que tu sais Carlos s’apprête à faire atterrir son avion miniature. Le fil se brise juste avant l’atterrissage. Si la longueur du fil est de 10 m et si l’avion s’arrête à 74 m de Carlos, quelle distance l’avion a-t-il parcourue après que le fil s’est brisé ? Arrondis ta réponse au dixième de mètre près. 398 Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 398 18/11/09 22:03:25 Concepts clés • Une droite qui coupe un cercle en un seul point est une tangente au cercle. • Le point A se nomme le point de tangence. • Une droite d qui est tangente à un cercle en un point A est perpendiculaire au rayon AC. • Une corde perpendiculaire à une tangente au point de tangence passe par le centre du cercle et est un diamètre. C d A Vérifie tes connaissances Communique tes idées 1. Raoul et Élisabeth discutent de cette figure. C A Élisabeth affirme que le segment de droite AB est tangent au cercle, car il coupe le cercle en un seul point. Raoul ne partage pas cet avis. Qui a raison ? Pourquoi ? B C 2. Si BC est un rayon du cercle, est-ce que AB est une tangente du cercle ? Comment le sais-tu ? 85° B A Exerce-toi Si tu as besoin d’aide pour répondre aux questions 3 et 4, revois l’exemple 1 des pages 395-396. 3. Dans cette figure, AB A est tangent au cercle au E point D, BE contient le D diamètre EF et C 60° m∠ABE = 60°. F B Explique ton raisonnement pour répondre à ces questions. a) Quelle est la mesure de ∠BDC ? b) Quelle est la mesure de l’angle au centre DCE ? c) De quel type est le triangle CDE ? d) Quelle est la mesure de ∠DEC ? 4. Le segment de droite 10° G JK est tangent au cercle au point H. GH est un diamètre et C m∠CGL = 10°. Justifie tes réponses L à ces questions. J H a) De quel type est le triangle CGL ? b) Quelle est la mesure de ∠GCL ? c) Quelle est la mesure de ∠JCH ? d) Quelle est la mesure de ∠JHG ? e) Quelle est la mesure de ∠CJK ? 10.3 Les tangentes à un cercle 4126-M_02I_374-409.indd 399 K 399 18/11/09 22:03:27 Si tu as besoin d’aide pour répondre aux questions 5 et 6, revois l’exemple 2 des pages 396-397. 5. Dans cette figure, AB est tangent au cercle au point B, BD est un diamètre du cercle, mAB = 6 m, mAD = 10 m et BCE est équilatéral. D C 10 m E A Si tu as besoin d’aide pour répondre à la question 7, revois l’exemple 3 de la page 398. 7. Un chien est retenu par une laisse attachée à un piquet dans la cour arrière d’une maison. La laisse mesure 5 m de long et le piquet est placé perpendiculairement par rapport à l’extrémité arrière de la maison. Quelle est la distance entre le piquet et la porte du chat ? Quelle est la distance la plus courte possible entre le chien et la porte du chat ? Arrondis tes réponses au dixième de mètre près. 16 m Arrière de la maison B 6m Justifie tes réponses à ces questions. a) Quelle est la longueur du diamètre BD ? b) Quelle est la longueur de la corde BE ? c) Quelle est la mesure de l’angle BED ? d) Quelle est la longueur, au mètre près, de la corde DE ? Porte du chat Piquet Applique ce que tu sais 8. Trouve la longueur x dans ces figures. 6. Dans cette figure, FG est tangent au cercle au point G, GH est un diamètre du cercle, mCJ = 5 mm, mFG = 7 mm et CGJ est équilatéral. 7 mm G La droite d est tangente au cercle. Lorsque c’est nécessaire, arrondis ta réponse au dixième près. a) d J F 5 mm 15 m C 8m x H a) Quelle est la longueur du diamètre ? b) c) d) e) 400 Justifie ta réponse. Le triangle GHJ est-il un triangle rectangle ? Justifie ta réponse. Quelle est la longueur de la corde HJ ? Explique ton raisonnement. Arrondis ta réponse au dixième de millimètre près. Quelle est la mesure de ∠FGH ? Justifie ta réponse. Quelle est la longueur de FH ? Explique ton raisonnement. Arrondis ta réponse au dixième de millimètre près. b) x 20 cm 16 cm d Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 400 18/11/09 22:03:28 9. Trouve la mesure de l’angle θ dans ces figures. La droite d est tangente au cercle. 12. Dans cette figure, ABD est isocèle, AD est tangent au cercle au point D, et BD est un diamètre. a) F D 55° C d A b) B Justifie tes réponses à ces questions. a) Quelle est la mesure de ∠ADB ? b) Quelle est la mesure de ∠DBE ? c) Quelle est la mesure de ∠DFE ? 74° E d 13. Utilise cette information pour répondre aux questions. J Lien littératie d Le symbole θ se prononce thêta. C’est une lettre grecque qui est souvent utilisée pour représenter un angle inconnu. C G 10. Ces deux cercles ont la même grandeur. Ils sont tangents l’un à l’autre ainsi qu’à la droite d. R I I S d a) De quel type est le quadrilatère IRIS ? Explique ton raisonnement. b) Si le rayon de chaque cercle est de 5 cm, quel est le périmètre de IRIS ? H M K • La droite d est tangente au cercle au point H. • La droite d est parallèle à la corde JK. • Le rayon mesure 9,1 cm. • La corde JK mesure 17 cm. Explique ton raisonnement pour répondre à ces questions. a) Quelle est la mesure de ∠CHM ? b) Quelle est la mesure de ∠CGJ ? c) Quelle est la longueur de JG ? d) Quelle est la longueur de CG ? Arrondis ta réponse au dixième de centimètre près. 11. Le segment de droite AB est tangent au cercle au point A. Le diamètre AD mesure 7,3 cm. Si la longueur de AB est de 4,2 cm, quelle est la longueur de BD ? Trace un schéma pour illustrer ta solution. Arrondis ta réponse au dixième de centimètre près. 10.3 Les tangentes à un cercle 4126-M_02I_374-409.indd 401 401 18/11/09 22:03:29 14. Le segment JG est tangent au cercle au point J. Quelle est la valeur de x et quelle est la mesure de ∠JGH ? J 17. Deux cercles concentriques ont leur centre au point C. Le rayon du petit cercle est de 8 cm. La corde AB mesure 26 cm et elle est tangente au petit cercle. Quelle est la circonférence du grand cercle ? Arrondis ta réponse au centimètre près. C G A 5x - 2° 2x + 15° H C B 15. Dans cette figure, la droite d est tangente au cercle. Utilise les propriétés des angles inscrits et des angles au centre pour déterminer la valeur de l’angle θ. Explique ton raisonnement. 85° C C B d 16. Cette photo aérienne représente une terre agricole. Les zones circulaires vertes sont des champs arrosés par un système d’arrosage rotatif. Crée un problème qui porte sur la relation entre les tangentes et les rayons des cercles, puis fournis la solution. 402 tangents, comme dans cette figure. Le cercle A est tangent à l’axe des x et à l’axe des y. Le cercle B est tangent à l’axe des x. Les coordonnées du centre du cercle A sont (2, 2). Quelles sont les coordonnées des centres des cercles B et C ? y 140° A 18. Trois cercles congruents sont mutuellement A 0 B x Approfondissement 19. On utilise une équerre à centrer en métal pour trouver le centre d’un cylindre en bois. Reproduis cette photo dans ton cahier de notes et identifie les côtés qui ressemblent le plus à des tangentes au cercle. Selon toi, comment l’équerre à centrer est-elle utilisée pour trouver le centre du cylindre ? Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 402 18/11/09 22:03:29 20. Ce schéma représente deux poteaux de 18 cm et de 7 cm de rayon. Ces poteaux sont joints par un ruban métallique qui passe par les centres et par deux points situés sur leur circonférence. Détermine la longueur du ruban métallique si AB est tangent aux deux cercles. 22. Un panneau de vitrail de 20 cm de diamètre est suspendu à une chaînette aux points E et B. Les segments BD et ED sont tangents au cercle. Quelle est la longueur totale de la chaînette si on suspend le panneau à un clou situé au point D ? Explique ton raisonnement. B 60 cm A D 18 cm C 7 cm O 24 cm Vue de dessus 21. Une balle de caoutchouc de 6 cm de diamètre est trouvée sur un lac gelé. La partie de la balle qui est au-dessus de la glace mesure 2 cm à son point le plus haut. Quelle est la circonférence du cercle où la balle touche la surface glacée ? Arrondis ta réponse au dixième de centimètre près. E B C a) Conçois une création artistique ou un logo pour une entreprise en utilisant au moins un cercle et une tangente. Souviens-toi que deux cercles peuvent être tangents l’un à l’autre. b) Détermine les mesures des cordes, des rayons, des diamètres ou des tangentes qui apparaissent dans ta création. Lien techno Les tangentes à un cercle Dans cette activité, tu utiliseras un logiciel interactif de géométrie pour explorer les tangentes d’un cercle. Pour faire cette activité, visite le site www.cheneliere.ca et suis les liens. Explore 1. Quelle est la mesure de ∠BAC ? 2. a) Décris comment varie la mesure de ∠BAC lorsque tu fais glisser le point A à différents endroits sur le cercle. b) Quelle conclusion peux-tu en tirer ? 10.3 Les tangentes à un cercle 4126-M_02I_374-409.indd 403 403 18/11/09 22:03:39 Révision du chapitre 10 7. Paula affirme que si la mesure d’un angle Mots clés Aux numéros 1 à 4, lis l’indice puis place dans le bon ordre les lettres. 1. A O R Y N Distance entre le centre d’un cercle et un point quelconque de la circonférence. inscrit est de 13,5°, alors la mesure de l’angle au centre sous-tendu par le même arc sera aussi de 13,5°. Es-tu d’accord avec elle ? Donne tes raisons. 8. Quelle est la mesure de chaque angle au centre de la cible ? 2. G E N A L S C I I N T R Angle formé par deux cordes qui partagent un point commun sur la circonférence. 3. E R C D O Segment de droite dont les extrémités se trouvent sur la circonférence d’un cercle. 4. D M I É A R E T C I Droite ou segment de droite qui passe par le milieu d’un segment et qui lui est perpendiculaire. 10.1 Les angles dans un cercle, pages 378 à 385 5. Détermine la mesure de ces angles. a) ∠ABD b) ∠ACD A C D 9. Quelle est la mesure G de ∠EFG ? C E 24° F E B 10. Quelle est la mesure A 62° de ∠BAD dans ce demi-cercle ? B D 6. Quelles sont les mesures des angles x et y ? 96° x C y 10.2 Les propriétés des cordes, pages 386 à 393 11. Comment sais-tu que la droite d passe par le centre du cercle ? d 404 Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 404 18/11/09 22:03:40 12. Anne voulait 17. Si le segment AB trouver le centre de cette table circulaire en tendant une ficelle sur le dessus de la table et en trouvant le centre de la ficelle. Elle a raté le centre d’un centimètre. Qu’a-t-elle fait d’incorrect ? Comment aurait-elle pu trouver le centre avec plus de précision ? est tangent au cercle au point B, quelle est la longueur du rayon ? A C 26 m 10 m A B 9 mm B 18. Claude fait voler un avion miniature 13. Quelle est la longueur de la corde AE ? Comment as-tu trouvé ta réponse ? C 15 mm E télécommandé le long d’une trajectoire circulaire de 50 m de rayon. Lorsque le signal a été rompu, l’avion a continué de voler le long de la tangente du cercle jusqu’à ce qu’il tombe à 140 m de Claude. Quelle distance horizontale l’avion a-t-il volée le long de la tangente ? Illustre ta réponse avec un schéma. Calcule la distance en arrondissant au mètre près. D 14. Des archéologues ont trouvé des morceaux d’une vieille roue de chariot. Montre comment ils ont pu déterminer la circonférence de la roue à partir de ce morceau. 15. Si la longueur de la corde F FG est de 18 cm et si le diamètre du cercle est de 22 cm, quelle est la plus courte distance entre FG et le centre du cercle ? Arrondis ta réponse au dixième de centimètre près. C G 10.3 Les tangentes à un cercle, pages 394 à 403 16. Quelle est la mesure de G D 43° E ∠FCG si le segment DE est tangent au cercle C au point G ? F D 19. Le segment de droite AF est tangent au cercle au point E et m∠AFD = 48°. Trouve la mesure de ces angles. Justifie tes réponses. a) ∠CEF b) ∠ECF c) ∠ECD d) ∠DEC e) ∠AED f) ∠EDB C A E B 48° F 20. Le segment de droite AB est tangent au cercle au point E. Détermine la mesure de ces angles. a) ∠ACE b) ∠CAB D C B 21° E F A Révision du chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 405 405 18/11/09 22:03:43 Test pratique du chapitre 10 Aux questions 1 et 2, choisis la meilleure réponse. 4. Si le segment AB est tangent au cercle D, alors la mesure de ∠BCD est . 1. Quel énoncé est vrai ? A La mesure d’un angle au centre est plus petite que la mesure d’un angle inscrit sous-tendu par le même arc. B Les mesures de deux angles inscrits ne sont jamais égales. C La mesure d’un angle inscrit sous-tendu par un diamètre est toujours de 90°. D La mesure d’un angle inscrit dans un demi-cercle peut être plus grande que 90°. 2. Quelle est la mesure de l’angle inscrit ? A 25° B 50° C 100° D 200° A E D C 54° F B Réponses brèves 5. Quelle est la longueur du rayon x ? Arrondis ta réponse au dixième de centimètre près. C x 13 cm C 100° d 9 cm 25° 6. Trouve la mesure de l’angle θ. La droite d Complète les énoncés 3 et 4. est tangente au cercle. 3. La longueur du segment EF est si C est le centre du cercle. 8 mm E F 13 mm 406 39° C d C Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 406 18/11/09 22:03:47 Réponses à développement 7. Quelles sont les mesures de ∠ADB et ∠ACB ? Explique ton raisonnement. D 41° E 9. La porte de Namdaemum, un bâtiment de deux étages qui a le style d’une pagode, repose sur un socle de pierres. Ce monument historique coréen, un véritable trésor, a été détruit par le feu en 2008. C B A 8. Le niveau d’eau dans un tuyau est représenté par ce schéma. Le diamètre du tuyau est de 34 mm. La surface de l’eau mesure 20 mm d’un côté à l’autre. Quelle est la plus courte distance entre la surface de l’eau et le centre du tuyau ? Arrondis ta réponse au millimètre près. Explique ton raisonnement. Pour reconstruire la porte, on a équarri des troncs d’arbres. Quelle est la plus grosse poutre carrée que l’on peut équarrir dans un tronc de 40 cm de diamètre ? 34 mm 20 mm Utilise au moins deux cercles afin de créer un logo ou un dessin artistique. • Dans ta création artistique, utilise toutes les propriétés du cercle que tu as étudiées et indique où tu as utilisé chacune d’elles. • Tu peux utiliser certaines ou toutes les créations artistiques que tu as conçues dans les rubriques « Lien mathématique » de ce chapitre. Test pratique du chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 407 407 18/11/09 22:03:48 Défis Le capteur de rêves La légende du capteur de rêves existe sous diverses formes chez les peuples autochtones. Le capteur de rêves est formé d’un cerceau dans lequel est attaché un tressage semblable à une toile d’araignée. Matériel • compas • règle • rapporteur L’air de la nuit contient des bons et des mauvais rêves. Selon la légende, seuls les bons rêves peuvent traverser la toile. Les mauvais rêves sont retenus prisonniers et disparaissent au moment du réveil. Le tressage, fait de babiche, est retenu par huit points sur le cerceau, en hommage à l’araignée. Le cerceau est souvent orné d’objets naturels comme des pierres, des billes, des coquillages, des morceaux d’écorce et des feuilles. Un héliotrope (une pierre de sang) est souvent accroché au centre. Exploite tes talents d’artiste et relève ce défi. Tu dois dessiner un capteur de rêves en explorant la façon dont ta construction est reliée aux propriétés du cercle. 1. a) Trace un cercle dont le rayon fait au moins 8 cm. Marque 8 points également espacés sur le cercle. b) Donne deux façons différentes de trouver les emplacements de ces 8 points. 408 Chapitre 10 4126-M_02I_374-409.indd 408 18/11/09 22:03:51 2. Dessine la première rangée du tressage en joignant chaque paire de points consécutifs par une droite. a) Quelles sont les deux mesures de l’angle au centre formé par les rayons qui passent par la première et la septième marque sur le cercle ? b) Quelle est la mesure de l’angle inscrit sous-tendu par le même arc que l’angle au centre trouvé en a) ? 3. Dessine une seconde rangée du tressage. De quelle façon l’angle au centre et l’angle inscrit se comparent-ils à ceux trouvés au numéro 2 ? 4. Continue de dessiner les rangées du tressage jusqu’à ce que tu obtiennes une ouverture d’environ 5 cm de diamètre au centre du cerceau. De combien de rangées as-tu besoin ? 5. Compare ton dessin à un véritable capteur de rêves. Qu’est-ce qui différencie ton dessin de ce capteur de rêves ? Défis 4126-M_02I_374-409.indd 409 409 18/11/09 22:03:53
