La géométrie du cercle

La géométrie
du cercle
Les trajectoires d’un modèle réduit d’avion
ou d’un satellite arti ciel sont circulaires.
Des forces agissent sur ces deux objets pour
les garder sur leur trajectoire circulaire. Que
devient la trajectoire de ces objets lorsque
ces forces cessent soudainement d’agir ?
Quelle sera alors la direction de l’avion ou
du satellite par rapport au cercle ?
Dans ce chapitre, tu exploreras certaines
propriétés du cercle et tu les utiliseras pour
résoudre di érents problèmes.
Ce que tu apprendras :
• appliquer les propriétés des cercles pour
déterminer les mesures inconnues
d’angles et de segments de droite ;
• résoudre des problèmes qui impliquent
les propriétés des cercles.
CHAPITRE
10
Lien histoire
Euclide, un mathématicien grec, a vécu
environ 300 ans avant Jésus-Christ. Il est
considéré comme le « père de la
géométrie ». Dans son livre Les Éléments, il
a présenté de façon claire les principes de
base de la géométrie et il en a donné des
preuves rigoureuses. Les Éléments est un
des premiers livres qui a été publié après
l’invention, au quinzième siècle, de
l’imprimerie. On le considère comme l’un
des plus anciens manuels savants. Pour en
savoir davantage sur Euclide, visite le site
www.cheneliere.ca et suis les liens.
374 Chapitre 10
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Lien littératie
La toile d’araignée t’aidera à créer des liens entre
des concepts. Elle t’aide à comprendre comment les
nouveaux concepts sont liés.
Dessine une toile d’araignée dans ton journal de
mathématiques. Tu la remplieras en dé nissant les
di érents termes à mesure que tu avanceras dans
le chapitre.
Angle au centre
Angle inscrit
Arc
Médiatrice
Tangente
Géométrie
du cercle
Corde
Trace un grand cercle avec un compas sous ta toile
d’araignée quand tu l’auras terminée. Dans le cercle,
dessine les parties que tu as dé nies et ajoute une
légende. Utilise di érentes couleurs pour
caractériser les diverses parties du cercle.
Mots clés
corde
angle au centre
angle inscrit
arc
médiatrice
tangente
Chapitre 10 375
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Mon organisateur
Aide pour étudier
Organisateur du chapitre 10
Matériel
• feuille de papier de format 11 × 17
• compas
• six feuilles de papier quadrillé 8,5 × 11
• ciseaux
• agrafeuse
• règle
Étape 1
Plie en une feuille 11 × 17 en
Diamètre
Angle
Corde
Rayon
deux dans le sens de la longueur,
et pince-la au milieu. Plie les
côtés extérieurs vers l’intérieur
pour qu’ils se rencontrent au
milieu. Utilise un compas
pour tracer un cercle et écris
les termes comme dans
l’illustration.
Étape 2
Plie une feuille de papier 8,5 × 11 en deux
Corde
Mots clés:
Angle
inscrit
Angle
au centre
sur sa longueur. Plie-la ensuite en trois dans
l’autre sens. Coupe la feuille à deux endroits
jusqu’au pli pour former trois livrets. Inscris
les termes comme dans l’illustration.
Étape 3
Plie une feuille de papier 8,5 × 11 en deux
Arc
Tangente
Médiatrice
sur sa longueur. Plie-la ensuite en trois dans
l’autre sens. Coupe la feuille à deux endroits
jusqu’au pli pour former trois livrets. Inscris
les termes comme dans l’illustration.
Étape 4
Place quatre feuilles 8,5 × 11 l’une par-dessus l’autre et
agrafe-les aux quatre coins. Utilise un compas pour
dessiner un cercle de 7,5 cm de rayon sur la feuille du
dessus. Découpe les quatre épaisseurs autour du cercle.
Plie les quatre feuilles en deux. Inscris les titres sur les
pages du haut. La première page est illustrée ci-dessous.
1
0
.
1
L
e
s
a
n
g
l
e
s
d
a
n
s
u
n
c
e
r
c
l
e
• Des angles inscrits sous-tendus par
le même arc ou la même corde sont congruents.
• La mesure d’un angle au centre est égale au
double de la mesure d’un angle inscrit sous-tendu
par le même arc. Réciproquement. la mesure
d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure
d’un angle au centre sous-tendu par le même arc.
• La mesure d’un angle inscrit sous-tendu
par un diamètre est égale
à 90 degrés.
Concepts clés:
Étape 5
Agraphe les livrets que tu as fabriqués aux étapes 2, 3 et 4
à l’organisateur.
Corde
Mots clés:
Angle
inscrit
Angle
au centre
1
0
.
1
L
e
s
a
n
g
l
e
s
d
a
n
s
u
n
c
e
r
c
l
e
• Des angles inscrits sous-tendus par
le même arc ou la même corde sont congruents.
• La mesure d’un angle au centre est égale au
double de la mesure d’un angle inscrit sous-tendu
par le même arc. Réciproquement. la mesure
d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure
d’un angle au centre sous-tendu par le même arc.
• La mesure d’un angle inscrit sous-tendu
par un diamètre est égale
à 90 degrés.
Concepts clés:
Arc
Tangente
Médiatrice
Comment utiliser ton organisateur
À mesure que tu avanceras dans ce chapitre, écris les
dé nitions des mots clés sous les volets à droite et à
gauche. Dans le livret du centre, il y a deux pages pour
chaque section du chapitre. Inscris les mots clés sur la
première page et donne des exemples sur la deuxième
page. Il y a aussi un cercle supplémentaire pour des
notes additionnelles.
Au verso de ton organisateur, dns la section « Ce que je
dois travailler », note les tâches que tu dois accomplir et
coche-les à mesure que tu les e ectues.
376 Chapitre 10
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Lien mathématique
La géométrie dans la conception graphique
Les architectes, les ingénieurs, les graphistes et beaucoup
d’artistes comptent sur leur compréhension des principes de
géométrie pour e ectuer leur travail.
Le cercle est une forme très importante pour les Autochtones.
La roue de médecine, qui sert de base aux enseignements
spirituels, prend souvent la forme d’un cercle fait de pierres.
Fais ces activités avec une ou un autre élève.
1. Sur une feuille de papier-calque, trace un cercle dont le
diamètre est au moins de 5 cm.
2. a) Plie la feuille de façon à ce que le cercle soit divisé en deux
parties égales. Déplie la feuille. Le long du pli, trace un
segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle.
b) Quel est le nom mathématique de ce segment de droite ?
3. a) Plie de nouveau le cercle en deux parties égales pour créer
un autre pli. Trace un segment de droite le long de ce
nouveau pli.
b) Quel est le nom mathématique de l’intersection des deux
segments de droite ?
4. a) Estime la mesure des quatre angles que tu as formés.
b) Mesure les angles avec un rapporteur. Ton estimation
était-elle juste ?
c) Quelle est la somme des mesures des quatre angles au centre ?
5. Un club environnemental veut utiliser ce
logo. Quel est le type de triangle utilisé dans
ce schéma ? Explique ta réponse. Comment
peux-tu réaliser ce logo ?
6. Dessine di érents polygones réguliers (avec
six côtés ou moins), à l’extérieur ou à l’intérieur du cercle, de
façon à ce que les côtés ou les sommets des polygones
touchent le cercle. Quelles di cultés as-tu éprouvées ?
7. Fais un remue-méninges pour trouver des entreprises qui
utilisent des formes circulaires dans leurs annonces publicitaires.
Dans ce chapitre, tu concevras le plan d’une œuvre artistique,
d’un logo ou d’une annonce publicitaire. Tu apprendras certaines
propriétés géométriques qui t’aideront à concevoir des dessins qui
comprennent des cercles.
Lien mathématique 377
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10.1
Madeleine, Jennifer et
Nicole vont tirer dans
un filet désert. Si leurs
tirs sont tous précis, qui
a la meilleure chance de
marquer un but ?
Objectifs
Après cette leçon,
tu pourras…
• décrire la relation
entre les angles
inscrits dans
un cercle ;
• décrire la relation
entre l’angle inscrit
et l’angle au centre
sous-tendus par
le même arc.
Les angles dans un cercle
Matériel
• compas ou géoplan
avec des élastiques
• rapporteur
• règle
corde
• segment de droite qui
joint deux points
d’un cercle
angle au centre
• angle formé par deux
rayons d’un cercle
angle inscrit
• angle formé par deux
cordes qui ont un point
commun sur le cercle
arc (de cercle)
• portion d’un cercle
Arc
angle
au centre
corde A
B
angle
inscrit
Explorer la relation entre les angles d’un cercle
1. Trace un grand cercle et nomme son centre C. DB
C
A
Trace une corde AB et un angle au centre BCA.
Mesure ∠BCA.
2. Construis un angle inscrit BDA. Quelle est la
mesure de ∠BDA ?
3. Quelle est la relation entre les angles BCA et BDA ?
4. Construis un deuxième angle inscrit BEA. Quelle est la mesure de ∠BEA ?
5. Choisis un point du cercle compris entre D et E. Construis un autre
angle inscrit de façon à ce que ses côtés passent par les extrémités de
l’ arc AB. Quelle est la mesure de cet angle inscrit ?
6. Répète les étapes 1 à 5 avec un cercle qui a un rayon différent du
précédent et trace une nouvelle corde AB.
Ré échis et véri e
7. a) Quelle est la relation entre un angle au centre et l’angle inscrit sous-
tendus par le même arc ?
b) Quelle est la relation entre tous les angles inscrits sous-tendus par le
même arc ?
8. Selon toi, quelle joueuse de hockey a la meilleure chance de marquer un
but dans un fi let désert ?
378 Chapitre 10
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