I Partie

CEA 16 Juin 2006
I Partie
On étudie un crédit immobilier portant sur 300 000€ remboursable par mensualités
constantes payables à terme échu.
Pour toutes les formules étudier on retient un taux mensuel de im = 0.35%
1°) Calculer la mensualité pour des remboursements en 15 ans, 20 ans et 25 ans
im = 0.35%
k=12
n= 15, 20, 25
Avec a = annuité, i = taux d’intérêt annuel, V0 =Valeur actuelle, n = nombre d’annuité
constantes versées en fin de période
𝑽𝟎 =
𝒂
𝒂
𝒂
𝒂
+
+
+
⋯
+
(𝟏 + 𝒊𝒎 ) (𝟏 + 𝒊𝒎 )𝟐 (𝟏 + 𝒊𝒎 )𝟑
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒏𝒌
Suite géométrique de raison 𝒒
𝑽𝟎× 𝒒 =
=
𝟏
(𝟏+𝒊)
𝒂
𝒂
𝒂
𝒂
+
+
+
⋯
+
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝟐 (𝟏 + 𝒊𝒎 )𝟑 (𝟏 + 𝒊𝒎 )𝟒
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒏∗𝒌+𝟏
𝟏
𝟏
−
𝑽𝟎 × (𝟏 − 𝒒)
(𝟏 + 𝒊𝒎 ) (𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒏∗𝒌+𝟏
=𝒂×
𝟏
(𝟏 − 𝒒)
𝟏−
(𝟏 + 𝒊𝒎 )
𝟏
𝟏
× [𝟏 −
]
𝑽𝟎 (𝟏 − 𝒒)
(𝟏 + 𝒊𝒎 )
(𝟏 + 𝒊)𝒏𝒌
=𝒂×
𝟏 + 𝒊𝒎 − 𝟏
(𝟏 − 𝒒)
(𝟏 + 𝒊𝒎 )
[𝟏 −
𝑽𝟎 = 𝒂 ×
𝟏
]
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒏∗𝒌
𝒊𝒎
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒏∗𝒌 − 𝟏
[
]
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒏∗𝒌
𝑽𝟎 = 𝒂 ×
𝒊𝒎
Calcul de l’annuité constante payable en fin de
période
𝒊𝒎
𝒂 = 𝑽𝟎 ×
𝟏
]
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒏𝒌
[𝟏 −
(1 + 𝒊𝒎 )nk
𝒂 = 𝑉0 × 𝒊𝒎 × [
]
(1 + 𝒊𝒎 )nk − 1
durée
capital initial
taux nominal
taux proportionnel
nombre de périodes
annuités constantes
périodicité constante
15
300000
4.20%
0.35%
12
27361.03
2249.25
20
300000
4.20%
0.35%
12
22467.23
1849.71
25
300000
4.20%
0.35%
12
19611.67
1616.83
2°) Pour chaque durée, 15 ans, 20 ans et 25 ans, Calcul le montant des
intérêts payés ainsi que le montant des intérêts payés au titre de la 10° année
de remboursement
Intérêts total payer IT pour l’emprunt
𝑛𝑘
𝑰𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒊𝒎 × ∑ 𝑉𝑝−1
𝑝=1
𝑛𝑘
𝑰𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒊𝒎 × 𝑉0 × ∑ [
(1 + 𝒊𝒎 )nk − (1 + 𝒊𝒎 )p−1
𝑝=1
𝑛𝑘
𝑰𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = ∑ [𝒊𝒎 × 𝑉0 ×
𝑝=1
(1 + 𝒊𝒎 )nk − 1
(1 + 𝒊𝒎 )nk
(1 + 𝒊𝒎 )nk − 1
− 𝒊 × 𝑉0 ×
]
(1 + 𝒊𝒎 )p−1
(1 + 𝒊𝒎 )nk − 1
]
Le paiement périodique s’écrit
(1 + 𝒊𝒎 )nk
𝒂 = 𝑉0 × 𝒊𝒎 × [
]
(1 + 𝒊𝒎 )n − 1
L’amortissement périodique de capital s’écrit
𝒓𝒑 = 𝑉0 × 𝒊𝒎 × [
(1 + 𝒊𝒎 )𝒑−𝟏
nk
(1 + 𝒊𝒎 )
−1
𝑛𝑘
𝑰𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = ∑(𝑎 − 𝑟𝑝 )
𝑝=1
𝑛𝑘
𝑰𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒏𝒂 − ∑ 𝑟𝑝
𝑝=1
𝑰𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑛𝑎 − 𝑉𝑂
durée
capital initial
taux nominal
taux proportionnel
nombre de périodes
annuités constantes
périodicité constante
Intéréts totaux
intérêts 10 année
15
300 000.00
4.20%
0.35%
12
27 361.03
2 249.25
104 865.19
5 594.39
20
25
300 000.00 300 000.00
4.20%
4.20%
0.35%
0.35%
12
12
22 467.23 19 611.67
1 849.71
1 616.83
143 930.93 185 048.09
7 928.36
9 288.79
]
Intérêts cumulé payer ITp pour l’emprunt après le p° paiement
𝑝
𝑰𝑻𝒑 = 𝒊𝒎 × ∑ 𝑉𝑗−1
𝑗=1
𝑝
𝑰𝑻𝒑
(1 + 𝒊)nk − (1 + 𝒊)j−1
= 𝒊𝒎 × 𝑉0 × ∑ [
]
(1 + 𝒊)nk − 1
𝑗=1
𝑝
𝑰𝑻𝒑
(1 + 𝒊𝒎 )nk
(1 + 𝒊𝒎 )j−1
= ∑ [𝒊𝒎 × 𝑉0 ×
− 𝒊𝒎 × 𝑉0 ×
]
(1 + 𝒊𝒎 )nk − 1
(1 + 𝒊𝒎 )nk − 1
𝑗=1
Le paiement périodique s’écrit
(1 + 𝒊𝒎 )nk
𝒂 = 𝑉0 × 𝒊𝒎 × [
]
(1 + 𝒊𝒎 )nk − 1
L’amortissement périodique de capital s’écrit
(1 + 𝒊𝒎 )𝒑−𝟏
𝒓𝒑 = 𝑉0 × 𝒊𝒎 × [
]
(1 + 𝒊𝒎 )nk − 1
𝑝
𝑰𝑻𝒑 = ∑(𝑎 − 𝑟𝑗 )
𝑗=1
𝑝
𝑰𝑻 𝒑 = 𝒑𝒂 − ∑ 𝑟𝑗
𝑗=1
Calcul du capital remboursé Rp après le paiement du Pieme remboursement
𝒑
𝑹 𝒑 = ∑ 𝒓𝒋
𝒋=𝟏
𝒑−𝟏
𝑹𝒑 = ∑ 𝒓𝟏 × (𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒋
𝒋=𝟎
𝒒 = (𝟏 + 𝒊)
𝒑
𝑹𝒑 × 𝒒 = 𝒓𝟏 ∑(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒋
𝒋=𝟏
𝑹𝒑 × (𝟏 − 𝒒)
1 − (1 + 𝒊𝒎 )𝑝
1 − (1 + 𝒊𝒎 )𝑝
= 𝑟1
= 𝑟1
𝟏−𝒒
1 − (1 + 𝒊𝒎 )
−𝒊
𝑹𝒑 = 𝑟1
(1 + 𝒊𝒎 )𝑝 − 1
𝒊𝒎
𝑉0 × 𝒊𝒎
𝒓𝟏 = [
]
(1 + 𝒊𝒎 )n − 1
𝒊𝒎
(1 + 𝒊𝒎 )p − 1
𝑹𝒑 = 𝑉0 × [
]×[
]
𝒊𝒎
(1 + 𝒊𝒎 )nk − 1
(1 + 𝒊𝒎 )𝒑 − 1
𝑹𝒑 = 𝑉0 × [
]
(1 + 𝒊𝒎 )nk − 1
(1 + 𝒊𝒎 )𝒑 − 1
𝑰𝑻𝒑 = 𝒑𝒂 − 𝑉0 × [
]
(1 + 𝒊𝒎 )nk − 1
𝑰𝑻𝒑 = 𝒑𝒂 − 𝑹𝒑
𝑰𝟏𝟎 = 𝑰𝑻𝟏𝟎 − 𝑰𝑻𝟗
durée
capital initial
taux nominal
taux proportionnel
nombre de périodes
annuités constantes
périodicité constante
Intéréts totaux
intérêts 10 année
IT9
15
300 000.00
4.20%
0.35%
12
27 361.03
2 249.25
104 865.19
5 594.39
85 851.44
20
25
300 000.00 300 000.00
4.20%
4.20%
0.35%
0.35%
12
12
22 467.23 19 611.67
1 849.71
1 616.83
143 930.93 185 048.09
7 928.36
9 288.79
95 029.44 100 379.15
IT10
91 445.83
102 957.79 109 667.95
3°) Pour une durée de 25 ans l’on souhaite introduire une progression de z% annuel des
mensualités (qui reste constante chaque année, m1 pour l’année 1, m2 pour l’année 2 avec
m2 = m1 x (1+z)).
Calculer z pour que la mensualité m1 soit de l’ordre de 1000€
Annuité certaine payable à terme échu 𝒂𝒏 ¬
Valeur actuelle 𝑎𝑛 ¬ d’une annuité certaine de montant unité, payable à terme échu
𝑎𝑛 ¬=
1
1
1
1
+
+
+
⋯
.
+
(1 + 𝑖) (1 + 𝑖)2 (1 + 𝑖)2
(1 + 𝑖)𝑛
On pose
1
𝑣 = (1+𝑖) facteur d’actualisation
𝑎𝑛 ¬= 𝑣 + 𝑣 2 + 𝑣 3 + ⋯ . +𝑣 𝑛
𝑎𝑛 ¬= 𝑣(1 + 𝑣 + 𝑣 2 + ⋯ . +𝑣 𝑛−1 )
1 + 𝑣 + 𝑣 2 + ⋯ . +𝑣 𝑛−1
suite géométrique de raison v et de premier terme 1
𝑣(1 − 𝑣 𝑛 )
𝑎𝑛 ¬=
1−𝑣
1 − 𝑣𝑛
𝑎𝑛 ¬=
𝑖
Supposons que l’année est divisée en k sous périodes de durée = 1/K. Avec une périodicité
mensuelle k=12. A la fin de chaque sous période, l’intérêt est capitalisé c'est-à-dire intégré
au capital. Si i est le taux le taux d’intérêt annuel, ip est le taux périodique i fractionné en k
sous périodes ie est alors le taux équivalent annuel au taux périodique
Pour i=4.20%, k=12 mois
𝑖𝑝 =
𝑖
𝑘
𝑖𝑝 = 0.35%
𝑘
(1 + 𝑖𝑝 ) − 1 = 𝑖𝑒
𝑖𝑒𝑎 = (1 + 0.35%)12 − 1 = 4.2818%
Cette relation traduit l’équivalence entre les deux modes de capitalisation mensuelle et
annuelle.
1
𝑖𝑝 = (1 + 𝑖𝑒𝑎 )𝑘 − 1
La valeur atteinte a l’échéance de n=12 mois d’un paiement de 1 par mois
𝑛
𝑆𝑛 ¬= ∑(1 + 𝑖𝑝 )
𝑛−𝑡
𝑡=1
1
2
𝑆𝑛 ¬= 1 + (1 + 𝑖𝑝 ) + (1 + 𝑖𝑝 ) + ⋯ + (1 + 𝑖𝑝 )
𝑛−1
𝑞 = (1 + 𝑖𝑝 )
2
3
𝑞 𝑆𝑛 ¬= (1 + 𝑖𝑝 ) + (1 + 𝑖𝑝 ) + (1 + 𝑖𝑝 ) + ⋯ + (1 + 𝑖𝑝 )
𝑛
𝑛
(1 − 𝑞) 𝑆𝑛 ¬ 1 − (1 + 𝑖𝑝 )
=
1−𝑞
1 − (1 + 𝑖𝑝 )
𝑛
𝑛
1 − (1 + 𝑖𝑝 )
(1 + 𝑖𝑝 ) − 1
𝑆𝑛 ¬=
=
−𝑖𝑝
𝑖𝑝
𝑛
(1 + 𝑖𝑝 ) − 1
𝑆𝑛 ¬=
𝑖𝑝
(1 + 0.35%)12 − 1
𝑆𝑛 ¬=
= 12.23371
0.35%
En notant
a le versement périodique (mensualité, annuité, trimestrialité, semestrialité)
K=12 le nombre de versement par annuité
𝒂 𝟏 = 𝑽𝟎 ×
(𝒊𝒆𝒂 − 𝒛)
(𝟏 + 𝒛)𝒏
𝟏−
(𝟏 + 𝒊𝒆𝒂 )𝒏
(𝒊𝒆𝒂 − 𝒛)(𝟏 + 𝒊𝒆𝒂 )𝒏
𝒂 𝟏 = 𝑽𝟎 ×
(𝟏 + 𝒊𝒆𝒂 )𝒏 − (𝟏 + 𝒛)𝒏
𝒂𝟏 = 12244.93
𝒂𝟏𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒆𝒍 = 𝑚1 /𝑆𝑛 ¬= 1000.916
𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒛 = 𝟒. 𝟒𝟕%
Calculer m25
𝒂𝟐𝟓 = 𝒂𝟏 ∗ (𝟏 + 𝒛)𝒏−𝟏
𝒂𝟐𝟓 = 12244.93 ∗ (1 + 4.47%)^24 = 𝟑𝟒𝟗𝟕𝟑. 𝟕𝟑𝟕
𝒂𝟐𝟓 = 12244.93 ∗ (1 + 4.47%)^24 = 𝟑𝟒𝟗𝟕𝟑. 𝟕𝟑𝟕
𝒂𝟐𝟓𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒆𝒍 = 𝒂𝟐𝟓 /𝑆𝑛 ¬= 𝟐𝟖𝟓𝟖. 𝟖𝟖
Calculer le montant total des intérêts payés.
La première année la somme des mensualités est de
𝑝𝑎𝑖𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑎𝑛𝑛é𝑒 1 = 12 ×
𝑝𝑎𝑖𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑎𝑛𝑛é𝑒 𝑡 = 12 ×
𝑰𝑻 = 𝟏𝟐 ×
𝒂𝟏
𝑺𝒏 ¬
𝑎1
𝑆𝑛 ¬
𝑎1
× (1 + 𝑧)𝑡−1
𝑆𝑛 ¬
𝒏−𝟏
× ∑(𝟏 + 𝒛)𝒕 − 𝑽𝟎
𝒕=𝟎
𝒏−𝟏
𝟏 − (𝟏 + 𝒛)𝒕+𝟏 (𝟏 + 𝒛)𝒏 − 𝟏
∑(𝟏 + 𝒛) =
=
𝟏 − (𝟏 + 𝒛)
𝒛
𝒕
𝒕=𝟎
(𝟏 + 𝒛)𝒏 − 𝟏
𝑰𝑻 = 12 ×
×
− 𝑉0
𝑆𝑛 ¬
𝒛
𝑎1
𝑽𝟎 ×
𝑰𝑻 = 12 ×
(𝒊𝒆𝒂 − 𝒛)
(𝟏 + 𝒛)𝒏
𝟏−
(𝟏 + 𝒊𝒆𝒂 )𝒏
𝑛
(1 + 𝑖𝑝 ) − 1
𝑖𝑝
(𝟏 + 𝒛)𝒏 − 𝟏
×
− 𝑉0
𝒛
𝑛
𝑖𝑒𝑎 = (1 + 𝑖𝑝 ) − 1
𝑽𝟎 ×
𝑰𝑻 = 12 ×
(𝒊𝒆𝒂 − 𝒛)
(𝟏 + 𝒛)𝒏
𝟏−
𝒏
(𝟏 + 𝒊𝒆𝒂 )𝒏 (𝟏 + 𝒛) − 𝟏
×
− 𝑉0
𝑖𝑒𝑎
𝒛
𝑖𝑝
(𝟏 + 𝒛)𝒏 − 𝟏
𝑰𝑻 = 𝑽𝟎 × [12 ×
×
×
− 1]
(𝟏 + 𝒛)𝒏
𝑖𝑒𝑎
𝒛
𝟏−
𝒏
(𝒊𝒆𝒂 − 𝒛)
𝑖𝑝
(𝟏 + 𝒊𝒆𝒂 )
1000.92
(1 + 4.47%)25 − 1
𝐼𝑇 = 12 ×
×
− 300 000
12,2337163
4.47%
𝐼𝑇 = 233 088,98
4°) L’on retient pour la suite la durée de 25 ans ainsi que des mensualités constantes sur
toute la durée. Après 10 ans de remboursement l’emprunteur souhaite réduire la durée de
son prêt d’une année.
-
-
De combien faut il majorer sa mensualité ?
Même question pour une réduction de 2 ans.
Etablir la formule générale permettant de calculer la majoration de la mensualité à
payer pendant 25-p-d années pour réduire la durée du prêt de d années après le
paiement dans les conditions initiale des mensualités d’origines pendant p années.
Application numérique : p=d=5, p=d=10.
n = 25
im = 0.35%
k=12
p = 10 *12
d = 1 *12
𝑽𝟎 =
𝒂𝒑𝒅
𝒂𝒑𝒅
𝒂
𝒂
𝒂
+
+.
.
+
+
+
⋯
+
(𝟏 + 𝒊𝒎 ) (𝟏 + 𝒊𝒎 )𝟐
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒑 (𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒑+𝟏
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒏𝒌−𝒅
Suite géométrique de raison 𝒒
𝑽𝟎× 𝒒 =
=
𝟏
(𝟏+𝒊)
𝒂𝒑𝒅
𝒂𝒑𝒅
𝒂
𝒂
𝒂
+
+.
.
+
+
…
+
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝟐 (𝟏 + 𝒊𝒎 )𝟑
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒑+𝟏 (𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒑+𝟐
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒏𝒌−𝒅+𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
−
−
𝑽𝟎 × (𝟏 − 𝒒)
(𝟏 + 𝒊𝒎 ) (𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒑+𝟏
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒑+𝟏 (𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒏∗𝒌−𝒅+𝟏
=𝒂×
+ 𝒂𝒑𝒅 ×
𝟏
𝟏
(𝟏 − 𝒒)
𝟏−
𝟏−
(𝟏 + 𝒊𝒎 )
(𝟏 + 𝒊𝒎 )
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
×[
−
×
−
[𝟏
]
𝒑
𝒑
𝑽𝟎 (𝟏 − 𝒒)
(𝟏 + 𝒊𝒎 )
(𝟏 + 𝒊𝒎 )
(𝟏 + 𝒊𝒎 )
(𝟏 + 𝒊)
(𝟏 + 𝒊)𝒏𝒌−
=𝒂×
+ 𝒂𝒑𝒅 ×
𝟏 + 𝒊𝒎 − 𝟏
𝟏 + 𝒊𝒎 − 𝟏
(𝟏 − 𝒒)
(𝟏 + 𝒊𝒎 )
(𝟏 + 𝒊𝒎 )
[𝟏 −
𝑽𝟎 = 𝒂 ×
𝟏
𝟏
𝟏
−
[
]
]
𝒑
𝒑
(𝟏 + 𝒊𝒎 )
(𝟏 + 𝒊𝒎 )
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒏∗𝒌−𝒅
+ 𝒂𝒑𝒅 ×
𝒊𝒎
𝒊𝒎
𝟏
𝟏
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒑 − 𝟏
−
[
]
[
]
𝒑
𝒑
(𝟏 + 𝒊𝒎 )
(𝟏 + 𝒊𝒎 )
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒏∗𝒌−𝒅
𝑽𝟎 = 𝒂 ×
+ 𝒂𝒑𝒅 ×
𝒊𝒎
𝒊𝒎
Calcul de l’annuité constante initiale payable en fin de période
𝒊𝒎
𝒂 = 𝑽𝟎 ×
[𝟏 −
𝟏
]
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒏𝒌
(1 + 𝒊𝒎 )nk
𝒂 = 𝑉0 × 𝒊𝒎 × [
]
(1 + 𝒊𝒎 )nk − 1
𝒂 = 1616.83
𝒂𝒑𝒅
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒑 − 𝟏
𝑽𝟎 × 𝒊𝒎 − 𝒂 × [
]
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒑
=
𝟏
𝟏
−
[
]
𝒑
(𝟏 + 𝒊𝒎 )
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒏∗𝒌−𝒅
𝒂𝟏𝟎/𝟏 = 𝟏 𝟔𝟗𝟗, 𝟗𝟔
𝒂𝟏𝟎/𝟐 = 𝟏 𝟕𝟗𝟔, 𝟐𝟖
𝒂𝟓/𝟓 = 𝟑 𝟗𝟗𝟎, 𝟗𝟗
𝒂𝟏𝟎/𝟏𝟎 = 𝟑 𝟗𝟗𝟎, 𝟗𝟗
𝒎𝒂𝒋𝒑𝒅 = 𝒂 − 𝒂𝒑𝒅
𝒎𝒂𝒋𝒑𝒅
(1 + 𝒊𝒎 )nk − 1
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒑 − 𝟏
−
[
]
(1 + 𝒊𝒎
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒑
(1 + 𝒊𝒎 )nk
= (𝑽𝟎 × 𝒊𝒎 ) [
−𝟏
]
𝟏
𝟏
(1 + 𝒊𝒎 )nk − 1
[
]
𝒑−
(𝟏 + 𝒊𝒎 )𝒏∗𝒌−𝒅
[ (𝟏 + 𝒊𝒎 )
]
)nk
Initial
p
d
durée
capital initial
taux nominal
taux proportionnel
nombre de périodes
périodicité constante
majoration
Intérêts totaux
intérêts p années
Intérêts totaux n-d
0
0
25
300 000.00
4.20%
0.35%
12
1 616.83
179 215.62
179 215.62
p=10 D=1
p=10 d=2
p=d=5
10
10
5
1
2
5
14
13
15
215 648.71 215 648.71 262 228.95
4.20%
4.20%
4.20%
0.35%
0.35%
0.35%
12
12
12
1 699.96
1 796.28
1 966.06
83.14
179.45
349.24
69 944.98 64 570.98 91 662.29
109 667.95 109 667.95 59 238.57
179 612.93 174 238.92 150 900.86
p=d=10
10
10
5
215 648.71
4.20%
0.35%
12
3 990.99
2 374.17
23 810.83
109 667.95
133 478.77