chap-8_vecteurs

Géométrie vectorielle
I- Translation et notion de vecteur :
1) Vocabulaire
- Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu’elles ont la même direction (on peut
nommer
indifféremment (AB) ou (BA) une droite passant par les points A et B)
- Il y a deux sens de parcours sur une droite : de A vers ….. ou bien de ….. vers …..
Activité :
Sur le dessin ci-dessous, on peut observer un téléphérique en pleine ascension. Il va ainsi
passer de
la position 1 à la position 2 , en se déplaçant dans la direction du câble qui le soutient, dans
le sens qui le
fera monter et de la distance qui sépare les deux positions.
On peut donc considérer que la position 2 constitue une image de la position 1 après un
certain temps.
En fait, c’est comme si nous avions fait « glisser » la cabine.
Le glissement a été effectué :
- dans la direction de la droite ….
- dans le sens …………...., que l’on indique par la flèche
- d’une longueur égale à …………
On dit que le dessin en position 2 est l’image du dessin en position 1 par la translation
qui
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
transforme A en B ou, autrement dit, par la translation de vecteur 𝑨𝑩
Cette translation transforme le point C en le point……
Quelle conjecture pouvez-vous émettre quant à la nature du quadrilatère ABDC ?
…………………………………………………………………………………………………
…..
1
2) Translation :
Définitions : A et B sont deux points du plan.
- A tout point M du plan, on associe par la translation qui
transforme A en B, un unique point M’ tel que [AM’] et [BM]
ont le même milieu.
On dit que M’ est l’image de M par la translation qui transforme
A en B.
- La translation qui transforme A en B est alors appelée translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵. On dit
alors que M’ est l’image du point M par la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵.
3) Vecteur :
y
Définition :
3
Si D est l’image de C par la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 alors
2
⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ sont égaux.
on dit que les vecteurs 𝐴𝐵
1
On note ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷.
0
CD
C
A
1
B
AB
2
D
3
4
5
6
Propriété (admise) : ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement
aplati.
y
Vocabulaire :
5
Si la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 transforme C en D et
4
aussi E en F, alors on a : ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 = Error!
E
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ et Error! sont des
On dit que les vecteurs 𝐴𝐵
3
représentants d’un même vecteur que l’on peut
2
également nommer Error! par exemple (on n’est pas
A
obligé de donner un nom aux points extrêmes du
1
vecteur).
Un vecteur Error! a donc une infinité de représentants
0
1
dans le plan.
Exemple 1 :
La figure est constituée de parallélogrammes.
1) Donner trois vecteurs égaux à :
…………………………………………………………………
………….
2) Compléter : Error! = Error! = Error!.
3) Donner le représentant d’origine D du vecteur Error! :
………………….
4) Donner le représentant d’extrémité C du vecteur Error! :
……………….
x
u
u
F
u
C
B
u
2
3
D
4
5
6
7
8 x
2
Exemple 2 :
C
E
B
A
D
F
1) Construire D’, image de D par la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 et E’, image de E par la
translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵.
2) Construire les points G et F’, images respectives de D et F par la translation de vecteur
Error!.
Propriété : Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si AI  IB
Exercices :
4) Vecteurs particuliers :
u
- Le vecteur nul, noté Error!, est le vecteur Error!, Error!, Error!, … (l’origine et l’extrémité
E
F
du vecteur sont confondues : « on ne se déplace
pasudans le plan.
»)
On a : Error! = Error! = Error! = Error! = …
u
C
D
⃗⃗⃗⃗⃗ est le vecteur associé à la translation qui transforme B en A ; on le
- L’opposé du vecteur 𝐴𝐵
note − Error! ou Error!.
y
A
B
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
AB
On a : −𝐴𝐵 = 𝐵𝐴
1
Exemple :
0
La figure est constituée de
parallélogrammes.
1) Donner trois vecteurs opposés au
vecteur Error! :
………………………………………
……………………………...........
2) Compléter : − Error! = ….. =
Error! = Error!
Error! = Error! = … =
Error!.
1
2
3
4
5
x
Exercices :
II- Addition de vecteurs :
3
1) Définition :
u et v désignent deux vecteurs et A un point.
Si la translation de vecteur u associe à A le point B et si
la translation de vecteur v associe à B le point C alors
la translation qui transforme A en C est dite translation
de vecteur u  v .
La somme des deux vecteurs u et v est donc le vecteur associé à la translation résultant de
l’enchaînement des translations de vecteur u et de vecteur v . On note ce vecteur u  v .
2) Construction :
Relation de Chasles : Quelques soient les points A, B et C : AB +
BC = AC
En pratique :
On dispose bout à bout le représentant Error! de Error!
et le représentant Error! de Error!

u
Propriété
:





 
Si u  AB et v  AC , alors u  v  AD où ABDC parallélogramme.
 
u v

v
En pratique : pour construire la somme u  v , on représente Error! et Error! à partir
du même point origine A.
Si Error! = Error! et Error! = Error! alors on construit le parallélogramme de côtés [AB]
et [AC]. Error!+Error!= Error! où [AD] est la diagonale de ABDC.
y
Exemple 1 :
1) Construire le représentant
10
d’origine A du vecteur
Error! +
Error!.
9
2) Construire un représentant du
vecteur Error! + Error!.
8
3) Construire le point M tel que
7
Error! = Error! + Error!.
4) Construire le point N tel que
6
Error! = Error!+ Error!.
5) Construire le point P tel que
5
Error! = Error! + Error!.
6) Construire le point R tel que 4
Error! = Error! + Error!.
7) Construire le point S tel que 3
Error! = Error! + Error!.
8) a) Construire le point T tel que2
Error! = Error! + Error!.
1
b) Justifier que ATBC est un
0
B
C
A
u
v
t
w
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4
12x
parallélogramme.
Exemple 2 :
ABCD est un rectangle de centre I.
1) Construire le représentant
d’origine
C
du
vecteur
u  AB  CI  BC .
2) Démontrer que u  AI
Exemple 3 :
1) Compléter :
IJ  IB  B...
CD  ... A  A...
AB  CD  BC  ......
MN  ...P  ......
...E  F ...  G...
H ...  ......  IJ
AB  ...C  ...D  ......
2) Simplifier l’écriture des vecteurs suivants :
u  AC  CA  CB
v  AB  AC  DC
w  AB  BC  CA
x  AB  AC  BC  BA
Exemple 4 : A, B, C et O sont quatre points du plan. Les points E et F sont définis par
OE  OA  OB et OF  OB  OC .
1) Faire une figure.
2) Démontrer que AEFC est un parallélogramme.
3) Différence de deux vecteurs :
Définition :
La différence des vecteurs Error! et Error! est le vecteur noté
du vecteur Error! et de l’opposé du vecteur Error! : Error! −
Error! est l’opposé du vecteur Error!.
C
y
D :
Exemple
Construire le vecteur
2
Error! − Error!.
1
u
Error!
Error!
=
−
; c’est la somme
+ (− Error!) où −
Error!
Error!
v
5
III- Coordonnées d’un vecteur dans un repère :
Soit (O; I, J) un repère du plan.
1) Définitions :

Le couple (xM ; yM) de coordonnées du point M est aussi le couple
de coordonnées du vecteur Error!. On note Error! (xM ; yM) ou
 xM 

 yM 
Error! 
les coordonnées d’un vecteur peuvent être écrites en ligne ou en
colonne
Pour différencier des coordonnées d’un point, les coordonnées
d’un vecteur seront notées verticalement.
xM est l’abscisse du vecteur Error! et yM est l’ordonnée du vecteur
Error!.

Les coordonnées d’un vecteur Error! sont les coordonnées du
point M tel que Error! = Error! : Si M (xM ; yM) alors Error! a
aussi pour coordonnées (xM ; yM).
x 
On note Error!  M  . xM est l’abscisse du vecteur Error!, yM est l’ordonnée du vecteur
 yM 
Error!.
Exemple 1 :
1) Dans le repère (O ; Error! ; Error!) ci contre, donner les
coordonnées des points O, I, J et M, des vecteurs Error!, Error!,
Error! , Error!, Error! et Error!.
M
u
j
O i
3) Tracer un représentant de chacun des vecteurs :
  1

3 
Error! 
0 
 .
  2
et Error! 
Exemple 2 :
6
Lire les coordonnées des vecteurs : AB , CD , EF et GH .
……………………………………………………………
……………………………………………………………
Exemple 3 :
On se place dans un repère orthonormé (O ; I,
J)
1) Placer les points A(−1 ; 2), B(3 ; 0) et C(0 ;
−3).
2) Placer les points D et E tels que Error! (2 ;
−1) et
Error! ( 
1
; 3,5)
2
3) Tracer un représentant des vecteurs Error! (3 ;
−2) et
Error!(2,5 ; 2)
4) Placer les points M et N tels que Error! =Error!
et Error! = -Error!.
2) Coordonnées d’un vecteur :
Théorème : Soient A (xA ; yA) et B (xB ; yB) deux points du plan. Les coordonnées du vecteur
 xB  xA 
Error! sont :
Error! 

 yB  y A 
Démonstration :
7
Exemples : Soient A(3 ; 2), B(−2 ; 4) et C(−1 ; −3). Calculer les coordonnées des vecteurs
Error!, Error! et Error!.
Exercices :
IV- Egalité de deux vecteurs :
Théorème (admis): Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes
coordonnées.
x  x '
x
 x'
En langage mathématique : u    v    
y  y'
 y
 y '
Exemples : On travaille dans un repère (O; I, J).
1) Soient A(3 ; −1) et Error!   2  . Calculer les coordonnées de B tel que Error! = Error!.
4 
2) Soient A(5 ; 6), B(−7 ; 1), C(5 ; −3) et D(−7 ; −8). Montrer que ABDC est un
parallélogramme.
8
3) Soient A(3 ; 2), B(−2 ; 4) et C(−1 ; −3). Déterminer les coordonnées du point D tel que
ABCD soit un parallélogramme.
Exercices :
3) Coordonnées :
Théorème : Soient
 x 
 x' 
u   et v   deux
 y
 y' 
vecteurs dans un repère (O ; I, J) du plan. Le vecteur
x  x' 
 .
 y  y' 
somme Error! + Error! a pour coordonnées : Error! + Error! 
Exemple : On se place dans un repère (O ; I, J).
1) Soit A(4 ; 2), B(−2 ; 3), C(1 ; −1) et D(−2 ; −2)
a) Placer ces points et construire le vecteur Error! + Error!.
b) Calculer les coordonnées de Error! + Error!. Vérifier graphiquement.
2) On considère les points E(−1 ; −2), F(3 ; −4) et G(4 ; 7).
a) Calculer les coordonnées du vecteur Error! + Error!.
b) En déduire les coordonnées du point H tel que EFHG est un parallélogramme.
Exercices :
Théorème :
Soient
 x 
 x' 
u   et v   deux
 y
 y' 
vecteurs dans un repère (O ; I, J) du plan. Le vecteur
x  x' 
 .
 y  y' 
différence Error! - Error! a pour coordonnées : Error! - Error! 
Exercices :
IV- Produit d’un vecteur par un nombre réel :
9
1) Construction :
Définitions
- Pour tout vecteur Error!, 0.Error! = Error!, et pour tout réel k, k.Error! = Error!.
- Soit Error! un vecteur non nul et k un réel non nul : le produit du vecteur Error! par le réel k
est le vecteur noté k Error!.
Exemple 1 :
Si k > 0 :
Si k < 0 :
u
u
D
D
v
v
A des vecteurs
B
C
Tracer un représentant
2Error!, Tracer
A
B
un représentant des
vecteurs
−Error!, −2
0
1
0
1
3Error!, Error! Error!
1
Error!, et − u
C
4
F
E
Exemple
2:
Construire les points A, B, C, D et E vérifiant :
IA  2u
1
JB   v
2
IC 
3
v
2
F
E
ID  2v  u
JE  u 
1
v
2
Exemple 3 :
A et B sont deux points distincts du plan. Construire dans chaque cas le point M tel que (faire
3 figures) :
3
4
a) AM  AB
b) MA  3AB
c) BM  AB
10
Règles de calcul :
k et k’ sont des réels, Error! et Error! sont des vecteurs :
 k (Error! + Error!) = k Error! + k Error!
(on peut "distribuer" k)
 (k + k’) Error! = k Error! + k’ Error!
(on peut "distribuer" Error!)
 k (k’ Error!) = (k k’) Error!
 k u  0  k  0 ou u  0 (règle du produit nul)
Exemple :
Soit u  2 AC  2CD  AD . Simplifier l’écriture de Error!.
2) Coordonnées :
Théorème : On se place dans un repère (O ; I, J) quelconque. Soient u   et k un réel
 y
kx
quelconque. Les coordonnées du vecteur produit kError! sont kError!  
x
 ky 
Exemple 1 :
 2Error! + 3Error! = (2 + 3)Error! = 5Error!
 -3  Error! = Error! Error! = -2Error!
 3 Error! = Error! équivaut à Error! = Error!, c’est à dire A = M.
Exemple 2 : On travaille dans un repère (O; I, J). On considère les points A (3 ; 2) et B (–2 ;
1).
Déterminer les coordonnées de M tel que AM  2 AB
11
Exercices :
V- Vecteurs colinéaires :
1) Notion de colinéarité :
Définition : On dit que les deux vecteurs Error! et Error! sont colinéaires s’il existe un réel k
tel que u = k v
(ou Error! = k Error!). Le réel k s’appelle coefficient de colinéarité.

u

v
Remarques :
- Deux vecteurs non nuls Error! et Error! sont colinéaires si et seulement si ils ont la même
direction.
- Par convention, on dit que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur Error!.
Exemples :
1) Si u = 2 v alors
1
3
Error!
Si v =  u alors
et Error! sont colinéaires.
Error!
et Error! sont colinéaires.
2) Soient Error! et Error! deux vecteurs du plan vérifiant −2 u + 3 Error! = 0 . Montrer que
Error! et Error! sont colinéaires.
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
3) Parmi les vecteurs suivants, déterminer ceux qui sont colinéaires et donner leur coefficient
de colinéarité.
…………………………………………………………………………………………………
………………
12
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
2
3
1
2
1
6
4) Soient u  2 BA  AC et v  BA  AC . Montrer que Error! et Error! sont colinéaires.
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
2) Coordonnées :
Théorème :
 x 
 x' 
u   et v  
 y
 y' 
sont colinéaires :
- si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
- si et seulement si xy’ - x’y = 0.
Exemple : Dans les différents cas, dire si les vecteurs Error! et Error! sont colinéaires :
2
6
c) u1  et v 2 
b) u 4  et v1 
a) u  et v 
  5
 
15 
 
1 
 4
 2
 
2 
 
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
3) Applications de la colinéarité :
a)
Pour montrer que deux droites sont parallèles :
Propriété : Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB et CD sont
colinéaires.
13
Exemple :
On considère les points A(−2 ; 0) B(4 ; 3) C(3 ; −2) D(1; –3), (AB) est-elle parallèle à
(CD) ?
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
b)
Pour montrer que trois points sont alignés :
Propriété : Les points A, B et C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires.
Remarque : on pourrait aussi choisir les vecteurs AB et BC , CA et CB , … : on forme deux
vecteurs à partir des 3 points A, B et C.
Exemple :
On considère les points E (−1; −2) F (3; 1) G (−3; −3,5) et H(5 ; 2)
1) Montrer que les points E, F et G sont alignés.
2) Les points E, F et H sont-ils alignés ?
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
14
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
…………………………………………………………………………………………………
………………
Exercices :
15
Exemple 1 :
1) Dans le repère (O ; Error! ; Error!) ci contre, donner les
coordonnées des points O, I, J et M, des vecteurs Error!, Error!,
Error! , Error!, Error! et Error!.
M
u
j
O i
2) Tracer un représentant de chacun des vecteurs :
Error!
  1
 et
3
 
Error! 
0 
  .
  2
Exemple 2 :
Lire les coordonnées des vecteurs : AB , CD , EF et GH .
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
Exercice : Démonstration du Théorème :
Soit (O; I, J) un repère du plan.
Soient A (xA ; yA) et B (xB ; yB) deux points du plan. Les coordonnées du vecteur
Error!
sont :
 xB  xA 

 yB  y A 
Error! 
16
17