chap-8_vecteurs

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Géométrie vectorielle
I- Translation et notion de vecteur :
1) Vocabulaire
- Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu’elles ont la même direction (on peut
nommer
indifféremment (AB) ou (BA) une droite passant par les points A et B)
- Il y a deux sens de parcours sur une droite : de A vers ….. ou bien de ….. vers …..
Activité :
Sur le dessin ci-dessous, on peut observer un téléphérique en pleine ascension. Il va ainsi
passer de
la position  à la position  , en se déplaçant dans la direction du câble qui le soutient, dans
le sens qui le
fera monter et de la distance qui sépare les deux positions.
On peut donc considérer que la position  constitue une image de la position  après un
certain temps.
En fait, c’est comme si nous avions fait « glisser » la cabine.
Le glissement a été effectué :
- dans la direction de la droite ….
- dans le sens …………...., que l’on indique par la flèche
- d’une longueur égale à …………
On dit que le dessin en position  est l’image du dessin en position   par la translation
qui
transforme A en B ou, autrement dit, par la translation de vecteur  .
Cette translation transforme le point C en le point……
Quelle conjecture pouvez-vous émettre quant à la nature du quadrilatère ABDC ?
…………………………………………………………………………………………………
…..

2
2) Translation :
Définitions : A et B sont deux points du plan.
- A tout point M du plan, on associe par la translation qui
transforme A en B, un unique point M’ tel que [AM’] et [BM]
ont le même milieu.
On dit que M’ est l’image de M par la translation qui transforme
A en B.
- La translation qui transforme A en B est alors appelée translation de vecteur  . On dit
alors que M’ est l’image du point M par la translation de vecteur  .
3) Vecteur :
Définition :
Si D est l’image de C par la translation de vecteur
alors
on dit que les vecteurs 
et 
sont égaux.
On note 
= 
.
Propriété (admise) :  =  équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement
aplati.
Vocabulaire :
Si la translation de vecteur 
transforme C en D et
aussi E en F, alors on a : 
= 
=
Error!
On dit que les vecteurs 
, 
et
Error!
sont des
représentants d’un même vecteur que l’on peut
également nommer
Error!
par exemple (on n’est pas
obligé de donner un nom aux points extrêmes du
vecteur).
Un vecteur
Error!
a donc une infinité de représentants
dans le plan.
Exemple 1 :
La figure est constituée de parallélogrammes.
1) Donner trois vecteurs égaux à :
…………………………………………………………………
………….
2) Compléter :
Error!
=
Error!
=
Error!
.
3) Donner le représentant d’origine D du vecteur
Error!
:
………………….
4) Donner le représentant d’extrémité C du vecteur
Error!
:
……………….
2 3 4 5 6
2
3
0 1
1
x
y
A B
DC
AB
CD
2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
0 1
1
x
y
A B
DC
u
u
E F
u
u

3
Exemple 2 :
1) Construire D’, image de D par la translation de vecteur  et E’, image de E par la
translation de vecteur  .
2) Construire les points G et F’, images respectives de D et F par la translation de vecteur
Error!
.
Propriété : Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si
IBAI 
Exercices :
4) Vecteurs particuliers :
- Le vecteur nul, noté
Error!
, est le vecteur
Error!
,
Error!
,
Error!
, … (l’origine et l’extrémité
du vecteur sont confondues : « on ne se déplace pas dans le plan. »)
On a :
Error!
=
Error!
=
Error!
=
Error!
= …
- L’opposé du vecteur  est le vecteur associé à la translation qui transforme B en A ; on le
note −
Error!
ou
Error!
.
On a : − = 
Exemple :
La figure est constituée de
parallélogrammes.
1) Donner trois vecteurs opposés au
vecteur Error! :
………………………………………
……………………………...........
2) Compléter : − Error! = ….. =
Error! = Error!
Error! = Error! = … =
Error!.
Exercices :
II- Addition de vecteurs :
A
B
C
D
E
F
2 3 4 50 1
1
x
yA B
DC
AB
u
E F
u
u

4
1) Définition :
u
et
v
désignent deux vecteurs et A un point.
Si la translation de vecteur
u
associe à A le point B et si
la translation de vecteur
v
associe à B le point C alors
la translation qui transforme A en C est dite translation
de vecteur
vu 
.
La somme des deux vecteurs
u
et
v
est donc le vecteur associé à la translation résultant de
l’enchaînement des translations de vecteur
u
et de vecteur
v
. On note ce vecteur
vu 
.
2) Construction :
Relation de Chasles : Quelques soient les points A, B et C :
AB
+
BC
=
AC
En pratique :
On dispose bout à bout le représentant
Error!
de
Error!
et le représentant
Error!
de
Error!
Propriété :
Si
BAu 
et
CAv 
, alors
DAvu 
où ABDC parallélogramme.
En pratique : pour construire la somme
vu 
, on représente
Error!
et
Error!
à partir
du même point origine A.
Si
Error!
=
Error!
et
Error!
=
Error!
alors on construit le parallélogramme de côtés [AB]
et [AC].
Error!
+
Error!
=
Error!
où [AD] est la diagonale de ABDC.
Exemple 1 :
1) Construire le représentant
d’origine A du vecteur Error! +
Error!.
2) Construire un représentant du
vecteur Error! + Error!.
3) Construire le point M tel que
Error! = Error! + Error!.
4) Construire le point N tel que
Error! = Error!+ Error!.
5) Construire le point P tel que
Error! = Error! + Error!.
6) Construire le point R tel que
Error! = Error! + Error!.
7) Construire le point S tel que
Error! = Error! + Error!.
8) a) Construire le point T tel que
Error! = Error! + Error!.
b) Justifier que ATBC est un
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1
1
x
y
A
B
C
u
v
w
t
v
u
vu  

5
parallélogramme.
Exemple 2 :
ABCD est un rectangle de centre I.
1) Construire le représentant
d’origine C du vecteur
BCCIABu
.
2) Démontrer que
AIu
Exemple 3 :
1) Compléter :
..................
....................................
DCABBCCDAB
IJHGFEPMNAACDBIBIJ
2) Simplifier l’écriture des vecteurs suivants :
BABCACABx
CABCABw
DCACABv
CBCAACu
Exemple 4 : A, B, C et O sont quatre points du plan. Les points E et F sont définis par
OBOAOE 
et
OCOBOF 
.
1) Faire une figure.
2) Démontrer que AEFC est un parallélogramme.
3) Différence de deux vecteurs :
Définition :
La différence des vecteurs
Error!
et
Error!
est le vecteur noté
Error!
−
Error!
; c’est la somme
du vecteur
Error!
et de l’opposé du vecteur
Error!
:
Error!
−
Error!
=
Error!
+ (−
Error!
) où −
Error!
est l’opposé du vecteur
Error!
.
Exemple :
Construire le vecteur
Error!
−
Error!
.
2 3 4
2
0 1
1
x
y
u
A
B
C
D
v