2 – a

BEP du 05 juin 1998 MATHEMATIQUES SCIENCES (2h00)
Electrotechnique
MATHEMATIQUES
Exercice 1 : FONCTIONS NUMERIQUES (20 pts)
Le plan est rapporté au repère orthonormal (O, Ox, Oy) de la figure 1 de l’annexe 1.
Le couple (x ; y) désigne les coordonnées d’un point du plan.
Points
x
y
A
–4
–2
C
1
0,5
E
2
1
H
4
2
a) Placer, sur la figure 1 de l’annexe 1, les points A, C, E et H.
b) Ces points, alignés avec l’origine O du repère, appartiennent à une droite (D). Tracer cette
droite (D).
c) Soit F le point de la droite (D) ayant pour ordonnée 3. Déterminer graphiquement quelle
semble être son abscisse. (Laisser les traits de construction apparents).
d) Soit G le point de la droite (D) ayant pour abscisse – 5. Déterminer graphiquement quelle
semble être son ordonnée. (Laisser les traits de construction apparents).
1-
2-
La droite (D) est la représentation graphique d'une fonction f.
Indiquer si f est une fonction linéaire ou d’un autre type. Justifier la réponse.
3-
a) Justifier le fait que l’expression algébrique de la fonction f est f(x) = 0,5 x.
b) Vérifier, par calcul, la réponse donnée à la question 1-d).
4-
Déterminer graphiquement quelles semblent être les coordonnées des points d’intersection de la
courbe (C) et de la droite (D).
5-
La courbe (C) est la représentation graphique d’une fonction g de la variable x.
Parmi les 8 équations suivantes, se trouve une équation de la courbe (C).
Indiquez le numéro de cette équation et justifier le choix fait.
 : y= 2 x2
 : y = – Error!
 : y= 2x
 : y = 2x + 2
 : y= – 2 x2
 : y = Error!
 : y= – 2x
 : y= – 2x + 2
6-
Sur l’intervalle [ 1 ; 4 ], surligner l’arc de courbe représentant la fonction g.
En déduire si la fonction g semble croissante ou décroissante sur cet intervalle.
a) Vérifier que le nombre 2 est une solution de l’équation 0,5 x = Error!.
b) En utilisant les résultats de la question 4, indiquer pourquoi le nombre – 2 est l’autre solution
de l’équation 0,5 x = Error!.
7-
1/10
Exercice 2 : GÉOMÉTRIE : 20 points
Dans tout le problème l’unité de longueur est le centimètre, et l’unité
d'angle, le degré.
On considère le triangle ABC représenté ci-contre :
AB = 3 ; BC = 4 ; et AC = 5.
1Justifier, par calcul, que le triangle ABC est rectangle en B.
23-
Nommer l’hypoténuse du triangle ABC.

a) Choisir dans le formulaire, une relation permettant le calcul de la mesure  de l’angle ;A.
Recopier cette relation.
b) Utiliser la relation précédente pour calculer . Arrondir le résultat au dixième.
4Dans le triangle ABC, la hauteur issue de B coupe le côté [AC] en H. A l’aide du formulaire,
calculer la longueur BH.
 
5Le plan est rapporté au repère orthonormal ( O, ;i, ;j), d’unités graphiques 1 cm, de la figure 2
de l’annexe 2.

 
( x;y ) désigne les coordonnées d’un vecteur ;u dans le plan rapporté au repère ( O, ;i, ;j).
Représenter sur la figure 2 de l'annexe 2 :

- le vecteur ; OM ( 3;0 ),

- le vecteur ; MM ( 0;4 ).



6a) Représenter le vecteur ;S, somme des vecteurs ; OM et ; MM.

b) Calculer les coordonnées de ;S.
7-
8-

a) Rechercher dans le formulaire, la relation permettant de calculer la norme d’un vecteur ;v
( x;y ).
Recopier cette relation.

b) Utiliser cette relation pour calculer la norme du vecteur ; OM2.


a) Déterminer la norme du vecteur ; OM puis celle du vecteur ;MM.
b) Comparer les longueurs des côtés du triangle OM1M2 à celles des côtés du triangle ABC.
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Exercice 3 : ÉNERGÉTIQUE : 12 points
Une plaque de cuisson électrique a les caractéristiques suivantes : (230 V ; 2000 W).
1-
Donner la signification de la caractéristique 2000 W.
2-
Calculer l’énergie W fournie par la plaque lorsqu’elle fonctionne pendant 3 minutes et 30
secondes.
3Cette plaque est utilisée pour élever la température d’un liquide contenu dans un récipient.
Sachant que les formes d'énergie et les modes de transfert de l’énergie peuvent être :
FORMES D'ÉNERGIE :
- énergie mécanique
- énergie chimique
- énergie thermique
- énergie nucléaire
MODES DE TRANSFERT DE L’ÉNERGIE :
- travail de forces
- courant électrique
- chaleur
Compléter la chaîne énergétique représentée figure 3 de l'annexe 3.
La quantité de chaleur Q reçue par un corps se calcule à l’aide de la relation :
Q = m c (2 – 1)
avec : 1 : température initiale ( en °C) ;
2 : température finale ( en °C) ;
c : capacité thermique massique ( en J.kg– 1.°C– 1) ;
m : masse du corps ( en kg ).
4-
Calculer la quantité de chaleur Q nécessaire pour élever la température d’un litre d'eau, de 20°C à 100°C.
Données :
- 1 litre d’eau a une masse de 1 kg.
- la capacité thermique massique de l’eau est 4180 J.kg– 1.°C– 1.
5-
Sachant que le rendement énergétique  est définie par :  = Error!, calculer  , arrondir le
résultat au centième.
6-
Justifier, à l’aide d'une phrase, que le rendement  est strictement inférieur à 1.
Exercice 4 : STATIQUE : 14 points
1-
On suspend à un anneau A de masse négligeable, un corps de masse M.
Cet anneau est ensuite accroché à un dynamomètre D.
a) Calculer la valeur P du poids du corps de masse M sachant que M = 280 g
et que g = 10 N/kg
b) L’anneau A est à l’équilibre sous l’effet de deux forces :
- le poids du corps de masse M,
- la force exercée par le dynamomètre D.
Expliquer ce que représente la valeur numérique indiquée par le
dynamomètre, déterminer cette valeur.
3/10
2L’anneau A, auquel est suspendu le corps de masse M est
maintenant accroché à deux dynamomètres Dl et D2.

La force ;P exercée par le corps de masse M sur l’anneau A est verticale, dirigée vers le bas, de valeur 2,8
N.

La valeur F1 de la force ; F exercée par le dynamomètre D1 sur l’anneau A est égale à 1,4 N.

La direction de la force ; F forme un angle de 60° avec la verticale.

La direction de la force ; F2 forme un angle de 30° avec la verticale.
a) En utilisant la figure 4 de l'annexe 4 indiquant les directions des 3 forces s’exerçant sur


l’anneau A, représenter ;P et ; F (Échelle: 1 cm pour 0,5 N).
b) Sachant que l’anneau A est en équilibre, construire, à partir de O, sur la figure 5
de l’annexe 4, le dynamique des forces (somme vectorielle des forces) s’exerçant sur l’anneau A.

La direction de ;P y est déjà représentée.

c) Déterminer graphiquement la valeur F2 de la force ; F2 exercée par le dynamomètre D2
sur l’anneau A.
d) La figure obtenue après avoir tracé le dynamique des forces est un triangle rectangle.
Calculer F2, arrondir le résultat au dixième.
Exercice 5 : MOUVEMENT : 14 points
Le schéma ci-dessous représente une table à coussin d’air horizontale, munie d'un papier d'enregistrement
sur laquelle un mobile autoporteur peut tourner autour d’un pivot grâce à un fil non élastique.
Le dispositif expérimental est réglé de telle sorte que la durée T écoulée entre deux points successifs de
l’enregistrement est constante et égale à 40 millisecondes (T = 40 ms).
On pousse légèrement le mobile pour provoquer sa rotation.
On obtient l’enregistrement des points A0, A1, A2, A3 et A4 de la figure 6 de l’annexe 5. Ces points sont sur
un arc de cercle de centre O et de rayon R.
4/10
Un dispositif approprié libère alors le fil de son pivot, on obtient alors l’enregistrement des points B0, B1, B2,
B3 et B4 de la figure 6 de l’annexe 5. Ces points sont alignés.
1-
Mesurer sur l’enregistrement, figure 6 de l’annexe 5, le rayon R de l’arc de cercle sur lequel sont
situés les points A0, A1, A2, A3 et A4. Donner sa valeur en mètre.
2a) Tracer, sur la figure 6 de l’annexe 5, les rayons [ OA0 ], [ OA1], [ OA2 ], [ OA3 ] et [ OA4 ].




b) Mesurer à l’aide d’un rapporteur, les angles ; AOAl, ; AOA2, ; AOA3 et ; AOA4, puis
compléter le tableau 1 de l’annexe 5.
c) En déduire la nature du mouvement du mobile entre les points A0 et A4. Justifier la réponse.
Calculer, en radian par seconde, la vitesse angulaire  du mobile entre les points A0 et A4 ;
arrondir le résultat à l'unité.
On rappelle que 1° = Error! rad.
3-
4a) Mesurer, sur la figure 6 de l’annexe 5, la longueur des segments [ B0 B1 ], [ B1 B2 ], [B2 B3 ]
et [ B3 B4 ] puis compléter le tableau 2 de l’annexe 5.
b) En déduire la nature du mouvement du mobile entre les points B0 et B4. Justifier la réponse.
5-
Calculer en mètre par seconde la vitesse linéaire v du mobile entre les points B0 et B4.
6-
Vérifier à l’aide des résultats trouvés aux questions 1, 3 et 5 que v = R .
5/10
Annexe 1
y
10
Figure 1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
6/10
2
3
4
5
6
7
8
x
Annexe 2
Figure 2
y

j
O
x
i
7/10
Annexe 3
Figure 3
SECTEUR
E.D.F.
--------------------------
PLAQUE DE
CUISSON
--------------------------
--------------------------
RECIPIENT
LIQUIDE
--------------------------
ENERGIE
THERMIQUE
chaleur
MILIEU
AMBIANT
ENERGIE
THERMIQUE
8/10
chaleur
chaleur
Annexe 4
2 – a)
A
Figure 4
2 – b)
O
Figure 5
9/10
Annexe 5
Figure 6
Angles

; AOAl

; AOA2

; AOA3

; AOA4
Mesure
(en degré)
10/10
Segment [ B0 B1 [ B1 B2 [B2 B3 ] [ B3 B4 ]
]
]
Longueur
(en mm)