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Premiers Jumeaux et Syracuse … ?
On peut classer les premiers jumeaux en fonction des deux classes suivantes :
Classe A : 6k – 1 et classe B 6k +1, si on prend l’ensemble des premiers > 5 donc dans
Z/30Z, on peut classer ces deux classes en 4 catégories AA, BB, AB, et BA qui formeront
des transitions ; et ce qui permet de rester dans la logique du théorème de Dirichlet :
Soit a appartenant aux entiers naturels ={1,2,3,…n} , b entier tel que (a , b) = 1 ; a et b
premiers entre eux, alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme : a.k + b.
il est facile de montrer qu’il existe une infinité de transition modulo 6 des 4 catégories.
(« et de même qu’il existe l’algorithme p[6]. Soit Z/6Z, qui se paramètre avec deux couples
de premiers 5 et 7 »)
Preuve ; si il n’existait qu’un nombre fini de transition de type AB, il existerait alors dans un
tableau prévu à cet effet, montrant les transitions, que deux cas possible 1er cas à partir de
cette limite AB, il ne resterait que des transitions de type β = BB et :
2ème cas uniquement des transitions de type α = AA ; ce qui serait impossible en effet :
1er cas, il n’y aurait qu’un nombre fini de premiers de la classe A= 6k + 5 or (6 , 5) =1 le
théorème de Dirichlet serait contredit.
2ème cas, il n’y aurait qu’un nombre fini de premier de la classe B de la forme 6k + 1 ; or (6 ,
1) = 1 ; à nouveau Dirichlet serait contredit.
On peut conjecturer :
Si il existe une infinité de couple de premiers p et q, tel-que p =23[30] classe A et q =37[30],
classe B avec une différence q – p = 14, alors il existe une infinité de couples de premiers
jumeaux Pj, des classes A et B tel-que 11.13 ; 17.19 ; et 29.31 modulo 30 ; et à l’inverse, un
nombre fini de Pj implique un nombre fini de couple 23.37 [30].
[« De ceci, cela impliquerait une infinité de Pj dans les trois séries jumelles, car en effet il
suffit alors de contrôler ce qui se passerait dans un tableau prévu à cet effet par exemple la
série 23[30] en contrôlant uniquement l’absence de jumeaux des séries 11 et 13 par
exemple et 17,19 modulo 30. (« série = famille »)
L’algorithme p[30] montre que quelque soit une des 8 familles P[30], il y a autant de
premiers par famille et une infinité. Donc en remplaçant les composés par le dernier premier
P, jusqu’au prochain premier q, il est clair que cela nous donnerait à la limite X, uniquement
des transitions de types AA ou BB ce que l’on a montré impossible, dernière possibilité des
transitions de type AB.R c’est à dire Retournement si on considère que les AB se classe en
deux groupes les AB.J ; Jumelle, (Transition jumelle) ou Transition Retournement, c’est à
dire un produit au lieu d’un premier p ou q.
On regardera le tableau plus bas ; où des transitions ABr = 7, issue de la suite dn , tel-que dn +
7 = gn – gn+7 = 7, montrent qu’il s’agirait là, de deux suites disjointes ABj = 1 et ABr = 7
Le premier tableau est celui de la famille des premiers P = 23[30] . Dans ce tableau il suffit
alors de remplacer un couple de premiers jumeaux soit des séries 11 et 13[30] ou des séries 17
et 19 [30] en supposant qu’a la limite X il n’y ai plus de jumeaux !
Y aurait – il, pour autant une infinité de couples ABr : 23 et 37[30] ? Pour cela, il faudrait
qu’il existe plus de premiers dans ces deux Familles, que dans les séries jumelles. Les
formules actuelles qui calculent le densité du nombre de premiers jusqu’à X tiennent compte
justement de la présence des couples de jumeaux ou des couples d’ABr =7 , seraient-elles
toujours juste si à la limite X il n’y a plus de jumeaux ??? Un exemple dans le tableau de la
famille 23[30] montrera qu’il n’en est rien.
On peut même supposer, qu’à cette limite X, le nombre de premiers 11[30] est fini…
Il est facile de montrer alors, qu’il n’existe pas une infinité de premiers !
En effet il suffit de prendre l’exemple page 4, dans le tableau de la famille 23[30] au lieu de
11[30] ce qui revient au même, et de supposer qu’à la limite X ≥ cellule F.17 que toutes les
cellules sont composées, il est évident qu’elles n’ont pu être composées que par les facteurs
premier < F.17 ce qui implique que les 8 bases P[30] de 7 à 31 ne peuvent plus extraire de
nouveaux conjoints >31 et < ((F.17 / P) de 7 à 31) puisque la base P et son nouveau conjoint
marqueraient une cellule déjà composé, par conséquent le conjoint ne peut être premier, et il
est éliminé, conformément à l’algorithme ; pour qu’un conjoint soit premier, une des deux
conditions fasse, que la base P et le conjoint, arrivent dans une cellule vide !
Les 8 Familles P[30] sont par conséquent finies en nombre premier, ce qui est contradictoire,
il existe une infinité de premiers ! »]
Puis en dessous le tableau des classe A, B avec les transitions, la suite des entiers naturels,
et des premiers p et q ; avec la suite : d n+1 .
Cette suite se comporterait-elle comme la suite de Syracuse ? c’est à dire lorsque n tend
vers l’infini, et que les nombres premiers en font de même, la suite d n+1 ; redescend t’elle
toujours sur 1.. (où plus simplement y’a-t’il une infinité de 1.)?
*************************
[« Petit rappel sur Syracuse :
a) un entier K quelconque sur lequel on applique la formule de Syracuse,
3k+1 et on divise par 2 ; jusqu’à ce que l’on arrive sur 1soit 4.2.1
b) ou un entier k, qui par itération, coupe la suite formée par C.n, ou qui
arrive sur cette suite formée par K ce qui est équivalent
Cette deuxième méthode montre que C est obligatoirement fini en nombre
d’éléments ! la longueur de sa suite ou vol se termine sur C.n ; ‘c’ est à dire
coupe C.n tel que(3k+1)/2 = C.13 ou C.23,53 et non sur 1 !
de par ce constat, C.n est une suite Finie, vérifiant Syracuse qui commence
avec le premier K appartenant à Z/6Z, si la conjecture est vraie, c’est à dire
redescend sur 1.
(« De longueur indéterminée et : infinie, si S est vrai c’est à dire constituée de
plusieurs C.n+1 misent au bout de C.n, qui ont vérifiée Syracuse. Pour les
formules permettant de construire des suite C.N»)
Il n’y a donc que 4 cas possibles pour atteindre 5 ou 1 en réitérant la formule:
Première possibilité ; on tombe directement sur une de ces deux suites 2n ou
20m, tel que:
3k+1 = 2n , exemple : (3*5) + 1 = 16 = 2n….(3(5*17)) +1 = 256 = 162..etc
3k+1 = 20m, exemple : (3*213) +1 = 640 ; 320,160 ,80,40,20,10 et 5 = 20*2n
Deuxième possibilité, on coupe une de ces deux suites, ce qui revient à dire
que l’on arrive sur une de ces deux suites C.13 ou C.23 appartenant aux
ensembles Z/6Z ou Z/30Z ce qui revient au même.
3k+1 = C.13 tel que (13*3)+1 = 40 ;20 ;10 ;5 puis 4.2.1
3k+1 = C.23 tel que (23*3) +1 = 35,53,160..20,10 ;5 puis 4.2.1
Note :
Les deux séries ≡ 13 et 23 [30] vont représenter l’ensemble Z/30Z, de la forme
3k+1 et 3k-1 . Ce qui donnera, 4 familles ≡ 2[3] et 4 familles ≡ 1[3]. » ]
On constate que la conjecture de Syracuse se termine sur une des deux familles P[30] dans
Z/30Z la famille 13[30] et 23[30]. Voilà pour Syracuse.
**************************************
Transitions modulo 6 il y en a obligatoirement 4, de type : AA, AB, BA et BB
Les Transitions AB.j sont toujours précédées par deux entiers des familles 1 et 7 [30]
Il est alors curieux de constater, que 7 fait parti de la suite C.n 13[30] ; et 31 de la suite C.n
23[30]
En définitive on retrouve à peu près le même comportement de ces deux conjectures. Ne
serait-ce qu’une coïncidence ?
Ci dessous le tableau de l’algorithme P[30] pour la famille 23[30], uniquement pour regarder
le début du comportement des deux familles jumelles 11et 13 ainsi que 17 et 19 modulo 30,
dans cette Famille 23[30], où ces deux couples de bases, feront apparaître les couples de
jumeaux dans la colonne E uniquement. Les cellules vident sont des nombres Premiers bien
entendu.
Bases de l’algorithme pour la Famille, 23[30] : 11.13 ; 7. 29 ; 17.19 et 23 . 31 positionnées
dans leurs cellules respectives de départ, pour exécuter l’algorithme 23 [30].
Je suppose qu’a partir d’une certains limite il n’existe plus de premiers ABj = 1 des familles
11 et 13[30] pour n’en restait qu’a ces deux familles. Il suffit de remplacer soit un premier =
11[30] ou 13[30] par un produit 11[30] ou 13[30]. On prend 11[30] soit (« deux premiers »)
de la valeur de la racine carrée du produit = 11[30] , c’est très bien, cela donnerait deux
facteurs P des familles 7*23 mod 30 = un produit 11[30]. A première vue cela pourrait
donner un nouveau couple ABr = 7 supplémentaire, à la place du couple ABj =1 (« 11 et
13[30] »).
Mais voilà, la répartition des premiers est bien faite, il est évident que les formules actuelles
qui en calculent la densité sont « à peu près justes ». Et bien au lieu d’avoir un couple d’ABr
=7 en supplément c’est tout à fait le contraire qui se produirait, car ces deux facteurs
supprimeraient autant de cellules premières 23[30] et beaucoup plus, que la simple disparition
du couple ABj = 1 = (11 et 13[30] ) et ces formules qui calculent le nombre de premiers
jusqu’à X, seraient fausses, car elle ont été calculée en fonction des couples de premiers qui
existent, ayant 2n de différence et ce que 2n = 2 ou 14…!
Exemple tableau ci dessous ligne 17 cellule F ; je remplace 71 qui est supposé un produit,
limite à laquelle je n’ai plus de jumeaux 11 et 13 modulo 30 , donc j’ai deux facteurs P < 71
j’ai pris comme exemple 8 et 9 les deux plus près de la racine carrée de 71, marqué en jaune ;
il est évident que ces deux facteurs m’auraient marqué en jaune (******)les cellules
composées de la famille 23 [30] ; donc qui suppriment des premiers dans cette famille, d’où
moins de couples ABr = 7….. !
Les formules calculant le nombre de premiers dans cette famille, jusqu’à cette limite, seraient
aussi fausses…. Et je n’ai pris que 71, (« plus loin je prends cet exemple, et plus cela est
catastrophique. »).
En prenant les deux couples ABj des deux familles jumelles : 11,13[30] et 17,19[30] dans la
série 23[30] il ne resterait plus de premiers ou du moins très- très dur de trouver un couple
ABr =7 de la suite dn+7..... D’autant plus que chaque cellule marquée****** ferait à son tour
partir deux facteurs P et non un seul, représenté par 8 ou 9 dans cet exemple ; c’est à dire (8
X) = ****** et (9 Y) = ******.
71 et 73 se positionnent cellule E, ligne 29.
(« 71*73 = 5183 ; 5183 – 23 = 5160 et 5160/30 = 172 cellules, soit (29 *6) – 2 . »).
A
B
C
D
E
1
P = 23
11 * 13 ab
2
7 * 29
17 * 19 ab
3
7*59
11.43
4
7.89
5
11.73
6
7.17
11 .103
***********
8
13.101
17.79
10
31.53
19.47
7.149 ,ba 29.37
7
11.7.19
13 .41
23 * 31
13.71
9
F
7.179
***********
23.61 ab.r ***********
***********
7.239
13.131
11
17.109
7.269
12
19.107
***********
41 .43 ab 11.163
29.67 ab.r **********
7.13.23
11.193abr
13
**********
***********
7.47 ba
14
17.139
***********
13.191ba ***********
**********
15
*
16
19.137
*********** ***********
17
41 . 73
43 .(71)8,9
18
19
17.199abr
20
7.509 ba
21
19.197ba
22
23
11.373abr
24
25
41.103
43.101
26
27
28
***********
7.
29
71.73
Classe A = p[30] : 11 ; 17 ; 23 ; 29 ; classe B = p[30] : 7 ; 13 ; 19 ; 31
Construction des colonnes du tableau ci dessous :
gn = p² - 3pn + 2n² = (p - n)(p – 2n) d’où p – n > 0 et p – 2n < 0
et par construction on a gn ≤ 0 (« réf théorème de Bertrand, p – n > 0 vu que p – 2n ≤ 0 ») en
introduisant la différence [ dn+1 = gn – g n+1 ] on a alors :
gn = p² -3pn + 2n² ; et : gn+1 = q² -3q(n+1) + 2(n+1) ; où (p,q) = 1, avec p =2n-1 et q = 2n +1
il devient évident que p et q sont jumeaux si dn+1 = 1 . Dans le tableau ci dessous, on
remarquera lors de la répétition de p, que :
si p = q alors dn+1 > 1 , si q = 2n + 1 avec q – p > 2 alors dn+1 < 0
Il devient alors impossible qu’une telle répétition soit infinie ;
la suite [ dn+1 = gn – g n+1 ] est toujours impaire , la répartition des premiers ne peut plus être
aléatoire. Car si on continue la répétition de P, par exemple à partir de la ligne 63, où P =113
il est évident que l’on retombera sur 1 se qui est contradictoire, 1 représente une transition
ABj ! Ceci permet de constater que la limite du prochain premier q, consécutif a p est borné ;
de même que si q est de classe B, on aurait une transition de types ABr puisque la différence
entre ces deux premiers, serait de loin >2.
si il y a une infinité de 1 la conjecture est levée ; ou encore si l’on prouve qu’une infinité
de premiers n’apparaissent qu’une seule fois dans la colonne : X1 = p.
Car une transition de types BA donnerait aussi un 1 c’est à dire un jumelage de types
ABj ce qui est contradictoire ! Par conséquent un premier qui n’apparaît qu’une seule
foi indique bien une transition jumelle !
il est intéressant de constater qu’à partir de 5 lorsqu’il y a jumelage (p et q) p se trouve en
fasse d’un multiple de 3 colonne X0 = n ; et q colonne gn.
Le nombre de fois qu’un premier p est inscrit dans la colonne X1 = p est donné par :
R = (q1 – p) / 2 où q1 est le nombre premier directement consécutif à p.
Ex R = (17 – 13) / 2 = 2 ; Répétition de p = 13.
Question y’aurait-il à une certaine limite que des répétitions ? ou que des ABr c’est à dire des
transition de retournement, ex : ligne 48 et 49 ?
Transitions modulo 6 il y en a obligatoirement 4, de type : AA, AB, BA et BB
p = 6k1 -1 et q = 6k2 -1 ;
p = 6k1 -1 et q = 6k2 +1 ;
p = 6k1 +1 et q = 6k2 -1 ;
p = 6k1 +1 et q = 6k2 +1 ;
Note : une transition de types AA…BB ne concerne que deux premiers p et q consécutif.
Exemple ,11 et 19 ne peut être considérée comme une transition de types AB du fait que
17 s’intercale avant 19 ; donc transition AA pour 11 et 17.
Le jumelage de type AB qui se trouveront classé en deux groupe ABj et ABr comme pour les
entiers naturels, pour qu’il vienne un ABr ; il faut au par avant qu’il y est un couple d’ABj.
C’est à dire que les nombres premiers apparaissent toujours avant leurs produits dans l’ordre
naturel de n et n+1.
Question : si la suite de la colonne :[ dn+1 = gn – gn+1 ] ne redescend plus sur 1 quel en serait
l’effet sur la suite de Syracuse autrement dit : les premiers jumeaux sont ils liés à la suite de
Syracuse ou inversement.
Dans cette même colonne une transition = 1 est toujours précédé par un entier 1[30] lors d’un
jumelage 11 et 13 [30] ou 29 et 31 [30] ; et un entier 7[30] précède un jumelage 17 et 19 [30]
Mais il semblerait qu’une transition du type AB.r n’est jamais précédée par un entier 7
ou 1 modulo 30..
Une transition AB.j > 5, est toujours précédé par un A négatif, colonne [dn+1 = gn – gn+1] ;
de même si la différence des négatif et positif correspond au même nombre que la différence
entre deux multiples de 3 colonne gn, à partir du dernier 1 alors B est premier jumeaux ;
Exemple :ligne 37 à 51 =14 différence des positif et négatif colonne [dn+1 = gn – gn+] = 14 ;
Et 36 + 15 = 51 = 3m.
X0 = n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
X1= p
2
3
5
7
7
11
13
13
17
19
19
23
23
23
29
31
31
gn
0
-1
-2
-3
-6
-5
-6
-15
-8
-9
-24
-11
-30
-45
-14
-15
-42
dn+1 = gn
1
1
1
3
-1
1
9
-7
1
15
-13
19
15
-31
1
27
– gn+1
A,6k-1;B,6k+1
Classe AB
Transition J
P≥5
A
B
B
A
B
B
A
B
B
A
A
A
A
B
B
j
j
j
j
Transition R
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
31
37
37
41
43
43
47
47
47
53
53
53
59
61
61
61
67
67
71
73
73
73
79
79
83
83
83
89
89
89
89
97
97
101
103
103
107
109
109
113
113
113
113
113
113
113
127
127
-65
-18
-51
-20
-21
-60
-23
-66
-105
-26
-75
-120
-29
-30
-87
-140
-33
-96
-35
-36
-105
-120
-39
-114
-41
-120
-195
-44
-129
-210
-287
-48
-141
-50
-51
-150
-53
-54
-159
-56
-165
-270
-371
-468
-561
-650
-63
-186
23
-47
33
-31
1
39
-37
43
39
-79
49
45
-91
1
57
53
-107
63
-61
1
69
15
-81
75
-73
79
75
-151
85
81
77
-239
93
-91
1
99
-97
1
105
-103
109
105
101
97
93
89
-587
123
B
B
B
A
B
B
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
A
B
B
B
B
B
A
A
A
A
A
A
A
B
B
A
B
B
A
B
B
A
A
A
A
A
A
A
B
B
j
j
j
R
j
j
R
66
67
68
69
70
71
72
131
131
131
137
139
139
139
-65
-192
-315
-68
-69
-121
127
123
-247
1
A
A
A
A
B
B
B
j
Tableau de la famille 29[30] colonne F ; les jumelages et les 4couples de base de
l‘algorithme : 7*17, 11*19, 13*23 et 29*31, qui est un abj apparaissant
toujours colonne F
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
A
P = 29
11*19
B
C
D
7*17
13*23
E
F
7*47
11*7²
17*37
7*107
19*41
7*137
17*67
13*113
23*73
23*43
7*167
19*71
11*139
13*53
11*79
29*31ab
13*83
11*109
7*197
7*227
29*61
31*59
19
59*61ab
23
24
25
***************************************************************************
Formule du tableau de JP Sagnet, des premiers jumeaux dans la famille des premiers P >5 de
l’Ensemble P[30]. 8 familles disjointes montrant des propriétés intéressantes.
A noter, aussi que dans ce tableau ci dessous la colonne dn seule les deux suites dn + 1 = - Y et
la suite dn + 3 = - X pour le couple 23 et 37[30] sont disjointes.
Ce qui indiquerait aussi que dans le cas par exemple de jumeaux fini, avec très rarement des
P = 29[30] ou tout aussi rarement des P = 17[30] il n’y aurait plus de couples ABr 29 et 43
[30] ainsi que 17 et 31[30] tel que dn + 7 = 7 dans le tableau de J P Sagnet dernière page,
Où n = 9 et n +7 = 16 ; et dn + 7 = gn – gn + 7 = (-8) – (-15) pour le couple 17 et 31[30] et,
Où n = 15 et n +7 = 22 ; et dn + 7 = gn – gn + 7 = (-14) – (-21) pour le couple 29 et 43[30]
Gn = (P – N) (P – 2N) exemple : 7-1 = 6 ; 7-2 = 5, (N=1 donc 2*1) puis ; 6*5 = 30
Dn+1 = Gn – Gn+1 soit : Gn =30, Gn+1 = 63 ; Dn+1 = 30 - 63 = -33
Les cellules en jaunes ne sont autre que les entiers naturels représentant une transition ABj
c’est à dire un couple de jumeaux. CONTRAIREMENT au tableau précédent ou les
transitions ABj sont représentées par 1 ; dans ce tableau les entiers sont tout simplement la
différence entre q et 2N (« ou P et 2N si on veut considérer p consécutif à q ») exemple :
(13-3)(13- 6) = 10*7 =70 et comme la ligne précédente est égale 9*7, le résultat de la colonne
Dn+1 serra bien égale à 7, pour ce cas précis, puis 9, 15…..35…etc.
Dans ce tableau au lieu de redescendre sur 1 on redescend sur l’entier correspondant à la
formule du tableau colonne Gn, ce qui revient au même et il ne s’agit pas d’un hasard la
formule est démontrée pour le premier tableau ce qui permet de se rendre compte que même
dans la famille des entiers congrues P modulo 30 on garde la même propriété ; mais avec des
valeur différentes de 1 ; et bien entendu comme pour le premier tableau une infinité d’entiers
de la colonne Dn+1 correspondant à la formule de la colonne Gn et Gn+1 indique une infinité
de premiers jumeaux.
Ou encore : si la formule suivante se répète à l’infini :
Colonne Gn / Dn+1 = colonne p et q – N ! Comme dans le premier tableau.
Exemple : 70/7 = 13-3, 126/9 =19-5 ; 345/15 = 31 – 8…..etc…111873/267 = 571-152 pour
une répartition hasardeuse des premiers donc des premiers jumeaux le hasard fait très bien les
choses ????? Autrement dit, si effectivement le nombre de premiers jumeaux est fini alors
cette formule ne se reproduit plus !!! Et il n’y aurait alors, que des répétitions. Quelque soit
l’un des deux tableaux ? Beaucoup plus improbable qu’une infinité de jumeaux.
A noter que dans le tableau ci dessous, la formule pour trouver R = (q1 – p) / 2 ne peut se
calculer de la même façon, du simple fait que la différence dans l’ensemble des entiers P[30]
suit le cycle : 6.4.2.4.2.4.6.2 dont la somme vaut 30, et la moyenne : 30/8= 3,75
Autre curiosité à noter, une transition Bj divisé par la position de la transition Bj précédente,
donc colonne N tourne toujours aux alentours de 2. Exemple :
9/3, 15/5, 21/8, 29/11…..etc..65/29, …127/64, ..197/93. (« Comme pour indiquer la densité
de couples de premiers jumeaux, ou le prochain couple…. ?»).
§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§
Mais la répartition la plus intéressante des premiers Jumeaux se trouve dernière colonne,
N – P. cette colonne prédit où il ne peut exister de couple ABJ. l’écart est toujours de 4, 9,
13, ou 22 aussi curieux que cela paraît, entre deux couples de Jumeaux. 1 ligne d’écart = 4 , 2
lignes d’écart = 9 , 4 lignes d’écart = 13 la raison est simple 1L + 2L + * = 4 lignes soit 4 + 9
=13 maintenant si je veux 22 = (4 + 9) + 9 soit 22 il me faut donc : * + 2L c‘est à dire 3
lignes supplémentaires donc 4+3 = 7L = 13 + 9 = 22, c’est à dire :1L + * + 2 L + * + 2L =
7L….!!
Si on prouve l’obligation que cette formule est identique ou disjointe pour les couples
ABr, et, ABJ ; alors on prouve l’infinité des premiers jumeaux….Ce qui est certain, là
ou il n’y a pas ce * il ne peut exister de jumeaux !!!!
Cela permet de trouver où il y a un couple de jumeaux, soit 1 ligne après, soit 2 Lignes
après, soit 4L , soit 7L, soit 7+2 +* =10, soit 7+ * +7 + * + 2 = 18L, où encore par exemple
7 + 7 + * = 15L ..ect…ect., c’est à dire 4.9.13.22 dont la somme vaut 48 = 6*8 ou alors, 1,
2 , 4 et 7 lignes avec un * d’intercale où cet intercale, indique le (jumeaux q = p + 2,
classe B ; sinon on repart.
Comme pour le tableau précédent, colonne p et q , p se répète jusqu’au prochain premier q
consécutif à p ,exemple ligne 12 et 13 : 47 = P, 49 est composé donc on répète 47 jusqu’au
prochain premier = q donc 53 pour cet exemple. .
En bleu la représentation des couples ABr (« de la suite dn + 7 = 7 du tableau de JP Sagnet ci
dessous, page 15.») qui s’intercale très bien avec la suite des ABj en jaune.
dn+1 = gn
– gn+1= -Y
Abj = 11,13 ; 17,19
dn+3 = gn – gn+3 = -X Pour ABr = 23,37
ou dn+4 = gn - gn+4 = - X en fonction du couple
ABr = 17,31
ou 29,31 modulo 30 ou 29,43 modulo 30
où q - p = 2
N
où q - p = 14
p et q
Gn =(p-N)(p-2N)
Dn+1
classe AouB
N-P
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
47
30
63
70
117
126
187
330
345
532
651
672
805
714
B = 6K +1
-33 A = 6K - 1
-7
-47
-9
-61
-143
-15
-187
-119
-21
-133
91
B
A
B
A
A
B
B
A
B
A
A
10
14
23
28
32
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
53
59
61
67
71
73
73
79
83
89
89
97
101
103
107
109
113
113
113
127
131
131
137
139
139
149
151
157
157
163
167
167
173
179
181
181
191
193
197
199
199
199
211
211
211
223
227
229
233
239
241
241
251
251
975
1276
1305
1650
1855
1890
1749
2146
2379
2838
2665
3384
3675
3724
4029
4080
4399
4182
3969
5734
6111
5856
6565
6630
6363
7810
7881
8700
8395
9240
9717
9394
10287
11220
11305
10956
12831
12922
13485
13578
13195
12816
15345
14938
14535
17220
17869
17976
18639
19888
20001
19536
22015
21528
-261
-301
-29
-345
-205
-35
141
-397
-233
-459
173
-719
-291
-49
-305
-51
-319
217
213
-1765
-377
255
-709
-65
267
-1447
-71
-819
305
-845
-477
323
-893
-933
-85
349
-1875
-91
-563
-93
383
379
-2529
407
403
-2685
-649
-107
-663
-1249
-113
465
-2479
487
A
A
B
B
A
B
B
B
A
A
A
B
A
B
A
B
A
A
A
B
A
A
A
B
B
A
B
B
B
45
50
54
72
76
80
94
102
111
*
B
120
B
133
B
142
*
146
B
B
*
155
168
B
B
*
177
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
257
257
263
269
271
277
281
283
283
283
293
293
293
307
311
313
317
317
317
317
331
337
337
337
347
349
353
359
359
367
367
373
373
379
383
389
389
397
401
401
401
409
409
419
421
421
431
433
433
439
443
449
449
457
22869
22372
23739
25146
25273
26724
27531
27664
27117
26574
29455
28890
28329
32770
33663
33810
34717
34104
33495
32890
37665
39432
38779
38130
41565
41728
42735
44616
43921
46710
45999
47950
47229
49206
50299
52338
51585
54604
55755
54978
54205
57300
56511
60676
60873
60060
64351
64554
63717
66010
67275
69630
68761
72240
-1341
497
-1367
-1407
-127
-1451
-807
-133
547
543
-2881
565
561
-4441
-893
-147
-907
613
609
605
-4775
-1767
653
649
-3435
-163
-1007
-1881
695
-2789
711
-1951
721
-1977
-1093
-2039
753
-3019
-1151
777
773
-3095
789
-4165
-197
813
-4291
-203
837
-2293
-1265
-2355
869
-3479
A
B
B
199
204
B
208
A
B
226
B
230
B
*
243
B
A
A
256
B
270
B
274
B
B, donc impos
A
*
B
292
B
A
B probable
*
B
*
309
B
318
A
B
336
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
461
463
467
467
467
479
479
487
491
491
491
499
503
509
509
509
521
523
523
523
523
523
541
547
547
547
557
557
563
569
571
577
73563
73780
75117
74214
73315
79200
78273
81982
83391
82440
81493
85278
86715
89386
88401
87420
93835
94080
93069
92062
91059
90060
100441
103314
102255
101200
106749
105672
108619
111606
111873
114904
-1323
-217
-1337
903
899
-5885
927
-3709
-1409
951
947
-3785
-1437
-2671
985
981
-6415
-245
1011
1007
1003
999
-10381
-2873
1059
1055
-5549
1077
-2947
-2987
-267
-3031
B
340
*
*
*
B
384
*
*
A
B
B
419 = X
X=424
Les deux Lignes 152 et 153 serait par supposition la fin des couples ABj 11et13[30] ;
17et19[30] ; 29et31[30] mais aussi ABr 23 et 37[30] . Contradiction , il existe une infinité
de paires ayant au minimum 4 ou 6 de différence à plus forte raison avec 14 de
différence !.
Si, il existait une formule donnant la densité des couples ABj =1 et ABr = 7.
Une expérience intéressante serait de partir d’un grand couple de jumeaux et compter 1, 2, 4,
ou 7 lignes et en reconstituant le tableau p[30] avec son cycle 6.4.2.4.2.4.6.2 ,exemple :
Je trouve le couple, donc classe B = 181 + 2L + * + 1L = B
181 = 1[30] + 6 + 4 + 2 + 4 + 2 soit
181 , 187 , 191 ,193 , 197 , et 199. soit
181+ 2L = 193 B = *
193 + 1L = 199 B = *
Couple probable 199 -2 = 197 = ABj
Mais aussi 193 et 191
181 + 7L donnerait par exemple: 6 +4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 6 + 2 = 30,
soit 181+30 = 211 donc 211 et 209 et bien entendu, en partant d’un classe B = 17[30] le cycle
serait 17 +2 + 4 + 6 + 2 +6 + 4 + 2 + 4 = 197 + 30 = 227
Bien entendu, si on pouvait calculer une fourchette probable du nombre de Lignes, ou
potentiellement, il se trouverait un certain couple ABj…….car il y a 6 séries sur 8 où l’on
trouve les jumeaux, c’est à dire 3 couples de Familles jumelles sur 4. Cela explique aussi les
sommes que l’on rajoute en partant, des 4 valeurs 4.9.13.22 où :
différence 4 = 1Ligne, différence 9 = 2Lignes , différence 13 = 4Lignes, et 22 = 7lignes et
bien sur, entre ces groupes de différence on intercale une ligne = 0 = * ; pour les trois couples
en jaune, des Familles jumelles ABj où dn+1 = 1 ; ou de façon identique et selon la même
formule pour les trois couples en bleu = ABr où dn+7 = 7 avec les même valeurs 4.9.13.22 et
par Ligne de différence ce qui par exemple peut donner X – Y = 39 = 4 + 9 +13 +13 = 14
Lignes, le signe + = 0 soit une ligne supplémentaire par 0, où encore X –Y = 17 = 4 + 13 = 6
Lignes!
Conclusion :
a)
Qu’elle est la dernière valeur X, qui fixe le dernier couple ABj = jumeaux ???
b)
Chaque couples ABj est distant de K22 si le couple est consécutif par famille, donc à la
valeur X pour chacune des trois familles K = l’infini, puisque par supposition il
existerait une valeur X indiquant le nombre fini de couple de jumeaux ABj.
Mais alors il en est de même pour les couples ABr de la famille 23 et 37 mod (30) distant
aussi de K22 soit un écart de 14 entre deux premiers, ce qui est vrai pour les trois
couples de familles disjointes et tout aussi vrai pour le quatrième couple des 2 familles
23 et 37 car le nombre de couples ABr est tout aussi identique pour ces deux familles…. !
Où alors le nombre de premiers pour ces deux familles est supérieur ce qui se montre
impossible, la répartition est la même par famille ; il en est alors de même pour les 3
couples ABj et ABr des familles 23 et 37[30].
Les critères pour un couple d’ABJ sont deux valeurs négatives et un nombre infini de
premiers qui n’apparaît qu’une foi ce qui est bien le cas pour les trois couples ABr = 17
et 31[30] , 23 et 37[30] , ainsi que 29 et 43 [30] , ayant une différence uniquement de
14….! Soit dn+7 = 7
Soit pour la formule de JP Sagnet :
(« Par construction on a gn ≤ 0 (« réf théorème de Bertrand, p – n > 0 vu que p – 2n ≤ 0 ») en
introduisant la différence [ dn+1 = gn – g n+1 ] on a alors :
gn = p² -3pn + 2n² ; et : gn+1 = q² -3q(n+1) + 2(n+1) ; où (p,q) = 1, avec p =2n-1 et q = 2n +1
Il devient évident que p et q sont jumeaux si dn+1 = 1 . »)
Dans le cas 23 et 37[30] ; p et q sont de même classe ABr = ABj , si dn+7 = 7 soit gn - gn+7
Exemple : gn = -11 et gn + 7 = - 18
12
23
-11
-13
A
13
14
15
16
17
18
19
23
23
29
31
31
31
37
-30
-45
-14
-15
-42
-65
-18
19
15
-31
1
27
23
-47
A
A
A
B
B
B
B
n = 12
(q – (n+7)) (q – (2(n+7))) - ((P-n) (P – (2n)) = 7 au lieu de : 1 = 2/2 et 14/2 = 7 et où q – p
= 14
On remarquera aussi, comme pour les couples d’ABj, p et q se trouvent en face d’un
multiple de 3…
Or on sait qu’il existe une infinité de paires de premiers, avec seulement 4 de différence
************************
Tableau des trois couples ABj et du couple ABr = 23 et 37[30] Il faudrait en calculer la
densité, les couples des familles qui donnent dans la suite dn , les ABj = 1. sont aussi
comme les ABr distant de n+15 soit 14 Lignes d’intervalle, pour chaque couple
consécutif, dans leur couple de Famille disjoint deux à deux.
dn+1 = gn
– gn+1 = 1
dn+7 = gn
– gn+7 = 7
14/2=7 soit 14 Lignes d'intervalles entre deux
couplesABr consécutif, ou ABj, de même Famille.
X0 = n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
p≥2
suite Gn
2
3
5
7
7
11
13
13
17
19
19
23
23
23
0
-1
-2
-3
-6
-5
-6
-15
-8
-9
-24
-11
-30
-45
1
1
1
1
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
29
31
31
31
37
37
41
43
43
47
47
47
53
53
53
59
61
61
61
67
67
71
73
73
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991
997
997
-3080
-3951
-4818
-449
-1344
-2235
-3122
-453
-1356
-455
-1362
-2265
-3164
-459
-1374
-2285
-3192
-4095
-464
-1389
-2310
-3227
-468
-1401
-470
-1407
-2340
-473
-1416
-2355
-476
-1425
-2370
-3311
-4248
-5181
-6110
-483
-6136
-485
-1452
489
-488
-1461
-2430
-491
-1470
-2445
-3416
-495
-1482
-2465
-498
-1491
7
7
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
997
997
997
997
1009
1009
1013
1013
1013
1019
1021
1021
1021
1021
1021
1031
1033
1033
1033
1039
1039
1039
1039
1039
1049
1051
1051
1051
1051
1051
1061
1063
1063
1063
1069
1069
1069
1069
1069
1069
1069
1069
1069
1087
1087
1091
1093
1093
1097
1097
1097
1103
1103
1103
-2480
-3465
-4446
-5423
-504
-1509
-506
-1515
-2520
-509
-510
-1527
-2540
-3549
-4554
-515
-516
-1545
-2570
-519
-1554
-2585
-3612
-4635
-524
-525
-1572
-2615
-3654
-4689
-530
-531
-1590
-2645
-534
-1599
-2660
-3717
-4770
-5819
-6864
-7905
-8942
-543
-1626
-545
-546
-1635
-548
-1641
-2730
-551
-1650
-2745
1
1
1
1
555
556
557
558
559
560
1109
1109
1109
1109
1117
-554
-1659
-2760
-3857
-558
7
.
Si on tien compte d’une répartition des nombres premiers dans l’ensemble
des entiers P[30] par Familles il faut ≈ : π(x) / 8
Soit quelque chose d’approchant :
π(x) qui vaut environ dans l’ensemble des entiers ≡ P[30] :
X = (X / (Ln (X/4 ))) (pour X = 104) et augmenter avec l’exposant c’est à
dire :
( Ln (X / exposant))
pour X = 105 :
X = (X / (Ln(X/5)))
Y = (X / 4,3466666667) / ((Ln (X / 2.3))* 5) je prend 5 (au lieu de 3.75 qui
est la moyenne dans les entiers P[30], 30/6 = 5 )
π(X) = X – Y ≈ . Puis on divisera par 8 pour avoir ≈ un nombre de premier
par Famille P[30]
(« Note : ce n’est là qu’une estimation, avec une petite modification de la
formule X /Ln X, pour connaître Pi(X) approximativement; et comme
toutes estimation, cela n’à aucun intérêt par rapport à la répartition exacte
ou la densité réelle des premiers. »)
Si on prend la constante de Brun améliorée par Pascal Sebah et Patrick
Demichel qui vaut : B2 ≈ 1,90216 05831 04. et qui dans l’ensemble P[30] vaut :
1,90216 05831 04 - ((1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7)) =
1.02597010691352380952380952381
***************************
Note :
Dans la répartition des couples de Premiers jumeaux ce qu’il faut aussi prendre en
compte, c’est leur densité ; c’est à dire et par supposition, pour qu’il y ait une chance
de couples de Pj finis, il aurait fallut qu’il n’y en est aucun des le départ, car seul les
couples de Pj vont extraire un nouveau couple de PJ, donc plus il y en a, plus ils en
sortiront et on peu très facilement s’en convaincre avec le tableau de la famille
23[30] . Exactement de la même manière, que les couples ABr = 7, de la Famille 7 et
23 mod.30, vont entretenir une densité de couples ABr =7, lorsque n → ∞. Qui ne
peuvent être extrait par l’algorithme P[30] que par les couples ABr = 7…. !
Ci dessous, la répartition des nombres premiers par Famille P[30].
Il est évident que l’étude de leur densité et répartition sur la conjecture de l’infinité
de jumeaux et couples de premiers 7 et 23 [30] ayant un écart de 14, ne ferra que
renforcé cette conjecture, qui démontrera l’infinité des Premiers jumeaux, lorsque
l’on aura démontré la répartition équivalente, entre les ABr = 7 et les ABj =1.
Autrement dit, un nombre fini d’ABj =1 implique aussi un nombre fini d’ABr = 7 le
contraire, laisse supposer que la densité de premiers et leur répartition est différente
entre ces couples de Familles P[30].
Ce qui n’en est rien, car la répartition est réglée par le modulo 30, en effet je n’ai pas
plus de chance d’avoir un nombre fini, de couples de premiers : 7 et 23 [30] avec un
écart de 14 et 16 dont la somme = 30 ; que d’avoir un nombre fini de couples de
premiers 11 et 13 [30] avec un écart de 2 et 28 dont la somme = 30 ;
ou qu’un couple 17 et 19[30], ou encore 29 et 31[30], qu’avec les couples 19 et
43[30] ainsi que les couples 17 et 31[30], dont les plus petits écart sont d’une part :
14 et 16 ; ou 2 et 28 …. !
Il existe une infinité de triplets, tel que la somme de leur différence deux à deux =
30, c’est à dire :
(13 – 11) + (41 – 13) = 30 et (37 – 23) + (53 – 37) = 30.
Donc supposer, qu’à une lim X – 30, où il y a une densité de tel triplets des deux
catégories, et puis par miracle à partir de la limX, il n’y aura plus de triplets formés
par le couple ABj =1, mais uniquement ceux formé, par le couple ABr=7…. ?
(« Il faudrait de sérieux arguments, pour étayer cette supposition. »)
Il existe aussi, une infinité de couples par Famille tel que par exemple:
( 41 – 11) = 30 , (53 – 23) = 30…etc 13.43 ; 37,67…etc
Dernière remarque, le seul point notable que l’on remarque, concerne les deux
Familles 1 et 19[30] ces deux familles comportent 6 bases au lieu de 4, car comme
on le sait, ce sont les deux familles qui comportent les premiers au carré (« c’est la
raison des 6 bases, puisque l’on aura 11*11= 1[30] ; 7*7 = 19[30]…etc »), leur
densité semblerait légèrement inferieur, mais elle restera quasiment la même ,
comme on peut le remarquer, par exemple entre les Familles 1 et 11[30].
Le premier écart, fait apparaître un déficit de 9400 premiers jusqu’à 60 mds, entre
ces deux Familles, mais le déficit n’est plus que de 3500 premiers, à la limite de 350
mds. Cette raison s’explique, du simple fait que ce sont toujours les mêmes bases P,
de 7 à 31. La courbe reste oscillatoire par Famille, comme l’est, la courbe des
nombre premiers par rapport à zéro, lorsque n → ∞. Malgré ce léger écart (« qui
reste oscillatoire ») par rapport aux 6 autres Familles, ce n’est pas pour autant qu’il y
aurait un nombre fini de Pj = ABj =1 que d’ABr = 7 des familles 17 et 1[30] ou 29 et
13[30] en comparaison des couples 17 et 19[30] ou 29 et 1[30].
.
Famille des nombres premiers P > 5, dans l’Ensemble des entiers ≡ P [30]
Par Famille P[30], dernier premier ≤ 30 mds, par tranche de 30 mds et en
dessous le nombre de premiers ≤ à cette limite. (« Dans l’algorithme, 1 qui est
neutre, est remplacé par 31 »).
F.1[30]
29 999 999 881
162 498 708
59 999 999 551
315 498 896
89 999 999 851
465 299 658
119 999 999 521
613 087 983
149 999 999 781
759 426 492
179 999 999 911
904 613 185
209 999 999 971
1 048 870 832
239 999 999 881
1 192 336 087
269 999 999 851
1 335 117 775
299 999 999 671
1 477 301 177
329 999 999 701
1 618 941 199
359 999 999 911
1 760 095 925
449 999 999 821
2 181 043 630
F. 7[30]
29 999 999 947
162 499 267
59 999 999 797
315 508 308
89 999 999 797
465 309 093
119 999 999 617
613 097 863
149 999 999 917
759 427 784
179 999 999 707
904 621 181
209 999 999 707
1 048 881 695
239 999 999 887
1 192 347 721
269 999 999 857
1 335 134 285
299 999 999 857
1 477 311 832
329 999 999 977
1 618 949 166
359 999 999 827
1 760 099 445
449 999 999 767
2 181 058 528
F. 11[30]
29 999 999 951
162 501 734
59 999 999 951
315 504 312
89 999 999 981
465 306 123
119 999 999 981
613 098 542
149 999 999 651
759 431 858
179 999 999 861
904 622 285
209 999 999 291
1 048 882 929
239 999 999 951
1 192 351 306
269 999 999 741
1 335 124 234
299 999 999 801
1 477 301 850
329 999 999 531
1 618 951 805
359 999 999 891
1 760 103 610
449 999 999 951
2 181 054 515
F. 13[30]
29 999 999 893
162 501 682
59 999 999 893
315 506 611
89 999 999 853
465 301 909
119 999 999 953
613 097 818
149 999 999 893
759 436 900
179 999 999 923
904 628 877
209 999 999 863
1 048 884 945
239 999 999 983
1 192 346 472
269 999 999 923
1 335 125 493
299 999 999 113
1 477 301986
329 999 999 113
1 618 948 399
359 999 999 803
1 760 103 327
449 999 999 983
2 181 061 294
Premier
Nbr de P ≤ 30 mds
Premier
Nbr de P ≤ 60 mds
Premier
Nbr de P ≤ 90 mds
Premier
Nbr de P ≤ 120 mds
Premier
Nbr de P ≤ 150 mds
Premier
Nbr de P ≤ 180 mds
Premier
Nbr de P ≤ 210 mds
Premier
Nbr de P ≤ 240 mds
Premier
Nbr de P ≤ 270 mds
Premier
Nbr de P ≤ 300 mds
Premier
Nbr de P ≤ 330 mds
Premier
Nbr de P ≤ 360 mds
Premier
Nbr de P ≤ 450 mds
F.17[30]
29 999 999 957
162 502 998
59 999 999 747
315 505 920
89 999 999 777
465 302 860
119 999 999 927
613 095 323
149 999 999 867
759 435 028
179 999 999 687
904 625 448
209 999 999 777
1 048 878 407
239 999 999 927
1 192 343 784
269 999 999 867
1 335 128 739
299 999 999 777
1 477 311 556
329 999 999 957
1 618 952 231
359 999 999 867
1 760 111 467
449 999 999 987
2 181 061 379
F. 19[30]
29 999 999 959
162 498 517
59 999 999 959
315 501 317
89 999 999 689
465 295 018
1199 999 999 869
613 092 050
149 999 999 869
759 425 639
179 999 999 899
904 616 260
209 999 999 959
1 048 874 774
239 999 999 989
1 192 344 891
269 999 999 749
1 335 120 844
299 999 999 989
1 477 298 702
329 999 999 269
1 618 935 187
359 999 999 809
1 760 094 369
449 999 999 629
2 181 043 087
F. 23[30]
29 999 999 993
162 502 530 …
59 999 999 783
315 505 653
89 999 999 993
465 308 258
119 999 999 963
613 093 494 …
149 999 999 753
759 429 738
179 999 999 873
904 628 614
209 999 999 933
1 048 880 012
239 999 999 963
1 192 349 490
269 999 999 903
1 335 129 326
299 999 999 963
1 477 308 515
329 999 999 993
1 618 948 900
359 999 999 753
1760 101 423
449 999 999 963
2 181 059 655
F. 29[30]
29 999 999 969
162 500 487
59 999 999 999
315 507 135
89 999 999 939
465 306 068
119 999 999 729
613 096 323
149 999 999 969
759 424 514
179 999 999 819
904 622 254
209 999 999 939
1 048 880 995
239 999 999 999
1 192 349 730
269 999 999 969
1 335 127 422
299 999 999 909
1 477 303 515
329 999 999 699
1 618 949 338
359 999 999 909
1 760 102 578
449 999 999 909
2 181 066 236
On constatera que les sommes, du nombre de premiers par tranche de 30mds et
par couple de Famille 11 et 13[30], famille des ABJ =1 ; par rapport aux
Familles 7 et 23[30), ABr = 7 sont soit en excédent soit en déficit lorsque n tend
vers l’infini, conformément à l’algorithme, et à cette conjecture.