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Premiers Jumeaux et Syracuse … ?
On peut classer les premiers jumeaux en fonction des deux classes suivantes :
Classe A : 6k – 1 et classe B 6k +1, si on prend l’ensemble des premiers > 5 donc dans
Z/30Z, on peut classer ces deux classes en 4 catégories AA, BB, AB, et BA qui formeront
des transitions ; et ce qui permet de rester dans la logique du théorème de Dirichlet :
Soit a appartenant aux entiers naturels ={1,2,3,…n} , b entier tel que (a , b) = 1 ; a et b
premiers entre eux, alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme : a.k + b.
il est facile de montrer qu’il existe une infinité de transition modulo 6 des 4 catégories.
(« et de même qu’il existe l’algorithme p[6]. Soit Z/6Z, qui se paramètre avec deux couples
de premiers 5 et 7 »)
Preuve ; si il n’existait qu’un nombre fini de transition de type AB, il existerait alors dans un
tableau prévu à cet effet, montrant les transitions, que deux cas possible 1er cas à partir de
cette limite AB, il ne resterait que des transitions de type β = BB et :
2ème cas uniquement des transitions de type α = AA ; ce qui serait impossible en effet :
1er cas, il n’y aurait qu’un nombre fini de premiers de la classe A= 6k + 5 or (6 , 5) =1 le
théorème de Dirichlet serait contredit.
2ème cas, il n’y aurait qu’un nombre fini de premier de la classe B de la forme 6k + 1 ; or (6 ,
1) = 1 ; à nouveau Dirichlet serait contredit.
On peut conjecturer :
Si il existe une infinité de couple de premiers p et q, tel-que p =23[30] classe A et q =37[30],
classe B avec une différence q – p = 14, alors il existe une infinité de couples de premiers
jumeaux Pj, des classes A et B tel-que 11.13 ; 17.19 ; et 29.31 modulo 30 ; et à l’inverse, un
nombre fini de Pj implique un nombre fini de couple 23.37 [30].
[« De ceci, cela impliquerait une infinité de Pj dans les trois séries jumelles, car en effet il
suffit alors de contrôler ce qui se passerait dans un tableau prévu à cet effet par exemple la
série 23[30] en contrôlant uniquement l’absence de jumeaux des séries 11 et 13 par
exemple et 17,19 modulo 30. (« série = famille »)
L’algorithme p[30] montre que quelque soit une des 8 familles P[30], il y a autant de
premiers par famille et une infinité. Donc en remplaçant les composés par le dernier premier
P, jusqu’au prochain premier q, il est clair que cela nous donnerait à la limite X, uniquement
des transitions de types AA ou BB ce que l’on a montré impossible, dernière possibilité des
transitions de type AB.R c’est à dire Retournement si on considère que les AB se classe en
deux groupes les AB.J ; Jumelle, (Transition jumelle) ou Transition Retournement, c’est à
dire un produit au lieu d’un premier p ou q.
On regardera le tableau plus bas ; où des transitions ABr = 7, issue de la suite dn , tel-que dn +
7 = gn – gn+7 = 7, montrent qu’il s’agirait là, de deux suites disjointes ABj = 1 et ABr = 7
Le premier tableau est celui de la famille des premiers P = 23[30] . Dans ce tableau il suffit
alors de remplacer un couple de premiers jumeaux soit des séries 11 et 13[30] ou des séries 17
et 19 [30] en supposant qu’a la limite X il n’y ai plus de jumeaux !
Y aurait – il, pour autant une infinité de couples ABr : 23 et 37[30] ? Pour cela, il faudrait
qu’il existe plus de premiers dans ces deux Familles, que dans les séries jumelles. Les
formules actuelles qui calculent le densité du nombre de premiers jusqu’à X tiennent compte
justement de la présence des couples de jumeaux ou des couples d’ABr =7 , seraient-elles

toujours juste si à la limite X il n’y a plus de jumeaux ??? Un exemple dans le tableau de la
famille 23[30] montrera qu’il n’en est rien.
On peut même supposer, qu’à cette limite X, le nombre de premiers 11[30] est fini…
Il est facile de montrer alors, qu’il n’existe pas une infinité de premiers !
En effet il suffit de prendre l’exemple page 4, dans le tableau de la famille 23[30] au lieu de
11[30] ce qui revient au même, et de supposer qu’à la limite X ≥ cellule F.17 que toutes les
cellules sont composées, il est évident qu’elles n’ont pu être composées que par les facteurs
premier < F.17 ce qui implique que les 8 bases P[30] de 7 à 31 ne peuvent plus extraire de
nouveaux conjoints >31 et < ((F.17 / P) de 7 à 31) puisque la base P et son nouveau conjoint
marqueraient une cellule déjà composé, par conséquent le conjoint ne peut être premier, et il
est éliminé, conformément à l’algorithme ; pour qu’un conjoint soit premier, une des deux
conditions fasse, que la base P et le conjoint, arrivent dans une cellule vide !
Les 8 Familles P[30] sont par conséquent finies en nombre premier, ce qui est contradictoire,
il existe une infinité de premiers ! »]
Puis en dessous le tableau des classe A, B avec les transitions, la suite des entiers naturels,
et des premiers p et q ; avec la suite : d n+1 .
Cette suite se comporterait-elle comme la suite de Syracuse ? c’est à dire lorsque n tend
vers l’infini, et que les nombres premiers en font de même, la suite d n+1 ; redescend t’elle
toujours sur 1.. (où plus simplement y’a-t’il une infinité de 1.)?
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[« Petit rappel sur Syracuse :
a) un entier K quelconque sur lequel on applique la formule de Syracuse,
3k+1 et on divise par 2 ; jusqu’à ce que l’on arrive sur 1soit 4.2.1
b) ou un entier k, qui par itération, coupe la suite formée par C.n, ou qui
arrive sur cette suite formée par K ce qui est équivalent
Cette deuxième méthode montre que C est obligatoirement fini en nombre
d’éléments ! la longueur de sa suite ou vol se termine sur C.n ; ‘c’ est à dire
coupe C.n tel que(3k+1)/2 = C.13 ou C.23,53 et non sur 1 !
de par ce constat, C.n est une suite Finie, vérifiant Syracuse qui commence
avec le premier K appartenant à Z/6Z, si la conjecture est vraie, c’est à dire
redescend sur 1.
(« De longueur indéterminée et : infinie, si S est vrai c’est à dire constituée de
plusieurs C.n+1 misent au bout de C.n, qui ont vérifiée Syracuse. Pour les
formules permettant de construire des suite C.N»)
Il n’y a donc que 4 cas possibles pour atteindre 5 ou 1 en réitérant la formule:
Première possibilité ; on tombe directement sur une de ces deux suites 2n ou
20m, tel que:
3k+1 = 2n , exemple : (3*5) + 1 = 16 = 2n….(3(5*17)) +1 = 256 = 162..etc
3k+1 = 20m, exemple : (3*213) +1 = 640 ; 320,160 ,80,40,20,10 et 5 = 20*2n

Deuxième possibilité, on coupe une de ces deux suites, ce qui revient à dire
que l’on arrive sur une de ces deux suites C.13 ou C.23 appartenant aux
ensembles Z/6Z ou Z/30Z ce qui revient au même.
3k+1 = C.13 tel que (13*3)+1 = 40 ;20 ;10 ;5 puis 4.2.1
3k+1 = C.23 tel que (23*3) +1 = 35,53,160..20,10 ;5 puis 4.2.1
Note :
Les deux séries ≡ 13 et 23 [30] vont représenter l’ensemble Z/30Z, de la forme
3k+1 et 3k-1 . Ce qui donnera, 4 familles ≡ 2[3] et 4 familles ≡ 1[3]. » ]
On constate que la conjecture de Syracuse se termine sur une des deux familles P[30] dans
Z/30Z la famille 13[30] et 23[30]. Voilà pour Syracuse.
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Transitions modulo 6 il y en a obligatoirement 4, de type : AA, AB, BA et BB
Les Transitions AB.j sont toujours précédées par deux entiers des familles 1 et 7 [30]
Il est alors curieux de constater, que 7 fait parti de la suite C.n 13[30] ; et 31 de la suite C.n
23[30]
En définitive on retrouve à peu près le même comportement de ces deux conjectures. Ne
serait-ce qu’une coïncidence ?
Ci dessous le tableau de l’algorithme P[30] pour la famille 23[30], uniquement pour regarder
le début du comportement des deux familles jumelles 11et 13 ainsi que 17 et 19 modulo 30,
dans cette Famille 23[30], où ces deux couples de bases, feront apparaître les couples de
jumeaux dans la colonne E uniquement. Les cellules vident sont des nombres Premiers bien
entendu.
Bases de l’algorithme pour la Famille, 23[30] : 11.13 ; 7. 29 ; 17.19 et 23 . 31 positionnées
dans leurs cellules respectives de départ, pour exécuter l’algorithme 23 [30].
Je suppose qu’a partir d’une certains limite il n’existe plus de premiers ABj = 1 des familles
11 et 13[30] pour n’en restait qu’a ces deux familles. Il suffit de remplacer soit un premier =
11[30] ou 13[30] par un produit 11[30] ou 13[30]. On prend 11[30] soit (« deux premiers »)
de la valeur de la racine carrée du produit = 11[30] , c’est très bien, cela donnerait deux
facteurs P des familles 7*23 mod 30 = un produit 11[30]. A première vue cela pourrait
donner un nouveau couple ABr = 7 supplémentaire, à la place du couple ABj =1 (« 11 et
13[30] »).
Mais voilà, la répartition des premiers est bien faite, il est évident que les formules actuelles
qui en calculent la densité sont « à peu près justes ». Et bien au lieu d’avoir un couple d’ABr
=7 en supplément c’est tout à fait le contraire qui se produirait, car ces deux facteurs
supprimeraient autant de cellules premières 23[30] et beaucoup plus, que la simple disparition
du couple ABj = 1 = (11 et 13[30] ) et ces formules qui calculent le nombre de premiers
jusqu’à X, seraient fausses, car elle ont été calculée en fonction des couples de premiers qui
existent, ayant 2n de différence et ce que 2n = 2 ou 14…!
Exemple tableau ci dessous ligne 17 cellule F ; je remplace 71 qui est supposé un produit,
limite à laquelle je n’ai plus de jumeaux 11 et 13 modulo 30 , donc j’ai deux facteurs P < 71
j’ai pris comme exemple 8 et 9 les deux plus près de la racine carrée de 71, marqué en jaune ;
il est évident que ces deux facteurs m’auraient marqué en jaune (******)les cellules

composées de la famille 23 [30] ; donc qui suppriment des premiers dans cette famille, d’où
moins de couples ABr = 7….. !
Les formules calculant le nombre de premiers dans cette famille, jusqu’à cette limite, seraient
aussi fausses…. Et je n’ai pris que 71, (« plus loin je prends cet exemple, et plus cela est
catastrophique. »).
En prenant les deux couples ABj des deux familles jumelles : 11,13[30] et 17,19[30] dans la
série 23[30] il ne resterait plus de premiers ou du moins très- très dur de trouver un couple
ABr =7 de la suite dn+7..... D’autant plus que chaque cellule marquée****** ferait à son tour
partir deux facteurs P et non un seul, représenté par 8 ou 9 dans cet exemple ; c’est à dire (8
X) = ****** et (9 Y) = ******.
71 et 73 se positionnent cellule E, ligne 29.
(« 71*73 = 5183 ; 5183 – 23 = 5160 et 5160/30 = 172 cellules, soit (29 *6) – 2 . »).

A
B
C
D
E
F
1
P = 23
11 * 13 ab
2
7 * 29
17 * 19 ab
3
7*59
11.43
13 .41
4
7.89
23 * 31
5
11.73
7.17
19.47
6
13.71
7.149 ,ba
29.37
7
11 .103
***********
7.179
8
13.101
17.79
***********
23.61 ab.r
***********
9
11.7.19
***********
10
31.53
7.239
13.131
***********
41 .43 ab
11.163
11
17.109
7.269
29.67 ab.r
**********
12
19.107
7.13.23
11.193abr
13
**********
***********
7.47 ba
***********
14
17.139
***********
13.191ba
***********
15
**********
*
19.137
16
***********
***********
17
41 . 73
43 .(71)8,9
18
19
17.199abr
20
7.509 ba
21
19.197ba
22
23
11.373abr
24
41.103
25
43.101
26
27
7.
28