4B Thalès, pythagore, vitesse,calcul littéral

4B DS mathématiques 02/05/2016
Exercice 1 : /4 points
1. Développer et réduire l’expression : (2n+5)(2n –5) où n est un nombre quelconque.
2. En utilisant la question 1, calculer 205×195
Exercice 2 : /6 points
Le 14 octobre 2012, Félix Baumgartner, a effectué un saut d’une altitude de 38 969,3 mètres.
La première partie de son saut s’est faite en chute libre (parachute fermé).
La seconde partie s’est faite avec un parachute ouvert.
Son objectif était d’être le premier homme à « dépasser le mur du son ».
« dépasser le mur du son » : signifie atteindre une vitesse supérieure ou égale à la vitesse du son,
c’est-à-dire 340 m/s.
La fédération aéronotique internationale a établi qu’il avait atteint la vitesse maximale de 1 357,6 km/h au
cours de sa chute libre.
1) A-t-il atteint son objectif ? Justifier votre réponse.
2) Voici un tableau donnant quelques informations chiffrées sur ce saut :
Calculer la vitesse moyenne de Felix Baumgartner en chute avec parachute ouvert exprimée en m/s.
On arrondira à l’unité.
Exercice 3 : /10 points
On considère la figure ci-contre qui n’est pas à l’échelle.
• Le triangle JAB est rectangle en A.
• Les droites (MU) et (AB) sont parallèles.
• Les points A, M et J sont alignés.
• Les points C, U et J sont alignés.
• Les points A, C et B sont alignés.
• AB = 7,5 m.
• MU = 3 m.
• JM = 10 m.
• JA = 18 m.
1) Calculer la longueur JB.
2) Montrer que la longueur AC est égale à 5,4 m.
3) Calculer la mesure de l’angle ABJ.

4B CORRECTION DS mathématiques 02/05/2016
Exercice 1 : /4 points
1. Développer et réduire l’expression : (2n+5)(2n –5) où n est un nombre quelconque.
(2n+5)(2n –5)=2n×2n –2n×5+5×2n –5×5
(2n+5)(2n –5) = 4n
2
–10n+10n –25
(2n+5)(2n –5)= 4n
2
–25
2. En utilisant la question 1, calculer 205×195 .
205×195 = ( 2×100 + 5)( 2×100 – 5)
J’utilise la question 1 en posant n = 100, j’obtiens :
205×195 = 4×100
2
– 25 = 40 000 – 25 = 39 975
Exercice 2 : /6 points
Le 14 octobre 2012, Félix Baumgartner, a effectué un saut d’une altitude de 38 969,3 mètres.
La première partie de son saut s’est faite en chute libre (parachute fermé).
La seconde partie s’est faite avec un parachute ouvert.
Son objectif était d’être le premier homme à « dépasser le mur du son ».
« dépasser le mur du son » : signifie atteindre une vitesse supérieure ou égale à la vitesse du son,
c’est-à-dire 340 m/s.
La fédération aéronotique internationale a établi qu’il avait atteint la vitesse maximale de 1 357,6 km/h au
cours de sa chute libre.
1) A-t-il atteint son objectif ? Justifier votre réponse.
Je dois comparer les deux vitesses 340 m/s et 1 357,6 km/h pour voir si l’objectif est atteint.
Pour cela il faut que les deux vitesses soient exprimées dans la même unité.
Je choisis de convertir 340 m/s en km/h :
(Rappel: 340 m = 0,340 km et 1 s = 1
3600 h )
v = 340 m/s = hkm
h
km
sm/12243600340,0
3600
1
340,0
1
340 =×==
1 224 km/h < 1 357,6 km/h donc Felix a atteint son objectif.
2) Voici un tableau donnant quelques informations chiffrées sur ce saut :

Calculer la vitesse moyenne de Felix Baumgartner en chute avec parachute ouvert exprimée en m/s.
On arrondira à l’unité.
Pour calculer la vitesse moyenne en chute avec parachute ouvert, je dois connaître la distance parcourue et le
temps mis lors de la chute avec parachute ouvert.
Calcul de la distance : d = 38 969,3 – 36 529 = 2 440,3 m
Calcul du temps : t = 9 min 3 s – 4 min 19 s = 4 min 44 s = 4×60 + 44 = 284 s
Calcul de la vitesse : v =
sm
t
d/9
284
3,2440 ≈=
La vitesse moyenne de la chute avec parachute ouvert est de 9 m/s.
Exercice 3 : /10 points
On considère la figure ci-contre qui n’est pas à l’échelle.
•
Le triangle JAB est rectangle en A.
• Les droites (MU) et (AB) sont parallèles.
• Les points A, M et J sont alignés.
• Les points C, U et J sont alignés.
• Les points A, C et B sont alignés.
• AB = 7,5 m.
• MU = 3 m.
• JM = 10 m.
• JA = 18 m.
1) Calculer la longueur JB.
On sait que le triangle ABJ est rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore, on a :
BJ
2
= AB
2
+ AJ
2
BJ
2
= 7,5
2
+ 18
2
BJ
2
= 380,25
BJ =
25,380
= 19,5 m
2)
Montrer que la longueur AC est égale à 5,4 m.
On sait que dans le triangle ACJ, les droites (MU) et (AC) sont parallèles, U ∈ [CJ] et M ∈ [AJ], d’après le
théorème de Thalès, on a :
JM
JA = JU JC = MU AC
AC
JC
JU 3
18
10
==
mAC 4,5
10
183
=
×
=
3)
Calculer la mesure de l’angle ABJ.
Dans le triangle ABJ rectangle en A, on a :

cos ABJ = AB
BJ
cos ABJ = 5,195,7
ABJ= arccos ( 5,195,7 )
ABJ≈ 67°