Exercice II Station spatiale ISS (6,5 points)

ds n° 5 18/01/2014
Souligner les expressions littérales et
numériques ; refaire 2 fois les calculs ;vérifier
l’homogénéités des formules à l’aide des unités
ex 1
STATION SPATIALE ISS
Les parties A et B de cet exercice sont
indépendantes.
PARTIE A : Étude du mouvement de la station
spatiale ISS
La station spatiale internationale, supposée
ponctuelle et notée S, évolue sur une orbite qu’on
admettra circulaire, dont le plan est incliné de 51,6°
par rapport au plan de l’équateur. Son altitude est
environ égale à 400 km.
Données :
rayon de la Terre : R = 6380 km
masse de la station : m = 435 tonnes
masse de la Terre, supposée ponctuelle : M = 5,98
×1024 kg
constante de gravitation universelle : G = 6,67×10-11
m3.kg–1.s–2
altitude de la station ISS : h = 400 km
expression de la valeur de la force d’interaction
gravitationnelle F entre deux corps A et B ponctuels
de masses respectives m A et mB, distants de d = AB :
F  G.
mA .mB
d2
1. Représenter sur le schéma :
u orienté de la station S vers la

Donner l’expression vectorielle FT / S de la force de
- un vecteur unitaire
Terre (T) ;
gravitation de la Terre sur le satellite en fonction du
vecteur unitaire u .
2. Donner la définition du vecteur quantité de
mouvement du satellite. Indiquer les unités légales de
chaque terme.
3. Calculer la valeur (ou norme) de la force de
gravitation FT/S puis représenter sur le schéma cidessus le vecteur force d’interaction gravitationnelle
exercée par la Terre sur la station S en précisant
l’échelle utilisée. Attention la distance d est la
distance entre les 2 centres d’inertie de la Terre et
du satellite.
4. Enoncer la seconde loi de Newton en prenant
comme exemple le système satellite de masse m.
5. Sachant que la masse du satellite est constante et
en considérant la seule action de la Terre, établir
l’expression vectorielle de l’accélération
aS de la
station dans le référentiel géocentrique, supposé
galiléen, en fonction de G, M, h, R et du vecteur
unitaire
u.
6. La valeur de la vitesse du satellite de la station a
pour expression :
v
GM
. Calculer la valeur de
Rh
la vitesse de la station en m.s–1.
7. Représenter sur le
schéma le vecteur
vitesse du satellite en
précisant l’échelle
utilisée.
8. Combien de
révolutions autour de
la Terre un astronaute
présent à bord de la
station spatiale internationale
fait-il en 24h ?
PARTIE B : Ravitaillement
de la station ISS
Le 23 mars 2012, un lanceur
Ariane 5 a décollé du port
spatial de l’Europe à Kourou
(Guyane), emportant à son
bord le véhicule de transfert
automatique (ATV) qui
permet de ravitailler la
station spatiale internationale
(ISS).Au moment du décollage, la masse de la fusée
est égale à m1 =7,8×102 tonnes, dont environ 3,5
tonnes de cargaison : ergols, oxygène, air, eau
potable, équipements scientifiques, vivres et
vêtements pour l’équipage à bord de l’ATV.
D’après
http://www.esa.int/esaCP/Pr_10_2012_p_FR.html
On se propose dans cette partie d’étudier le décollage
de la fusée. Pour ce faire, on se place dans le
référentiel terrestre supposé galiléen.À la date t = 0 s,
le système est immobile. À t = 1 s, la fusée a éjecté
une masse de gaz notée m g, à la vitesse
masse est alors notée mf et sa vitesse
v g . Sa
vf .
Données :
 Intensité de la pesanteur à Kourou : g = 9,78
N.kg-1
 Débit d’éjection des gaz au décollage : D =
2,9×103 kg.s-1
 Vitesse d’éjection des gaz au décollage : vg=
4,0 km.s–1
1. Modèle simplifié du décollage
Dans ce modèle simplifié, on suppose que le système
{fusée + gaz} est isolé (ce qui serait équivalent à la
fusée placée dans le vide éloignée de toute planète)
1.1.
A l’aide de la seconde loi de Newton et en
comparant la quantité de mouvement du système
considéré aux dates ti = 0 s et tf = 1 s, montrer que :
vf  
mg
mf
.v g
Quelle est la conséquence de l’éjection de ces gaz
sur le mouvement de la fusée ?
1.2.
Après avoir montré numériquement que la
variation de la masse de la fusée est négligeable au
bout d’une seconde après le décollage, calculer la
valeur de la vitesse de la fusée à cet instant.
2. Étude plus réaliste du décollage
2.1.
En réalité la vitesse vf est très inférieure à
celle calculée à la question 1.2.. En supposant que le
système {fusée + gaz} est isolé, quelle force n’auraiton pas dû négliger ?
2.2. On considère désormais le système {fusée}. Il
est soumis à son poids P et à la force de poussée F
définie par
F  D.v g où D est la masse de gaz
éjecté par seconde.
2.2.1. Montrer que le produit (D.vg) est homogène à
une force.
2.2.2. Vérifier par une application numérique que la
fusée peut effectivement décoller.
ex 2
On se propose de déterminer les masses en ions
chlorure et en acide lactique présents dans un lait.
DOSAGE PAR CONDUCTIMÉTRIE.
1.1.
On prélève un volume V0 = 20,0 mL de lait
(solution S0) et on les introduit dans une fiole jaugée
de volume VS = 100,0 mL.On complète avec de l’eau
distillée et on homogénéise pour obtenir une solution
S, de concentration CS. Quel rapport existe entre la
concentration C0 de la solution S0 et la concentration
CS de la solution S ?
1.2.
On verse un volume V1 = 10,0 mL de la
solution S dans un bécher et on y ajoute environ 250
mL d’eau distillée. Indiquer précisément le protocole à
suivre pour prélever 10,0 mL de solution S (matériel
utilisé, manipulations à effectuer).
1.3.
On plonge ensuite dans le bécher une cellule
conductimétrique. Initialement et après chaque ajout,
mL par mL, d’une solution aqueuse de nitrate d’argent
(Ag+(aq) + NO3–(aq)) de concentration C2 = 5,0010-3
mol.L-1 on détermine la conductivité du milieu
réactionnel.LLégender le schéma ci dessous.
Le suivi conductimétrique du dosage permet d’obtenir
la courbe d’évolution de la conductivité  du milieu
réactionnel en fonction du volume V2 de la solution de
nitrate d’argent versé (document N°1 ). La
transformation chimique, rapide, met uniquement en
jeu les ions chlorure et les ions argent selon l’équation
de réaction :

Ag+(aq) +
Cl–(aq)
AgCl(s)

Rappel : Le chlorure d’argent AgCl est un solide
blanc, pratiquement insoluble dans l’eau, qui noircit
à la lumière.
1.4.
Quelle est l’origine de la conductivité initiale
de la solution ?
1.5.
En utilisant les valeurs des conductivités
molaires ioniques données ci-dessous, interpréter la
variation de la valeur de la conductivité  du milieu
réactionnel au cours du dosage.
À 25°C :
(Cl–(aq)) = 76,310-4 m².S.mol-1
–
(NO3 (aq)) = 71,410-4 m².S.mol-1
(Ag+(aq)) =
61,910-4 m².S.mol-1
1.6. Quel événement correspond au point particulier
apparaissant sur la courbe  = f(V2) ?
1.7.
Déterminer, en utilisant cette courbe, le
volume V2E de solution de nitrate d’argent versé à
l’équivalence.
1.8.
Quelle est à l’équivalence la relation entre la
quantité de matière en ions argent introduits et la
quantité de matière en ions chlorure initialement
présents ?
1.9.
En déduire la concentration molaire CS en
ions chlorure initialement présents dans la solution S,
puis celle C0 dans le lait.
1.10. La masse d’ions chlorure présents dans un
litre de lait doit être comprise entre 1,0 g et 2,0 g.
Calculer la masse d’ions chlorure présents dans le lait
étudié et conclure.
Donnée : masse molaire des ions chlorure : M(Cl–) =
35,5 g.mol-1.
DOCUMENT N°1
ex 1
Correction
6,67 x10 11 x5,98 x10 24
6780 x103
v  7,67 x103 m.s 1
v
7. Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire. On
prendra comme échelle 1 cm représente 103 m.s-1

la longueur du vecteur vitesse vaut L( v ) =7,7 cm
8.
t  24h
N .2. ( R  h )
 7,67km.s _ 1
t
v.t
7,67 x 24 x 3600
N

 15,6 tours
2. ( R  h )
2 x 3,14 x 6780
v
1.

 G.m.M 
FT / S 
.u
( R  h) 2
2. Le vecteur quantité de mouvement est le produit de
la masse par le vecteur vitesse du satellite

p  m.v
unité : p(kg.m.s-1) : m(kg) ; v(m.s-1)
3. Valeur de la force de gravitation FT/S
FT / S
G.m.M
6,67 x10 11 x 435 x103 x5,98 x1024


( R  h) 2
(6380  400) 2 x106
FT / S  3,77 x106 N
On prendra comme échelle 1 cm représente 106 N
la longueur du vecteur force sera donc

L ( FT / S )  3,8 cm
4.
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle
des forces extérieures appliquées à un système
matériel est égale à la dérivée par rapport au temps
de sa quantité de mouvement:



dp d(m.v )

=
 F ext 
dt
dt

FT / S
5) Dans le cas particulier ou le satellite conserve une
masse constante, la seconde loi devient:
PARTIE B : Ravitaillement de la station ISS
Au moment du décollage, la masse de la fusée est
égale à 7,8×102 tonnes, dont environ 3,5 tonnes de
cargaison.
On se propose dans cette partie d’étudier le décollage
On se place dans le référentiel terrestre supposé
galiléen.À la date t = 0 s, le système est immobile. À t
= 1 s, la fusée a éjecté une masse de gaz notée m g, à
la vitesse
vitesse
v g . Sa masse est alors notée m f et sa
vf .
Données :
 Intensité de la pesanteur à Kourou : g = 9,78
N.kg-1
 Débit d’éjection des gaz au décollage : D =
2,9×103 kg.s-1
 Vitesse d’éjection des gaz au décollage : vg=
4,0 km.s–1
1. Modèle simplifié du décollage
Le système {fusée + gaz} est isolé.
1.1.
A l’aide de la seconde loi de Newton et en
comparant la quantité de mouvement du système
considéré aux dates t = 0 s et t = 1 s, montrer que :
vf  
mg
mf
.v g

 

dp p f  pi 
 F ext  dt  t  t  0 car le système est isolé
f
i

 
p f  pi  0

 
 
p f  pi  0  m.v  0 car la vitesse du sytème avant décoll





dp d ( m.v )
d (.v )
 F ext  dt  dt  m. dt  m.a S


 G.m.M 
ma S  FT / S 
.u
( R  h) 2

 G. M 
aS 
.u
( R  h)2
( m masse totale de la fusée avant décollage)




p f  m f .v f  m g .v g  0
6.
m 

v f   g .v g
mf
v
GM
Rh
Le vecteur vitesse de la fusée est dans le sens
opposé au vecteur vitesse d’éjection des gaz : la
fusée est propulsée vers le haut par cette éjection : il
s’agit d’un exemple de propulsion par réaction.
1.2.
mg
m1

D.t
2,9 x103 x1

 0,37 x10 2
2
3
m1
7,8 x10 x10
masse de gaz négligeable :
vf 
mg
vf 
2,9 x103
.4,0 x103
5
7,8 x10
m1
.v g
v f  15 m.s -1
2. Étude plus réaliste du décollage
2.1. On aurait pas dû négliger les force de frottement
et le poids de la fusée.
2.2.1. Le produit (D.vg) est homogène à une force.
Unité de D.v : kg.s-1.m.s-1 = kg.m.s-2 = N
car F = m.a et que
N = kg.m.s-2
2.2.2. Pour que la fusée puisse effectivement
décoller il faut que la force de pousée soit supérieure
à la masse :
P =m.g = 7,8x105x9,78 = 7,6x106 N
F = D.vg = 2,9x103x4,0x103 = 12x106 N
F > P la fusée peut décoller.
ex 2
DOSAGE PAR CONDUCTIMÉTRIE.
1.1.
La quantité de matière se conserve au cours
d’une dilution. Le nombre de mole de lait de la
solution mère no = Co.Vo est égal au nombre de mole
de lait dans la solution fille ns = CS.Vs
Co.Vo = Cs.VS
1.4
Origine de la conductivité initiale de la
solution :La solution contenait initialement des ions
chlorure et évidemment des ions H3O+ et HO- comme
dans toute solution aqueuse.
1.5
variation de la valeur de la conductivité :
Expression de la conductivité (on néglige les autres
ions de la solution, ils sont en concentration trop
faible) :
   (Cl  ). Cl     ( NO3 ).  NO3    ( Ag  ).  Ag  
Equation de dosage:

AgCl(s) + NO3–(aq)

Avant l’équivalence :Les ions chlorures sont
consommés, leur concentration diminue.
La concentration en ions argent est quasi nulle.
La concentration en ions nitrate augmente. A chaque
fois qu’un ion chlorure réagit un ion nitrate tombe
dans le bécher. C’est comme ci un ion nitrate
remplaçait un ion chlorure. Comme les ions chlorure
ont une meilleure conductivité molaire ionique, la
conductivité diminue.
Après équivalence :Il n’y a plus d’ions chlorure.
La concentration en ion argent et nitrate augmente.,
donc la conductivité augmente.
À 25°C :(Cl–(aq)) = 76,310-4 m².S.mol-1
(NO3–(aq)) = 71,410-4 m².S.mol-1 (Ag+(aq)) = 61,9104 m².S.mol-1
1.6
Quand la pente change de signe, on se
trouve au point équivalent. Les réactifs sont introduits
dans les proportions stœchiométriques.
1.7.
Le volume V2E = 12 mL
Ag+(aq) +
NO3–(aq)) + Cl–(aq)
Co Vs 100


5
Cs Vo 20
1.2.
1. On verse la solution S dans un bécher (ne jamais
prélever directement dans la solution mère sous peine
de la souiller).
2. on prélève les 10 mL de solution S avec une
pipette jaugée de 10 mL surmonté d’un pipeteur
1.3.
1.8.
A l’équivalence les réactifs sont introduits
dans les proportions stœchiométriques :
n(Ag+(aq))versé = n(Cl–(aq))initial
1.9
n(Ag+(aq))versé = n(Cl–(aq))initial
C2.V2E = n(Cl–(aq))initial = CS.V1
Cs 
C2 .V2E
.
V1
Cs 
5, 00 103 12, 0
 6, 00 x103 mol.L-1
10, 0
D’après la question 1.1. on a :
C 0 VS

C S V0
Co 
CS .VS
V0
avec
Cs 
Co 
C2 .V2E
V1
C2 .V2E VS 5, 00 103 12, 0 100, 0
.


 3, 00 x102 mol.L1
V1 V0
10, 0
20, 0
1.10. Masse d’ions chlorure présents dans le lait
étudié
t = C0.M(Cl–) = 3,00x10-2 x35,5
t = 1,07 g.L–1
La masse d’ion chlorure dans un litre de solution est
de 1,07g. Elle est bien comprise entre 1,0 g et 2,0 g
par litre de lait.