Chapitre 9: Dynamique d`un solide indéformable

Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
Introduction
Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser à la dynamique d’un solide indéformable (pas un
fluide donc).
Ceci nous permettra d’étudier la rotation d’un solide autour d’un axe fixe puis la condition de
roulement d’un solide sur une surface sans glisser (par exemple, une roue de voiture)
1
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
I Eléments cinétiques d’un solide.
II Solide en rotation autour d’un axe fixe.
III Dynamique d’un solide.
IV Axe instantané de rotation, roulement sans glissement.
V Forces de frottements solides
VI Résumé
2
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
I ELEMENTS CINETIQUES D’UN SOLIDE
1) Solide (indéformable)‐ centre de masse
Un solide (S) est indéformable si la distance entre deux points quelconques qui le
compose est indépendante du temps quelque soit le mouvement de ces points.
(S)
dV
ρ(V)
M = ∫∫∫ ρ(V)dV = ∫∫∫ dm est la masse du solide , avec la masse volumique
V
V
Centre de masse G :
OG =
∫∫∫ OM dm
V
∫∫∫ dm
V
O est un point quelconque
3
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
I ELEMENTS CINETIQUES D’UN SOLIDE
2) Eléments cinétiques d’un solide
Tout comme pour le système à N particules, on peut définir les éléments cinétiques du
solide par :
r
r
r
M = ∫∫∫ ρ(V)dV = ∫∫∫ dm
‐) sa quantité de mouvement : p = ∫∫∫ v dm = M v G
r
r
V
‐) son moment cinétique par rapport à O : L O = ∫∫∫ OA ∧ v dm
V
‐) son énergie cinétique : E c =
1
2
v
dm
∫∫∫
2 V
V
V
Théorèmes de Koenig :
r
r*
r
‐) premier théorème : L O = OG ∧ M v G + L G
1
‐) deuxième théorème : E c = M v G2 + E *c
2
Les * indiquent que les quantités sont calculées dans le référentiel du centre de masse
4
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
II SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE
1) Définitions‐Notations
Un solide est animé d’un mouvement de translation si à chaque instant, tous le spoints
ont le même vecteur vitesse. Cette translation est rectiligne si le vecteur vitesse garde
toujours la même direction.
Dans la suite, on ne parlera plus que de rotations ! On considère un axe (Δ) fixe par
rapport à un référentiel R et un solide animé d’un mouvement de rotation autour de
r
ω
cet axe (Δ).
Soit ω la vitesse angulaire
de rotation du solide
r
autour de (Δ). Soit u ,
un vecteur unitaire selon
(Δ). On définit
r le vecteur
r
rotation par ω = ω u
O
(S)
On choisit un point O, fixe sur (Δ).
5
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
II SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE
2) Moment d’inertie
r
r
Quel est le moment cinétique du solide par rapport à O : L O = ∫∫∫ OA ∧ v dm ainsi que
(
V
)
r r
r
r
le moment cinétique par rapport à l’axe (Δ) : L Δ = L O .u = ∫∫∫ u. OA ∧ v dm ?
V
Pour tout point A du solide, le vecteur OA est de norme constante donc, la vitesse de
(
) (
)
r r
r
r
r
r
r
A est v = ω ∧ OA = ω u ∧ OA . De plus, u. OA ∧ v = u ∧ OA .v . On a donc
(
)
r
ω
)
r
2
r
L Δ = ∫∫∫ ω u ∧ OA dm = ω I Δ
V
I Δ = ∫∫∫
V
(
2
r
u ∧ OA dm = ∫∫∫ r 2 dm
V
est le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe (Δ).
A
O
(S)
6
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
II SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE
2) Moment d’inertie
Quelques exemples de valeur de moment d’inertie :
(Δ)
IΔ =
2
MR 2
5
Sphère pleine homogène de rayon R
(Δ)
IΔ =
1
MR 2
2
Cylindre plein homogène de rayon R
(Δ)
IΔ =
1
Ml 2
12
Tige mince homogène de longueur l
(Δ)
I Δ = MR 2
Anneau filiforme de rayon R
Rem : tous les axes passent par le centre de masse des différents « objets »
7
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
II SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE
3) Théorème d’Huygens
Que vaut le moment d’inertie si (Δ) ne passe pas par le centre de masse ?
(ΔG)
(Δ)
rG
r
a
O
I Δ = I G + ma
A
O’
2
(Δ)
G
(
)
rr r r
r
r
a. rG = a. rG + GO = a. GA car a. GO = 0
IΔ =
∫∫∫
V
r 2 dm =
∫∫∫
V
rG2 dm +
∫∫∫
V
r
a 2 dm − 2 a.
∫∫∫GA dm
V
Conséquence : le moment d’inertie est
le plus faible lorsque (Δ) passe par G.
IΔ =
1
3
MR 2 + MR 2 = MR 2
2
2
8
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
II SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE
4) Energie cinétique
Le solide est en rotation autour de (Δ) à la vitesse angulaire ω. Tout point A à la
distance r de l’axe a donc la vitesse v=rω. L’énergie cinétique du solide est E c =
1
v 2 dm
∫∫∫
2 V
et vaut donc :
1
2
E c = IΔ ω
2
9
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
II SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE
5) Rotation autour d’un axe de direction fixe
Ici, on suppose que la direction est fixe mais que l’axe peut se déplacer (exemple :
voiture et axe des roues).Les théorèmes de Koenig permettent de déterminer le
moment cinétique dans le référentiel R galiléen en fonction des grandeurs dans R*. Le
mouvement dans R peut‐être décomposé en un mouvement de rotation autour de
(ΔG) et un mouvement de translation de G.
Si on se place dans le référentiel du centre de masse, R*, il n’y a qu’un mouvement de
rotation : L*Δ = I Δ ω E *c =
G
G
On en déduit alors que :
1
IΔG ω 2
2
(ΔG)
(
)
r
r
L Δ = I Δ G ω + OG ∧ M v G . u
1
1
2
E c = I Δ G ω + M v G2
2
2
(Δ)
rG
O
A
r
a
O’
G
10
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
II SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE
5) Utilisation des théorèmes de Koenig
Remarque : si le solide était en translation, quels seraient les résultats ? Mêmes
r
formules avec ω=0 et l’introduction de u n’a plus de sens.
L*Δ G = 0
E *c = 0
r
r
L O = OG ∧ M v G
Ec =
1
M v G2
2
11
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
III DYNAMIQUE D’UN SOLIDE
1) Efforts mécaniques
D’un point de vue de la dynamique, on peut définir :
r
‐) la résultante des forces : F =
∑
r
r
Fi ou F =
i
∫∫∫
r
d F (A)
V
‐) le moment (résultant) en un point O :
r
MO =
∑
i
( ) ∑
r r
M O Fi =
i
r
r
OA i ∧ Fi ou M O =
∫∫∫
(
) ∫∫∫
r
r
M O d F (A) =
V
r
r
r
On peut vérifier que si O’≠O : M O ' = M O + O' O ∧ F
r
OA ∧ d F (A)
V
On parle alors de torseur des efforts (ou des actions mécaniques). Il faut préciser que
ces forces et moments peuvent avoir des origines intérieures ou extérieures au
système.
12
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
III DYNAMIQUE D’UN SOLIDE
1) Efforts mécaniques
r
Un couple est un ensemble de forces dont la résultante F est nulle. Dans ce cas, le
r
r
moment ne dépend pas de la position : M O ' = M O et on confond le couple avec son
r
- F0
moment.
Un glisseur est un ensemble de forces dont le moment en un point O est nul. Dans ce
r
r
cas, pour tout point A : M A = AO ∧ F
r
⊥F
r
On peut alors définir le moment du glisseur par rapport à un axe (Δ) ( u vecteur
(
)
r r
r r
unitaire selon l’axe) par : M Δ = M A .u = AO ∧ F .u
13
r
F0
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
III DYNAMIQUE D’UN SOLIDE
2) Théorème du centre de masse
Ce théorème s’énonce de la même manière que pour un système avec un nombre fini
de particules : dans un référentiel galiléen, le mouvement du centre d’inertie d’un
système est celui d’un point qui aurait pour masse, la masse totale du système auquel
serait appliqué la résultante des forces extérieures au système.
⎛
⎜
⎜
⎝
∫∫∫
V
r
r
r
⎞ dv G
r
d
v
d
P
G
dm ⎟
=M
=
= Fext
⎟ dt
dt
dt
⎠
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Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
III DYNAMIQUE D’UN SOLIDE
2) Théorème du moment cinétique
Ce théorème s’énonce de la même manière que pour un système avec un nombre fini
de particules. La dérivée par rapport au temps du moment cinétique en un point O fixe
dans un référentiel galiléen est égale au moment des forces extérieures appliquées au
système :
r
dL O r
= M O,ext
dt
On peut aussi appliquer ce théorème du moment cinétique au cas d’un axe (Δ) : la
dérivée par rapport au temps du moment cinétique par rapport à un axe (Δ) fixe dans
un référentiel galiléen est égale au moment, par rapport à l’axe (Δ), des forces
extérieures appliquées au système (O est un point fixe de l’axe (Δ)) :
r
r
dL Δ
= M Δ,ext = M O,ext . u
dt
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Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
III DYNAMIQUE D’UN SOLIDE
3) Solide en rotation autour d’un axe fixe ‐ Pendule pesant
On considère un solide en rotation autour d’un axe fixe (Δ) passant par un point fixe O
r
r
dans un référentiel galiléen. Le vecteur rotation instantanée est ω = ω u . Le théorème
du moment cinétique appliqué à une rotation autour de (Δ) permet d’écrire :
dω
d 2θ
IΔ
= I Δ 2 = M Δ,ext
dt
dt
r
r
On peut aussi utiliser le théorème du centre de masse qui indique que : M a G = Fext
Un exemple d’application est le pendule pesant qui généralise le problème bien connu
du pendule oscillant au bout d’un fil rigide.
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Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
III DYNAMIQUE D’UN SOLIDE
3) Solide en rotation autour d’un axe fixe ‐ Pendule pesant
y
r
ω
x
O (Δ)
G
θ
Le moment du poids (seule force extérieur) par rapport à (S)
r
Mg
Le pendule pesant oscille autour de l’axe (Δ) selon Oz.
r
r
Le vecteur rotation instantanée est : ω = ω u z
r
r
La seule force agissant sur le solide est le poids : P = -M g u y
()
r r
r
r
O est donc : M O P = OG ∧ P = - Mgl sinθ u z
l = OG
Le moment du poids par rapport à (Δ) est donc( ) :
()
r r r
M Δ = M O P . u z = - Mgl sinθ
dω
I
= I Δ&θ& = M Δ,ext = − Mgl sinθ
Le théorème du moment cinétique s’écrit : Δ
dt
Mgl
Et donc, l’équation différentielle du mouvement s’écrit : &θ& +
IΔ
sinθ = 0
Dans la limite des petits angles, on retrouve un mouvement oscillant de pulsation
ω=
Mgl
IΔ
On retrouve la formule du pendule simple lorsque la masse est uniquement en G: I Δ = Ml 2
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Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
III DYNAMIQUE D’UN SOLIDE
4) Solide en rotation autour d’un axe de direction fixe ‐ Roue
Théorème du moment cinétique :
dω
IΔG
= M Δ G ,ext
dt
Théorème du centre de masse :
r
r
m a G = Fext
La roue de voiture de rayon R tourne autour de son axe
qui garde une direction fixe (Δ) passant à chaque instant
par le centre de masse de la roue. Le vecteur rotation
r
1
r
instantanée est : ω = ω u z et I Δ = MR 2
G
2
Les forces agissant sur la roue sont le poids, la réaction
y
normale du support ainsi que les frottements :
r
MG
r
MG
r
ω
θ
r
T
( )
1
Le Théorème du moment cinétique s’écrit : I Δ &θ& = MR 2&θ& = RT
(ΔG)
G
G
1
1
T = M R &θ& = − M &x& car x = − R θ
2
2
r
N
2
Le théorème du centre de masse permet d’écrire :
I
r
Mg
()
()
r r
r
r r r r
P = GG ∧ P = 0 M G N = IG ∧ N = 0
r
r
r
T = IG ∧ T = RT u z
x
⎧M&x& = T + Mg sin α
⎨
⎩0 = − Mg cos α + N
La suite … en TD!
18
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
III DYNAMIQUE D’UN SOLIDE
5) Pendule de torsion
On considère un solide suspendu au bout d’un fil vertical
z
x
(Δ)
qui peut être animé d’un mouvement de rotation autour
de cet axe : M Δ = −C θ où C est appelée constante de
torsion du fil. Le théorème du moment cinétique permet
d’obtenir facilement l’équation du mouvement :
(S)
I Δ&θ& + C θ = 0
ω
Ici, il n’y a pas besoin d’approximations des petits angles
θ
pour obtenir la solution de cette équation différentielle.
G
On en déduit que le mouvement est oscillatoire de
période :
T = 2π
IΔ
C
19
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
III DYNAMIQUE D’UN SOLIDE
6) Analogie entre translation et rotation unidimensionnelles
Les résultats précédents permettent de faire une analogie entre translation d’un
objet de masse m selon l’axe Ox et rotation d’un solide de moment d’inertie I Δ par
rapport à un axe fixe (Δ).
Paramètre
Translation Rotation
Position
x
θ
Vitesse
v = x&
ω = θ&
Inertie
Masse d’inertie : m
IΔ
Moment d’inertie : Grandeur cinétique
Quantité de mouvement :
Moment cinétique :
p = m x&
1
m x& 2
2
Energie cinétique
Ec =
Loi du mouvement
m &x& = Fx,ext
L Δ = I Δ θ&
Ec =
1 &2
IΔ θ
2
I Δ &θ& = M Δ,ext
20
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
IV AXE INSTANTANE DE ROTATION, ROULEMENT SANS GLISSEMENT
1) Axe instantané de rotation
Jusqu’à présent, l’axe de rotation était fixe ou de direction fixe. Nous allons
maintenant définir l’axe instantané de rotation. On considère donc un référentiel
absolu R muni d ‘un repère OXYZ avec les vecteurs de base
(
) . On considère
rr r
I, J, K
alors un solide (S) et le référentiel S muni d’un repère O’xyz lié au solide avec les
(
rr r
i , j, k
vecteurs de base
r
vecteur ω i tel que :
r
r
⎧di
r
= ωi ∧ i
⎪
dt
⎪ r
r
⎪⎪ d j r
= ωi ∧ j
⎨
dt
⎪ r
r
⎪ dk
r
= ωi ∧ k
⎪
⎪⎩ dt
) .Ces vecteurs de base étant unitaires, on peut définir un
r
Le vecteur s’appelle vecteur vitesse instantanée de ωi
rotation du solide (S) par rapport au référentiel R.
Remarque : ce vecteur dépend du temps à priori.
21
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
IV AXE INSTANTANE DE ROTATION, ROULEMENT SANS GLISSEMENT
2) Distribution des vitesses dans un solide
Soient 2 points A et B d’un solide (S) indéformable. Dans le repère S=O’xyz associé au
solide, les coordonnées des deux points sont constants et donc le vecteur
écrivant
AB . En
OB = OA + AB , on en déduit l’expression de la vitesse de B dans R en
fonction de celle de A dans R :
r
r
r
v (B) = v (A) + ω i ∧ AB
C’est la loi de distribution des vitesses dans le solide.
Exemple: pour un solide en rotation autour d’un axe fixe. Soit O un point de cet axe
r
r
r
r
qui est aussi un point du solide, v (O) = 0 et donc pour tout point M du solide:v (M) = ω i ∧ OM
r
Dans le cas général, le lieu des points M où la vitesse dans R est colinéaire à ω i est dit
axe instantané de rotation du solide (Δi) par rapport au référentiel R.
22
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
IV AXE INSTANTANE DE ROTATION, ROULEMENT SANS GLISSEMENT
2) Distribution des vitesses dans un solide
Soient 2 points A et B d’un solide (S) indéformable :
r
r
r
v (B) = v (A) + ω ∧ AB
L’axe instantané de rotation du solide (Δi) par rapport au référentiel R est le lieu des
r
r
points M où la vitesse dans R est colinéaire à ω i . Cette droite est parallèle à ω i. Soit I,
r
r
un point de cet axe instantané de rotation. Pour tout point M de (Δi), v (M) = v (I)
r
On appelle vitesse de glissement, v g , la vitesse des points de (Δi). Pour tout point M
du solide, on a donc :
r
r
r
r
r
v (M) = v (I) + ω i ∧ IM = v g + ω i ∧ IM
Glissement (translation) selon (Δi) Roulement (rotation) autour de (Δi)
à la vitesse angulaire ωi.
r
Attention : l’axe (Δi) et le vecteur rotation dépendent du temps.
ωi
23
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
IV AXE INSTANTANE DE ROTATION, ROULEMENT SANS GLISSEMENT
3) Roulement sans glissement
Nous venons de voir que la vitesse d’un point d’un solide est la combinaison d’un
mouvement de glissement selon (Δi) et d’un mouvement de roulement autour de cet
axe.
On considère ici un solide (S) en contact avec une surface (Σ) fixe dans le référentiel R.
On dit que le solide (S) roule sur (Σ) sans glisser si la vitesse du point de contact I,
considéré comme point du solide est nulle dans le référentiel R.
r
r
v (I ∈ (S)/( Σ )) = 0
24
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
IV AXE INSTANTANE DE ROTATION, ROULEMENT SANS GLISSEMENT
3) Roulement sans glissement
Exemple : Roue de voiture sur une route… La surface de la route est le plan Oxy et on
note r le rayon de la roue. On note C le centre de la roue et I le point de contact de la
roue avec le sol (attention : I est un point du solide ‐la roue‐ et non pas le point de
coordonnées (x=rθ,0,0)) dans le référentiel R=Oxyz. La vitesse du centre de la roue
r
r
dans R est : v (C) = rω i (en supposant aucun mouvement selon Oy qui est parallèle à
l’axe de rotation de la roue). En utilisant la loi de composition des vitesses dans un
(
r
r
r
r
r
r
v (I) = v (C) + ω ∧ CI = v (C) + ω j ∧ − r k
r
r r
r
v (I) = rω i − rω i = 0
solide, r
ω
z
ω
C
I
x
En conséquence, si C n’a aucun mouvement selon Oy, la
roue roule sans glisser. L’axe Iy est l’axe instantané de
r
r
rotation du solide et ω i = ω .
25
)
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
V FORCES DE FROTTEMENTS SOLIDES
Pour terminer ce chapitre, nous allons nous intéresser au problème du contact entre
deux solides et les forces de frottements solides. Ceci permet de comprendre des
phénomènes comme l’aqua‐planning ou la perte d’adhérence à grande vitesse …
Nous allons considérer un solide en contact avec un autre solide. Même si le contact
est à priori ponctuel, il existe une petite zone de déformation autour de ce point de
telle sorte que dans la réalité, le contact s’effectue au niveau d’une surface de taille
finie. On peut aussi schématiser le contact en remplaçant la surface du solide ‘porteur’
par son plan tangent au point de contact. Dans ce cas, on peut schématiser le contact
par le dessin ci‐dessous :
26
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
V FORCES DE FROTTEMENTS SOLIDES
On considère donc un solide de masse m posé sur un sol horizontal et on souhaite
r
faire glisser ce corps en lui exerçant une force horizontale F . L’expérience montre que
si la force est d’intensité trop faible, la masse ne se déplacera pas et que cela dépend
de la nature du sol (et de l’objet à déplacer). On peut décomposer la réaction du
support en sa composante normale et sa composante tangentielle à l’interface.
r
N
r
R
r
F
r r r
⎧⎪T + F = 0
⎨r
r r
⎪ N + mg = 0
Le système reste à l’équilibre tant que la somme des forces est nulle : ⎩
r
T
r
mg
27
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
V FORCES DE FROTTEMENTS SOLIDES
r
N
r
R
r
T
r
F
r
mg
Equilibre pour :
r r r
⎧⎪T + F = 0
⎨r
r r
⎪⎩ N + mg = 0
C’est la composante tangentielle qui s’oppose au mouvement…
L’expérience montre que les lois empiriques d’Amontons‐Coulomb suivantes sont
valables :
r
r
1) Il n’y a pas de glissement si T ≤ f N où f est le coefficient de frottement statique.
r
r
2) Si il y a glissement, T = f ' N , f’ est le coefficient de frottement de glissement. On
r
a f’≤f. Dans ce cas, T est un vecteur dirigé dans la direction opposé au vecteur
vitesse et est souvent appelé force de frottement solide par distinction avec les
forces de frottements fluides dans l’air ou un liquide
28
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
VI RESUME
(
)
2
r
2
I
=
u
∧
OA
dm
=
r
∫∫∫ dm
Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe (Δ) : Δ ∫∫∫
V
Théorème d’Huyghens :
V
I Δ = I Δ G + ma 2
Moment cinétique d’un solide par rapport à (Δ) :
LΔ = IΔ ω
Energie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe : E c =
1
IΔ ω2
2
r
r
dv G dP r
=
= Fext
Théorème du centre de masse : M
dt
r dt
r
r
r
dL Δ
Théorème du moment cinétique : dL O = M O,ext
= M Δ,ext = M O,ext . u
dt
dt
2
Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe, I dω = I d θ = M
Δ
dt
Δ
dt 2
Δ,ext
29
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
VI RESUME
Dans le cas général, on définit le vecteur vitesse instantanée de rotation du solide (S)
r
par rapport au référentiel R : ω i .
r
r
r
La loi de distribution des vitesses dans un solide : v (B) = v (A) + ω i ∧ AB
r
r
r
La vitesse d’un point M du solide s’écrit : v (M) = v g + ω i ∧ IM
r
Avec v g , la vitesse de glissement et I un point de l’axe instantané de rotation (Δi).
La condition de roulement sans glissement d’un solide (S) sur une surface (Σ) est :
r
r
v (I ∈ (S)/( Σ )) = 0
En présence de frottements solides, les lois empiriques d’Amontons‐Coulomb
r
r
indiquent qu’il n’y a pas de glissement tant que : T ≤ f N
r
r
glissement, T = f ' N avec f’≤f.
et que lorsqu’il y a
30