1 CONTINUITÉ I. Rappels sur la dérivation Vidéos https://www

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Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr
CONTINUITÉ
I. Rappels sur la dérivation
Vidéos
https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCaoP_sqT3BQ3Q6oTr6QXodUt
Fonction f
Ensemble de
définition de f
Dérivée f '
Ensemble de
définition de f '
f(x)a
,
a
ℝ
ℝ
f'(x)0
ℝ
f(x)ax
,
a
ℝ
ℝ
f'(x)a
ℝ
f(x)x2
ℝ
f'(x)2x
ℝ
f(x)xn
n1
entier
ℝ
f'(x)nxn1
ℝ
f(x)1
x
ℝ \{0}
f'(x)  1
x2
ℝ \{0}
f(x)1
xn
n1
entier
ℝ \{0}
f'(x)  n
xn1
ℝ \{0}
f(x)x
0;
f'(x)1
2x
0;
Exemples :
a) Soit la fonction f définie sur ℝ \{0} par
4
1
()fx x
alors f est dérivable sur
;0
et
sur
0;
et on a pour tout x de ℝ \{0},
5
4
'( )fx x
.
b)
2
( ) 5 1g x x x x  
uv
est dérivable sur I
' ' 'u v u v  
ku
est dérivable sur I, où k est une constante
''ku ku
uv
est dérivable sur I
' ' 'uv u v uv
1
u
est dérivable sur I, où u ne s'annule pas sur I
'
2
1'u
uu
u
v
est dérivable sur I, où v ne s'annule pas sur I
'
2
''u u v uv
vv

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On pose :
(())()uxgvxx
avec
2
()u x x x
'( ) 2 1u x x
( ) 5 1v x x
'( ) 5vx
Donc :
2
2
22
'( ) ( )'( )
10 2 5 1 5 5
15 8 1
( ) '( ) 5 1152u x u x x xgx
x x x x x
x
vx
x
xxvx    
c)
2
65
() 1
x
hx x
On pose :
(
() )()ux hv xx
avec
( ) 6 5u x x
'( ) 6ux
2
( ) 1v x x
'( ) 2v x x
Donc :
2
( ) '( )
'( ( ) (
(
'
))
)
hv x v x xx u x
v
u
x
2
22
22
2
2
2
2
2
6 6 12 10
1
6 10 6
52
1
661
1
xx
x
x
x
x
x
xx
x
x
Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.
- Si
'( ) 0fx
, alors f est décroissante sur I.
- Si
'( ) 0fx
, alors f est croissante sur I.
Exemple :
Soit la fonction f définie sur ℝ par
2
( ) 4f x x x
.
Pour tout x réel, on a :
'( ) 2 4f x x
.
Résolvons l'équation
'( ) 0fx
2 4 0
24
2
x
x
x
La fonction f est donc décroissante sur l'intervalle
;2
.
De même, on obtient que la fonction f est donc croissante sur l'intervalle
2;
.

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Méthode : Etudier les variations d’une fonction
On considère la fonction f définie sur [0 ; 10] par
32
137
3
f x x x x   
Etudier les variations de la fonction f.
Pour tout x réel, on a :
22
1
' 3 2 3 2 3
3
f x x x x x      
.
Commençons par résoudre l'équation
'0fx
:
Le discriminant du trinôme
223xx
est égal à  = 22 – 4 x 1 x (-3) = 16
L'équation possède deux solutions :
12 16 3
21
x
et
22 16 1
21
x
On en déduit le tableau de variations de f :
x
0 1 10
'fx
-
+
f
17
1231
3
16
3
II. Continuité sur un intervalle
Le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815 ; 1897) apporte les
premières définitions rigoureuses au concept de limite et de continuité d'une
fonction.
Exemples et contre-exemples :
Vidéo https://youtu.be/XpjKserte6o
f
est continue en a f est continue en a f est continue en a

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f n'est pas continue en a f n'est pas continue en a
Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I.
On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I
"sans lever le crayon".
Propriétés :
1) Les fonctions
n
xx
(n ϵ ℕ) et plus généralement les fonctions polynômes sont
continues sur ℝ.
2) Les fonctions
sinxx
et
cosxx
sont continues sur ℝ.
3) La fonction
xx
est continue sur
0;
.
4) La fonction
1
xx
est continue sur
;0
et sur
0;
.
Remarque :
Les flèches obliques d’un tableau de variations traduisent la continuité et la stricte
monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.
Théorème : Une fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle.
- Admis -
Méthode : Etudier la continuité d'une fonction
Vidéo https://youtu.be/gLmACk8BpAE
On considère la fonction f définie sur ℝ par
( ) 2 3
( ) 4 3 5
( ) 2 13 5
f x x pour x
f x x pour x
f x x pour x
La fonction f est-elle continue sur ℝ ?

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Les fonctions
2xx
,
4xx
et
2 13xx
sont des fonctions polynômes
donc continues sur ℝ.
Ainsi la fonction f est continue sur
;3
, sur
3;5
et sur
5;
.
On peut tracer la fonction f sur
;5
sans lever le crayon, elle est donc continue
sur cet intervalle. Il en est de même sur l'intervalle
5;
.
Par contre, il n'est pas possible de franchir ces deux intervalles sans lever le crayon.
La fonction f n'est donc pas continue sur ℝ.
La fonction f est ainsi continue sur
;5
et sur
5;
.
III. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème :
On considère la fonction f définie et continue sur un intervalle [a ; b].
Pour tout réel k compris entre
()fa
et
()fb
, l'équation
()f x k
admet au moins une
solution dans l'intervalle [a ; b].
- Admis -
Ci-contre, f(x) = k
admet par
exemple c
comme solution.