1. Proportionnalité

Cours de mathématiques de quatrième
Bertrand Carry
SOMMAIRE
1. Proportionnalité ............................................................................................................ 5
1.1 Rappels .......................................................................................................................... 5
1.1.1 Premier exemple : .................................................................................................. 5
1.1.2 Deuxième exemple : ................................................................................................ 5
1.1.3 Troisième exemple : ............................................................................................... 5
1.2 Représentation graphique ......................................................................................... 6
1.2.1 A partir d’un tableau de proportionnalité : ........................................................... 6
1.2.2 A partir de points alignés avec l’origine : ............................................................. 6
1.3 Distance, vitesse, temps ............................................................................................ 7
1.4.Pourcentage, exemples .............................................................................................. 7
1.4.1 Appliquer un pourcentage : .................................................................................... 7
1.4.2 Trouver un pourcentage : ....................................................................................... 7
2. Droite des milieux ....................................................................................................... 8
2.1 Théorème 1................................................................................................................... 8
2.2 Théorème 2................................................................................................................... 9
3. Produit, quotient de nombres relatifs............................................................... 10
3.1 Rappel : addition, soustraction .............................................................................. 10
3.2.Produit ......................................................................................................................... 10
3.3.Quotient....................................................................................................................... 10
4. Droites remarquables du triangle....................................................................... 12
4.1 Médiatrices ................................................................................................................. 12
4.1.1 Rappel : ................................................................................................................ 12
4.1.2 Médiatrice d’un triangle : .................................................................................... 13
4.1.3 Propriété : ............................................................................................................ 13
4.1.4 Cas du triangle rectangle : ................................................................................... 14
4.2 Hauteurs ...................................................................................................................... 15
4.2.1 Définition : ........................................................................................................... 15
4.2.2 Propriété : ............................................................................................................ 15
4.3 Médianes ..................................................................................................................... 16
4.3.1 Définition : ........................................................................................................... 16
4.3.2 Propriété : ............................................................................................................ 16
4.4 Bissectrices................................................................................................................. 17
4.4.1 Bissectrice d’un angle : ........................................................................................ 17
4.4.2 Bissectrice d’un triangle : .................................................................................... 17
4.4.3 Propriété : ............................................................................................................ 18
4.5 Cas particulier : le triangle isocèle ....................................................................... 18
5. Quotients ........................................................................................................................ 20
5.1 Quotients égaux ........................................................................................................ 20
5.2 Somme et différence de quotients ........................................................................ 20
5.3 Produit de quotients ................................................................................................. 21
5.4 Inverse d’un nombre non nul ................................................................................. 21
5.5 Quotient de quotients ............................................................................................... 22
6. Théorème de Pythagore .......................................................................................... 23
7. Puissances entières.................................................................................................... 24
7.1 Définitions .................................................................................................................. 24
7.1.1 Exposant entier naturel : ...................................................................................... 24
7.1.2 Exposant entier relatif strictement négatif : ......................................................... 24
7.1.3 Exemples : ............................................................................................................ 24
7.2 Propriétés .................................................................................................................... 25
7.3 Puissances entières de 10........................................................................................ 25
7.3.1 Exemples : ............................................................................................................ 25
7.3.2 Propriété : ............................................................................................................ 25
7.3.3 Ecriture scientifique d’un nombre décimal : ........................................................ 25
Réciproque du théorème de Pythagore ........................................................... 26
8.
9. Calcul littéral ............................................................................................................... 27
9.1 Développement ......................................................................................................... 27
9.1.1 Rappel : ................................................................................................................ 27
9.1.2 Conséquence : ...................................................................................................... 27
9.2 Parenthèses ................................................................................................................. 27
9.2.1 Opposé d’une somme : ......................................................................................... 27
9.2.2 Soustraction : ....................................................................................................... 28
10. Cosinus d’un angle aigu ...................................................................................... 29
10.1 Définition ................................................................................................................. 29
10.2 Cas du triangle rectangle ...................................................................................... 30
11. Equations..................................................................................................................... 31
11.1 Techniques ............................................................................................................... 31
11.2 Exemple de résolution........................................................................................... 31
12. Pyramide ..................................................................................................................... 33
12.1 Vue en perspective cavalière ............................................................................... 33
12.2 Patron ........................................................................................................................ 34
12.3 Volume...................................................................................................................... 35
13. Comparaisons de nombres ................................................................................. 37
13.1 Nombres positifs ou négatifs ............................................................................... 37
13.2 Symboles .................................................................................................................. 37
13.3 Addition .................................................................................................................... 37
13.4 Multiplication .......................................................................................................... 38
14. Statistiques ................................................................................................................. 39
14.1 Exemple 1 ................................................................................................................ 39
14.2 Exemple 2 ................................................................................................................ 41
15. Théorème de Thalès .............................................................................................. 44
16. Cône de révolution ................................................................................................. 45
16.1 Le cône de révolution ............................................................................................ 45
16.2 Perspective cavalière ............................................................................................. 45
16.3 Patron ........................................................................................................................ 46
16.4 Volume...................................................................................................................... 47
17. Distance point-droite, tangente à un cercle................................................ 48
17.1 Distance d'un point à une droite ......................................................................... 48
17.2 Tangente à un cercle .............................................................................................. 49
17.3 Cercle inscrit dans un triangle ............................................................................. 49
18. Translation.................................................................................................................. 50
18.1 Image d'un point ..................................................................................................... 50
18.2 Conservation de la distance ................................................................................. 50
18.3 Conservation de l'alignement .............................................................................. 51
18.4 Conservation des angles ....................................................................................... 51
18.5 Transformation d'une droite, d'un segment de droite, d'une demi-droite . 52
18.6 Transformation d'un cercle .................................................................................. 54
18.7 Conservation des aires .......................................................................................... 54
Cours
chapitre 1 : proportionnalité
niveau quatrième
1. Proportionnalité
1.1 Rappels
1.1.1 Premier exemple :
Considérons le tableau de nombres suivant :
Nombre x
12,5
5
Nombre y
7,5
3
12,5  3 = 37,5 et 7,5  5 = 37,5
donc 12,5  3 = 7,5  5
Ce tableau est donc un tableau de proportionnalité.
Les nombres x et y sont proportionnels.
1.1.2 Deuxième exemple :
Considérons le tableau de nombres suivant :
Nombre x
Nombre y
2
0,4
3
0,6
5,1
1,02
8,7
1,74
 0,2
Chaque nombre y s’obtient en multipliant le nombre x correspondant par 0,2. Ce tableau est donc un tableau de
proportionnalité. Les nombres x et y sont proportionnels.
1.1.3 Troisième exemple :
Considérons le tableau de nombres suivant :
Nombre x
3
4,1
10,2
80
92
4
Nombre y
0,75
1,025
2,55
20
23
Chaque nombre y s’obtient en divisant le nombre x correspondant par 4. Ce tableau est donc un tableau de
proportionnalité. Les nombres x et y sont proportionnels.
Page 5
Cours
chapitre 1 : proportionnalité
niveau quatrième
Remarque : Considérons le tableau de nombres suivant :
Nombre x
2
3
5
7
Nombre y
10
15
26
35
2  5 = 10 et 5  5  25. Ce tableau n’est donc pas un tableau de proportionnalité. Les nombres x et y ne sont pas
proportionnels.
1.2 Représentation graphique
1.2.1 A partir d’un tableau de proportionnalité :
Considérons un tableau de proportionnalité :
Nombre x
Nombre y
-----
Soit P un plan muni d’un repère (O, I, J). Considérons tous les points de coordonnées (x,y).
On admet que tous ces points sont alignés et de plus qu’ils sont alignés avec l’origine O du
repère.
Nombre x
Nombre y
2
3,5
8
12
6
10,5
24
36
Points de coordonnées (x,y)
y 40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
x
1.2.2 A partir de points alignés avec l’origine :
Dans un plan P muni d’un repère (O, I, J), considérons des points de coordonnées (x,y) alignés avec l’origine O
du repère.
On admet que les nombres x et y sont proportionnels.
Page 6
Cours
chapitre 1 : proportionnalité
niveau quatrième
y
C
B
A
o
x
1.3 Distance, vitesse, temps
Considérons un objet qui se déplace à vitesse constante v pendant un temps t.
La distance parcourue est notée d. les unités choisies sont cohérentes.
d=vt
Remarque : Dans ce cas, on peut écrire : v =
d
d
et t =
.
t
v
1.4.Pourcentage, exemples
1.4.1 Appliquer un pourcentage :
35% de 2800 personnes correspond à
35
 2800 personnes, soit 980 personnes.
100
1.4.2 Trouver un pourcentage :
252 lapins parmi 649 correspond à (
252
 100) % des lapins ou environ 39% des lapins.
649
_______________________________________________________
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Cours
chapitre 2 : droite des milieux
niveau quatrième
2. Droite des milieux
P est un plan, une unité de longueur est choisie.
2.1 Théorème 1
Soit ABC un triangle, I et J les milieux respectifs des segments de droites [AB] et [AC].
Alors la droite (IJ) est parallèle à la droite (BC) et on peut écrire : IJ =
1
BC.
2
A
I
J
ABC est un triangle
I est le milieu de [AB]
J est le milieu de [AC]
B
C
Page 8
Cours
chapitre 2 : droite des milieux
niveau quatrième
2.2 Théorème 2
Soit EFG un triangle, K est le milieu du segment de droite [EF].
Alors la droite parallèle à la droite (FG) et contenant K, coupe le segment de droite [EG] en
son milieu.
E
K
d
F
G
EFG est un triangle
K est le milieu de [EF]
d est parallèle à (FG)
Page 9
Cours
chapitre 4 : droites remarquables du triangle
niveau quatrième
3. Produit, quotient de nombres relatifs
3.1 Rappel : addition, soustraction
En cinquième nous avons utilisé l’addition et la soustraction de nombres relatifs :
-62 + 47 = -15 ; -8 + (-17) = -25 ; 106 + (-49) = 57
-9 – 38 = -47 ; -20 – (-50) = 30 ; -62 – (-7) = -55
Remarques :
 Quels que soient les nombres a et b on peut écrire : a – b = a + (-b).
-b est l’opposé de b.
 Sur la calculatrice on distingue deux touches :
- pour la soustraction
(-) pour l’opposé d’un nombre.
3.2.Produit
Le produit de deux nombres positifs est positif.
Le produit de deux nombres négatifs est positif.
Le produit d’un nombre positif et d’un nombre négatif est négatif.
Exemples :
3,2  8 = 25,6
-5  (-2,2) = 11
-0,1  56,3 = -5,63
8,3  (-6) = -49,8
3.3.Quotient
Le quotient de deux nombres positifs est positif.
Le quotient de deux nombres négatifs est positif.
Le quotient d’un nombre positif et d’un nombre négatif est négatif.
Exemples :
3
= 1,5
2
 17
= 8,5
2
3
= -0,75
4
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Cours
chapitre 4 : droites remarquables du triangle
niveau quatrième
2
= -0,4
5
Remarques :
 Quel que soit le nombre a non nul on peut écrire : a 
1
=1
a
1
est appelé inverse de a.
a
1
est l’inverse de 3
3
1
- est l’inverse de -8
8
3
4
est l’inverse de
4
3
5
7
- est l’inverse de
7
5
 Quel que soit le nombre a et quel que soit le nombre b non nul, on peut écrire :
a
1
=a .
b
b
5
1
= (-5) 
6
6
Page 11
Cours
chapitre 4 : droites remarquables du triangle
niveau quatrième
4. Droites remarquables du triangle
P est un plan, une unité de longueur est choisie.
4.1 Médiatrices
4.1.1 Rappel :
La médiatrice d’un segment de droite est l’ensemble des points équidistants de extrémités du
segment de droite.
[AB] est un segment de droite.
d, la médiatrice de [AB], est
l’ensemble des points M vérifiant :
MA = MB.
M
B
A
d
Remarque :
La médiatrice d’un segment de droite [EF] est la droite contenant le milieu de [EF] et
perpendiculaire à la droite (EF).
F
E
Page 12
Cours
chapitre 4 : droites remarquables du triangle
niveau quatrième
4.1.2 Médiatrice d’un triangle :
Une médiatrice d’un triangle est la médiatrice d’un de ses côtés.
C
B
La médiatrice de [AB], tracée
à l’aide du compas et de la
règle, est une des trois
médiatrices du triangle ABC
A
4.1.3 Propriété :
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle
circonscrit au triangle.
B
C
A
Page 13
Cours
chapitre 4 : droites remarquables du triangle
niveau quatrième
4.1.4 Cas du triangle rectangle :
Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse (côté
opposé à l’angle droit).
G
I
E
F
Tout triangle ABM inscrit dans un cercle (ou demi-cercle de diamètre [AB]) est rectangle en
M.
B
A
M
Page 14
Cours
chapitre 4 : droites remarquables du triangle
niveau quatrième
4.2 Hauteurs
4.2.1 Définition :
Une hauteur d’un triangle est une droite contenant un sommet du triangle et perpendiculaire à
la droite contenant le côté opposé à ce sommet.
A
C
B
(AH) est la hauteur du triangle
ABC issue de A.
H est le pied de la hauteur du triangle
ABC issue de A.
H est aussi appelé projeté orthogonal de
A sur (BC).
H
4.2.2 Propriété :
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes. Le point de concours des hauteurs d’un
triangle est appelé orthocentre du triangle.
F
Les trois hauteurs du triangle EFG sont
concourantes en O, orthocentre du triangle.
E
G
O
Page 15
Cours
chapitre 4 : droites remarquables du triangle
niveau quatrième
4.3 Médianes
4.3.1 Définition :
Une médiane d’un triangle est une droite contenant un sommet du triangle et le milieu du côté
opposé à ce sommet.
A
ABC est un triangle.
I est le milieu de [BC].
(AI) est la médiane du triangle
ABC issue de A.
I
C
B
4.3.2 Propriété :
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes. Le point de concours des médianes d’un
triangle est appelé centre de gravité du triangle.
A
ABC est un triangle.
I, J et K sont les milieux respectifs de
[BC], [AC] et [AB].
Les trois médianes du triangle ABC sont
courantes en G, centre de gravité du
triangle ABC.
J
K
G
C
I
B
Page 16
Cours
chapitre 4 : droites remarquables du triangle
niveau quatrième
4.4 Bissectrices
4.4.1 Bissectrice d’un angle :
La bissectrice d’un angle est une droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de
même mesure. C’est un axe de symétrie de l’angle.
d
La droite d est la bissectrice de l’angle
;AOB.
4.4.2 Bissectrice d’un triangle :
Une bissectrice d’un triangle est la bissectrice d’un des angles intérieurs du triangle.
La droite d, bissectrice de l’angle
;FGE, est la
bissectrice du triangle EGF issue de G.
Page 17
Cours
chapitre 4 : droites remarquables du triangle
niveau quatrième
4.4.3 Propriété :
Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle
inscrit dans le triangle.
G
E
I
Les bissectrices du triangle EFG sont concourantes en
I qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
F
4.5 Cas particulier : le triangle isocèle
Considérons un triangle ABC isocèle en A.
Alors,
 la médiatrice de [BC]
 la hauteur issue de A
 la médiane issue de A
 la bissectrice issue de A
sont confondues.
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Cours
chapitre 4 : droites remarquables du triangle
niveau quatrième
Considérons un triangle EFG et les droites suivantes :




la médiatrice de [FG]
la hauteur issue de E
la médiane issue de E
la bissectrice issue de E
Si deux des droites ci-dessus sont confondues, alors le triangle EFG est isocèle en E.
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Cours
chapitre 5 : quotients
niveau quatrième
5. Quotients
5.1 Quotients égaux
Soit a un nombre et b un nombre non nul. Quel que soit le nombre non nul k, on peut écrire :
a ak
=
.
b bk
Exemples :
4
 12 3
3
=
;
=
2
2
7
21
5.2 Somme et différence de quotients
Quels que soient les nombres a et c et quels que soient les nombres non nuls b et d, on désire
a
c
effectuer la somme ou la différence des quotients
et
. Pour cela on choisit deux
b
d
a
c
x
y
quotients de même dénominateur,
et , égaux respectivement à
et
.
b
d
f
f
Dans ce cas, on peut écrire :

a
c
x
y
+
=
+
b
d
f
f
a
c
x y
+
=
b
d
f

a c
x y
=
b d
f f
a c
x y
=
b d
f
Exemples :
2
3
 8 15
+ =
+
4
20
20
5
 8  15
=
20
7
=
20
1 5
7 15
- =
3 7
21 21
Page 20
Cours
chapitre 5 : quotients
niveau quatrième
7  15
21
8
=
21
=
5.3 Produit de quotients
Quels que soient les nombres a et c et quels que soient les nombres non nuls b et d, on peut
écrire :
a
c
ac

=
.
b
bd
d
Exemples :
3
8
 3 8

=
5
7
5 7
 24
=
35
14
 15
7
5


=
13
11
39
22
7  ( 5)
=
13  11
 35
=
143
5.4 Inverse d’un nombre non nul
Quel que soit le nombre non nul b, l’inverse de b est le nombre qui multiplié par b égale 1. L’inverse de b peut se
noter
1
.
b
b
1
=1
b
Exemples :
L’inverse de 5 est
L’inverse de
1
.
5
4
3
est
.
4
3
Remarque :
Quel que soit le nombre a et quel que soit le nombre non nul b, on peut écrire :
a
1
=a 
.
b
b
Page 21
Cours
chapitre 5 : quotients
niveau quatrième
5.5 Quotient de quotients
Quel que soit le nombre a et quels que soient les nombres non nuls b, c et d, on peut écrire :
a
b = a  d
c
b
c
d
ad
=
bc
Cas particuliers :
Quel que soit le nombre a et quels que soient les nombres non nuls b et c, on peut écrire :
a
b = a
bc
c
Quel que soit le nombre a et quels que soient les nombres non nuls c et d, on peut écrire :
ad
a
=
c
c
d
Exemples :
2
5 = 2  4
3
5
3
4
 2 4
=
53
8
=
15
2
5 = 2
18 5  18
1
=
59
1
=
45
 7  11
7
=
3
3
11
 77
=
3
Page 22
Cours
chapitre 6 : théorème de Pythagore
niveau quatrième
6. Théorème de Pythagore
P est un plan, une unité de longueur est choisie.
Soit ABC un triangle rectangle en A :
AB2 + AC2 = BC2
B
BC2 est la longueur au carré de l’hypoténuse
du triangle rectangle.
C
A
Page 23
Cours
chapitre 8 : réciproque du théorème de Pythagore
niveau quatrième
7. Puissances entières
7.1 Définitions
7.1.1 Exposant entier naturel :
Soit a un nombre :
ao = 1
a1 = a
a2 = a  a
a3 = a  a  a
a4 = a  a  a  a
etc.
Soit n un entier naturel.
 an se lit « a exposant n ».
 an est une puissance de a. n est l’exposant.
7.1.2 Exposant entier relatif strictement négatif :
Soit a un nombre non nul :
a-1 = Error!
a-2 = Error!
a-3 = Error!
a-4 = Error!
etc.
Comme ci-dessus, soit p un entier relatif strictement négatif.
 ap se lit « a exposant p ».
 ap est une puissance de a. p est l’exposant.
7.1.3 Exemples :
23 = 2  2  2
23 = 8
On lit « 2 exposant 3 égale 8 ». 8 est une puissance de deux.
4-2 = Error!
1
4-2 =
16
On lit « 4 exposant -2 égale
1
1
».
est une puissance de quatre.
16
16
(-5)3 = -5  (-5)  (-5)
(-5)3 = -125
(0,2)4 = 0,2  0,2  0,2  0,2
Page 24
Cours
chapitre 8 : réciproque du théorème de Pythagore
niveau quatrième
(0,2)4 = 0,001 6
7.2 Propriétés
m et n sont des entiers relatifs. a et b sont des nombres, éventuellement non nuls.
an  am = an + m
Error! = an – m
(ab)n = an bn
Exemples :
23  25 = 28
Error! = 3-5
(6  7)3 = 63  73
7.3 Puissances entières de 10
7.3.1 Exemples :
… 10-3 = 0,001 ; 10-2 = 0,01 ; 10-1 = 0,1 ; 100 = 1 ; 101 = 10 ; 102 = 100 ; 103 = 1000
…
7.3.2 Propriété :
Quels que soient les entiers relatifs m et n on peut écrire : (10n)m = 10nm.
Exemples : (103)2 = 106 ; (10-2)8 = 10-16
7.3.3 Ecriture scientifique d’un nombre décimal :
Tout nombre décimal peut s’écrire sous forme scientifique, c’est-à-dire sous la forme a  10n,
où a est un nombre décimal dont la partie entière est supérieure ou égale à 1 et inférieure ou
égale à 9 et n est un entier relatif.
Exemples :
125, 3 = 1,235  102
0,214 = 2,14  10-1
4,08 = 4,08  100
-0,0024 = -2,4  10-3
Page 25
Cours
chapitre 8 : réciproque du théorème de Pythagore
niveau quatrième
8. Réciproque du théorème de Pythagore
P est un plan, une unité de longueur est choisie.
Soit RST un triangle. Si RT2 = RS2 + ST2, alors RST est rectangle en S.
Page 26
Cours
chapitre 9 : calcul littéral
niveau quatrième
9. Calcul littéral
9.1 Développement
9.1.1 Rappel :
k, a et b désignent des nombres :
k(a + b) = ka + kb
9.1.2 Conséquence :
a, b, c et d désignent des nombres :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Exemples :
x désigne un nombre, développer l’expression suivante : (x + 3)( 2x + 5).
(x + 3)( 2x + 5) = x  2x + x  5 + 3  2x + 3  5
= 2x2 + 5x + 6x + 15
= 2x2 + 11x + 15
t désigne un nombre, développer l’expression suivante : (5t - 8)( 3t + 2).
(5t - 8)( 3t + 2) = 5t  3t + 5t  2 + (-8)  3t + (-8)  2
= 15t2 + 10t – 24t – 16
= 15t2 – 14t – 16
9.2 Parenthèses
9.2.1 Opposé d’une somme :
a et b désignent des nombres : l’opposé de a +b est -a – b.
-(a + b) = -a – b
Exemple :
a désigne un nombre : -( 3a2 – 6a + 8) = - 3a2 + 6a – 8
Page 27
Cours
chapitre 9 : calcul littéral
niveau quatrième
9.2.2 Soustraction :
m, x et y désignent des nombres :
m – (x + y) = m – x – y
Exemple :
n désigne un nombre : 3n – ( -5n2 +7n – 3) = 3n + 5n2 – 7n + 3
= 5n2 – 4n + 3
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Cours
chapitre 10 : cosinus d’un angle aigu
niveau quatrième
10. Cosinus d’un angle aigu
P est un plan, une unité de longueur est choisie.
10.1 Définition
Considérons un angle aigu
;xOy.
y
x
Soit A et B deux points, distincts, de la demi-droite ]Ox).
Les droites perpendiculaires à la droite (AB) en, respectivement, A et B, coupent la demidroite [Oy) en, respectivement, M et N.
OA
OB
OA
Les rapports
et
sont égaux. Le nombre
est appelé cosinus de l’angle aigu
OM
ON
OM
OA
;xOy et on note : cos
;xOy =
.
OM
Page 29
Cours
chapitre 10 : cosinus d’un angle aigu
niveau quatrième
10.2 Cas du triangle rectangle
côté opposé à l’angle
;EGF
hypoténuse
côté adjacent à l’angle
;EGF
EFG est un triangle rectangle en E.
cos
;EGF =
EG
FG
Page 30
Cours
chapitre 11 : équations
niveau quatrième
11. Equations
11.1 Techniques
Soit A et B deux nombres :
Si A = B, alors quel que soit le nombre C on a : A + C = B + C.
On peut ajouter un même nombre à chaque membre d’une égalité.
Si A = B, alors quel que soit le nombre C on a : A – C = B – C.
On peut soustraire un même nombre à chaque membre d’une égalité.
Si A = B, alors quel que soit le nombre C on a : A  C = B  C.
On peut multiplier chaque membre d’une égalité par un même nombre.
A
B
Si A = B, alors quel que soit le nombre non nul C on a :
= .
C
C
On peut diviser chaque membre d’une égalité par un même nombre non nul.
11.2 Exemple de résolution
Résolvons l’équation suivante, d’inconnue le nombre x :
1
3(x – 2) + 7 = x – .
2
1
2
1
alors 3x – 6 + 7 = x –
2
1
alors 3x + 1 = x –
2
1
alors 2x + 1 = - (on a soustrait x à chaque membre de l’équation)
2
1
alors 2x = - – 1 (on a soustrait 1 à chaque membre de l’équation)
2
3
alors 2x = 2
Si 3(x – 2) + 7 = x –
3
alors x = 2 (on a divisé chaque membre de l’équation par 2)
2
3
alors x =
4
Page 31
Cours
chapitre 11 : équations
niveau quatrième
vérification :
3
3
si x =
alors 3(x – 2) + 7 = 3(
– 2) + 7
4
4
 11
alors 3(x – 2) + 7 = 3(
)+7
4
 33
28
alors 3(x – 2) + 7 =
+
4
4
5
alors 3(x – 2) + 7 =
4
si x =
si x =
3
1
3 1
alors x –
=
–
4
2
4
2
1
5
alors x – =
2
4
3
1
alors 3(x – 2) + 7 = x – .
4
2
conclusion :
La solution de l’équation , 3(x – 2) + 7 = x –
1
3
, est :
.
2
4
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Cours
chapitre 13 : pyramide
niveau quatrième
12. Pyramide
E est l’espace. Une unité de longueur est choisie ainsi que l’unité d’aire correspondante et
l’unité de volume correspondante.
12.1 Vue en perspective cavalière
Voici deux vues en perspective cavalière d’une même pyramide SABCD. La base de
cette pyramide est le quadrilatère ABCD. Le sommet principal est le point S. Les faces
latérales sont les quatre triangles : SAB, SBC, SCD et SDA.
B
C
S
D
A
S
A
D
B
C
Page 33
Cours
chapitre 13 : pyramide
niveau quatrième
Remarques :
 Une pyramide a pour base un polygone : triangle, quadrilatère, pentagone, hexagone,
etc. Les autres faces, appelées faces latérales, sont des triangles ayant un sommet
commun appelé sommet principal de la pyramide.
 Une pyramide qui a pour base un triangle est appelée tétraèdre. Ses faces latérales sont
aussi des triangles.
E
EFG peut être considéré comme
une base (parmi les quatre
possibles) de ce tétraèdre. Dans ce
cas, le sommet principal de la
pyramide est le point K.
K
F
G
12.2 Patron
Un patron d’une pyramide est formé à l’aide du polygone de base et des triangles
correspondant aux faces latérales.
Page 34
Cours
chapitre 13 : pyramide
niveau quatrième
A
Patron de la pyramide
SABCD du paragraphe
précédent.
D
B
C
12.3 Volume
Pour calculer le volume d’une pyramide, on a besoin de connaître sa hauteur.
Considérons la pyramide SABCD ci-dessous.
La droite (SH) est perpendiculaire à deux droites sécantes incluses dans le plan (ABC). Elle
est donc perpendiculaire au plan (ABC). H est élément de ce plan (ABC).
SH est appelé hauteur de la pyramide.
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Cours
chapitre 13 : pyramide
niveau quatrième
S
C
B
D
H
(ABC)
A
Le volume de toute pyramide est égal à :
1
 aire de la base  hauteur
3
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Cours
chapitre 13 : comparaison de nombres
niveau quatrième
13. Comparaisons de nombres
13.1 Nombres positifs ou négatifs
Parmi les nombres étudiés au collège, certains sont dits positifs comme : 0 ,
4
,,-(-8),
3
etc.
D'autres sont dits négatifs comme : 0 , - 2 , -
1
, etc.
2
0 est le seul nombre positif et négatif.
Un nombre positif non nul est dit strictement positif.
Un nombre négatif non nul est dit strictement négatif.
13.2 Symboles
Quatre symboles sont utilisés :
<
>


(on lit : est inférieur à)
(on lit : est supérieur à)
(on lit : est inférieur ou égal à)
(on lit : est supérieur ou égal à)
a et b désignent des nombres :
a<b
a>b
ab
ab
signifie : a - b est strictement négatif
signifie : a - b est strictement positif
signifie : a - b est négatif
signifie : a - b est positif
13.3 Addition
Quels que soient les nombres a, b et c, on peut écrire :
si a < b alors a + c < b +c
si a > b alors a + c > b +c
si a  b alors a + c  b +c
si a  b alors a + c  b +c
On dit que a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que a et b.
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Cours
chapitre 13 : comparaison de nombres
niveau quatrième
Exemples :
 x désigne un nombre :
si x - 3 < 11
alors x - 3 + 3 < 11 + 3 (on additionne 3)
alors x < 14
 a désigne un nombre :
si 2 a - 9 < a + 3
alors 2 a - 9 - a < a + 3 - a (on soustrait a ou on ajoute -a)
alors a - 9 < 3
13.4 Multiplication
Quels que soient les nombres a et b et quel que soit le nombre strictement positif k, on peut
écrire :
si a < b alors k a < k b
si a > b alors k a > k b
si a  b alors k a  k b
si a  b alors k a  k b
On dit que k a et k b sont rangés dans le même ordre que a et b. (k > o)
Exemples :
 x désigne un nombre :
1
si
x<5
2
1
alors
x  2 < 5  2 (on multiplie par 2 et 2 > 0)
2
alors x < 10
 a désigne un nombre :
si 4 a < - 17
1
1
1
1
alors 4 a 
< - 17 
(on multiplie par
et
> 0 ou on divise par 4 et 4 > 0)
4
4
4
4
 17
alors a <
4
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Cours
chapitre 14 : statistiques
niveau quatrième
14. Statistiques
Les nouveautés par rapport aux classes de sixième et de cinquième sont le calcul de la
moyenne arithmétique, les effectifs cumulés ainsi que les fréquences cumulées.
14.1 Exemple 1
On a relevé sur des disques durs le nombre de jeux enregistrés et l’on a regroupé les résultats
dans le tableau suivant :
Nombre de jeux
0
1
2
3
4
5
6
Nombre de disques durs
9
12
26
36
19
11
5
Dans ce tableau le nombre 26 signifie qu’il y a 26 disque durs , parmi ceux examinés,
possédant exactement 2 jeux.
On peut réaliser le tableau suivant :
nombre de
jeux, x
effectifs, n produits, nx Fréquences
0
9
0
0,076
1
12
12
0,102
2
26
52
0,22
3
36
108
0,305
4
19
76
0,161
5
11
55
0,093
6
5
30
0,042
total :
118
333
1
moyenne arithmétique :
2,8
Effectifs
cumulés
9
21
47
83
102
113
118
fréquences
cumulées
0,076
0,178
0,398
0,703
0,864
0,958
1
Dans la deuxième colonne, 118 est l’effectif total : 118 disques durs ont été examinés.
La troisième colonne sert au calcul de la moyenne arithmétique m :
m = Error!
m = Error!
m  2,8
En moyenne, un disque dur examiné possède 2,8 jeux.
La quatrième colonne est celle des fréquences. Chaque fréquence est le quotient de l’effectif
correspondant par l’effectif total. Les résultats sont arrondis au centième.
Considérons la fréquence 0,305. Cela signifie qu’environ 30,5% des disques durs examinés
possèdent exactement 3 jeux.
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Cours
chapitre 14 : statistiques
niveau quatrième
La cinquième colonne est celle des effectifs cumulés (croissants).
Considérons l’effectif cumulé 102. Cela signifie que 102 disques durs examinés possèdent 4
jeux au plus (ou moins de 5 jeux).
La dernière colonne est celle des fréquences cumulées (croissantes). Chaque fréquence
cumulée est le quotient de l’effectif cumulé correspondant par l’effectif total. Les résultats
sont arrondis au centième.
Considérons la fréquence cumulée 0,398. Cela signifie qu’environ 39,8% des disques durs
examinés possèdent 2 jeux au plus (ou moins de 3 jeux).
On peut tracer quelques schémas :
Répartition des disques durs suivant le nombre de jeux enregistrés
40
35
30
effectifs
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
nombre de jeux
Page 40
Cours
chapitre 14 : statistiques
niveau quatrième
14.2 Exemple 2
On a relevé dans un tableau la masse m en kg des colis expédiés par une entreprise sur une
durée d’un mois :
Masse m en kg
1≤m et m<4
4≤m et m<7
7≤m et m<10
10≤m et m<13
13≤m et m<16
16≤m et m<19
19≤m et m<22
22≤m et m<25
25≤m et m<28
Effectifs
5
12
22
35
24
16
21
8
3
Dans ce tableau le nombre 35 signifie qu’il y a 35 colis, parmi ceux expédiés, qui ont une
masse supérieure ou égale à 10 kg et inférieure à 13 kg. Lés résultats ont été regroupés en 9
classes, toutes de même amplitude 3.
Page 41
Cours
chapitre 14 : statistiques
niveau quatrième
On peut réaliser le tableau suivant :
valeur x
associée
à chaque effectifs
masse m en kg
classe
n
produits, nx fréquences
1≤m et m<4
2,5
5
12,5
0,034
4≤m et m<7
5,5
12
66
0,082
7≤m et m<10
8,5
22
187
0,151
10≤m et m<13
11,5
35
402,5
0,240
13≤m et m<16
14,5
24
348
0,164
16≤m et m<19
17,5
16
280
0,110
19≤m et m<22
20,5
21
430,5
0,144
22≤m et m<25
23,5
8
188
0,055
25≤m et m<28
26,5
3
79,5
0,021
total:
146
1994
1,000
moyenne arithmétique :
13,7
effectifs
cumulés
5
17
39
74
98
114
135
143
146
borne de
droite de
fréquences chaque
cumulées classe
0,034
0,116
0,267
0,507
0,671
0,781
0,925
0,979
1,000
Dans la troisième colonne, 146 est l’effectif total : 146 colis ont été expédiés.
La deuxième colonne sert au calcul de la moyenne arithmétique m : à chaque classe on
associe comme valeur le centre de la classe. Pour les 24 colis ayant une masse supérieure ou
égale à 13 kg et inférieure à 16 kg, on fait comme s’ils avaient chacun une masse de 14,5 kg.
Cela influe bien sur la précision du calcul de la moyenne arithmétique.
m = Error!
1994
m=
146
m  13,7
En moyenne, un colis expédié a pour masse 13,7 kg. Ce résultat est établi en fonction du
regroupement des résultats par classes.
La cinquième colonne est celle des fréquences. Chaque fréquence est le quotient de l’effectif
correspondant par l’effectif total. Les résultats sont arrondis au centième.
Considérons la fréquence 0,164. Cela signifie qu’environ 16,4% des colis expédiés ont une
masse supérieure ou égale à 13 kg et inférieure à 16 kg.
La sixième colonne est celle des effectifs cumulés (croissants).
Considérons l’effectif cumulé 135. Cela signifie que 135 colis expédiés ont une masse
inférieure à 22 kg.
La septième colonne est celle des fréquences cumulées (croissantes). Chaque fréquence
cumulée est le quotient de l’effectif cumulé correspondant par l’effectif total. Les résultats
sont arrondis au centième.
Considérons la fréquence cumulée 0,507. Cela signifie qu’environ 50,7% des colis expédiés
ont une masse inférieure à supérieure ou égale à 13 kg et inférieure à 16 kg.
On peut tracer quelques schémas :
Page 42
4
7
10
13
16
19
22
25
28
Cours
chapitre 14 : statistiques
niveau quatrième
La dernière colonne du tableau de la page précédente sert à tracer la courbe des effectifs
cumulés. On y a indiqué les bornes de droite des classes.
Page 43
Cours
chapitre 15 : théorème de Thalès
niveau quatrième
15. Théorème de Thalès
P est un plan, une unité de longueur est choisie.
ABC est un triangle
M  [AB] et M  A
N  [AB] et N  A
(MN) // (BC)
D’après le théorème de Thalès on peut écrire :
Error!
= Error! et Error! = Error! .
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Cours
chapitre 16 : cône de révolution
niveau quatrième
16. Cône de révolution
E est l’espace. Une unité de longueur est choisie ainsi que l’unité d’aire correspondante et
l’unité de volume correspondante.
16.1 Le cône de révolution
Considérons une plaque rigide en forme de triangle ABC rectangle en A. On fait tourner ce
triangle à une vitesse suffisamment élevée autour de l'axe (AC). L'œil humain perçoit alors un
solide de l'espace appelé cône de révolution.
C
A
B
16.2 Perspective cavalière
Voici une représentation en perspective cavalière d'un cône :
Le disque de base est schématisé par
une ellipse.
Page 45
Cours
chapitre 16 : cône de révolution
niveau quatrième
16.3 Patron
Le patron d'un cône de révolution est constitué d'un disque (base) et d'une partie de disque
(enveloppe latérale).
Ces deux longueurs sont égales
Page 46
Cours
chapitre 16 : cône de révolution
niveau quatrième
16.4 Volume
Le volume V d'un cône de révolution s'obtient en utilisant la même formule que celle utilisée
pour le volume d'une pyramide :
V = Error!  aire de base  hauteur
S
La droite (SA) est perpendiculaire à deux droites
sécantes incluses dans le plan contenant le disque
de base du cône ; elle est donc perpendiculaire au
plan contenant cette base .
SA est appelé hauteur du cône.
A
Si r est le rayon de base du cône, alors son volume V égale Error!  r2 SA.
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Cours
chapitre 17 : distance point-droite, tangente à un cercle
niveau quatrième
17. Distance point-droite, tangente à un cercle
Un plan est muni d'une unité de longueur.
17.1 Distance d'un point à une droite
Considérons une droite d et un point A.
La droite contenant A et perpendiculaire à d coupe d en H.
La distance AH est appelée distance du point A à la droite d. H est appelé projeté orthogonal
de A sur d.
Premier cas :
Ad
d
A
H
d
Deuxième cas :
Ad
Dans ce cas,
AH =0
A
H
Page 48
Cours
chapitre 17 : distance point-droite, tangente à un cercle
niveau quatrième
17.2 Tangente à un cercle
Soit C un cercle de centre O et A un point de ce cercle.
La tangente au cercle C en A est la droite T perpendiculaire à la droite (OA) et contenant A.
A
C
T
O
17.3 Cercle inscrit dans un triangle
Soit EFG un triangle.
Nous avons appris que les trois bissectrices des angles intérieurs de ce triangle sont
concourantes en un point K.
Ce point K est le centre d'un cercle dit inscrit dans le triangle.
De plus les droites (EF), (EG) et (GF) sont tangentes à ce cercle.
E
K
G
F
Page 49
Cours
chapitre 18 : translation
niveau quatrième
18. Translation
Un plan est muni d'une unité de longueur et de l'unité d'aire correspondante.
18.1 Image d'un point
Soit E et F deux points.
Soit A un point. Considérons le point A' tel que EFA'A soit un parallélogramme. On dit alors
que A' est l'image (ou le transformé) du point A par la translation qui transforme (ou amène)
E en F.
F
A'
E
A
18.2 Conservation de la distance
Soit E et F deux points. Considérons la translation qui transforme E en F.
Quels que soient les points A et B d'images respectives A' et B' par cette translation on a :
AB = A'B'.
Page 50
Cours
chapitre 18 : translation
niveau quatrième
18.3 Conservation de l'alignement
Soit E et F deux points. Considérons la translation qui transforme E en F.
Quels que soient les points alignés A, B, C d'images respectives A', B', C' par cette translation
on a :
A', B' et C' sont alignés.
18.4 Conservation des angles
Soit E et F deux points. Considérons la translation qui transforme E en F.
Quel que soit l'angle
par cette translation.
;AOB, appelons A', O' ,B' les images respectives des points A, O, B
Alors on a :
;AOB =
;A’O’B’.
Page 51
Cours
chapitre 18 : translation
niveau quatrième
18.5 Transformation d'une droite, d'un segment de droite, d'une demidroite
Soit E et F deux points. Considérons la translation qui transforme E en F.
Quels que soient les points distincts A et B, d'images respectives A' et B' par cette translation
on a :
Le transformé de la droite (AB) par la translation est la droite (A'B'). (figure 1)
Le transformé du segment de droite [AB] par la translation est le segment de droite [A'B'].
(figure 2)
Le transformé de la demi-droite [AB) par la translation est la demi-droite [A'B'). (figure 3)
Figure 1 :
Page 52
Cours
chapitre 18 : translation
niveau quatrième
Figure 2 :
Figure 3 :
Page 53
Cours
chapitre 18 : translation
niveau quatrième
18.6 Transformation d'un cercle
Soit E et F deux points. Considérons la translation qui transforme E en F.
Quel que soit le cercle de centre I. Appelons I' l'image du point I par cette translation. Alors
on a :
Le transformé du cercle de centre I est le cercle de centre I' et de même rayon.
18.7 Conservation des aires
Soit E et F deux points. Considérons la translation qui transforme E en F.
Soit une figure F dont on connaît l'aire A.
Alors la figure F', transformée par cette translation de la figure F, a même aire A.
F
F'
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