1. Proportionnalité

Cours de mathématiques de quatrième
Bertrand Carry

SOMMAIRE
1. Proportionnalité ............................................................................................................ 5
1.1 Rappels .......................................................................................................................... 5
1.1.1 Premier exemple : .................................................................................................. 5
1.1.2 Deuxième exemple : ................................................................................................ 5
1.1.3 Troisième exemple : ............................................................................................... 5
1.2 Représentation graphique ......................................................................................... 6
1.2.1 A partir d’un tableau de proportionnalité : ........................................................... 6
1.2.2 A partir de points alignés avec l’origine : ............................................................. 6
1.3 Distance, vitesse, temps ............................................................................................ 7
1.4.Pourcentage, exemples .............................................................................................. 7
1.4.1 Appliquer un pourcentage : .................................................................................... 7
1.4.2 Trouver un pourcentage : ....................................................................................... 7
2. Droite des milieux ....................................................................................................... 8
2.1 Théorème 1................................................................................................................... 8
2.2 Théorème 2................................................................................................................... 9
3. Produit, quotient de nombres relatifs............................................................... 10
3.1 Rappel : addition, soustraction .............................................................................. 10
3.2.Produit ......................................................................................................................... 10
3.3.Quotient ....................................................................................................................... 10
4. Droites remarquables du triangle ....................................................................... 12
4.1 Médiatrices ................................................................................................................. 12
4.1.1 Rappel : ................................................................................................................ 12
4.1.2 Médiatrice d’un triangle : .................................................................................... 13
4.1.3 Propriété : ............................................................................................................ 13
4.1.4 Cas du triangle rectangle : ................................................................................... 14
4.2 Hauteurs ...................................................................................................................... 15
4.2.1 Définition : ........................................................................................................... 15
4.2.2 Propriété : ............................................................................................................ 15
4.3 Médianes ..................................................................................................................... 16
4.3.1 Définition : ........................................................................................................... 16
4.3.2 Propriété : ............................................................................................................ 16
4.4 Bissectrices ................................................................................................................. 17
4.4.1 Bissectrice d’un angle : ........................................................................................ 17
4.4.2 Bissectrice d’un triangle : .................................................................................... 17
4.4.3 Propriété : ............................................................................................................ 18
4.5 Cas particulier : le triangle isocèle ....................................................................... 18
5. Quotients ........................................................................................................................ 20
5.1 Quotients égaux ........................................................................................................ 20
5.2 Somme et différence de quotients ........................................................................ 20

5.3 Produit de quotients ................................................................................................. 21
5.4 Inverse d’un nombre non nul ................................................................................. 21
5.5 Quotient de quotients ............................................................................................... 22
6. Théorème de Pythagore .......................................................................................... 23
7. Puissances entières .................................................................................................... 24
7.1 Définitions .................................................................................................................. 24
7.1.1 Exposant entier naturel : ...................................................................................... 24
7.1.2 Exposant entier relatif strictement négatif : ......................................................... 24
7.1.3 Exemples : ............................................................................................................ 24
7.2 Propriétés .................................................................................................................... 25
7.3 Puissances entières de 10 ........................................................................................ 25
7.3.1 Exemples : ............................................................................................................ 25
7.3.2 Propriété : ............................................................................................................ 25
7.3.3 Ecriture scientifique d’un nombre décimal : ........................................................ 25
8. Réciproque du théorème de Pythagore ........................................................... 26
9. Calcul littéral ............................................................................................................... 27
9.1 Développement ......................................................................................................... 27
9.1.1 Rappel : ................................................................................................................ 27
9.1.2 Conséquence : ...................................................................................................... 27
9.2 Parenthèses ................................................................................................................. 27
9.2.1 Opposé d’une somme : ......................................................................................... 27
9.2.2 Soustraction : ....................................................................................................... 28
10. Cosinus d’un angle aigu ...................................................................................... 29
10.1 Définition ................................................................................................................. 29
10.2 Cas du triangle rectangle ...................................................................................... 30
11. Equations ..................................................................................................................... 31
11.1 Techniques ............................................................................................................... 31
11.2 Exemple de résolution ........................................................................................... 31
12. Pyramide ..................................................................................................................... 33
12.1 Vue en perspective cavalière ............................................................................... 33
12.2 Patron ........................................................................................................................ 34
12.3 Volume ...................................................................................................................... 35
13. Comparaisons de nombres ................................................................................. 37
13.1 Nombres positifs ou négatifs ............................................................................... 37
13.2 Symboles .................................................................................................................. 37
13.3 Addition .................................................................................................................... 37
13.4 Multiplication .......................................................................................................... 38
14. Statistiques ................................................................................................................. 39
14.1 Exemple 1 ................................................................................................................ 39
14.2 Exemple 2 ................................................................................................................ 41

15. Théorème de Thalès .............................................................................................. 44
16. Cône de révolution ................................................................................................. 45
16.1 Le cône de révolution ............................................................................................ 45
16.2 Perspective cavalière ............................................................................................. 45
16.3 Patron ........................................................................................................................ 46
16.4 Volume ...................................................................................................................... 47
17. Distance point-droite, tangente à un cercle ................................................ 48
17.1 Distance d'un point à une droite ......................................................................... 48
17.2 Tangente à un cercle .............................................................................................. 49
17.3 Cercle inscrit dans un triangle ............................................................................. 49
18. Translation .................................................................................................................. 50
18.1 Image d'un point ..................................................................................................... 50
18.2 Conservation de la distance ................................................................................. 50
18.3 Conservation de l'alignement .............................................................................. 51
18.4 Conservation des angles ....................................................................................... 51
18.5 Transformation d'une droite, d'un segment de droite, d'une demi-droite . 52
18.6 Transformation d'un cercle .................................................................................. 54
18.7 Conservation des aires .......................................................................................... 54

Cours chapitre 1 : proportionnalité niveau quatrième
Page 5
1. Proportionnalité
1.1 Rappels
1.1.1 Premier exemple :
Considérons le tableau de nombres suivant :
Nombre x
12,5
5
Nombre y
7,5
3
Les nombres x et y sont proportionnels.
1.1.2 Deuxième exemple :
Considérons le tableau de nombres suivant :
Nombre x
Nombre y
2
0,4
3
0,6
5,1
1,02
8,7
1,74
Chaque nombre y s’obtient en multipliant le nombre x correspondant par 0,2. Ce tableau est donc un tableau de
proportionnalité. Les nombres x et y sont proportionnels.
1.1.3 Troisième exemple :
Considérons le tableau de nombres suivant :
Nombre x
3
4,1
10,2
80
92
Nombre y
0,75
1,025
2,55
20
23
Chaque nombre y s’obtient en divisant le nombre x correspondant par 4. Ce tableau est donc un tableau de
proportionnalité. Les nombres x et y sont proportionnels.
 4
12,5  3 = 37,5 et 7,5  5 = 37,5
donc 12,5  3 = 7,5  5
Ce tableau est donc un tableau de proportionnalité.
 0,2