Le produit de deux nombres positifs est positif ( et on multiplie les

FICHE METHODE sur les
NOMBRES RELATIFS
I) A quoi sert un nombre relatif ?
a) Exemples :
. J’ai 200 euros sur mon compte et en retire 500 ! : 200 – 500 = -300 .
.Le sous-marin est 400m en dessous du niveau de la mer ! : -400 .
. Son compte était débiteur de 200 euros mais il a encore retiré 50 euros ! - 200 + ( -50) = - 250.
. La température est d ’exactement 7 degrés en dessous de zéro ! :
-7 .
.Le train était stationné 300m à droite puis a avancé de 500m vers la gauche ! 300 + (-500) = -200
. On cherche un nombre qui ajouté à 20 donne 5 :
. Quelle est la solution de l’équation x + 13 = 0 ? :
. Les prix on évolués de -10% :
-15
-13
( 1 – Error! ) ; 0,9.
b) Remarques :
Les entiers relatifs servent beaucoup dans la vie, ils permettent de préciser des températures, des
altitudes, des soldes de comptes en banque. Ils permettent de trouver la valeur exacte de la solution
de certains problèmes, de certaines équations. Ils servent aussi à préciser la position d’un point sur
un axe gradué en précisant l’abscisse du point. Bref, ce sont des nombres qui servent à préciser la
valeur d’une grandeur qui peut éventuellement être négative. Ont peut bien sur faire des
opérations avec ces nombres.
II) Qu’est ce qu’une différence ? qu’un nombre entier relatif ?:
Définition 1: ( DIFFERENCE ENTRE DEUX REELS )
Soient a et b deux nombres réels .
Il existe un unique nombre, solution de l’équation a + x = b , ce nombre est noté
On dit que b – a est la différence entre b et a.
On a : ( b – a) + a = b et Error!
b–a
Preuve de l’unicité :
Supposons que x soit tel que a + x = b et soit x’ tel que l’on ait aussi a + x’ = b démontrons : x = x’.
. On a : a + x = b et a + x’ = b
. donc a + x = a + x’
. donc
x = x’
C.Q.F.D.
Exemples :  5 + x = 7 donne x = 7 – 5 = 2
Définition 2 : ( OPPOSE D’UN NOMBRE )
 3,8 + x = 3,8 donne x = 3,8 – 3,8 = 0.
Soit a un nombre réel.
Il existe un unique nombre réel x tel que a + x = 0 , ce nombre est noté x = 0 – a
ou plus simplement -a et est appelé « l’opposé de a ». on a donc a + (-a) = (-a) + a = 0
Exemples :
 10 + (-10) = 0

Error!
+ (- Error! ) = 0
  + (-) = 0

Error!
+ (-Error!) = 0
Propriété 1 : ( OPPOSE de L’OPPOSE )
Soit a un réel. On a : -(-a) = a
« l’opposé de l’opposé d’un nombre est le nombre lui même »
Preuve :
On a : -(-a) + (-a) = 0 et a + (-a) = 0 donc -(-a) + (-a) = a + (-a)
on a donc :
a = -(-a)
C.Q.F.D.
Exemples :
 - (-7) = 7
 -(-Error!) = Error!
 -(-) = .
Propriété 2 : ( DIFFERENCE et SOMME )
Soient a et b deux réels. On a :
b – a = b + (-a)
« Soustraire a de b » revient à « ajouter -a à b » ainsi, toute différence peut s’écrire
sous la forme d’une addition .
Preuve :
Soient x = b – a et x’ = b + (-a) ; démontrons x = x’ c’est à dire b – a = b+ (-a).
x est l’unique nombre tel que x + a = b or
on a : x’ + a = ( b + (-a) ) + a = b + ( (-a) + a ) = b + 0 = b
donc x’ = x ( par unicité de x ) .
C.Q.F.D.
Exemples :  3 – 7 = 3 + (-7) = -4
 7 – 3 = 7 + (-3) = + 4  3 – (-7) = 3 + (+7) = 10.
Propriété 3 : ( OPPOSE D’UNE DIFFERENCE)
Soient a et b deux réels. On a : b – a = -(a – b) = a + (-b)
« La différence entre b et a est égale à l’opposé de la différence entre a et b ».
Preuve :
On a : (b – a) + (a – b) = b + (-a) + a +(-b) = b + (-b) + a +(-a) = 0 + 0 = 0
Donc (b – a) + (a – b) = 0 donc (b – a) = - (a – b)
C.Q.F.D.
Exemple :  3 – 7 = 3 + (-7) = -( 7 – 3) = - 4
Propriété 4 : ( OPPOSE D’UNE SOMME )
Soient a et b deux réels. On a : - (a + b) = ( -a) + (-b)
« l’opposé de la somme de a avec b est égale à la somme des opposés de a et b ».
Preuve :
On a : ( (-a) + (-b)) + ( a + b ) = (-a) + a + (-b) + b = 0 + 0 = 0
Donc ( (-a) + (-b)) + ( a + b ) = 0 donc ( (-a) + (-b)) = -( a + b ) C.Q.F.D.
Exemples :  (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10
 -1 + (-1) = -(1 + 1) = -2 .
Définition 3 : ( ENSEMBLE Error! DES ENTIERS RELATIFS )
L’ensemble constitué des nombres entiers naturels et de leurs opposés constitue
l’ensemble des ENTIERS RELATIFS.
Cet ensemble est noté Error! et on a Error!
Exemples :  -10  Error! (  se lit « appartient à » )
 Error!  Error!
III) Comment calculer avec les relatifs et les nombres négatifs ?
Propriété 5 : ( SOMME )
Soient a et b deux nombres réels :
 a + (-b) = ( -b) + a = a – b = -( b – a) .
 (-a) + (-b) = (-b) + (-a) = - ( a + b) .
Preuve : ( voir propriétés 2,3 et 4 )
Exemples :
 -2 + (-5) = -(2 + 5) = -7 .
 -2 + 5 = 5 + (-2) = 5 – 2 = 3
 2 + (-5) = 2 – 5 = -( 5 – 2) -3

Propriété 6 : ( DIFFERENCE )
Soient a et b deux nombres réels :
a – (-b) = a + b
a – b = - ( b –a)
a – b = a + (-b)
Preuve :
a – (-b) = a + ( -(-b)) = a + b
( voir propriétés 2,3 et 4 )
Exemples :
 2 – (-5) = 2 + 5 = 7
 -2 – (-5) = -2 + 5 = 3.
Propriété 7 : ( PRODUIT et REGLE des SIGNES )
Soient a et b deux nombres réels :
1) a  (-b) = ( -b)  a = -( a  b )
2) (-a)  (-b) = (- b)  (- a) = a  b
3) -1 a = -a
Preuve :
1) -(ab) est le seul nombre tel que ab + (-ab) = 0 or
. ab + a(-b) = a( b + (-b)) = a (0) = 0 donc par unicité on a : a(-b) = -ab.
2) ab est le seul nombre tel que -(ab) + ab = 0 donc tel que a(-b) + ab = 0 or
. a(-b) + (-a)(-b) = (a + (-a))(-b) = 0b = 0 donc par unicité on a : ab = (-a)(-b)
3) . si on prend b = 1 dans 1) on obtient -1a = -( a1) = -a
C.Q.F.D.
Exemples :
 -2(-5) = 25 = 10. -2( +5) = - (25) = -10.
 2( -5) = -(25) = -10
Propriété 8 : ( QUOTIENT et REGLE des SIGNES )
Soient a et b deux nombres réels
1) Error!
2) Error!
Error!
Preuve :
1) x = Error!  -bx = -a  -(-bx) = -(-a)  bx = a  x = Error!
2) x = Error!  -bx = a  -(-bx) = -a  bx = -a  x = Error!
2’) b ( Error! + Error! ) = b Error! + b Error! = a + (-a) = 0 or b  0 donc
= -Error! C.Q.F.D.
Exemples : 
Error!
= Error!

Error!
= Error! = - Error!
Error!
+ Error! = 0 donc
 Error! = - Error! = -5 .
Propriété 9 : ( PARENTHESES (moins devant une parenthèse ) )
Quels que soient les nombres réels a, b et c on a les égalités suivante :
a – ( -b) = a + b
a + ( b + c ) = a + b + c ( on peut enlever les parenthèses précédées du signe + en gardant les
signes des termes de la somme qui est entre parenthèses ).
a – ( b + c ) = a – b – c ( on peut enlever les parenthèses et le signe – devant en changeant les
signes des termes de la somme qui est entre parenthèses ).
Preuve : ( conséquences immédiates des propriétés 1, 2, 3, 4 )
Exemples :
 18 – ( 10 – 5 ) = 18 – 10 + 5 = 13.
  – ( 2 – 10 ) =  – 2 + 10
 10 + (  – 2 ) = 10 +  – 2 =  – 2 + 10
 ( 13 – 3 ) – ( 3 + 13 ) = 13 – 3 – 3 – 13 = –2 13.
Propriété 10 : ( SIGNE DE L’OPPOSE )
Soit a un nombre réel,
a < 0 équivaut à -a > 0 a > 0 équivaut à -a < 0
( Si a est négatif alors –a est positif et réciproquement )
Preuve :
. a < 0  a + (-a) < 0 +(-a)  0 < -a
. a > 0  a + (-a) >0 +(-a)  0 > -a C.Q.F.D.
Exemple :
12 > 0 donc -12 < 0
Propriété 11 : ( SIGNE d’un PRODUIT OU d’un QUOTIENT )
Le produit ( ou le quotient ) de deux nombres de même signe est positif
Le produit ( ou le quotient ) de deux nombres de signes contraires est négatif
Preuve : Résulte directement des propriétés 7,8 et 10.
Exemples :
 -12(-13) = 156 est positif  Error! = -13 est négatif.
Définition 4 : ( SIGNE D’UNE DIFFERENCE )
Soit x = b – a la différence entre b et a.
On distingue trois cas :
 Si b < a alors on dit que la différence b – a est négative et on note b – a < 0
 Si b > a alors on dit que la différence b – a est positive et on note b – a > 0
 Si b = a alors on dit que la différence b – a est nulle et on note b – a = 0
Exemple :
 8 – 10 = -2 < 0
 10 – 8 = 2 > 0
 10 – 10 = 0.
Un entier relatif est ou bien positif strict ( +2 ), ou bien nul ( zéro) ou bien négatif strict (-2).
  n’est pas un entier relatif mais est positif  -Error! n’est pas un entier relatif mais est
négatif
a) Définition 3 : ( valeur absolue d’un nombre )
La valeur absolue d’un nombre « a » ( a entier ou non ) est le nombre noté «a » .
Error! et Error!( l’opposé de a )
La valeur absolue d’un nombre est toujours positive ou nulle, elle correspond à la distance
entre le nombre et zéro.
Exemples :
 10 = 10  -10= -(-10) = 10  - =   0,256= 0,256.
 0= 0.
Le produit de deux nombres est le nombre noté a  b ( « a fois b » )
Le produit de deux nombres positifs est positif ( et on multiplie les valeurs absolues )
Le produit de deux nombres négatifs est positif ( et on multiplie les valeurs absolues )
Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif ( on multiplie les valeurs absolues )
P5) PUISSANCES
« a puissance n » ou « a exposant n » où a est un nombre quelconque et n un nombre entier
naturel est le nombre noté an tel que an = a a  …  a avec n facteurs tous égaux à « a ».
Il découle de la règle de signe d’un produit, les règles suivantes pour une puissance :
Une puissance PAIRE ou IMPAIRE d’un nombre POSITIF est positive et on multiplie les
valeurs absolues.
Une puissance PAIRE d’un nombre NEGATIF est POSITIVE et on multiplie les
valeurs absolues.
Une puissance IMPAIRE d’un nombre NEGATIF est NEGATIVE et on multiplie les
valeurs absolues..
Exemples :  (+2)3 = +8 = 8  (+3)4 = +81 = 81  (-3)4 = +81 = 81  (-2)3 = -8.