ÉNERGIE MÉCANIQUE

1 Ba MVABP 5 février 1998
MOUVEMENT DE ROTATION
Énergie cinétique de rotation et moment d'inertie
La masse m d'un corps est la mesure de son inertie de translation. La masse représente l'opposition qu'offre le corps
à voir changer son état de mouvement de translation.
Pour un mouvement de rotation, c'est le moment d'inertie I du système qui représente la mesure de l'opposition
qu'offre ce système à voir changer son état de mouvement de rotation autour d'un axe.
Le système considéré est composé de deux particules de
masse m1 et m2 reliées entre elles par une tige de masse
négligeable. L'ensemble est en rotation à une vitesse
angulaire (en rad/s) autour d'un axe  situé à une
distance r1 de m1 et r2 de m2.
I- Énergie cinétique et moment cinétique
Chacune des masses en rotation possède une vitesse linéaire v. L'énergie cinétique de translation est donnée par
l'expression : EC =
Error!
m v 2
L'énergie cinétique (de translation) du système a donc pour expression : EC =
Error!
m1 v1 2 +
Error!
m2
v2 2
La vitesse de translation, sur une trajectoire circulaire, est proportionnelle à la vitesse angulaire de rotation du
système : v =  r.
En remplaçant v1 et v2 par  r1 et  r2, on obtient :
EC =
Error!
m1 ( r1) 2 +
Error!
m2 (  r2) 2 ou EC =
Error!
(m1 r1 2 + m2 r2 2)  2
L’énergie cinétique associée à la rotation est : EC =
Error!
I  2.
L'énergie cinétique associée à la rotation du système est proportionnelle au moment d’inertie et au carré de la
vitesse angulaire .
L'expression du moment d'inertie du système est donc : I = m1 r1 2 + m2 r2 2
Cette expression met en évidence l'importance qu'a la distribution de la masse autour de l'axe de rotation. Ainsi,
plus la masse est proche de l'axe de rotation, plus l'inertie de rotation (le moment d'inertie) sera petite (et vice-versa
bien sûr). De façon plus générale, pour un système composé de n particules (masses ponctuelles), le moment
d'inertie est donné par : I =  mi ri 2 = I = m1 r1 2 + m2 r2 2 + … + mn rn 2
Dans cette expression, mi représente la masse de la ième particule et ri le rayon de la trajectoire circulaire qu'elle
décrit lorsque le système est en rotation.
Application
Le système précédent possède les caractéristiques suivantes : m1 = 0,8 kg, m2 = 0,5 kg, r1 = 30 cm et r2 = 90 cm.
2
v
Er
re
ur
!
Sig
net
no
n
déf
ini.
Er
re
ur
!
Sig
net
no
n
déf
ini.
v
1
v
Er
re
ur
!
Sig
net
no
n
déf
ini.
Er
re
ur
!
Sig
net
no
n
déf
ini.
v
m2
m1
r1
r2

Quel est son moment d'inertie ?
Le moment d’inertie a pour expression : I = m1 r1 2 + m2 r2 2
A.N. : I = 0,8 0,30 2 + 0,5 0,90 2 soit I 0,477 kg · m2
II- Moments d'inertie et distributions continues de masse
Lorsqu'un système en rotation est homogène (la masse est uniformément distribuée à l’intérieur du volume), il est
possible de calculer l'expression de son inertie de rotation, son moment d'inertie.
Exemple de moment d’inertie
Le solide de masse m est en rotation autour de son axe de symétrie
I = Error! m R 2
I = Error! m R 2
I = Error! m R 2
I = m R 2
Anneau mince ou cylindre creux
(jante) de masse m et de rayon r
I=m r²
Disque ou cylindre plein homogène de
masse m et de rayon r
I = Error! m r²
Manchon peu épais de masse m et
de rayon R
I = m R²
Tige rigide et mince de masse m et de
longueur L
I = Error! m L²
Sphère de masse m et de rayon R
I = Error! m
R²
Tige rigide et mince de masse m et de
longueur L
I = Error! m L²
Exemple : Le volant en fonte d'une machine est assimilable à un cylindre homogène, de diamètre 1,8 m et
d'épaisseur 10 cm ( = 7 200 kg/m). La fréquence de rotation du volant est de 300 tr/min.
Remarque : lorsque des solides, solidaires entre eux, tournent autour d'un même axe, le moment d'inertie de
l'ensemble est la somme de leur moment d'inertie par rapport à cet axe.
Théorème de Huyghens
Le moment d'inertie I d'un solide, relatif à un axe , est égal à la somme du moment d'inertie IG du solide, relatif à
un axe  G passant par le centre d'inertie G du solide parallèle à , et du produit de la masse totale m du solide par
le carré de la distance l des deux axes  et G. I = IG + m l 2

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ÉNERGÉTIQUE : ÉNERGIE MÉCANIQUE
I- Les formes d'énergie mécanique
1- Énergie cinétique
Tout solide en mouvement possède de l'énergie: l'énergie cinétique
a) Solide en translation
L'énergie cinétique est proportionnelle à la masse m du solide et au carré de la vitesse
acquise
EC =
Error!
.m.v2
Exemple: Calculer l'énergie cinétique d'un véhicule de 900 kg lancé à la vitesse de 45
km/h, puis à 90 km/h. Que constate-t-on ?
b) Solide en rotation autour d'un axe fixe
L'énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe est proportionnelle au
carré de la vitesse angulaire et au moment d'inertie J.
EC =
Error!
.J.2
Le moment d'inertie rend compte de la masse m du solide mais aussi de la répartition de
cette masse par rapport à l'axe.
Exemples de moment d'inertie
Le solide tourne autour de son axe de symétrie .
Anneau mince ou cylindre
creux (jante) de masse m et
de rayon r
J=m.r²
Disque ou cylindre plein
homogène de masse m et de
rayon r
J =Error!
m.r²
Manchon peu épais de
masse m et de rayon R
J = m.R²
Tige rigide et mince de
masse m et de longueur L
J = Error!
.m.L²
Sphère de masse m et de
rayon R
J = Error!
.m.R²
Tige rigide et mince de
masse m et de longueur L
J = Error!
.m.L²
Exemple: Le volant en fonte d'une machine est assimilable à un cylindre homogène, de
diamètre 1,8 m et d'épaisseur 10 cm ( = 7 200 kg/m). La fréquence de rotation du volant
est de 300 tr/min.
Lorsqu'un solide tourne autour d'un axe à la vitesse angulaire , la vitesse angulaire
d'un élément du solide situé à la distance r de l'axe est v = r. .
Cet élément 1 de solide à une masse m1, son énergie cinétique EC1 est égale à:
EC1 =
Error!
.m.v2 =
Error!
.m.(r.
Tous les éléments du solide ont la même vitesse angulaire L'énergie cinétique totale du solide
en rotation est la somme des énergies cinétiques des éléments du solide.
EC = EC1 + EC2 + EC3 + …
EC =
Error!
(m1.r12 + m22 + m32 + …)
La somme (m1.r12 + m22 + m32 + …) est le moment d'inertie du solide.
Remarque: lorsque des solides, solidaires entre eux, tournent autour d'un même axe, le moment
d'inertie de l'ensemble est la somme de leur moment d'inertie par rapport à cet axe.
Théorème de Huyghens :

Le moment d'inertie d'un solide J, relatif à un axe , est égal à la somme du moment
d'inertie JG du solide, relatif à un axe  G passant par le centre d'inertie G du solide
parallèle à , et du produit de la masse totale m du solide par le carré de la distance l
des deux axes  et G. J = JG + m.l²
2- Énergie potentielle
L'énergie potentielle est liée à la position du solide : sa variation est égale au produit de la force par
la distance sur laquelle cette force est appliquée.
C'est le cas de l'énergie potentielle gravitationnelle que posséde un solide par sa position dans
l'espace par rapport à la Terre.
Son expression est: .EP = m.g.z
L'énergie potentielle est une grandeur algébrique qui est négative
lorsque la position du solide est en dessous du niveau de référence.
L'énergie potentielle dépend de la référence choisie pour la détermination de l'altitude z.
En fait, on calcule une variation d'énergie qui ne dépend donc de la référence.
Exemple: Un barrage hydroélectrique a une retenue d'eau de 40.106 m3. L'altitude de la
retenue est de 400 m par rapport à l'usine de production.
Il existe d'autres formes d'énergie potentielle que celle de la pesanteur:
- l'énergie potentielle élastique d'un ressort;
- l'énergie potentielle de pression d'un gaz comprimé;
- l'énergie potentielle électrique d'un condensateur chargé
3- Énergie mécanique
L'énergie mécanique totale Em d'un solide est la somme de son énergie cinétique et de son énergie
potentielle
Em = EC + EP
Conservation de l'énergie mécanique
L'énergie mécanique d'un solide isolé se conserve. Elle est constante.
Si le solide est isolé, on peut écrire en deux points A et B:
EmA = EmB soit ECA + EPA = ECB + EPB
Le solide ne doit pas échanger d'énergie avec l'extérieur;
Les forces appliquées au solide, à l'exception du poids, doivent effectuer un travail nul.

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Énergie, capacité d'un système à produire un travail. L'énergie existe sous de multiples formes,
notamment mécanique (voir Mécanique), thermique (voir Thermodynamique), chimique (voir Réaction
chimique), électrique (voir Électricité), rayonnante (voir Rayonnement) et nucléaire (voir Nucléaire,
énergie).
L'énergie peut passer d'une forme à une autre, ou se décomposer en plusieurs formes, mais l'énergie
totale du système demeure constante. Mis en évidence par les physiciens du début du XIXe siècle, ce
principe de la conservation de l'énergie est l'une des bases de la mécanique et de la
thermodynamique.
Énergie mécanique
En mécanique, la matière peut posséder à la fois de l'énergie cinétique, lorsqu'elle est en mouvement,
et de l'énergie potentielle, que lui vaut à tout moment sa position dans un champ de force. Dans de
tels systèmes mécaniques, les changements d'énergie cinétique et d'énergie potentielle s'équilibrent,
de façon à ce que leur somme reste toujours la même.
Dans un pendule en mouvement dans un champ de gravité, par exemple, une énergie cinétique
maximale est atteinte au creux du balancement, mais elle est compensée par une énergie potentielle
minimale puisque le balancier ne peut pas descendre plus bas. De même, en bout de course du
balancier, l'énergie cinétique (la vitesse) tombe à zéro alors que l'énergie potentielle est maximale car
le pendule est au plus haut. Entre ces deux points extrêmes, l'énergie du balancier passe par une
combinaison sans cesse changeante d'énergie cinétique et d'énergie potentielle, leur somme restant
constante.
Énergie chimique et électrique
La matière peut également renfermer de l'énergie chimique, libérée lors de réactions exothermiques.
Un morceau de magnésium, par exemple, relâche son énergie chimique potentielle sous forme de
chaleur et de lumière lorsqu'il est enflammé en présence d'oxygène. Certaines réactions peuvent être
réalisées pour l'obtention d'un travail cinétique. Ainsi, dans une arme à feu, l'énergie chimique
potentielle de la poudre à canon est transformée en chaleur et en bruit, mais surtout en énergie
cinétique du projectile. Ce principe est également à la base du moteur à réaction et du moteur fusée.
Dans le principe de la pile électrique, une énergie potentielle chimique est convertie en mouvement
d'électrons, c'est-à-dire en courant électrique. Cette énergie électrique peut également être obtenue en
convertissant l'énergie cinétique d'une dynamo en rotation, selon le principe de l'induction
électromagnétique. L'énergie électrique obtenue peut elle-même être transformée en mouvement ou
en travail dans les moteurs et les appareils électriques.
Un rayonnement électromagnétique, pour sa part, possède une énergie qui dépend de sa longueur
d'onde et de sa fréquence. Cette énergie est impliquée dans de nombreuses transformations : elle est
emmagasinée par la matière lorsque celle-ci absorbe un rayonnement, et peut être restituée à
l'environnement sous forme de lumière ou de chaleur.
Entropie et relativité
La chaleur est la forme la plus simple d'énergie, et consiste en un mouvement désordonné de
molécules et d'atomes. Elle est omniprésente dans les transformations d'énergie, dont elle constitue
souvent un déchet inutilisable. Dans les appareils mécaniques, par exemple, on ne peut éviter la
conversion d'un certain pourcentage d'énergie en chaleur de friction dans les pièces. De même dans
les circuits électriques, des pertes de travail utile proviennent de la conversion de l'énergie électrique
en chaleur dans les fils. C'est cette détérioration de la «qualité» de l'énergie au cours de ses
multiples transformations qui est exprimée dans le principe d'entropie.
Alors que les équations de l'entropie règnent sur les transformations thermodynamiques, d'autres
principes entrent en jeu à l'échelle de l'atome et dans les systèmes où les événements se déroulent à