Mémento de géométrie

Mémento de géométrie M. De Bock page 1
Mémento de géométrie
Définitions
POINT
Le point M est le milieu du
segment [AB]
M est le point de [AB] situé à égale
distance de A et de B 1. Le point M est le centre de symétrie de [AB]
2.
→
AM =
→
MB ou
→
AM +
→
MB =
→
AB ou
→
AM +
→
BM =
→
0 ou
→
AM = 1
2
→
AB
DROITES
Les droites a et b du plan sont
parallèles
ou
Les droites a et b de π sont :
- parallèles distinctes (elles n’ont
pas de point commun)
- parallèles confondues (tous les
points sont communs)
Les droites a et b sont sécantes
Les droites a et b ont un point
commun
La droite m est la médiatrice du
segment [AB]
La droite m est l’axe de symétrie du
segment [AB] 1. La droite m est perpendiculaire à la droite AB et comprend le milieu M de
[AB]
2. La droite m est l’axe de la symétrie
qui applique le point A sur le point B.
La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.
La droite b est la bissectrice de
l’angle α
La droite b est l’axe de symétrie de
l’angle α 1. La droite b est l’axe de symétrie qui
applique la demi-droite [OA sur la
demi-droite [OC
2. La droite b partage l’angle α en 2
angles de même amplitude
La bissectrice d’un angle est l’ensemble des points situés à égale distance des côtés de l’angle
ANGLES
Les angles
a
AOC et
a
BOD sont
opposés par le sommet
Les angles :
-
d
3et
d
5,
d
4et
d
6sont alternes-
internes
-
d
1et
d
7,
d
2et
d
8 sont alternes-
externes
-
d
1 et
d
5 ,
d
2 et
d
6,
d
3 et
d
7,
d
4 et
d
8
sont correspondants.
Des angles opposés par leur sommet ont la même amplitude
Des parallèles déterminent sur une sécante des angles alternes-internes, des angles alternes-externes, des angles correspondants de même amplitude.
Les angles
d
A
1
et
d
A
2
sont
complémentaires
Deux angles sont complémentaires
si la somme de leurs amplitudes
vaut 90°
d
A
1
+
d
A
2
= 90°
Les angles
d
A
1
et
d
A
2
sont
supplémentaires
Deux angles sont supplémentaires
si la somme de leurs amplitudes
vaut 180°
d
A
1
+
d
A
2
= 180°
M A B
a b a = b
b
O C
A
a b
B
A
C
O
D
1 2
A
A B
m
M
1 2
A
1 2
3
4
5 6
7
8

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TRIANGLES
1. La longueur du segment dont les extrémités sont les milieux de deux côtés d’un triangle vaut la moitié de la longueur du troisième côté.
2. La droite qui comprend les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.
3. La somme des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle est 180°.
4. Dans tout triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Médiatrices d’un triangle
Médiatrice d’un côté d’un triangle. La médiatrice d’un côté d’un triangle
est la droite perpendiculaire à ce côté
qui comprend son milieu.
Les 3 médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
Bissectrices d’un triangle
Bissectrice d’un angle du triangle. 1. La bissectrice d’un angle d’un
triangle est la droite qui partage cet
angle en deux angles de même
amplitude.
2. La bissectrice d’un angle d’un
triangle est l’axe de symétrie de cet
angle.
Les 3 bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit à ce triangle.
Hauteur d’un triangle
Une hauteur d’un triangle est une
droite qui comprend un sommet et
qui est perpendiculaire au côté
opposé.
Les 3 hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point qui est l’orthocentre de ce triangle.
Médiane d’un triangle Une médiane d’un triangle est une
droite qui comprend un sommet et
le milieu du côté opposé.
Les 3 médianes d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre de gravité de ce triangle.
G est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet correspondant.
B
C
A
A
B
C
A
b
B
C
A
B
C
A
C
I
O
M
G

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B
C
A
Triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle
qui a deux côtés de même longueur.
Le sommet commun aux deux côtés
de même longueur est le sommet
principal.
d
A est l’angle au sommet.
Le côté opposé au sommet principal
est la base.
1. Les angles à la base d’un triangle
isocèle ont la même amplitude.
2. Un triangle isocèle admet un axe de
symétrie.
Dans tout triangle isocèle, la médiatrice de la base est en même temps hauteur et médiane relatives à la base et bissectrice de l’angle au sommet.
Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un
triangle dont les côtés ont la même
longueur.
1. Les angles d’un triangle équilatéral
ont la même amplitude.
2. Un triangle équilatéral admet trois
axes de symétrie.
Triangle rectangle
Un triangle rectangle est triangle
qui a un angle droit.
Le côté opposé à l’angle droit est
l’hypoténuse.
Un triangle rectangle a deux côtés
perpendiculaires.
QUADRILATERES
Trapèze
Un trapèze est un quadrilatère dont
deux côtés opposés sont parallèles.
1. La longueur du segment dont les extrémités sont les milieux des deux côtés non parallèles d’un trapèze convexe vaut la moitié de la somme des
longueurs des deux bases.
2. La longueur du segment dont les extrémités sont les milieux des deux côtés non parallèles d’un trapèze non convexe vaut la moitié de la différence
des longueurs des deux bases.
3. La droite qui comprend les milieux des deux côtés non parallèles d’un trapèze est parallèle aux bases de ce trapèze.
4. La somme des amplitudes des angles intérieurs d’un trapèze est 360°.
Trapèze isocèle
Un trapèze isocèle est un trapèze
dont les côtés non parallèles ont la
même longueur.
Un trapèze isocèle admet un axe de
symétrie.
Parallélogramme
Un parallélogramme est un
quadrilatère dont les côtés opposés
sont parallèles.
1. Il admet un centre de symétrie :
l’intersection des diagonales.
2. Les côtés opposés ont la même
longueur.
3. Les diagonales se coupent en leur
milieu.
4. Deux angles opposés ont la même
amplitude (
d
A =
d
C,
d
B =
d
D).
5. Deux angles consécutifs sont
supplémentaires (
d
A +
d
B =.
d
B +
d
C =
d
C +
d
D =
d
D +
d
A = 180°).
Un quadrilatère est un parallélogramme ssi deux côtés opposés ont même longueur
Rectangle
Un rectangle est un
parallélogramme dont les angles
sont droits.
1. Il admet deux axes de symétrie : les
médianes.
2. Les diagonales d’un rectangle ont la
même longueur
B
C
A
B
C
A
A B
C
D
A B
C
D
O
A B
C
D

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Losange
Un losange est un parallélogramme
dont les côtés ont la même
longueur.
1. Il admet deux axes de symétrie : les
diagonales.
2. Les diagonales d’un losange sont
perpendiculaires.
Carré
Un carré est à la fois un rectangle et
un losange.
CERCLE
Le cercle de centre C et de rayon r
est l’ensemble des points du plan
situés à la distance r du point C.
Diamètre d’un cercle de centre C.
Un diamètre est axe de symétrie du
cercle. Un diamètre est une droite qui comprend le centre du cercle.
1. Selon le contexte, le mot « diamètre » désigne une droite comprenant le centre du cercle, un segment de droite comprenant le centre dont les extrémités
appartiennent au cercle (= une corde qui comprend le centre) ou, parfois, la longueur de ce segment.
2. Si un côté d’un triangle est diamètre d’un cercle et si le troisième sommet appartient à ce cercle, alors ce triangle est rectangle
C
r
C
A B
C D
D
A
B
C
C
A
B