Un th´eor`eme de Rokhlin en lien avec le seizi`eme probl`eme de

Lucien Hennecart
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Ecole Normale Sup´erieure de Rennes
Magist`ere de Math´ematiques 2eann´ee
stage effectu´e sous la direction de
M. Jean-Yves Welschinger
Institut Camille Jordan
Universit´e Claude Bernard Lyon 1
43 boulevard du 11 novembre 1918
F-69622 Villeurbanne Cedex
Un th´ eor` eme de Rokhlin en lien avec le
seizi` eme probl` eme de Hilbert
mai-juin 2016

Je tiens `a remercier Jean-Yves Welschinger pour avoir accept´e d’encadrer mon stage,
pour avoir ´et´e tr`es disponible pendant ces deux mois pour r´epondre `a mes questions et pour
m’avoir fait d´ecouvrir les math´ematiques qui ont permis des avanc´ees sur le seizi`eme probl`eme
de Hilbert.
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Table des mati`eres
1 Introduction 4
2 Quelques r´esultats de topologie alg´ebrique 5
2.1 Dualit´e de Poincar´e et formules des coefficients universels . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Th´eoriedeSmith .................................. 7
2.3 Caract´eristique d’Euler d’une surface compacte orientable . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Homologie des espaces projectifs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 La formule de Riemann-Hurwitz et la formule du genre pour les courbe
planes 9
3.1 Formule de Riemann-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Formule du genre pour les courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Premiers r´esultats concernant les ovales 12
5 Revˆetements ramifi´es de vari´et´es 16
6 Quelques r´esultats sur les formes quadratiques enti`eres 17
7 Vari´et´es presque complexes 18
8 Vari´et´es et involutions 19
9 Th´eorie de l’intersection 21
10 Th´eorie des fibr´es 21
11 Th´eor`eme de Rohklin pour les M-vari´et´es 22
11.1 La signature des involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
12 Application des r´esultats `a la d´emonstration du th´eor`eme de Rokhlin pour
les ovales 26
13 Le cas des courbes s´eparantes 33
3

1 Introduction
Dans ce travail, nous nous int´eressons `a la topologie des courbes alg´ebriques sur le plan
projectif r´eel. ´ Etant donn´e un polynˆome homog`ene `a coefficients r´eels de degr´e den trois
ind´etermin´ees, f(X0, X1, X2), non singulier 1, on note
X={(x0, x1, x2)∈CP2|f(x0, x1, x2)=0}
XR={(x0, x1, x2)∈RP2|f(x0, x1, x2) = 0}
Si XRest non vide, c’est alors une sous-vari´et´e lisse du plan projectif de dimension 1 2
et compacte, donc compos´ee d’un nombre fini de composantes connexes , chacune ´etant
hom´eomorphe au cercle (voir l’annexe de [Mil91] pour une d´emonstration). On est alors amen´e
`a se demander quelles peuvent ˆetre les positions relatives 3de ces composantes connexes. C’est
cette question qui constitue la premi`ere partie du seizi`eme probl`eme de Hilbert, que l’on peut
reformuler de la mani`ere suivante :
Quelles sont `a isotopie pr`es les positions relatives possibles des diff´erentes composantes
connexes d’une courbe alg´ebrique de degr´e d dans le plan projectif ?
Si l’on consid`ere l’ensemble X, alors la formule du genre pour les courbes planes caract´erise
X, qui est une surface de Riemann de genre
g=(d−1)(d−2)
2.
Dans le cas r´eel, ce n’est pas si simple et une classification par le degr´e, comme cela est
possible pour le cas complexe, est illusoire. On le voit facilement en consid´erant par exemple
f1(X0, X1, X2) = X2
0+X2 1+X2 2
dont le lieu des z´eros dans RP2est vide, et
f2(X0, X1, X2) = X2
0+X2 1−X2 2
qui d´efinit une ellipse.
Le probl`eme pos´e revˆet deux aspects. Le premier est la d´etermination de contraintes sur
les positions relatives des ovales. Le second est la v´erification de l’optimalit´e des contraintes
trouv´ees, en construisant les courbes correspondant aux situations non exclues par les contraintes.
Ce travail se concentre sur le premier aspect.
Ce rapport repose sur l’article de George Wilson [Wil77]. Les r´ef´erences que j’ai utilis´ees
sont list´ees `a la toute fin et j’ai essay´e de faire apparaˆıtre dans le texte les lieux o`u chacune
m’a servi.
1. Condition que l’on traduit analytiquement par la non-annulation des quatre polynˆomes homog`enes f,
∂X0f,∂X1fet ∂X2f
2. Par application du th´eor`eme d’inversion locale dans les cartes, nous y reviendrons
3. Nous pr´eciserons en temps voulu ce que l’on entend par positions relatives.
4

2 Quelques r´esultats de topologie alg´ebrique
2.1 Dualit´e de Poincar´e et formules des coefficients universels
On red´efinit ici les notions indispensables `a la suite de ce travail. On se r´ef`ere `a [Hat01]
pour les preuves.
Dans cette partie, on consid`ere un espace topologique X. Nous notons Hn(X;G) le negroupe
d’homologie singuli`ere `a coefficients dans le groupe ab´elien G. On sera amen´e `a utiliser les
cas G=Z,G=Ret G=Z/2Z. De la mˆeme mani`ere, on note Hn(X;G) le negroupe de
cohomologie singuli`ere `a coefficients dans G.
D´efinition 2.1 (Caract´eristique d’Euler-Poincar´e d’un espace topologique).On suppose que
les groupes d’homologie de X`a coefficients entiers, Hn(X;Z), sont des Z-modules de type
fini et que seul un nombre fini d’entre eux sont non nuls. On d´efinit alors la caract´eristique
d’Euler-Poincar´e de Xcomme
χ(X) = X
i≥0
(−1)irank Hi(X;Z)
o`u rank Hi(X;Z)est le nombre maximal d’´el´ements d’une famille Z-libre dans Hi(X;Z).
En particulier, pour une vari´et´e topologique compacte de dimension n, seuls les n+ 1
premiers groupes d’homologie sont ´eventuellement non nuls(cela d´ecoule essentiellement de
la suite exacte de Mayer-Vietoris et de ce r´esultat ´etabli pour un ouvert d’un Rn, ainsi que
du th´eor`eme de plongement de Whitney qui permet de se ramener `a des sous-vari´et´es de Rn.
On peut se r´ef´erer `a [Pro]), et sont de type fini, et donc on peut d´efinir la caract´eristique
d’Euler-Poincar´e.
Le premier r´esultat important liant homologie et cohomologie est celui de dualit´e de Poin-
car´e que voici ´enonc´e dans le cas particulier o`u G=Z/2Z.
Theor`eme 2.1 (Dualit´e de Poincar´e).Si Xest une vari´et´e compacte de dimension n, alors
on a :
Hk(X;Z/2Z)'Hn−k(X;Z/2Z).
pour tout entier naturel k.
Ce r´esultat peut-ˆetre adapt´e `a un anneau Aquelconque `a la place de Z/2Z`a condition
que la vari´et´e consid´er´ee soit A-orientable. On renvoie `a [Hat01] pour plus de d´etails.
D´efinition 2.2 (Le bifoncteur Ext pour les groupes ab´eliens).Soit Het Gdeux groupes
ab´eliens. Soit . . . →F1→F0→H→0une r´esolution libre de H. En dualisant cette suite,
on obtient une nouvelle suite :
. . . ∂2 ←Hom(F1, G)∂1 ←Hom(F0, G)←Hom(H, G)←0.
On d´efinit alors
Extn(H, G) = Ker ∂n+1/Im ∂n.
Cette d´efinition est consistante au sens o`u une autre r´esolution libre de Hdonnerait un groupe
ab´elien isomorphe.
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