Anneaux et idéaux

LM372 Ann´ee acad´emique 2010-2011
Anneaux et id´eaux
Travaux dirig´es Feuille d’exercices 2
•Exercice 1
´
Etant donn´es deux id´eaux aet bd’un anneau A, on pose
a+b={a+b|a∈a, b ∈b}et ab ={a1b1+· · ·+anbn|a1, . . . , an∈a, b1, . . . , bn∈b}.
(1) Montrer que les sous-ensembles a·b,a∩bet a+bsont des id´eaux de A.
(2) Montrer que a∩best le plus grand id´eal de Acontenu dans aet dans bet que
a+best le plus petit id´eal contenant aet b.
(3) Montrer que l’on a l’inclusion ab ⊂a∩b, et que c’est une ´egalit´e si a+b=A.
(4) Montrer que A/a∩best isomorphe `a A/a×A/bsi et seulement si a+b=A.
(5) Montrer que si aet bsont premiers entre eux (i.e. si a+b=A) alors il en est de
mˆeme pour les id´eaux an+bmpour tout couple d’entiers n, m > 0.
(6) Soient n > 1 un entier et a,bdeux id´eaux d’un anneau A. On suppose que aet
bsont premiers entre eux. Montrer que si l’intersection a∩best une puissance
n-`eme, alors il en est de mˆeme pour aet b.
Corrig´e. Les points 1) et 2) sont de simples v´erifications.
(3) Consid´erons un ´el´ement x∈ab. On a alors l’identit´e x=a1b1+· · · +anbnavec a1, . . . , an∈a
et b1, . . . , bn∈b. En particulier, pour tout i, on obtient la relation aibi∈aet, par cons´equent
x∈a. On a de mˆeme x∈bet par cons´equent x∈a∩b. Supposons maintenant que a+b=A,
ce qui revient `a affirmer que l’on a l’identit´e a+b= 1, avec a∈aet b∈b. Soit finalement
x∈a∩b. On a alors les relations
x= 1 ·x= (a+b)x=ax +bx.
L’´el´ement xappartenant `a b, on en d´eduit que ax appartient `a ab. Il en est de mˆeme pour bx,
et `a fortiori pour leur somme.
1

2
(4) On a un homomorphisme canonique
Aϕ →A/a×A/b
ayant a∩bcomme noyau. On en d´eduit un isomorphisme entre l’image de ϕet le quotient
A/a∩b. Montrons que ϕest surjectif si et seulement si a+b= 1. Tout d’abord, si ϕest
surjectif, il existe a∈aet b∈btels que ϕ(a) = (1,0) et ϕ(b) = (0,1). On en d´eduit les relations
ϕ(a+b) = ϕ(a) + ϕ(b) = (1,1) = ϕ(1),
ce qui impliqe que l’´el´ement c= 1 −a−bappartient `a a∩b. On alors l’identit´e
1 = a+b+c∈a+b,
ce qui se traduit par a+b=A. R´eciproquement, soient a∈aet b∈btels que a+b= 1. On a
alors les relations
ϕ(b)=(b, b) = (1 −a, b) = (1,0) et ϕ(a)=(a, a)=(a, 1−b) = (0,1),
ce qui implique que ϕest surjectif. En effet, ´etant donn´es x, y ∈A, on a les identit´es
ϕ(ay +bx) = ϕ(ay) + ϕ(bx) = ϕ(a)ϕ(y) + ϕ(b)ϕ(x) = (0,1) ·(y, y) + (1,0) ·(x, x)=(x, y).
(5) Soient a∈aet b∈btels que a+b= 1. On obtient alors les relations
1 = (a+b)n+m−1=
n
X
i=0 2n−1
iaibn+m−1−i.
Pour i≥n, l’´el´ement aibn+m−1−iappartient `a an. Pour i<n, on obtient l’in´egalit´e n+m−1−i >
m−1 et donc n+m−1−i≥m, ce qui implique que l’´el´ement aibn+m−1−iappartient `a bm.
On en d´eduit donc que 1 ∈an+bmet donc que an+bm=A.
(6) D’apr`es le point (3), on a l’identit´e a∩b=ab. En posant ab =cn, on obtient alors les relations
(a+c)n=an+an−1c+· · · +acn−1+cn=an+an−1c+· · · +acn−1+ab =
=a(an−1+an−2c· · · +cn−1+b) = a(A+an−2c+· · · +cn−1) =
=aA=a.
Ci-dessus, on a utilis´e le fait que, d’apr`es le point pr´ec´edent, les id´eaux an−1et bsont premiers
entre eux. De mani`ere analogue, on obtient l’identit´e (b+c)n=b.
•Exercice 2
Soit Aun anneau. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes:
(1) Aest un corps.
(2) A[X] est principal.
Corrig´e. Une des implications est un r´esultat du cours. Supposons donc que A[X] est principal. En
particulier, A[X] est int`egre, et il en est de mˆeme pour A, qui est un sous-anneau. L’homomorphisme
d’´evaluation
A[X]ϕ →A
f7→ f(0)

3
est clairement surjectif (il suffit de consid´erer les polynˆomes constants). Son image ´etant int`egre, ker(ϕ)
est un id´eal premier non nul (car il contient l’´el´ement X) donc maximal (car A[X] est principal, cf. le
cours). On en d´eduit alors que Aest un corps.
•Exercice 3
Soit Aun anneau. Une application f:A→Aest polynomiale s’il existe un polynˆome
g∈A[X] tel que f(x) = g(x) pour tout x∈A. Montrer que les conditions suivantes sont
´equivalentes:
(1) Aest un corps fini.
(2) Toute application f:A→Aest polynomiale.
Corrig´e. Supposons d’abord que Rest un corps fini. Pour tout ´el´ement x∈R, consid´erons le polynˆome
χx=−X|R|−X
X−x=−Y
y∈R−{x}
(X−y)∈R[X].
On a alors l’identit´e
χx(y) = (1 si y=x,
0 sinon.(1)
En particulier, pour toute application f:R→R, on obtient la relation
f=X
x∈R
f(x)χx∈R[X].
R´eciproquement, si toute application f:R→Rest polynomiale, montrons d’abord que Rest un corps.
Fixons x∈Rnon nul. L’application χxd´efinie par la relation 1 est donc polynomiale,
χx=
n
X
i=0
aiXi∈R[X],
et l’identit´e f(0) = 0 implique que a0est nul. On obtient alors la relation
f(x) = x
n
X
i=1
aixi−1= 1
et l’´el´ement xest donc inversible. Finalement, l’anneau R´etant un corps, l’application χ0, qui est
polynomiale et non-identiquement nulle (car Rposs`ede au moins deux ´el´ements), admet un nombre fini
de racines (les ´el´ements de R×), ce qui montre la finitude de R.
•Exercice 4
Soit Aun anneau.
(1) Montrer qu’un id´eal ade Aest premier (resp. maximal) si et seulement si le
quotient A/aest int`egre (resp. un corps). En d´eduire que tout id´eal maximal est
premier.
(2) Soit f:A→Bun homomorphisme d’anneaux. Montrer que si best un id´eal
premier de Balors l’image r´eciproque a=f−1(b) est un id´eal premier de A. Si
Spec(A) d´esigne l’ensemble des id´eaux premiers de A(un tel ensemble est appel´e
spectre premier de A), on obtient don une application f∗: Spec(B)→Spec(A).
Montrer que si fest surjective alors f∗est injective.

4
Corrig´e.
(1) ` A la diff´erence du cours, on dira qu’un id´eal pde Aest premier si lorsqu’un produit ab appartient
`a pimplique que a∈pou b∈p. De mˆeme, un id´eal mest maximal s’il n’est contenu dans aucun
id´eal propre de A. En d’autres termes si aest un id´eal tel que m(a⊂Aalors a=A. Soit donc
pun id´eal de Aet pour tout a∈A, indiquons par ¯ason image canonique dans A/p. Supposons
d’avoir ¯a¯ b= 0, ce qui revient `a ab = 0 et est ´equivalent `a ab ∈p. Si pest premier alors on
obtient a∈pou b∈pet donc ¯a= 0 ou ¯ b= 0, ce qui implique que l’anneau A/pest int`egre.
R´eciproquement, si l’anneau A/pest int`egre, alors on obtient ¯a= 0 ou ¯ b= 0, ce qui se traduit
par a∈pou b∈bet l’id´eal pest donc premier. Soit maintenant mun id´eal maximal de A. Un
´el´ement x= ¯ade A/mest non nul si et seulement si an’appartient pas `a m. Par maximalit´e de
m, on obtient alors la relation A=m+aA, ce qui se traduit par l’existence de deux ´el´ements
b∈aet m∈mtels que m+ab = 1. En posant y=¯ b∈A/m, on obtient alors l’identit´e xy = 1.
En r´esum´e, tout ´el´ement non nul de A/mest inversible, ce qui implique que A/mest un corps.
R´eciproquement, si A/mest un corps, supposons d’avoir une suite d’inclusions m(a⊂A. Il
existe alors un ´el´ement a∈an’appartenant pas `a m. L’anneau A/m´etant un corps, il existe
b∈Atel que ¯a¯ b= 1, ce qui se traduit par ab = 1 + m, avec m∈M. En particulier, on obtient
la relation 1 = ab −m∈aA +met par cons´equent l’identit´e aA +m=A. Les inclusions
m(aA +m⊂a⊂A
impliquent alors que a=A.
(2) Soient a, b ∈Atels que ab ∈a. On obtient alors les relations
f(ab) = f(a)f(b)∈f(a) = f(f−1(b)) ⊂b.
Si l’id´eal best premier, on obtient alors f(a)∈bou f(b)∈b, ce qui implique que a∈a=f−1(b)
ou que b∈a=f−1(b). L’id´eal aest donc premier. On aurait ´egalement pu proc´eder de la
mani`ere suivante: l’homomorphisme finduit un homomorphisme injectif A/a→B/b. En effet,
le noyau de l’homomorphisme A→B/bobtenu en composant favec la projection canonique
B→B/bn’est autre que a=f−1(b). En particulier, le quotient A/aest isomorphe `a un
sous-anneau de A/b. L’anneau A/b´etant int`egre, il en est alors de mˆeme pour A/a. On a bien
une application naturelle f∗: Spec(B)→Spec(A). Finalement, si fest surjectif, pour tout
sous-ensemble Sde B, on a l’identit´e f(f−1(S)) = S. En particulier, si p,q∈Spec(B) v´erifient
l’identit´e f∗(p) = f∗(q), on obtient alors les relations
p=f(f−1(p)) = f(f∗(p) = f(f∗(q)) = f(f−1(q) = q,
ce qui montre que l’application f∗est injective.
•Exercice 5
Soit Aun anneau commutatif (unitaire) et posons
c(A) = {n∈Z|na = 0 ∀a∈A}.
(1) Montrer que c(A) est un id´eal de Z. L’unique g´en´erateur car(A)≥0 de c(A) est
la caract´eristique de A.
(2) Montrer que si Aest int`egre alors c(A) est un id´eal premier. Que peut-on alors
dire de car(A)?

5
Corrig´e.
(1) Consid´erons l’homomorphisme canonique ϕ:Z→Ad´efini par ϕ(n) = n·1. On v´erifie
imm´ediatement que c(A) est le noyau de ϕ. En effet, pour tout nc(A), on a en particulier
n·1 = 0. R´eciproquement, si bappartient `a ker(ϕ) alors on obtient les relations
n·a=n(1 ·a)=(n·1)a= 0.
(2) L’anneau A/c(A) s’identifie via ϕ`a un sous-anneau de A. En particulier, si Aest int`egre, il en
est de mˆeme pour A/c(A). On en d´eduit alors que c(A) est un id´eal premier de A; l’entier car(A)
est donc soit nul, soit un nombre premier.
•Exercice 6
Soit Aun anneau et indiquons par A×le groupe de ses ´el´ements inversibles. On dit que
Aest local s’il poss`ede un unique id´eal maximal. Montrer que les conditions suivantes
sont ´equivalentes:
(1) L’anneau Aest local.
(2) L’ensemble m=A−A×des ´el´ements non inversibles est un sous-groupe de A.
(3) L’ensemble mci-dessus est un id´eal de A.
Corrig´e.
(1)⇒(2) Soit Ml’id´eal maximal de A. Tout d’abord, on a clairement 0 ∈m. Il faut juste v´erifier que
pour x, y ∈m, on a x−y∈m. Si tel n’´etait pas le cas, il existerait z∈Atel que zx −zy = 1. Or, xet y
n’´etant pas inversibles, les id´eaux xA et yA sont contenus dans Met il en est alors de mˆeme pour leur
somme a=xA +yA. Or, l’identit´e zx −zy = 1 implique que a=A, ce qui est absurde.
(2)⇒(3) Il faut montrer que pour tout a∈met tout b∈A, on a ab ∈m. Dans le cas contraire, ab
serait inversible, d’inverse c(disons). L’´el´ement bc serait alors l’inverse de a, ce qui est absurde.
(3)⇒(1) Soit aun id´eal de Aqui n’est pas contenu dans m. Il existe alors un ´el´ement a∈atel que
a /∈m. Dans ce cas, par construction, aest inversible et par cons´equent a=A. En d’autres termes, tout
id´eal propre de Aest contenu dans m, ce qui implique que aest l’unique id´eal maximal de A.
•Exercice 7
Dans la suite, on note A=Z[i] l’anneau des entiers de Gauss. On d´efinit la norme d’un
´el´ement x=a+ib ∈Apar la relation N(x) = a2+b2. Montrer que Aest euclidien par
rapport `a la norme: ´etant donn´es x, y ∈Aavec x6= 0, il existe q, r ∈Aavec N(r)< N(x)
v´erifiant l’identit´e
y=qx +r.
En d´eduire que Aest principal.
Corrig´e. Nous allons montrer que pour tout z∈Q(i), il existe q∈Z[i] tel que N(z−q)<1. Le point
cl´e est le fait que pour tout c∈Q, il existe t∈Ztel que |c−t| ≤ 1
2. Posons donc z=a+ib, avec a, b ∈Q
et soit q=n+im avec n, m ∈Qv´erifiant |a−n| ≤ 1
2et |b−m| ≤ 1 2. On obtient alors les relations
N(z−q)=(a−n)2+ (b−m)2≤1
4+1 4=1 2<1.