Cohomologie des groupes compacts totalement

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
A DRIEN D OUADY
Cohomologie des groupes compacts totalement discontinus
Séminaire N. Bourbaki, 1958-1960, exp. no 189, p. 287-298
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Séminaire BOURBAKI
année, 1959/60,
12e
n° 189
Décembre 1959
COHOMOLOGIE DES GROUPES COMPACTS TOTALEMENT DISCONTINUS
(1)
par Adrien DOUADY
[d’après
des notes de
Serge LANG
article
sur un
non
publié
de
TATE]
Groupes compacts totalement discontinus.
1.
désignera la catégorie des groupes compacts totalement dis(et homomorphismes continus). Ces groupes sont les limites projectives de
Dans cet
continus
exposé, (
groupes finis.
EXEMPLE. ou
Groupe de Galois topologique
d’une extension
GE/K
finie
galoisienne
infinie.
THÉOREME
1. - Soit
G , tels que
G
un
E c F . Alors il existe
DÉMONSTRATION.
a. Cas où
F/E est fini.-Soit
que H n F c E . La projection
~
par
compacité ;
choisissant
b. Cas
(S , s)
un
soit
S
On utilise
est
un
H
dans
un
et
des sous-groupes fermés de
E
section «
une
continue :
sous-groupe ouvert
un
: HE/E
--~
représentant
général
où
rr:
F
de 1 ’
groupe
G/F
-3
HE/E ,
y
son
tel
biunivoque, donc bicontinue
inverse, on prolonge ~’ à G/F en
mod H .
lemme pour montrer que
sous-groupe fermé de
G
de
est
classe
chaque
distingué
l’ensemble é
tel que
G
E cScF ,et
des
s
couples
une
sec-
tion continue :
est inductif
0
LEMME 1. - Soit
G
un
de sous-groupes fermés de
On
se
rement
()
sert de
S
=
E,
Faute de
(a.)
ce
groupe compact,
G ,
S = n
S~ .
Sa
une
Alors
pour montrer que pour
un
famille filtrante décroissante
G/S
=
lim G/S~ .
élément maximal
de ~ ,
qui démontre le théorème 1.1.
place,
les démonstrations ont été réduites
287
au
minimum.
nécessai-
DEFINITION. .
On
appellera
nombre surnaturel
expression formelle
une
r
où
décrit l’ensemble des nombres
premiers, les exposants
entiers 3 0 ou eo .
des
p
On définit de
façon
étant
rP
naturelle le
produit, le plus grand commun dénominateur
(pgcd) ou le plus petit commun multiple (ppcm) d’une famille finie ou infinie de
nombres surnaturels. On définit l’indice (G : F) d’un
sous-groupe fermé F d’un
comme ppcm
groupe G
(G : V) pris sur les sous-groupes V ouverts
c ontenant
de g
F .
PROPOSITION 1.1. - Soit
Si
a.
E
b. Si
de
et
F
un
groupe
sont des sous-groupes
F = ~ Fa 9 (Fd )
de
,
fermés de
G, tels
que
EcF ,
famille filtrante décroissante de sous-groupes fermés
G,
DÉFINITION. ~ si (G : e)
mite
projective
G
groupe
THÉORÈME
Tout
a.
p-groupe de
b. Deux
pes fermés
Soit
de
un
p
est
si
1.2. de
Sylow
S
un
gEK
infinie)
S
p-groupes de
S
a.
on
F
Sl
~(S?)
Sylow de
applique
G
tels que
est
S2
U
de
soit
transforme
de
p-groupe de
un
p, i.
(G :i S)
G
si
e.
p-groupe de
un
et si
d’un groupe
de 9
G
au
G
est
est li-
Sylow d’un
premier à p
(G : S)
soit
en
des sous-grou-
i.
e.
minimal
est
théorème de Sylow pour les groupes finis.
conjugué
S1
l’ensemble (f
dans ~ 9
deux sous-groupes de
G ,
un
p,y ordonné par inclusion dé-
premier à
maximal
S
est contenu dans
conjugués.
sont
le théorème de Zorn à
qu’un
ramené
et
est
pour
On
de
G
est
de Ç
p-groupe
Sylow
~(S1)
de
et
~;
de
vide et
Tout
ou
Sylow.
distingué
tels que
est
p-sous-groupe fermé
p-groupe,
b. Soient
premier. On dit que
p-groupes finis. On dit que
croissante. Pour montrer
ouvert
nombre
puissance (finie
une
de G
DÉMONSTRATION.
un
G
par
G. Pour tout sous-groupe
o
KU
l’ ensemble des
X(g). K
est
un
compact
non
sz .
DÉFINITION. - On appelera système de générateurs
famille (gi) d’éléments de G telle que :
d’un groupe
G
de C
une
.
(SG1)
Tout
voisinage
de
contient tous les
e
sauf
g. i
nombre fini d’entre
un
eux.
(SG2)
est le
G
THËORÈME 1.3. -
On
prend
de
(
admet
distingué fermé
sous-groupe
(ce qui entraine xi
DÉFINITION. - Soit
=
e
pour
(ai) ,
système
I
ayant
distingués
l’ensemble ~
de Zorn à
contenant tous les
G
un
ensemble d’indice
un
que celui des sous-groupes
plus grand
applique le théorème
un
G
Tout groupe
DÉMONSTRATION. tement
sous-groupe fermé de
plus petit
des
(x. )
un cardinal infini stric-
G . Puis
on
(N, (x.)) où N est
système de générateurs de G/N
couples
G
une
infinité de valeurs de
un
générateurs.
ouverts de
de
et
de
g..
i ).
engendré
appelle
ai9
de £ (resp. p-groupe libre) engendré
le
les
groupe lim L/V , pris sur les sous-groupes distingués V de L
par
a.
contenant tous les
ai sauf un nombre fini, et tels que L/V soit fini (resp.
par les
fini d’ordre une
puissance
EXEMPLE. - Soit
une
bre
famille de
une
L
lettres,
le groupe libre
‘
groupe libre
on
p ).
de
algébriquement clos de caractéristique 0, fi
clôture algébrique de C(Z) . Le groupe de Galois
est le groupe liles
éléments
de
C
.
voir
[Si C C ,
l’exposé de Jeande engendré par
un
corps
=
( 2)~ J.
Pierre SERRE
Conséquence
bre,
C
et est
du théorème 1.3. - Tout groupe
groupe de Galois
un
en
2. Modules continus discrets et
Soit
G
un
groupe
de Ç ,
G
on
A ,y considéré
sur
caractéristique
est
quotient d’un groupe li-
0 .
cohomologie.
notera
tels que le stabilisateur de tout
ration de
de G
point
comme
~(G)
a
de
discret,y
la
catégorie
A
soit ouvert, i.
des
G-modules
e.
que
A
l’opé-
soit continue.
EXEMPLES.
1° Soit
de groupes
(G~)
système projectif
abéliens, G~ opérant sur
un
l’intermédiaire de
G
=
2° Soit
et
GE/K
A
et
=
un
Gp9 ,
li~r. A~ .
on
groupe de
de groupes
finis,
(A~)
un
système
G~ opère
est
suppose que
sur
%-linéaire.
inductif
A
par
Posons
Alors
Galois,
L
une
sous-extension normale de
E . Alors
(2)
"Revêtements ramifiés et groupes discontinus". Exposé fait par Jean-Pierre
SERRE pour le chapitre III du Cours de Roger GODEMENT : Fonctions
automorphes et
théorie des groupes (Faculté des Sciences de Paris,
fondies).
1958/59, Mathématiques
appro-
L
L~
et
(A)
sont dans
°
Modules induits.
DÉFINITION. -
Soit
X
groupe abélien
un
fonctions continues définies
G
sur
discret,
note
on
à valeurs dans
le groupe des
X, considéré
comme
G-module
par
Un tel module est
C’est
un
appelé
induit.
module de
Définissons ~ ;
M~(X) lim
et
théorème 1.1., que tout module
fermé F de G .
M (X)
On
=
G-induit est aussi
--.~ X
voit,
appliquant le
en
F-induit pour tout sous-groupe
~P(e) .
par
PROPOSITION 2.1. - Soit
X un groupe abélien, A un module de
A --~ X . Alors il existe une application G-linéaire
unique
Z-linéaire :
f,
~o
telle que
f
En prenant pour
trouve
on
une
f,
=
X
f
et
sous-jacent
à
A
et pour
f
l’identité,
injection
PROPOSITION 2.2. -
G-linéaire : A
Soit
A
X
--~ MG(X) .
DÉMONSTRATION. - d
o
%(G)
de
un
groupe
Alors
f : A ----~ X
MG(dof)
f :
définie par
le groupe abélien
COROLLAIRE. - Tout module
f,
est
f
est sous-module d’un.induit.
abélien,
se
définit
A
prolonge
une
un
module de
en une
application
application G-linéaire
G-linéaire
.Ona
par
unicité dans la proposition 2.1.
COROLLAIRE. - Si
MG
constitue
des modules
A
avec
induits,
est
A
induit,
est
l’injection naturelle
la
surjectivité
un
facteur direct de
MG(A) .
foncteur d’effacement exact par
à droite étant due à ce que les modules sont
i ,
un
discrets.
(B) Cohomologie.
DÉFINITION. - On
à
craindre,
note
H° (G ,
le sous-module de
A)
A
ou
formé
H° (A)
si
confusion n’est
des éléments invariants par G .
aucune
Pour tout module
et
on
A
y!t(G) ~
de
on
considère la suite exacte
pose
PROPOSITION 2.3.
Hn
Les
a.
sont des foncteurs
Hn(G, A) =
b.
0
n> 0
pour
additifs ;
si
A
est
induit ;
à toute suite exacte
c.
correspond
une
suite exacte
REMARQUE. - Il y a assez d’injectifs dans la catégorie ?!b(G) , car,si Q est
un
G-module injoctif, le sous-module QO de Q , formé des éléments dont le
stabilisateur est ouvert, est injectif dans
En effet, tout G-homomorphisme
d’un module de 9~i~(G) dans Q prende ses valeurs dans
Tout injectif est
facteur
d’un
et
est le k-ième dérivé (re s p. satellite) droit de H (resp. i pour k O, i O . En particulier
Hn(G , A) =
A) . Par contre, si G est infini, il n’y a p as de projectif
direct
autre que
0
induit, Hi)
dahs
(C) Calcul par cochaines.
A tout module A de ’~,(G)
où
C~
est le groupe des
,
associons la suite exacte
applications
la multiplication
tion
d :
jgj,)(~
,~,
(~-)-C~
étant définie
...,
~~o ’
et
6
par
’" ’
~(a)
l’homologie
=
H (G , A)
est
Le groupe
H (G, A)
~
=
continues ~
x,)
de
g~(g~ ~ ,
G~
...,
dans
A ,
muni de
gl ~ ) ,
par
~(-1~
fonction constante
du
=
y(~ ..... ~ ..... ~i)
a .
Les modules
Cn
sont
induits,
,
et
complexe
s’identifie au groupe des
homomorphismes croisés continus
de
G
dans
A
et, si
classes d’extension
(D) Changement
Soit
A ~,
A
est fini,
s’identifie à l’ensemble des
0 - A -4 E --~ G
où
EE~
(utiliser
le théorème
G’ -...~ G
correspond
1.1.).
de groupe,
~,(G) . À
homomorphisme
Un
continu
;
’
En
particulier :
lift :’:
res :
H-(G/N, E)--~ H~(G ,
H*(G , A ) --.~ H" (F , A)
Soit maintenant
cores :
V
H*(V ,
cores o res :
B) pour
sous-groupe ouvert de
un
A)) -4
H"(G ,
H*(G ,
A).-~
A)
distingué
fermé dans
F
pour
fermé
N
G,
on
G
et
dans
G
et
A E’~G) .
définit :
pour
H’~(G ~
A)
coïncide
avec
la
multiplication
par
(G : V) .
THÉORÈME 2.1. - H"(G
Plus généralement, si
--~ Ad
/3
est
DÉMONSTRATION. -
,
A)
avec
(E)
F
est
un
A ) .
=
sont de torsion pour
sous-groupe fermé de
G
A)
la partie
est
injective
sur
et
(G : F) premier
à
p-primaire.
Modules relativement induits.
Soit
FcG
et
On note
telles que
~
A)
A)
H (G ~ A)2014~H (F ~
res :
et pour
G-linéaire;
On montre que
COROLLAIRE 2. - Si
I~ 6
3 alors :
COROLLAIRE 1. - Les
p ,
Um H~ (G/U , H° (U , A ) ) .
=
M~(B)
le sous-module de
formé des
pour tout
=
PROPRIÉTÉS.
est
a.
un
foncteur exact.
b. Si
c.
d.
M~(B) =~~~(H~(FnU, B)) .
le
H (G ~ M~(B)) H (F ~ B) ,
remarquant
G-induit,
M~(X) =M~(M~(Ï)) .
=
comme on
voit
en
car
(F)
Suites
THÉORÈME
suite
que, si
B
est
°
spectrales.
2.2. - Soit
spectrale
N
fermé
dont le terme
E~ ~
distingué
est
dans
G
et
H*(N ~
Alors
A))
on a
une
et dont le terne
E
gradué associé
est le
H (G , A)
à
convenablement filtré. De
plus
homomorphismes latéraux.
sont les
DÉMONSTRATION. -
Connue dans le
passage à la limite inductive
grâce
elle s’obtient dans le
fini,
cas
au
cas
infini par
théorème 2.1.
3. Dimension cohomologique.
DÉFINITION. -
premier. On définit la dimension cohomologique
La dimension cohomologique stricte scd ) relative à p par
(resp.
cd
cd (G)
torsion.
Soit
et
partie
p
SCdp(G)i n~
partie p-primaire
cd(G)
cdp
=
scd(G)
sup
=
sup scd
Hr(G ,
de
p-primaire
A)
A)
de
=
0
pour
0
=
pour
(G)~ scd P (G) cd P (G)
DÉMONSTRATION. -
première inégalité est triviale.
> cd (G) . Les suites exactes :
d’ où
de
p
=
J7t(G)
i*
o
P
La
et
r
+
b. Si de
p* :
f ermé,
plus
et
P
Hr+1 (A )
--~
in j ective, i.
e st
PROPOSITION ,3.2.
Si
m(G)
1 .
p-torsion.
a.
A é.
P (G)
cd
A’
r>n
et
fa)
PROPOSITION 3.1. -
Soit
r > n
cd
P
(F) ~
cd p (G)
(G : F) premier
à
p ,
cd
P
(F)
=
cd
P
(G)
e.
Hr+1(A)
n’ a pas
de
En
si
particulier
est
GP
p-groupe de
un
Sylow
de
G
$
DÉMONSTRATION.
a.
paragraphe 2, (E), propriété (d) ;
Voir
théorème 2.1.
b. Corollaire 2 du
THÉORÈME 3.1. -
Si
G
est
un
de q,
p-groupe
Hn+ 1 ( G , Z ) = 0 .
DÉMONSTRATION. a.
d’ordre
A
Pour tout module fini
(somme
b. Pour tout module fini
c.
Hn+1(G ,
On montre que
directe
Pour tout module de torsion
d’où
Hn+~’(G s )
aussi
nuls,y
car
0 ,
=
et
ses
le foncteur
MG
une
(lim
A) = 0 ,
successivement :
puissance de p (suite de composition)
de ses composantes q-primaires)
des
précédents)
foncteurs satellites droits
fait pas sortir de la
ne
si, et seulement si
n
Hn+k+1(G , )
catégorie
sont
exacte des
modules de torsion.
THÉORÈME 3.2. -
Hn(G , A) ~
0
Soit
G
un
pour tout module fini
cd(G) =
tel que
p-groupe
non
nul
A E
)b(G)
d’ordre
fini. Alors
n
puissance
une
de
P.
DEMONSTRATION. -
Soit
A’
un
sous-module de
A
tel que
A/A’
=
suite
Z .La
exacte
A) =
montre que
COROLLAIRE. - Soit V
0
~ Hn(G , Z ) =0
ouvert dans
contrairement
G . Si
cd
p
DÉMONSTRATION. a.
Si
G
est
par le théorème
b. Si
G
est
On sait que
un
(G) =
n
au
théorème 3.1.
fini,
cd
P
(V) =
n .
n .
p-groupe,
3.2.
quelconque :
p-groupe de Sylow de
G
soit
Vp
un
le contenant :
p-groupe de
Sylow
de
V,
Gp un
THÉORÈME 3. 3.
cd(G) =
a.
0
1
b.
G
si et seulement si
G
distingaé,
cdp(G) -
tout
continu
homomorphisme
un
Si
c.
G
fermé
pour tout
en
et seulement si
si,
~e~
=
est
p-extensif,
i.
si pour tout
e.
homomorphismecontinu G~F/E
FE G ,
relève
.se
G -~-~ F .
scd P (G) = 2 .
1,
DÉMONSTRATION.
a.
Si
d’où
G
cd(G) = 0, cd(GP) - 0,
scd
c.
P
(G) =
1
2. Si
ou
re
G = L ~’
P
b. La condition est
E
fini d’ordre
E) =
Cas où
E
0
est
de
r
et
f
à la
où
E
répond
o- :
(H , h)
où
h : G --~
F/H
DÉMONSTRATION. -
G
est
G --~
0
absurde.
est
nulle,
question.
applique le théorème
H
est
homomorphisme
G
soit
un
un
sous-groupe
de Zorn à
distingué fermé
continu relevant
de Ç .
p-groupe
.
l’ensemble ~~
p-groupe libre
F
de
des
contenu dans
f .
cd(G) ~ 19
Pour que
il faut
p-libre.
p-groupe libre est
p-extensif, donc
l’intersection des noyaux des homomorphismes continus G
G/G sont en dualité de Pontrjagin. Soit B une base de
engendré
L >
par
G/G~
B . On
se
a
cd ~
1 . Soit
--~
Z .
H~(G ~
.
H1{G,
Z p) ,
Z)
L
a
relève
w :
en
sur, la seconde aussi
1 , il existe
G ).
D’autre
biunivoque.
part Q‘ est sur,
Si
G
d’où
un
T,
E)
p
un
Tout
L’homomorphisme t4J:
Comme la première est
à
=
Q/Z) =
P
elle entraîne que toute extension de
est infini.- On
et il suffit que
le
scd(GP) - 1,
(G) = scd(G )
P
car
H2(G,
dans
PROPOSITION 3.3. - Soit
et
p ,
F/E .
homomorphisme
G~ ,
pour tout
puissance
p
produit croisé,
1 . Montrons qu’elle est nécessaire.
E, et
fini. - Soit ~’ l’extension de G par E image réciproque de
la classe de
couples
E , et
e
G P
pour tout
car
Cas
P
de
F
~"
scd
une
Il existe
o
et
suffisante,
l’extension
un
(G) = 1,
scd
P
Z) = 0,
p
par
ZP ) - 0 ~
P
=
G
~
car
G
(par
un
L --~ G .
lemme.de
L
telle que.,
-~
L/L~
Nakayama qui s’étend
OV-
=
l’est. D’où la
IG , donc 03C3
proposition 3.3.
PROPOSITION 3.4. - Soit
G
de Ç ,
groupe
G(p)
e. son quotient par l’intersection des
noyaux de ses
=
p-groupes. Alors si
0 , cd (G(p» ,( 1 .
un
i.
H2 (G ,
Z)
THÉORÈME 3:4. (de la tour) :
DÉMONSTRATION. 4.
Applications
THÉORÈME
désigne
p-quotient,
gros
homomorphismes
dans des
fermé
distingué,
Voir le théorème 2.2.
à la théorie de Galois.
4.1. - Soit
delibre,p-extension
engendré
plus
o
Si
0
son
k
séparable.
par
la fonction de
DÉMONSTRATION. -
Son groupe de Galois
base du
une
caractéristique p ~ 0 , k(p)
corps de
un
Kummer : p(x)
Il suffit
x -
(proposition
=
Gk(
est
)/k
vectoriel
Zp-espace
=
G(p)
où
sa
plus
gran-
un
p-groupe
p:
k2014~k
xP .
3.3. et théorème
3.1.)
de montrer que
On le voit par la suite exacte
tenant
en
compte
H°(G(p) , k(p))
de
COROLLAIRE. - Soit
k. Alors
°
Gk
cdp Gk 1 .
k
et
Hi(G(p) ,
k(p)) =
le groupe de Galois de la
0
pour
i > 0 .
c!o-6ure eoparable de
s
°
DÉMONSTRATION. variants,
p
Soit
p-iemes
de
un
P
1,
groupe de Galois. Alors
DÉMONSTRATION. -
G
P
PROPOSITION 4.1. - Soit
racines
Gk /k
=
=
k
un
p-groupe de
Sylow
cdp
P
de
Gk’
k
son
P
corps des in-
caractéristique q ~ p , contenant
plus grande p-extension séparable, G(p)
corps de
k(p) sa
cd(G(p)) ~
n
si et seulement si :
On utilise la suite exacte
les
son
H2(G , k* y .
PROPOSITION 4.2. - Si le groupe de Brauer
:=
0 ,
G(p)
est
un
p-groupe libre.
DEMONSTRATION. -
La suite exacte
et Hilbert 90 donnent :
Z)
,
0 . On
=
applique
les
et
propositions 3.4.
3.3.
THÉORÈME 4.2. -
séparable
te extension
Alors
cdGk
k
Soit
=
un
finie
K
les extensions
K
théorème 2.1. On
Soit
G
cd
a
cdGp
=
P
APPLICATIONS. - Si
DÉMONSTRATION. -
donc
par le
k
Soit
K
k*s)
H2(GK’
théorème
(")
0
groupe de Brauer
=
0 .
Sylow
corps
par la
pour
a
k ) =0
par le
proposition 4.2. pour
car.
k
k .
p-adique ,
donc
1
cdGk
extension
cdGL/k
pas d’extension
cdGL
On
Gk .
kp , d’où
plus grande
et
de
non
=
non
=
2 .
ramifiée de
1 . D’autre
ramifiée autre
k .
part, toute
ex-
qu’ elle-même,
par le théorème 4.2. Enfin
cdGk
2
est
une
extension de
type fini de k, et
cdp(6k) = n
on a
DÉMONSTRATION. a.
son
et supposons que tou-
4.4. de la tour.
Si K
fini,
car.
générateur,
L, n’a
de
=
un
la
L
1
=
p
est
est libre à 1
finie
ait
groupe de
un
G
et par le théorème 4.1. pour
GZp
k
finies contenues dans
,
tension
de
séparablement clos,
1 .
DÉMONSTRATION. -
=
non
corps
On est ramené
aux cas
particuliers suivants :
Extension finie : voir corollaire du théorème 3.2.
k(x) :
b. Extension
on a
Gk ~k(x) Gk /k - Gk ’
°
s
D’autre part
1
s
par le théorème 4.2. et le théorème de Tsen.
s
D’où
par le
cdp
théorème 3.4. de la tour.
Montrons
(3)
cdp Gk + 1
qu’on
a
l’égalité :
Cf. p. III-27 de Jean-Pierre SERRE : Homologie des
groupes, applications arithCours professé au Collège de France, 1958/59, multigraphié. Voir aussi
Serge LANG : On quasi algebraic closure, Annals of Math., t. 55, 1952, p. 373-390
(Thèse Ph. D., Princeton University, 1951).
métiques,
où
Cas
Gk
est un
p-groupe. - La suite spectrale
(théorème 2.2.)
1
Mais
contient Z
comme facteur direct de
(X) ,
H1(G k
Cas où
son
Gk
Z)p
p
est quelconque. -
On utilise
corps
P
de
un
(x) ~ ~ ~~~~p~ ~ ~ ~
donne
Gk -module,
Gp
de
Gk
donc
et
°
D’où le théorème 4 .3.
REMARQUE. - Pour
se
de
Ce
de
sa
type fini,
p
=
car.
k ,
voir corollaire du
théorème 4. 1 . Sans l’hypothè-
on a
théorème est, en fait, à l’origine de la
démontration étant due à GRDTHENDIECK.
298
théorie,
sa
conjecture
et le
schéma