S ÉMINAIRE N. B OURBAKI J EAN -L UC B RYLINSKI (Co)-homologie d’intersection et faisceaux pervers Séminaire N. Bourbaki, 1981-1982, exp. no 585, p. 129-157 <http://www.numdam.org/item?id=SB_1981-1982__24__129_0> © Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki, 1981-1982, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire Bourbaki (http://www.bourbaki. ens.fr/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Séminaire BOURBAKI 1981/82, n° 34e année, (Co) - Février 1982 585 HOMOLOGIE D’INTERSECTION ET FAISCEAUX PERVERS par Jean-Luc BRYLINSKI sérail, j’en connais les détours" (J. Racine, Bajazet) "Nourri dans le Introduction. Soit soit £ X une courbe algébrique lisse sur un corps k , nombre premier distinct de la caractéristique de k, V un lisse On sait X. sur du l’importance de "groupe ’ri Pour V le lisse dual, ~~-faisceau (voir V du faisceau R1p* 03A6l le (où ~~-faisceau E p : valeurs propres du Frobenius si on admettait la sur conjecture une H1(X,V) En dualité parfaite démontrait que pour lisse obtenu X est la courbe de Weil. démontré la conjecture de Weil , obtient l’exposé (Di J Deligne Dans modulaire, et pour on ~~-faisceau un cohomologie parabolique" X courbe une puissance symétrique elliptique universelle), les comme étaient toutes d’un poids prescrit, 1973-74, Deligne [Weil 1 ] , CS) _, a non seulement mais l’a considérablement élargie [Weil II). Dans la terminologie de loc. cit., si V est ponctuellement i (comme c’est le cas plus haut) H (X,V) est pur de poids i + 1. pur de poids Ou plutôt : soit j : XL..~ complexe [Weil pur de X la compactification lisse ; i1(X,V) = H1(X, j*V) alors est pur de jjj. V est i poids un 1 + II, 6.2.4, 1.8.1, 6.2.6]. Sur de poids i donc complexes une purs. courbe lisse, On n’a il est donc longtemps rien su possible de construire faire de semblable de dimension plus grande. Toutefois, dans (Weil II, Théorème généralisait le théorème de Lefschetz difficile 129 à un sur une quantité une variété 6.2.13~), complexe pur K Deligne sur un schéma J. L. BRYLINSKI projectif, tel que pour suivante : pour tout entier fixé un i, ditions de support s’énoncent maintenant : " dim Supp H1 ~ cohomologique d’un le sous " n - i était Dès Goresky. et perversité c q(c) est une 2 - = dite duale de dèrent est un ~1 n-i . Ces est con- faisceau pervers. La condition la dimension sur [SGA IV, Exposé 14] et des conditions de support duales, profondeur", jouent un grand rôle dans le cadre cohérent (SGA2) . la notion de "perversité" d’homologie topologie apparaissait dans la en faire un usage systématique pseudo-variétés stratifiées. Pour eux, en allaient et MacPherson fonction pour les {2,3,...} vers TN telle que les fonctions p p soient croissantes, à valeurs dans ]N ;; la perversité q est X une pseudo-variété munie d’une stratification, ils consi- p(c) p . Pour IC~(X) sous-complexe un K~[n] la condition vérifient . apparue dans le théorème de M. Artin lors, Goresky dans leurs nouvelles théories une et espace affine Indépendamment, thèse de déjà de "conditions de nom K n , la dimension du support du faisceau de du C*(X) complexe des chaînes localement finies de X , formé de chaînes assujetties ainsi que leur bord à des conditions sur la dimension de leur intersection est plus petite. Si tions par perversité "maximale", est la t innocentes~ ; sont n Par une jolie méthode, ils d’homologie de sont MacPherson définissent et une en notés 0 , ces condi- IH?(X) . On a forme d’intersection prouvent ensuite : que la forme-intersection dualité parfaite entre - p perversité "nulle" dimX) = - les groupes plus strictes que duale de la IH?(X) = Hn 1(X) .Goresky exemple (où les strates, d’autant avec IH?(X) que leurs groupes augmentée vers Z induit, modulo torsion, une et IH?(X) sont existe une indépendants de la stratification choisie [Go-Ml]. Dans le on peut, par abus de c-- 2 m : . où cas stratification à strates de dimension langage, parler de la dès lors la "dualité de satisfont Les groupes paire, intermédiaire" "perversité Poincaré". Vers 1978-79, Kazhdan et Lusztig, ayant constaté 1"’influence" "défaut de dualité de Poincaré" des variétés de Schubert de groupes de les groupes Weyl IHL(X) ou d’algèbres pour nécessaire de travailler expliquer sur de Lie ces des représentations semi-simples, cherchèrent phénomènes. des variétés adaptation à sur Toutefois, algébriques sur un du à utiliser il leur était corps fini, cette situation des constructions et ils topologiques Goresky - MacPherson. Ce leur fut fourni par Deligne, qui introduisit un construit à l’aide d’une stratification de X, par induction, à complexe cherchaient donc une de ICl(X) 1) du moins lorsque X est normale, cf. [Go-Ml]. COHOMOLOGIE D’INTERSECTION l’aide d’opérations successives d’image directe dans la catégorie dérivée et de tronca- tion [D2]. La forme d’intersection de Goresky-MacPherson devenait le reflet global d’une "dualité" la construction telle pour entre complexes (au sens de Verdier). De plus quelle, pour fournie un complexe de Ql-faisceaux Kazhdan et Lusztig prouvèrent [K-L]. Goresky de Schubert redonnait la leur dans le matiques IC~-(X) du cas complexe pur une s’appliquait variété complexe était pur, dans le ce cas sur donnèrent topologique, Vers juillet 1980, et [Gal]. Un peu plus tard, plusieurs TF . d’une variété MacPherson établirent que cette construction de [Go-M2]. ICI complexe est un et alors que X Deligne caractérisations axio- Gabber démontrait en la démonstration de la général que conjecture Kazhdan-Lusztig, utilisant la "correspondance de Riemann-Hilbert" (au sens de Mebkhout) faisait apparaître un Module holonome à singularités régulières correspondant à un complexe du type et posait la question de la description des complexes ---m de de faisceaux constructibles obtenus [Springer]. Deligne, comme complexe de De Rham d’un Module holonome question [Brl] fut conduit à axioqu’étant des objets d’une catédérivée de gorie complexes de faisceaux (et non, à proprement parler, des faisceaux) forment une catégorie abélienne artinienne, dont les objets simples sont, en gros, du type IC° (mais à coefficients "tordus"). De plus, ce sont des objets "de nature locale" (ils se recollent exactement comme des faisceaux). Avec Gabber, il a appliqué ces techniques à une variété sur un corps fini, et obtenu de remarquables théorèmes de structure sur les complexes purs, les faisceaux pervers mixtes, impliquant un imoù f : X ~ Y est un morportant théorème de décomposition pour phisme propre entre variétés algébriques, sur un corps algébriquement clos. Simultanément, Beilinson et Bernstein obtenaient, à Moscou, les mêmes résultats, et devaient donner en 1981 une nouvelle démonstration du théorème de pureté de Gabber, que j’essaye de présenter plus loin. [Gal], [B-Blj, [Luminy]. donnant la solution de cette en matiser la notion de faisceaux pervers. Ceux-ci, bien exposé Cet dans ce rappel a pour seul but de recenser les résultats fondamentaux domaine, dont j’ai pu avoir connaissance. Je préliminaire contenterai d’un bref des catégories dérivées, et d’un résumé de résultats principaux [Weil IIJ. N’ayant voulu sacrifier aspects étales, ni les aspects "cristallins" de souvent à donner des démonstrations. les § 0.1. me la dualité de Verdier et les sur 0. Rappels la théorie, j’ai dû ni renoncer et notations On utilisera librement le langage des catégories triangulées et des caté- J. L. BRYLINSKI Pour obtenir un’Hiagramme octaédral" (axiome (TR4) il suffit de se donner X ~ Y ~ Z. pour lequel on (Ha, dispose de la On lit horizontalement et verticalement (d’où quatre faces d’où quatre autres de l’octaèdre). octaèdre catégories triangulées) octaèdre p.3~, représentation plane commode quatre triangles distingués non débiles signe près, même flèche, Les carrés numérotés commutent,au à Y’ donnent la les deux habitats de vers Y(1J. On vérifie qu’un X topologique, R un anneau commutatif noéthérien de Gorenstein, on D(X,R) ou D(X) la catégorie dérivée de la catégorie des faisceaux de R-modules On dispose de sous-catégories pleines D+(X,R), D"(X,R), Db(X,R). On notera sur un six sommets. a 0.2. Pour On obtient faces. Les deux chemins de Y ainsi que les deux chemins de Y’ des X. un espace compact de dimension finie et vérifie les conditions (HLC), (HPF), (HDF) de [V3, §1.2~ (c’est vrai si X est une pseudovariété stratifiée, voir §1). Si f : X Y est une application continue, on Db(Y) obtenu en dérivant à droite le dispose du foncteur exact Rf! : Db(X) ~ supposera foncteur toujours que X est localement directe "image à supports propres" (V2 Dans toute la suite foncteur Le Rf~~ . foncteur f’ : un complexe où K~ Db(X) de faisceaux est la résolution injective de dualité de Verdier dit pour A’ En Db(X) dans particulier est noté D 8 et a injectifs notera on J. On f et f~~ a au aussi le lieu de été introduit par Verdier sur Y et U un ouvert de on standard du faisceau constant un isomorphisme canonique pt, le complexe et Rfi . Rf~~ . [V2 ] ; Y , a qu’on classique RU. dans si I~ est a : Le théorème D+(Y) B’ dans pour f : X ~ Une incarnation du f Rpt complexe dualisant est dualisant DX sur X : est fournie par le il com- COHOMOLOGIE D’INTERSECTION plexe C. des chaînes On en singulières déduit : orientable de dimension Pour A n. A’, le dual de Verdier de R) Hp(X,X-x ; = noté (sans condition localement finies et que dans pour X le complexe B°=R support): de variété une Hom°(A’,D’) est DX(A’) Supposons X, Y, analytiques complexes et que R est un anneau de etc... les sous-catégories formées des complexes (X), Db(X), c c à cohomologie constructible ~). On sait, entre autres que f * et f~, Ainsi préservent les sous-catégories Db(-). De plus, pour c D’X est dans c f Dedekind. A~ On note D B dans et D~(X), Hom(A,B) R c A’ dans est un D~(X), c De on a isomorphisme Pour X ~V3, ~V3 , Prop.2.5.1~. e~l dans - corollaire plus le morphisme Donc pour naturel 2.6.2~ schéma noéthérien séparé, et R un anneau commutatif noéthérien (étales) de R-modules sur X, et de faisceaux parlera constructibles [SGA4, IX, §2] On peut construire une catégorie dérivée etc... Pour R’ local noethérien complet de caractéristique résiduelle l (par exemple, la clôture intégrale de ~~ dans une extension finie de on peut déun de torsion,on de faisceaux Db(X,R), finir la notion de R-faisceau projective [SGA5, il n’est pas clair fini type (Weil fi II, sur un Exp.V, qu’elle On est corps fini §1.1.2~. constructible, par ou peut procédé délicat de limite définir une catégorie Db(X,R) mais c encore triangulée ; un tel est le algébriquement clos, cas cas On peut alors construire toutefois pour X de auquel on se limitera et les variantes avec ou Les foncteurs tats plus haut on a DX ’-‘ restent précédents c encore un sens dans ce cadre et les résul- (par exemple, pour X lisse, (voir Exposés Rappelons quelques isomorphismes valables, dans les deux cas A’E et B, C, D’ E Db(X) ont valables, mutatis mutandis (pour c R dans les catégories dérivées raisonnable). Soit f : X ~ Y un Dbc(-), morphisme, J. L. BRYLINSKI Pour f lisse de dimension relative n, Pour f une immersion ouverte, Pour f une immersion fermée, ;" voir [SGA, 4, Exp. a f1(B’) - f~(B’) f = f~ et f est déjà fI = Rr (foncteur on exact 3°1°8]).De plus f* (n) [2n]. au niveau des faisceaux. dérivé droit du foncteur a Prop. XVIII on déjà est f! = exact au niveau des faisceaux. 0.3. Quelques résultats tirés de (Weil II] [Weil IIJ étant aujourd’hui bien connus, rappel. Soit une Les méthodes et résultats de nous nous contenterons d’un bref fini sur F , D Xo D(Xo) = c X = Fq . Un ®complexe Soit F X~ Un compl (Xo, 03A6l) . est mixte de n, mixte de exe J’ le frobenius de ( D(Xo) o) poids ~ n + i ; 0.3.2 Soit faisceau lisse sur X Uo de une mixtes, si 1. (Co)-homologie 1.1. La construction Tous les espaces seront qu’il existe un dit mixte de type poids > les poids ~ i , i si pour tout son dual est sous-catégories resp. mixtes de nécessaire, 0.2) sous-schéma ouvert, 3 un i. Alors les (loc. poids de R1 i*, J cit, Théorème sont ~ i + un 2. 1.8.4). Goresky-MacPherson supposés P.L., pseudo-variété sous-espace ~ variété orientée de dimension de X. On pose d’intersection originale de Définition 1.1.1 : Une géométrique 1.t mixte si dit mixte e de poids poids _~ ii si courbe, i : poids ~ algébrique sur resp. mixtes de Cela résulte immédiatement de § variété Di (Xo) , sont (voir Cloc. cit., théorème 3.3.1~ et, tel est -i . Soient poids ~ triangulées dont les objets poids ~ i . Théorème il est Xo n, de même de dimension de dimension ~ dense dans X. que les n est un applications. espace compact n-2, pour lequel X-~ soit X une COHOMOLOGIE D’INTERSECTION Une stratification de X est telle que pour tout et V application une point p de il existe Xi-Xi-1 qui x chaîne une sur Exemple : x B1 (PL)-homéomorphitout j envoie (ici B1 est la boule PL de dimension i). X X. J un V. Dans ce Goresky (Go-M1,1.2]. PL analytique complexe, E Whitney, Xi l’union des Y pour i Xi = Xi 1 cas, A des singularités intersecter deux cycles P.L. Mais autre une cycle transverse aux Xi cohomologie). classe de son lieu une singulier, variété de X le avec de X, on C~.(X) complexe ne est dit _ 0 et L’idée de Goresky et MacPherson est de Pk+1 - Pk si des chaînes ou est une Pk+1. dim(Y) ~ d’entiers p suite Pour i un entier, 5 i et un = mesurer par de montrer de leurs (P2,P3’...,Pn) sous-espace Y de X i-k+ pk pour tout k 2 2. ICi (X) comme le sous-groupe de C.(X) formé des chaînes telles que (le support de S) soit (p,i)-admissible et que soit (p,i-1)-admissible. Le i-ème groupe d’homologie d’intersection (de perversité p),noté IHi(X), est le i-ème groupe d’homologie du complexe Avec les notations de l’introduction, Si une peut intersecter un cycle P.L. avec tout (en fait si X est "normal" un tel cycle définit perversité (p,i)-admissible On définit !5f P2 = Y on "perversité" le défaut de transversalité d’un cycle aux X. , et qu’on peut intersecter deux "cycles pervers", pourvu que la "somme" perversités ne soit pas trop grande. Définition 1.1.2 : Une il peut raisonnablement espérer une telle que = de dimension réelle ~ i . impair. et MacPherson travaillent cause vide est non espace stratification de espace compact filtré un pour voisinage de p dans (En particulier, chaque strate dimension i). quement un de sous-espaces fermés p et q sont des telles que t de chaînes est la IC~(X). perversité "maximale". perversités duales, on a p+q t. Pour p et q deux perversités une perversité 7 minimale telle r. que = p+q ~ t, il existe Une chaîne C E 1 p+q r et (X) sont dites dimensionnellement transverses si (r,t)-admissible (on écrit C ~ D). On peut alors construire la chaîne C n D E Définition 1.1.3. Supposons chaîne D E I = C C?(X) ’c,n’D’ et une est - ICri(X). Théorème 1.1.4.Supposons telle que p+q = r. [cno] lorsque Il existe une C et D sont unique forme bilinéaire dimensionnellement transverses. J. L. BRYLINSKI La preuve utilise un "P.L. moving lemma" dû à Mac Crory (voir [Go-Ml, § 2.2-2.3)). subordonnée à la filtration, T’ sa barycentrique. Pour p et 1 entier donnés, il est intuitif que les strates X les plus importantes sont celles pour lesquelles une i-chaîne de n-c perversité p doit couper X n-c- ~ en dimension strictement plus petite que celle où elle est autorisée à couper X Soit donc Q? le sous-complexe de T’ de somSoit T une de X, triangulation subdivision - . n-c mets les tion de barycentres des simplexes précédente [Go-Ml,§3.1). Pour i J de T p+q tels t, Q?i = que c et dim(J) = Q~ . ~ se n-i+ satisfasse la condi- regardent en chiens faïence. Goresky Théorème choisie Théorème et MacPherson 1.1.6 (voir est de type fini indépendant et de la filtration de X (Go-M1, §3.2~) 1.1.7 La forme d’intersection induit, modulo torsion, (voir déduisent : en une "augmentée" dualité parfaite lorsque p+q=teti+j=n (Go-M1, §3.3~) Remarque 1.1.8 (i.e. On H.(X) a et on IH?(X) = a le link d’un triangulation convenable, pour 0 et q connexe). Pour p t, on ne peut théorème 1.1.7 . une est Lorsque X admet sont de codimension entiers donc = = une paire, stratification pour seule compte pour une lorsque simplexe déjà pas faire mieux que le lesquelles perversité c22 peut considérer m pairs. En particulier, (c’est la perversité intermédiaire). On dispose on auto-duale et donc de la "dualité de Poincaré" pour montre que cette dualité groupes. Le ~,Go-Si~) 1.2. faisceautique de d’une (au lieu une sur les perversité de la forme intersection cas d’un cône quadratique irrémédiable explicite IHpi(X) des groupes isolées sont des invariants (G-M1,g6.1J topologiques. qu’en considérant le complexe C*(X) des chaines des seules chaînes P.L.) la construction des IC(X) est 1 et Verdier observent localement finies comme pseudo-variété à singularités et par le désir de prouver que les groupes Deligne valeur Deligne CD2~, semble avoir été motivé par le calcul Deligne d’homologie d’intersection toutes les strates sa vaut que modulo torsion et que c’est ne (voir toutefois L’approche ces X est normal de codimension >_ 2 COHOMOLOGIE D’INTERSECTION faisceautique, d’où un complexe de faisceaux considérer_des complexes de type cohomologique, on définit de nature Comme préfère par ’~ IC?(X). = on complexe IC un i 2014 p On choisit Théorème 1.2.1 ~D 2 une (cf.1.1), filtration de X ~, (Go-M2, Theorem 3.5~ Dans pose U k on Db(X, 2~), X-X = on a n-k et isomorphisme un canonique La démonstration utilise et fournit la caractérisation suivante de d’où a disparu la stratification Théorème 1.2.2 Il existe sant conditions suivantes : aux Corollaire 1.2.3. Pour p [Go-M2, le comportement de Par ment = q t , on exemple, non Théorème a ~)[2n) = X q -p Db(X) dans satisfai- (voir une ICI renforce le par inclusion un Théorème 1.1.7. Goresky et MacPherson expliquent morphisme "normalement non-singulier" [Go-M2, §5.4]. transverse a : aux strates de X, est normale- singulière. 1.2.4 (Lefschetz "faible") Soit X une variété complexe, a : clusion d’une k section hyperplane transverse, p une perversité telle que pc morphisme 03B1* : IHpk(Y) ~ IHpk(X) est bijectif pour k n-1 et n-1. (voir CGo-M2, §7] ; cela résulte aussi de [SGA IV, Exposé 14]. Ici = dim surjectif Le = IC’, 4.1~] Theorem 5.3]). énoncé explique et Cet Theorem unique complexe constructible K~ un + EGo-M2, S2. pour (X) = n 2’ Remarque 1.2.5. Dans l’approche de Deligne, c’est plutôt la fonction c - P(c) - n + 1 qui apparaît comme une perversité. D’autre part, Deligne considère une perversité comme une fonction sur l’ensemble des strates d’une stratification arbitraire (et mesure, non une fonction de la il peut s’affranchir des conditions strictes MacPherson [D2 codimension). Dans imposées à p par une large Goresky et J, LLuminyJ . Dans le cas analytique complexe, le complexe IC’= le; [n] estparticulière- J. L. BRYLINSKI (il ment intéressant une caractérisation IC° est objet un est "auto-dual" modulo de cette de approche au site étale d’une variété de type fini et permet entre autres de construire est "auto-dual" et pour (D2 J CK-LJ (pour analogue [K-LJ Variante 1.2.6 on a ce fait théorème un IC~® ~ de admet Kunneth). Db(X). de L’avantage qui torsion, et de ~GO-M2,§6.1~ ; simple assez X Soit V lisse, sur un est qu’elle s’adapte corps fini lequel quelle ou d’une caractérisation dispose on telle algébriquement clos, (ou simplement _IC~(X)) de objet un a on système un Deligne local de K-espace vectoriels sur un ouvert complémentaire est de codimension réelle ~ 2 (pour X une variété pseudo-stratifiée, K = ~ /m, 1l, 0~, 1R ou et par exemple). La méthode v de Deligne pour K un corps, IC.(X,V) est dual permet de construire un complexe V ou est le système local contragrédient. de de sens Verdier) (au de X dont le ~ Construction similaire pour X (avec clos briquement K cation de la théorie de Morse stratifié avec Définition 1.3.1 E- (LaJ Soit X x EA, critique un (d’après on un ou algé- muni d’une stratifi- espace est fIA (1) / df(x ) a corps fini Goresky-MacPherson) sous-analytique, Whitney. Une fonction C sous-analytique f : Morse si pour toute strate A, pour sur ou IHk(X) = Hk(X,IC’) Notation 1.2.7 On pose 1.3 Relation variété une = où 0 T est une fonction de fonction de Morse et si pour tout une est limite une en point x d’espaces tangents strate B telle que A C B . une On de peut parler points et de valeurs criti ues d’une fonction de Morse. Théorème 1.3.2 ~Pi ~ L’ensemble des fonctions de Morse est ouvert et dense dans C°°(X, R) (défini à l’aide d’un plongement de X dans une variété lisse). Une fonction de Morse à valeurs critiques distinctes et topologiques stable. Supposons maintenant X (et sa stratification) analytiques complexes. Soit xo x x l’indice de un point critique soit la seule Théorème 1.3.3 (G-M3 J est nul sauf pour i De même pour On (où N = IC’(X,V) peut est une se soit A la strate contenant de la fonction de Morse f, point critique x . fiA valeur critique dans l’intervalle au Sous ces Soit v = f(x ) et supposons que [v - e,v + e~ . hypothèses X. (notation ramener au de 1.2.6). où f cas "tranche transverse" à A est dans une X au fonction du type point xo ). Reg, pour v COHOMOLOGIE D’INTERSECTION Goresky - MacPherson construisent Exp ] image isomorphe théorème de Lefschetz son LG-M3] pour Var, au IH groupe justifications logie des variétés analytiques 2.1. Ils et en sous-catégorie pleine, Soit S c C un pervers Supposons C triangulée. Pour sous-catégorie qui contienne C un S d’objets, c §1~) C on d’isomorphie on entendra sous-catégorie de ses objets. pose alors : sous-catégorie, une de C" une on note S la plus petite (évidemment une exten- S et soit stable par extension triangle). sous-catégorie une isomorphisme. Décrire l’ensemble des classes certain ensemble sion est donnée par déduisent le algébriques. stable par à décrire prouvent = catégories triangulées (d’après catégorie. Dans ce § par "sous-catégorie une de C revient donc Soit présente) 1.3.3. "t-structures dans les Soit C une ou p Le formalisme des faisceaux 2. théorème m). Ces résultats constituent une des l’importance du complexe IC~ dans l’étude de la topo- de § a~) pour la situation relatif du (pour faible meilleures morphisme "variation" IH°(~)~ IH°~~, Var : (voir LSGA 7, un Il est clair que S - S = de C et soit = (S) . Idem a gauche. (C ) SD 1 , Définition 2.1.1 On dit que tel définit c CSO (i) (ii) pour tout Y E C, il que X E e et Z E CZ1. existe La t-structure est dite entiers i,j On appelera Exemple 2.1.2 en degrés > 0 Lemme 2.1.3 CsC tels que A Supposons que En particulier, canoniquement isomorphes. On en déduit que C si sur si pour tout X E dégénérée non C, il existe des C~1 catégorie triangulée une catégorie abélienne, (trivial t-structure triangle distingué X.~Y ~ un et t-catégorie mais une C = D(A), C munie d’une t-structure formé des complexes acycliques utile). C définit pour Y une t-structure sur C. fixé, tous les triangles du type 2.1.1.(ii) définit sur Co une t-structure (d’où sont la notion J. L. BRYLINSKI de t-catégorie manière évidente diverses relations entre Indications dérons un ces a). sont dans si de ker F(CSO) c C’03C4’ ~b a) Si C = C, b) Supposons Alors G est 2.2. (i’,i) X un f X_~Z~l]. Y C~ . morphisme Alors Z E Il est clair que exact (i,i’)-amplitude = et F dans Lemme 2.1.6. Y ~ iS0 dans sera C,°r, C~0’1’, et consi- d’ou F à dans un inter- Si l’amplitude â gauche (resp â droite). (i,i’) exact(a gauche Perversités et faisceaux pervers de f est contenue dans du foncteur F est contenue dans droite ssi F est le fait et de F est conte- dit exact l’amplitude a peut iden- on L’isomorphisme Coim f.~Im f s’inscrit f.~ Z .~Y (cf.0.1) Théorème 1.6~. b) est plus fatiguant Définition 2.1.5. On dira que la valle i : C---7C.On conoyau pour f. un l’octaèdre déduit nue Soit f : triangle distingué Z noyau et des foncteurs foncteurs ; par exemple, pour i ~ j, de sur la preuve Z et que sont un t-catégorie). duale d’une On définit de (i,i’) ou [a,b] ssi â droite). Alors exact à gauche. (d’après (Luminy]) topologique annelé, ~) une partition finie de X en localement fermées parties (appelées strates), vérifiant l’axiome de frontière. Soit p une f onct ion %~ ~ Z ( la perversité) Soit (X,~) un espace COHOMOLOGIE D’INTERSECTION Définition 2.2.1 La sous-catégorie de K° tels que pour 1 : SX l’inclusion d’une strate, --, s n > correspondante La a D+,~0(X,O) démonstration - 0 pour complémentaire. = 1"~ K E tel s D§/~ qUe j* K E D~0U Définition 2.2.4.La J i~ et KE 2.2.5 Soit U j : UX l’inclusion. droite jJ et sont Notation 2.2.6 et r_r,p p 0n a alors Proposition sur des faisceaux par le à0 j* et sont ,et H~ est formé des p-pervers sur et K sur X est la caté- 2.1.4. de X, réunion de strates, à droi te, leurs adjoints à - (resp.p lieu de pour le H° au sens de la D~~) ; on perversité (P, U, É’), etc... j~ À ~ j~ À----~ j,~ (ou simplement 2.2.7 PourA D+(X,O) D? D (U,Ù) (resp. que j* K E DU écrit p. pour A morphismes ~j~ p-exacts à gauche. * suite de procédé partie localement fermée au À tels DX laquelle = D§~ . Alors j!t et ~jj pour l’ouvert DU sur complexes K" de des écrit On définit le foncteur dans une - une D~0 ~D~"~(-X,Ù) p-exacts pour ~ T,0 On pose s le nombre t-structure une catégorie M(p,X,O) gorie abélienne déduite de Proposition (resp. t-structure une D§~ =0pour n’p(S). de strates, à l’aide l’inclusion d’un fermé, et j : Alors l’ensemble défini t sur catégorie pD~1 sur complexes K tels que fait par induction se Fa$ X Soient D+(F,O)). DF t-structure une (loc.cit, Théorème 1.4.10) 2.2.3 Soit Proposition définit les objets pour du résultat suivant Hn complexes Hn(i*s K) - ait p(S). Proposition 2.2.2 p On est formée des on par A est iE- tel que, pour iS : S 0 pour i Z p(S) et À l’unique prolongement P d’une strate, on ait de A X l’inclusion * iS P = H° P = 0 pour i S p(S) . Corollaire 2 : Les faisceaux p-pervers sur les ouverts de X forment se recollent exactement comme des faisceaux ordinaires) Supposons maintenant que p vérifie p(T) pour (ils la réunion des strates S telles que p(S) s n, et soit jn : Un-1Un un champ. Soit U l’inclusion J. L. BRYLINSKI Proposition 2.2.9. j l’inclusion de Soit Uk Supposons des un Un anneau parler soient en un filtration au Relativement â la stratification (bi) dualité de la On décalage). ainsi retrouve Lorsque est 1.2 : p1/2(S) = - § on a exemple par dimS. on c peut Les ° La perversité a les HiP A IC°(X) * subi paire, un on de dispose Il résulte de 2.2.7 et des remarques auto-dual P de A l’unique prolongement * (0.2). de Verdier faisceau pervers auto-dual un , dérivée constructibilité. Pour (mais la perversité l’inclusion d’une strate, Pour A catégorie toutes les strates sont de dimension perversité auto-duale précédentes que si A est la Uk, sur " _" _ une respectent la opérations précédentes dispose faisceau p-pervers de 1.1. de faisceaux constructibles et définir on un pseudo-variété, que les complémentaires et que O soit constant de valeur une sens R commutatif noethérien. corps, j ,,(A) et soit A Ua = a outre que X est en une constructions et R tel que X a dans X. On sur (dans ouvert U, un D (X)) soient nuls sur tel que, alors pour -12 S pour 1> dim S. les variétés algébriques. (d’après [B-Bl, §3)) algébrique sur lll, ou sur un corps fini ou algébriou Ô> ou quement clos. On travaillera dans une catégorie dérivée du type la (voir 0.2) et on parlera de faisceaux.(1/2)-pervers, en (1/2)-pervers 2.3 Faisceaux Soit X une sur variété DiX,lt utilisant perversité auto-duale P1/2(S) = - dim(S). On complètera résultats de 2.2. On pose pour simplifier = p1/2 , on notera D(X)~0 la t-structure définie sur comme en c Lemme 2.3.1 Pour K° É c où x parcourt plitude d’un est l’ensemble des K- tels que male des fibres de f. etc...) f : les de X et K- tels que où a est l’am- (K’) s ~, et est b,~(K’) z ~ . On Proposition 2.3.2 Soit cas posons : les Alors ce 2.2.1, etc... points (non supposés fermés) complexe d’espaces vectoriels L*. l’ensemble des dans un la morphisme catégorie de abélienne variétés, d la dimension maxi- COHOMOLOGIE D’INTERSECTION a) La ~-amplitude de E-d,dimX], b) c) fi celle de Si f est affine, (-dimY,d~, f’ celle de à droite est p-exact fa (à Si f est lisse E-dimX,d], est contenue dans fj dans et celle de dans L-d,dimyJ f est p-exact f~~ dans à gauche. fl(-d)L-dJ dimension des fibres est p-exact. Corollaire 1 : Soit i : ~-exacts à gauche, et affine, alors et i~~ un 1* et ij sous-schéma. Les foncteurs à droite. sont p-exacts est un Si i : sont morphisme sont ~-exacts. il Corollaire 2 (version relative de "Lefschetz faible"). Soit f : X phisme projectif, i morphisme canonique i1 et i.. Z ~.~ X section hyperplane, M i~~ , M. Le morphisme correspondant est un isomorphisme pour a - 1, et une ~ Y un mor- Considérons le monomorphisme un pour a = - 1. On dualement a Soit i : Y:~2014~ X J aiJ i! énoncé relatif un sous-schéma un M ~ M. fermé, j : sont reliées par uhe collection de 1l autres o r o j* = i*o j ].Li’ = jo i* = 0. ~’j ~ (M ) ~ M -~~’i M .~ 0 et pleine MY(X) de M(X) sous-catégorie U. définissent . Théorème morphismes une j~ transforme = se catégorie M(X) 2.3.5 La prouve est et sous-objets monomorphismes foncteurs j et ~’j# (M en mono- définissent = par dévissage. noethérienne DX catégorie M(X) est on en déduit le artinienne. objets simples de~(X). Soit sous-schéma fermé lisse, 3 un système local irréductible, j : U Y l’inclusion d’un ouvert (resp. faisceau lisse) irréductible sur U. Alors est est de ce type. Soit S un objet simple appelé "complexe un Un tel faisceau pervers est une morphisme. Pour K’ E 14J Les élémentairement Il est alors facile de décrire les i : catégories entre M(Y) qui appartiennent Grâce à l’involution Théorème entre sont exactes. sont les épimorphismes en épimorphismes. équivalence de catégories entre M(U) et MU(X) = Le résultat suivant de et et Lemme 2.3.4 La catégories formée des faisceaux pervers de restriction maximaux de M, 2.3.3 Le foncteur équivalence une o~’it Ma-eM Pour M (resp. quotient) Les foncteurs, qui satisfant M ~ M ..~ j~‘ (Mlu) et la à X. = Les suites naturelles Les foncteurs nulle U courbe algébrique, (où complexe de faisceau 03A8 K. X sur s un et tout point lisse de S, f 1(s)), Deligne Xs (complexe a f :i construit des cycles objet simple D-G-M" X -.~ S [SGA7, évanescents) un Exposé J. L. BRYLINSKI Proposition 2.3.6 (Gabber, [Ga2] et [Luminy]) Si K est pervers, alors ’Y est les techniques Proposition [SGA4 1/2, de Th. Le groupe d’inertie I de S pervers 03A8 K°[-1] ; supposera cette action on probablement toujours K* si K’E-l] finie P : est du [Weil II, §1.7.] et action une un (~K’[-1])~LJL~ (’YK’~-1~)p(I) la XIV] et morphisme "nilpotent" (1) [Weil II, §1.6.1.7~ (N et le sur avec 3 constant). D’ou 2.3.5 type agit s en quasi-unipotente (c’est [SGA7, Exp.I vrai si l’on est au-dessus d’un corps fini et pervers. La démonstration utilisé et le fait suivant K’) =D(Y K’) (1) [2]. 2.3.7 Soit K* faisceau finitude] de est le de logarithme monodromie). Proposition 2.3.8 (Gabber, cit.) loc. On a i~~j~~K’..~(~K’[-1])p(1)~ (’YK’[-lj)p(I) (i ~é j~~K ) - , ker N et = = un (1). Théorème de 3. théorème 3.1. Le D (X ) la Weil) correspondante. fondamental 3.1.1 quotient de M : p. appartient Soit i : cas i1 i3~ ~ de plus X, ~ F’~-1~ est pervers. vigueur. On applique 2.3 a la catégorie catégorie abélienne des faisceaux pervers (de ou en une i est une sont ~.-exacts Alors tout conserve les d), de 2.3.2). (d’après sous- immersion affine localement fermée. Alors poids. immersion fermée est clair. Le immersion ouverte résulte de 0.3.1 et a Théorème 3.6] Soit M La même chose est vraie Mmixte (Yo’ ~Mmixte mixte mixte (Xo) Le ~ On obtient de Théorème ’ D (X ) : particulier, pureté de Gabber et applications (d’après EB-B1, §3~) on Corollaire 1 : sur dans fondamental Les notations de 0.3 sont et En coker N. On Corollaire 2.3.9 Pour F’un faisceau pervers § triangle distingué la définition de cas i,~ ou i est une et du fait que Tout faisceau pervers mixte irréductible est pur. Corollaire 2 : Résulte du théorème et de la classification des objets irréductibles (cf.2.3.5) (et du fait que tout ouvert contient Démonstration du théorème Pour M sur les ouverts affines de 2.3.2 b), ~ est (~.-vectoriels en est un munis d’un toujours ainsi de on opérateur JM(U ). ouvert affine!) considère le préfaisceau a droite F. a valeurs dans les On dit que les poids JM D’après défini par la formule : (Xo)ét foncteur exact un de préfaisceaux ~M de sont z i s’il COHOMOLOGIE D’INTERSECTION Lemme 3.1.2 Soit M Il est diabolique). et Alors ssi les agréable de prouver que à prouver 3.1.2. (il 3.1.2 ~ 3.1.1 sont 2 i. astuce triviale une a y jM de poids Reste résulte de 0.3.1. d) ~ Prouvons = Soit N le plus grand sous-faisceau pervers de M, à support ponctuel. ~ A) Supposons que M est lisse dimX U sur 1. = (en Soit i : tant faisceau lisse et un Al) Prouvons pas ainsi. les immersion ouverte dense telle une Alors DWeil(Xo». MIU 0(1J où J = MIU 1. e à E Supposons qu’il n’en soit o On peut alors trouver i-1, et sous-faisceau lisse un ceux 01G de non G c J nul (si nécessaire, sont 2i-1 Théorème 3.4.1]). U tel que [Weil voir Il est facile de trouver un morphisme étale ~ Uo irréductible et affine,de degré suffisamment grand pour que dim U est 0 o que de G sont poids Xo de qu’objet > ~ avec H (U,G) > (cf. l’introduction) (au besoin, on agrandit le corps de base). Alors l’image dans sont M(U )> est non nulle. Mais les poids de d’après d), 0.3.1. de x Ceci est d’après localiser une un N~~(Vj) , B) Le cas récurrence de choisie ~’ et un M = N~~~c__~(V,M) général jo,! jo!(M) M et com e alors jM = ~ de On se lequel on d > point V par le groupe de > et on 0.3.1. irréductible et affine. N ~___~H"(V,M). = poids >i+l grâce a a) x ~ supp(N). Quitte a ___).X un revêtement Soit j.xj. Soit rg ? , avec V est de conclut = ramené aisément a N = 0. On voit tout de suite Galois, ne rencontre pas conclut. ° supposer X = o Ano, et procède on o j~ : Quitte a agrandir le corps de base, ~(y) H M, de trouver [-l]. et 7~ : (il On vérifie voisinage un est facile, en U~ tel = (d’après A))pour V M on que que un = ~ ouvert affine de de x, M en 0). d’ou = Ano . Si peut on de sorte utilisant que ~j~ soit supporté conclut 0, jo! aisément 7~ N D~i(A1o) pour tout n. 0 pour dévissage , de N sont ~ i. invariante ~ projection linéaire une (H~i~Q)~ , donc ~ i et sont point x,de degré -1 (V,~N), sur ), poids peut supposer supp (N) on Bl) Supposons d’abord que quotient de suite exacte de H par poids au d’ou i 0 prouver que les peu, l’image que Comme espace vectoriel, étale galoisien a x/N E on a : 0.3.2. Les A3) Reste a On que x - U , un de contradiction. A2) Prouvons fermé II, 2.3.5 mais x~ ; on V = a alors U, on a: J. L. BRYLINSKI D’après 0.3.1.d), 1 i > -i a) est dans les N est de Par D~i+1(03C0-1(y)~Uo), de poids poids jiM d’où M sont ~ i, = récurrence, de donc est dans encore D,., le fait que Uk voisinage U~ , de degrés de Une fois le lemme lemme, on se un au cas étale affine contenant est lemme suivant (où le où x, X au est qu’en A2) un où cas ouvert U1 g > 1 surjectif de de U~ Cn et des x, prouve que de An puis, . revêtements étales Notant j degré dk de Pour établir N en prenant affine de est un ouvert , Uk corps de base est des courbes degrés d , tel que pour tout on ait pour système projectives lisses, Ca de revêtements étales et pour tout = où C dans U1 xCn Xk , on algébriquement clos). Il 1 _ A Cn , l’inclusion de E U1 ouvert un On est donc ramené à prouver le dual de Lemme 3.1.4 Soient existe Il reste à et dk -~ ~ avec lisse de genre revêtement étale voit que étale affine la même méthode prouvé, ramène est une courbe propre et un d’après B1). MIN On le déduira du lemme suivant : Lemme 3.1.3 Il existe connexes Il est clair que quelconque. N prouver que U1 H1 son . B2) Soit le )). ~c~~(M I Y o )) _ ap liquée à 03C0-1o(y), H1 j! M donc par 0.3.1 poids ~ i, donc 1 On vérifie que M est de o entier connexes des Ca , de i : -~ Ci , K est localement acyclique en dehors d’une partie finie T de Ci . L’hypothèse de récurest le prolongement par zéro rence, et un dévissage, permettent de supposer que K de sa restriction à p1(C1 -T) .On peut supposer T ~ ~ .On notera N les objets relatifs à Ci , Y, etc... On procèdera à une majoration des dimensions de sur Par hypothèse de récurrence, le rang du système local On procède par récurrence sur n . Relativement à la projection Y COHOMOLOGIE D’INTERSECTION mension du Remarque : H1 . Or la l’importance dont 3.2.1 a) b) communiqué sa [Ray]) démonstration inédite de GrW(M) soit pur de tibles à Xo sur est semi-simple X sur (filtration poids en i. Les par le poids) W.(M) morphismes unique telle que, pour tout i, de Mmixte.. (X ) sont strictement compa- la filtration par le a) résulte b) résulte Théorème ~ur Tout faisceau pervers de Weil mixte est muni d’une filtration croissante 3.2.2 de 3.1.1 de 2.3.5, poids (corollaire 2) et de 0.3.1 3.1.1 et 0.3.1 a) Soit K. E c) Pour j grâce donnée par la formule (voir cruciale. Tout faisceau pervers de Weil tant que faisceau pervers et est est Applications Théorème a) m’avoir Je remercie Beilinson de l’étape 2B), 3.2. caractéristique d’Euler Dmixte(Xo)’ b) résultent aisément à 3.1.1, corollaire 1 de 0.3.1 : c) c’est le et d). e) Alors immersion localement une c) conserve les poids. fermée, d) et de 3.2.1. c) est alors immédiat, théorème de pureté de Gabber et J. L. BRYLINSKI Corollaire 3.2.3. Soit f : directe de complexes réductible"). Deligne et MacPherson D.G.M. a donné, à Luminy, "théorème Ce (Ge-M]. Voir de est un Idem pour des variétés Corollaire 3.2.4. 3.2.4 de 3.2.3. morphisme propre. Alors décalés. (un tel complexe est dit X.~Y "~-complètement complexes. des indications pour déduire le corollaire avait été décomposition" EGo-M4] une pour discussion conjecturé par de ce théorème. Db(X), -complètement de X, ~ un point géométrique correspondant, Ha(X,K°) ~ Ha03C4(K°~)Gal(~|~) est Lemme 3.2.7 Sous les le épi un spectre hypothèses H (K-) ~ Ces est deux lemmes en (triviaux) 3.2.8 Soit f :t un morphisme un La hyperplane. K -,.~K~(1) C2J Si K. (i) t est x point générique naturel point géométrique un le un point générique pour tout de théorèmes globaux et situation 3.2.3 ou 3.2.4). la de X et Xx. un 3.2.7 pour tout sur géné- la K.ED(X) faisceau pervers pur, alors isomorphisme un Alors locaux H2(X,~~(1)) morphisme projectif, L f multiplication par L induit est Xx a. donnent des cycles invariants (par exemple dans ralise (Weil II, Théorème 6.2.9]. classe d’une section soit Kazhdan) de a. tout epimorphisme un morphisme Soit 11 x. les Théorème le morphisme pour de 3.2.6, du localisé strict de X réductible.Pour ~ Gelfand y)) Exemple 3.2.5 Si f est une résolution des singularités, f"_(~ ) contient IC’(Y) C-nJ en facteur direct (c’était une conjecture Lemme 3.2.6 Soit K. E somme pour tout i ~ 0 "théorème de Lefschetz difficile relatif" est dû à Beilinson et Théorème 4.5] Revenons à la situation de 2.3.6-2.3.7, supposée réalisée sur un corps Ce Bernstein fini ; supposons de plus K. pur de poids Théorème faisceau par le (Gabber, [Ga2 ] et [Luminy] La filtration de monodromie M. du pervers ’~K’[-1] au sens de [Weil II, § 1.6] coïncide avec la filtration 3.2.9 poids (au sens de est pur de ((~YK . ~-1~ p(I) ) N P=Id, on n. 3.2.1.b) à poids n-1+i. est mixte de applique ce un poids s résultat à X x décalage près : plus précisément 2.3.8 et 3.1.1 n-1. Passant X, en a (faisceaux XsxXs ments d~ la preuve de (Weil pervers placés degré -2). II, Théorème 1.8.4J en que avoir observant : 0 sur (Corollaire 1) montrent revêtement fini pour un 0 On peut alors recopier les argu- COHOMOLOGIE D’INTERSECTION Corollaire 3.2.10 Supposons K’ mixte (de filtration seulement alors la filtration de monodromie de (au (Weil de sens la filtration par le § 4. DX-Modules holonomes fondamentales des est des gr X X est 0 = est le fibre cotangent, une grm m, Ch(m) (une filtration, m. à et s’identifie schéma relatif comme (à gauche grbx sur non Son = sous-variété plus sa que X sur homogène de en q,~~T~(X), au de sens où X [HaK]. Soit m à droite) ; localement, ou support multiplicité 3 X (m) Le faisceau d’anneaux commutatifs filtration ? ) de M (cf.[Kl], (Ma1]) bonne cohérent notée vu cohérent, -~-Modules faisceau cohérent de sant réguliers "réunion" croissante des faisceaux différentiels d’ordre ~ opérateurs avec le faisceau des foncvariété analytique complexe lisse, le faisceau des opérateurs différentiels d’ordre fini. faisceau cohérent d’anneaux, un décalage près, 0x une holomorphes, existe un poids. holonomes Soit X tions coïncide, à Faisceaux pervers etModules Propriétés 4.1 et poids W.), à relativement 1.6.13~) II, Proposition par le obtient on est la variété T#(X)) ; chacun de il ne ses en faisceau un caractéristique dépend un choisis- de pas de la bonne points génériques [Mal], CBj]. Théorème ], [Ma1], [Ga3] Ch(m) 4.1.1 (en particulier est sous-variété involutive de une dim(X)) dim Définition et lemme 4.1.2. ~ est dit holonome si dim holonome, est dim(X). Si m est variété lagrangienne, et m est localement de longueur une finie Exemple 4.1.3 intégrable) 0~(plus généralement, est holonome à fibre vectoriel holomorphe à connection un gauche ; Q est holonome = â droite. Les Modules holonomes ont de remarquables propriétés de stabilité un morphisme propre,...). Il est commode de complexe holonome : objet de la catégorie dérivée DX-Modules à cohomologie holonome. Tout d’abord un utile (par image inverse, image d’introduire la notion bornée des faisceaux de directe par sorite. Définition 4.1.4 0V-Modules, on sous-espace fermé de V lisse, l!m pose n Oy-Modules, supporté Proposition même de 4.1.5 H1~ Z~ (~ ) . Exti0V {~~I~n+1 ~ et J 3). un C’est faisceau de un faisceau de par Z. [Me1, ChapII] Si J est un faisceau de V-Modules, il en est de f.L. BRYLINSKI Définition 4.1.6 le graphe gorie dérivée Théorème des X complexes Si M 4.1.8 DX-Modules Remarque Soit f : Y un morphisme de ~-Modules a en .. 4.1.10 Sf globale, des Pour fait Lf*m Théorème DV-Module pour un b) Si f est est un SX f_®1 (~ f 1(m) sont des DX-Module, définit le complexe de on fermée, f immersion une une par holonome, complexes (cf.4.1.6). " un sous-espace induit un DY-Modules bonne filtra- une isomorphisme entre catégorie des un 9X -Module analytique fermé sont holonomes compatibles à Soit ~f holonome et la foncteur j DV-Modules Hi[Z](m) ~K1~, ~K3~, ~Bj~ est inverse d’une (resp. cohérents, resp. X(resp. cohérents, resp. holonomes) (Ki) holonomes et sont 4.1.12 admettant holonomes) vision "humaine" du les (cf. l’image ) Les constructions et résultats 4.1.7. X m Y *~-Modules 4.1.11 Si Z est aux Théorème de Lf* _ = projectif, et 57l holonome, complexe holonome (Ki) Si f est DY-Modules (Pham) m a) m catégorie supportés Voir cohomologie 1L 4.1.8bis On Définition 4.1.9 la ~f X : sur holonomes. . tion Soit ). les faisceaux de est holonome, connexion ) Théorème entre variétés lisses. identifié à X. On définit deux faisceaux de f, un à la à lisse, et M de V un [K4] 4.1.11 s’étendent évidemment composition Module holonome droite et des morphismes à gauche, ~~ - Hom alors ’- X " COHOMOLOGIE D’INTERSECTION à gauche. On a 71( - (~1~~) ;i le foncteur ~. est exact, et préserve variétés caractéristiques et multiplicités d’icelles aux points génériques. est un 9 X -Module holonome Définition 4.1.13 Pour m DX-Module un holonome, DR(~) Théorème est le [K2] 4.1.14 (le résultat de Kashiwara est Chap.2] A Remarque 4.1.16 les f3~ DR(m) (cf. 4.2. Modules holonomes D(9 ) DR(m*) Pour m holonome, est le est canoniquement isomor- complexe X hypothèses (~,~~) a), de 4.1.10 0.2). convention de Riemann-Hilbert réguliers. Correspondance dérivée de la catégorie la (1/2)-pervers. faisceau un beaucoup plus précis) décalage près, CK1J, [K3], [Me1] Proposition 4.1.17 Avec Soit fait en est un de m des solutions m. m holonome, Pour Théorème 4.1.15 phe à DX DR(m) de de De Rham de complexe pose : LK2J, (Me1J. Ce n’est pas la normalisation habituelle cf. N.B. : on complexes de bornés des catégorie à cohomologie holonome. DX-Modules CR~ Définition 4.2.1 Un complexe ~’ est dit régulier si pour tout de sous-espace analytique fermé Y de X, le morphisme naturel (DR(m’ ) ) DR Proposition isomorphisme un (i) m’ holonome est régulier ssi (ii) Si m holonome est régulier, 4.2.2 quotient de m est les m* Hi(m°) le sont l’est aussi, [Me2] et tout sous- régulier LMe2J. est Soit la sous-catégorie triangulée formée des complexes de réguliers. Théorème ~K-K~ 4.2.3 Le foncteur DR induit C’est la solution qui dans au "problème une de équivalence Riemann-Hilbert ", due à Kashiwara utilisent tous les deux de facon essentielle les (K5J et entre ~-Modules; la construction d’un foncteur inverse du foncteur DR. Bernstein ont prouvé une variante algébrique du théorème "ô e z on et à Mebkhout, trouvera Beilinson et ~-’ : à (ne pas?) paraitre. Corollaire 4.2.4 Modules holonomes tructibles). DR induit (Deligne réguliers avec la une catégorie équivalence de la des faisceaux catégorie des (1/2)-pervers (cons- J. L. BRYLINSKI Cela conduit à riche dictionnaire, pour un lequel CMe1J, réfère à on [Me2], [Le-MeL Proposition Soit i : 4.2.5 analytique fermée. Il existe porté par Y, et satisfaisant On On aussi a a une alors Complément unique .~(Y,X)~ (~*)k - Y-----~X T. centre le faisceau constant -C(Y,X) = l’exposé Pour J un sur X sup- (B-B2], [Brl], de Springer. d’anneaux a Le faisceau U(LieT)/J régulier *~(Y,X) i~ IC~(Y) homogène (au fibré principal un U(LieT). l’inclusion d’une sous-variété Module holonome et DR voir applications, faisceau aU(LieT) YX "à coefficients tordus" Soit q : 4.2.6 l’action de sous ~(Y,X) - version Pour des un Cc~~~ = est idéal maximal de analytique) sens cohérent, U(LieT), DX, de le une forme filtrée tordue de dispose (on travaille avec des faisceaux constructibles Y, T-équivariants) (Beilinson - Bernstein - Drinfeld). Pour les est et on d’une variante de 4.2.3 et 4.2.4 ou pervers sur applications à la description du foncteur 03A8 au moyen de à un futur article de Beilinson - Bernstein (?) et aux conférences et Verdier à Luminy LLuminy]. micro-analytiques profondes, caractérisation remarquable suivante des Modules Théorème 4.2.7 Soit ~ holonome. tion de m telle que l’annulateur Pour les les géomètres~ Il est de grm Théorème 4.2.8 l’analyse microlocale Soit m° E est l’ensemble des dérivées soit dans cycles évanescents des faisceaux pervers ou des nulles en un est un objets Ch et posons non holonomes ssi il existe régulier renvoie Malgrange Kashiwara et Kawai prou- Pour des méthodes vent la on de une réguliers [K-KJ bonne filtra- faisceau d’idéaux réduit. procédé de pour étudier Db(X) Alors X x E X de germes de projections (voir [K3] ou [B-D-K]) qui sont non acycliques pour permet de définir la variété caractéristique d’un faisceau pervers due à Kashiwara. L’esti(entre autres), de comprendre une estimation de mation de pour Y fermé dans X, donnée dans CK-SJ a sûrement une (X,x)-.-~,(~,0) Cela X ~), signification topologique, qui reste à découvrir. s’interprètent dans ce cadre. en termes de multiplicités dans Ch(m) cycles évanescents;!.3.3 semble aussi très naturel Les COHOMOLOGIE D’INTERSECTION § 5.1. Pour X variété (voir projective (Br J pour Zucker LZ J, que -~-Modules sur C par les ou sur le désordre) E, muni les IH.(X) de structures de approches très différentes). deux théorème du (et) décomposition de la théorie de Hodge Etudier la Borel aurait résolue pour des groupes de géométrie la Comprendre (dans ouverts et jecture de 5.2. Problèmes 5. ’-rang Hodge. Définir l’homologie d’intersection d’une variété affine (substitut à logie d’intersection d’une compactification "minimale") (Kazhdan) En quel sens l’homologie d’intersection riante) ? (MacPherson, Fulton). Formule de Lefschetz phisme, 5.6. voire pour Transcrire 5.7. avec algébriques ont une en (co)homologie "correspondance" ~-Modules (au cône les d’intersection (d’abord pour "spécialisation sous-variété)". Idem une théorie des déformations d’un des DX Y~X-Modules un automor d’un dans le cadre étale. poids. concepts "rigide-analytiques" nécessaires Construire peut-être biva- classe fondamen- type Hecke) la théorie de Verdier de normal d’une la filtration par le du Défricher d’éventuels analogues cristallins (en car / 0) Développer 5.8. une aux faisceau pervers Lien (ou serait-elle fonctorielle l’homo- (Dubson) tale dans 5.5. Quels cycles un. 3.2.4. Le prouver 5.3. 5.4. "holonomes", plats 4. (Berthelot-Ogus) *~-Module sur au § holonome (regarder OY). Généraliser 4.1.14, etc... 5.9. Relier dimension 5.10. * pures con- 1) à et topologie les Modules holonomes non réguliers (si ça a un sens) les non holonomes. la Indépendance de l Gabber m’a informé en en cohomologie d’intersection février 1982 qu’il avait résolu (voirLMa 2J ~-adique *. cette question. en J. L. BRYLINSKI Sigles : [SGA4], Springer Lectures Notes 269, 270, CSGA41/2], Springer Lecture Notes 569 [SGA5.J, Springer Lecture Notes 589 [SGA7], Springer Lecture Notes 288, 340 [Weil IJ P. Deligne, la 305 de Weil conjecture I, Publ. Math. I.H.E.S. 43 (1974), 273-308 [Weil IIJ P. la Deligne, conjecture de Weil II, Publ. Math. I.H.E.S. 52 (1979), 138-252. [Luminy] Comptes-Rendus de la Conférence "Analyse et topologie singuliers, juillet 1981, à paraître dans Astérisque. les espaces sur Bibliographie [B-B.1] A.A Beilinson et J.N. poids (version préliminaire), le [B-B2] A.A Beilinson et J.N. 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