(Co)-homologie d`intersection et faisceaux pervers

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
J EAN -L UC B RYLINSKI
(Co)-homologie d’intersection et faisceaux pervers
Séminaire N. Bourbaki, 1981-1982, exp. no 585, p. 129-157
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Séminaire BOURBAKI
1981/82, n°
34e année,
(Co) -
Février 1982
585
HOMOLOGIE D’INTERSECTION ET FAISCEAUX PERVERS
par Jean-Luc BRYLINSKI
sérail, j’en connais les détours" (J. Racine, Bajazet)
"Nourri dans le
Introduction.
Soit
soit £
X une courbe algébrique lisse sur un corps k ,
nombre premier distinct de la caractéristique de k, V
un
lisse
On sait
X.
sur
du
l’importance
de
"groupe
’ri
Pour V
le
lisse dual,
~~-faisceau
(voir
V
du faisceau
R1p* 03A6l
le
(où
~~-faisceau
E
p :
valeurs propres du Frobenius
si
on
admettait la
sur
conjecture
une
H1(X,V)
En
dualité parfaite
démontrait que pour
lisse obtenu
X est la courbe
de Weil.
démontré la conjecture de Weil
,
obtient
l’exposé (Di J Deligne
Dans
modulaire, et pour
on
~~-faisceau
un
cohomologie parabolique"
X
courbe
une
puissance symétrique
elliptique universelle), les
comme
étaient toutes d’un poids prescrit,
1973-74, Deligne
[Weil 1 ] , CS)
_,
a
non
seulement
mais l’a considérablement
élargie [Weil II). Dans la terminologie de loc. cit., si V est ponctuellement
i (comme c’est le cas plus haut) H (X,V) est pur de poids i + 1.
pur de poids
Ou
plutôt : soit j : XL..~
complexe
[Weil
pur de
X la
compactification lisse ;
i1(X,V) = H1(X, j*V)
alors
est pur de
jjj.
V est
i
poids
un
1
+
II, 6.2.4, 1.8.1, 6.2.6].
Sur
de
poids
i donc
complexes
une
purs.
courbe lisse,
On n’a
il est donc
longtemps
rien
su
possible
de construire
faire de semblable
de dimension
plus grande. Toutefois, dans (Weil II, Théorème
généralisait
le
théorème
de Lefschetz difficile
129
à
un
sur
une
quantité
une
variété
6.2.13~),
complexe pur K
Deligne
sur
un schéma
J. L. BRYLINSKI
projectif,
tel que pour
suivante : pour tout
entier fixé
un
i,
ditions de support s’énoncent maintenant :
" dim Supp H1 ~
cohomologique d’un
le
sous
"
n - i
était
Dès
Goresky.
et
perversité
c q(c)
est une
2 -
=
dite duale de
dèrent
est un
~1
n-i . Ces
est
con-
faisceau pervers. La condition
la dimension
sur
[SGA IV, Exposé 14] et des conditions de support duales,
profondeur", jouent un grand rôle dans le cadre cohérent (SGA2) .
la notion de
"perversité"
d’homologie
topologie apparaissait dans la
en faire un usage systématique
pseudo-variétés stratifiées. Pour eux,
en
allaient
et MacPherson
fonction
pour les
{2,3,...} vers TN telle que les fonctions p
p
soient croissantes, à valeurs dans ]N ;; la perversité q est
X une pseudo-variété munie d’une stratification, ils consi-
p(c)
p . Pour
IC~(X)
sous-complexe
un
K~[n]
la condition
vérifient .
apparue dans le théorème de M. Artin
lors, Goresky
dans leurs nouvelles théories
une
et
espace affine
Indépendamment,
thèse de
déjà
de "conditions de
nom
K
n ,
la dimension du support du faisceau
de
du
C*(X)
complexe
des chaînes localement finies de
X , formé de chaînes assujetties ainsi que leur bord à des conditions
sur
la dimension
de leur intersection
est
plus petite.
Si
tions
par
perversité "maximale",
est la
t
innocentes~ ;
sont
n
Par
une
jolie méthode,
ils
d’homologie
de
sont
MacPherson définissent
et
une
en
notés
0 ,
ces
condi-
IH?(X) .
On
a
forme d’intersection
prouvent ensuite :
que la forme-intersection
dualité parfaite entre
-
p
perversité "nulle"
dimX)
=
-
les groupes
plus strictes que
duale de la
IH?(X) = Hn 1(X) .Goresky
exemple
(où
les strates, d’autant
avec
IH?(X)
que leurs groupes
augmentée
vers Z induit, modulo torsion,
une
et
IH?(X)
sont
existe
une
indépendants
de la stratification choisie
[Go-Ml].
Dans le
on
peut,
par abus de
c-- 2
m :
.
où
cas
stratification à strates de dimension
langage, parler de
la
dès lors la "dualité de
satisfont
Les groupes
paire,
intermédiaire"
"perversité
Poincaré".
Vers 1978-79, Kazhdan et
Lusztig, ayant constaté 1"’influence"
"défaut de dualité de Poincaré" des variétés de Schubert
de groupes de
les groupes
Weyl
IHL(X)
ou
d’algèbres
pour
nécessaire de travailler
expliquer
sur
de Lie
ces
des
représentations
semi-simples, cherchèrent
phénomènes.
des variétés
adaptation à
sur
Toutefois,
algébriques
sur
un
du
à
utiliser
il leur était
corps fini,
cette situation des constructions
et ils
topologiques
Goresky - MacPherson. Ce leur fut fourni par Deligne, qui introduisit un
construit à l’aide d’une stratification de X, par induction, à
complexe
cherchaient donc
une
de
ICl(X)
1)
du moins
lorsque
X
est
normale, cf. [Go-Ml].
COHOMOLOGIE D’INTERSECTION
l’aide
d’opérations
successives
d’image
directe dans la
catégorie
dérivée et de tronca-
tion [D2]. La forme d’intersection de Goresky-MacPherson devenait le reflet global d’une
"dualité"
la construction
telle
pour
entre complexes (au sens de Verdier). De plus
quelle, pour fournie un complexe de Ql-faisceaux
Kazhdan et
Lusztig prouvèrent
[K-L]. Goresky
de Schubert
redonnait la leur dans le
matiques
IC~-(X)
du
cas
complexe
pur
une
s’appliquait
variété
complexe était pur, dans le
ce
cas
sur
donnèrent
topologique,
Vers juillet 1980,
et
[Gal].
Un peu
plus tard,
plusieurs
TF
.
d’une variété
MacPherson établirent que cette construction de
[Go-M2].
ICI
complexe
est un
et
alors que
X
Deligne
caractérisations axio-
Gabber démontrait
en
la démonstration de la
général que
conjecture
Kazhdan-Lusztig, utilisant la "correspondance de Riemann-Hilbert" (au sens de
Mebkhout) faisait apparaître un Module holonome à singularités régulières correspondant
à un complexe du type
et posait la question de la description des complexes
---m
de
de faisceaux constructibles obtenus
[Springer]. Deligne,
comme
complexe de
De Rham
d’un Module holonome
question [Brl] fut conduit à axioqu’étant des objets d’une catédérivée
de
gorie
complexes de faisceaux (et non, à proprement parler, des faisceaux)
forment une catégorie abélienne artinienne, dont les objets simples sont, en gros, du
type IC° (mais à coefficients "tordus"). De plus, ce sont des objets "de nature locale" (ils se recollent exactement comme des faisceaux). Avec Gabber, il a appliqué
ces techniques à une variété sur un corps fini, et obtenu de remarquables théorèmes
de structure sur les complexes purs, les faisceaux pervers mixtes, impliquant un imoù f : X ~ Y est un morportant théorème de décomposition pour
phisme propre entre variétés algébriques, sur un corps algébriquement clos. Simultanément, Beilinson et Bernstein obtenaient, à Moscou, les mêmes résultats, et devaient
donner en 1981 une nouvelle démonstration du théorème de pureté de Gabber, que j’essaye de présenter plus loin. [Gal], [B-Blj, [Luminy].
donnant la solution de cette
en
matiser la notion de faisceaux pervers. Ceux-ci, bien
exposé
Cet
dans
ce
rappel
a
pour seul but de
recenser
les résultats fondamentaux
domaine, dont j’ai pu avoir connaissance. Je
préliminaire
contenterai d’un bref
des
catégories dérivées, et d’un résumé
de
résultats principaux
[Weil IIJ. N’ayant voulu sacrifier
aspects étales, ni les aspects "cristallins" de
souvent à donner des démonstrations.
les
§
0.1.
me
la dualité de Verdier et les
sur
0.
Rappels
la
théorie, j’ai dû
ni
renoncer
et notations
On utilisera librement le
langage
des
catégories triangulées
et des caté-
J. L. BRYLINSKI
Pour obtenir
un’Hiagramme octaédral" (axiome (TR4)
il suffit de
se
donner
X ~ Y ~ Z.
pour
lequel
on
(Ha,
dispose
de la
On lit horizontalement et verticalement
(d’où quatre faces
d’où quatre autres
de
l’octaèdre).
octaèdre
catégories triangulées)
octaèdre
p.3~,
représentation plane
commode
quatre triangles distingués
non
débiles
signe près,
même flèche,
Les carrés numérotés commutent,au
à
Y’
donnent la
les deux habitats de
vers
Y(1J.
On vérifie
qu’un
X
topologique, R un anneau commutatif noéthérien de Gorenstein, on
D(X,R) ou D(X) la catégorie dérivée de la catégorie des faisceaux de R-modules
On dispose de sous-catégories pleines D+(X,R), D"(X,R), Db(X,R). On
notera
sur
un
six sommets.
a
0.2. Pour
On obtient
faces. Les deux chemins de Y
ainsi que les deux chemins de Y’
des
X.
un
espace
compact de dimension finie et vérifie
les conditions (HLC), (HPF), (HDF) de [V3, §1.2~ (c’est vrai si X est une pseudovariété stratifiée, voir §1). Si f : X Y est une application continue, on
Db(Y) obtenu en dérivant à droite le
dispose du foncteur exact Rf! : Db(X) ~
supposera
foncteur
toujours
que X est localement
directe
"image
à supports propres" (V2
Dans toute la suite
foncteur
Le
Rf~~ .
foncteur f’ :
un
complexe
où
K~
Db(X)
de faisceaux
est la résolution
injective
de dualité de Verdier dit
pour A’
En
Db(X)
dans
particulier
est noté
D
8
et
a
injectifs
notera
on
J.
On
f et f~~
a
au
aussi le
lieu de
été introduit par Verdier
sur
Y et U
un
ouvert de
on
standard du faisceau constant
un
isomorphisme canonique
pt,
le
complexe
et Rfi .
Rf~~
.
[V2 ] ;
Y ,
a
qu’on
classique
RU.
dans
si I~
est
a :
Le
théorème
D+(Y)
B’ dans
pour f : X ~
Une incarnation du
f
Rpt
complexe dualisant
est dualisant
DX
sur
X :
est fournie par le
il
com-
COHOMOLOGIE D’INTERSECTION
plexe C. des chaînes
On
en
singulières
déduit :
orientable de dimension
Pour A
n.
A’,
le dual de Verdier de
R)
Hp(X,X-x ;
=
noté
(sans condition
localement finies
et que
dans
pour X
le
complexe B°=R
support):
de
variété
une
Hom°(A’,D’)
est
DX(A’)
Supposons X, Y,
analytiques complexes et que R est un anneau de
etc... les sous-catégories formées des complexes
(X),
Db(X),
c
c
à cohomologie constructible
~). On sait, entre autres que f * et f~,
Ainsi
préservent les sous-catégories Db(-).
De plus, pour
c
D’X est dans c
f
Dedekind.
A~
On note D
B dans
et
D~(X),
Hom(A,B)
R
c
A’ dans
est
un
D~(X),
c
De
on a
isomorphisme
Pour X
~V3,
~V3 , Prop.2.5.1~.
e~l dans
-
corollaire
plus
le
morphisme
Donc pour
naturel
2.6.2~
schéma noéthérien
séparé, et R un anneau commutatif noéthérien
(étales) de R-modules sur X, et de faisceaux
parlera
constructibles [SGA4, IX, §2] On peut construire une catégorie dérivée
etc... Pour R’ local noethérien complet de caractéristique résiduelle l
(par
exemple, la clôture intégrale de ~~ dans une extension finie de
on peut déun
de torsion,on
de faisceaux
Db(X,R),
finir la notion de R-faisceau
projective
[SGA5,
il n’est pas clair
fini
type
(Weil
fi
II,
sur
un
Exp.V,
qu’elle
On
est
corps fini
§1.1.2~.
constructible, par
ou
peut
procédé délicat de limite
définir une catégorie Db(X,R) mais
c
encore
triangulée ;
un
tel est le
algébriquement clos,
cas
cas
On peut alors construire
toutefois pour X de
auquel
on
se
limitera
et les variantes
avec
ou
Les foncteurs
tats
plus haut
on a
DX ’-‘
restent
précédents
c
encore
un
sens
dans
ce
cadre et les résul-
(par exemple,
pour X
lisse,
(voir
Exposés
Rappelons quelques isomorphismes
valables, dans les deux cas
A’E
et B, C, D’ E
Db(X)
ont
valables, mutatis mutandis
(pour
c
R
dans les
catégories dérivées
raisonnable). Soit
f :
X ~
Y
un
Dbc(-),
morphisme,
J. L. BRYLINSKI
Pour f lisse de dimension relative n,
Pour f
une
immersion ouverte,
Pour f
une
immersion fermée,
;"
voir
[SGA,
4, Exp.
a
f1(B’) - f~(B’)
f = f~ et f est déjà
fI = Rr (foncteur
on
exact
3°1°8]).De plus f*
(n) [2n].
au
niveau des faisceaux.
dérivé droit du foncteur
a
Prop.
XVIII
on
déjà
est
f!
=
exact
au
niveau des faisceaux.
0.3.
Quelques résultats tirés
de
(Weil II]
[Weil IIJ
étant aujourd’hui bien connus,
rappel. Soit
une
Les méthodes et résultats de
nous
nous
contenterons d’un bref
fini
sur F ,
D
Xo
D(Xo)
=
c
X
=
Fq .
Un ®complexe
Soit F
X~
Un compl
(Xo, 03A6l) .
est mixte de
n,
mixte de
exe J’
le frobenius
de
(
D(Xo)
o)
poids ~ n + i ;
0.3.2 Soit
faisceau lisse
sur
X
Uo de
une
mixtes,
si
1.
(Co)-homologie
1.1. La construction
Tous les espaces seront
qu’il
existe
un
dit mixte de
type
poids >
les
poids ~ i ,
i
si
pour tout
son
dual est
sous-catégories
resp. mixtes de
nécessaire, 0.2)
sous-schéma ouvert, 3
un
i. Alors les
(loc.
poids
de
R1 i*, J
cit, Théorème
sont ~ i
+
un
2.
1.8.4).
Goresky-MacPherson
supposés P.L.,
pseudo-variété
sous-espace ~
variété orientée de dimension
de
X. On pose
d’intersection
originale de
Définition 1.1.1 : Une
géométrique
1.t mixte
si
dit
mixte e
de poids
poids _~ ii si
courbe, i :
poids ~
algébrique
sur
resp. mixtes de
Cela résulte immédiatement de
§
variété
Di (Xo) ,
sont
(voir Cloc. cit., théorème 3.3.1~ et,
tel
est
-i . Soient
poids ~
triangulées dont les objets
poids ~ i .
Théorème
il
est
Xo
n,
de
même
de dimension
de dimension ~
dense dans X.
que les
n
est
un
applications.
espace
compact
n-2, pour lequel X-~ soit
X
une
COHOMOLOGIE D’INTERSECTION
Une stratification de X est
telle que pour tout
et
V
application
une
point
p de
il existe
Xi-Xi-1
qui
x
chaîne
une
sur
Exemple :
x B1 (PL)-homéomorphitout j envoie
(ici B1 est la boule PL de dimension i).
X
X. J
un
V.
Dans
ce
Goresky
(Go-M1,1.2].
PL
analytique complexe, E
Whitney, Xi l’union des Y
pour i
Xi = Xi 1
cas,
A
des
singularités
intersecter deux cycles P.L. Mais
autre
une
cycle transverse
aux
Xi
cohomologie).
classe de
son
lieu
une
singulier,
variété de
X
le
avec
de
X,
on
C~.(X)
complexe
ne
est dit
_
0 et
L’idée de Goresky et MacPherson est de
Pk+1 - Pk
si
des
chaînes
ou
est
une
Pk+1.
dim(Y) ~
d’entiers p
suite
Pour i
un
entier,
5
i et
un
=
mesurer
par
de montrer
de leurs
(P2,P3’...,Pn)
sous-espace Y de X
i-k+ pk
pour tout k 2 2.
ICi
(X) comme le sous-groupe de
C.(X) formé des chaînes telles que
(le support de S) soit (p,i)-admissible et que
soit (p,i-1)-admissible.
Le i-ème groupe d’homologie d’intersection (de perversité p),noté
IHi(X),
est le
i-ème
groupe
d’homologie
du
complexe
Avec les notations de l’introduction,
Si
une
peut intersecter un cycle P.L. avec tout
(en fait si X est "normal" un tel cycle définit
perversité
(p,i)-admissible
On définit
!5f
P2
=
Y
on
"perversité" le défaut de transversalité d’un cycle aux
X. , et
qu’on peut intersecter deux "cycles pervers", pourvu que la "somme"
perversités ne soit pas trop grande.
Définition 1.1.2 : Une
il
peut raisonnablement espérer
une
telle que
=
de dimension réelle ~ i .
impair.
et MacPherson travaillent
cause
vide est
non
espace
stratification de
espace compact filtré
un
pour
voisinage de p dans
(En particulier, chaque strate
dimension i).
quement
un
de sous-espaces fermés
p et q sont des
telles que
t
de
chaînes
est la
IC~(X).
perversité "maximale".
perversités duales, on a p+q t. Pour p et q deux perversités
une perversité 7 minimale telle
r.
que
=
p+q ~ t, il existe
Une chaîne C E 1
p+q r et
(X) sont dites dimensionnellement transverses si
(r,t)-admissible (on écrit C ~ D).
On peut alors construire la chaîne C n D E
Définition 1.1.3. Supposons
chaîne D E I
=
C
C?(X)
’c,n’D’
et
une
est
-
ICri(X).
Théorème 1.1.4.Supposons
telle que
p+q
=
r.
[cno] lorsque
Il existe
une
C et D sont
unique
forme bilinéaire
dimensionnellement transverses.
J. L. BRYLINSKI
La preuve utilise
un
"P.L.
moving lemma" dû à Mac Crory (voir
[Go-Ml,
§ 2.2-2.3)).
subordonnée à la filtration, T’ sa
barycentrique. Pour p et 1 entier donnés, il est intuitif que les
strates X
les plus importantes sont celles pour lesquelles une i-chaîne de
n-c
perversité p doit couper X n-c- ~ en dimension strictement plus petite que celle
où elle est autorisée à couper X
Soit donc Q? le sous-complexe de T’ de somSoit T
une
de X,
triangulation
subdivision
-
.
n-c
mets les
tion
de
barycentres des simplexes
précédente [Go-Ml,§3.1).
Pour
i
J
de T
p+q
tels
t, Q?i
=
que c
et
dim(J)
=
Q~ . ~
se
n-i+
satisfasse la condi-
regardent
en
chiens
faïence.
Goresky
Théorème
choisie
Théorème
et MacPherson
1.1.6
(voir
est de
type fini
indépendant
et
de la filtration de X
(Go-M1, §3.2~)
1.1.7
La forme d’intersection
induit, modulo torsion,
(voir
déduisent :
en
une
"augmentée"
dualité parfaite lorsque p+q=teti+j=n
(Go-M1, §3.3~)
Remarque 1.1.8
(i.e.
On
H.(X)
a
et
on
IH?(X) =
a
le link d’un
triangulation convenable,
pour
0 et q
connexe). Pour p
t, on ne peut
théorème 1.1.7 .
une
est
Lorsque
X admet
sont de codimension
entiers
donc
=
=
une
paire,
stratification pour
seule
compte
pour
une
lorsque
simplexe
déjà
pas faire mieux que le
lesquelles
perversité
c22
peut considérer m pairs. En particulier,
(c’est la perversité intermédiaire). On dispose
on
auto-duale
et donc de la "dualité de Poincaré" pour
montre que cette dualité
groupes. Le
~,Go-Si~)
1.2.
faisceautique
de
d’une
(au
lieu
une
sur
les
perversité
de la forme intersection
cas
d’un
cône quadratique
irrémédiable
explicite
IHpi(X)
des groupes
isolées
sont des invariants
(G-M1,g6.1J
topologiques.
qu’en considérant le complexe C*(X) des chaines
des seules chaînes P.L.) la construction des IC(X) est
1
et Verdier observent
localement finies
comme
pseudo-variété à singularités
et par le désir de prouver que les groupes
Deligne
valeur
Deligne CD2~,
semble avoir été motivé par le calcul
Deligne
d’homologie d’intersection
toutes les strates
sa
vaut que modulo torsion et que c’est
ne
(voir toutefois
L’approche
ces
X est normal
de codimension >_ 2
COHOMOLOGIE D’INTERSECTION
faisceautique, d’où un complexe de faisceaux
considérer_des complexes de type cohomologique, on définit
de nature
Comme
préfère
par
’~
IC?(X).
=
on
complexe IC
un
i
2014 p
On choisit
Théorème
1.2.1
~D
2
une
(cf.1.1),
filtration de X
~, (Go-M2,
Theorem
3.5~
Dans
pose U k
on
Db(X,
2~),
X-X
=
on
a
n-k
et
isomorphisme
un
canonique
La démonstration utilise et fournit la caractérisation suivante de
d’où
a
disparu
la stratification
Théorème
1.2.2 Il existe
sant
conditions suivantes :
aux
Corollaire 1.2.3. Pour p
[Go-M2,
le
comportement de
Par
ment
=
q
t ,
on
exemple,
non
Théorème
a
~)[2n)
=
X q
-p
Db(X)
dans
satisfai-
(voir
une
ICI
renforce le
par
inclusion
un
Théorème
1.1.7.
Goresky et MacPherson expliquent
morphisme "normalement non-singulier" [Go-M2, §5.4].
transverse
a :
aux
strates de X,
est normale-
singulière.
1.2.4
(Lefschetz "faible")
Soit X
une
variété complexe,
a :
clusion d’une
k
section hyperplane transverse, p une perversité telle que pc
morphisme 03B1* : IHpk(Y) ~ IHpk(X)
est bijectif pour k
n-1 et
n-1. (voir CGo-M2, §7] ; cela résulte aussi de [SGA IV, Exposé 14]. Ici = dim
surjectif
Le
=
IC’,
4.1~]
Theorem
5.3]).
énoncé explique et
Cet
Theorem
unique complexe constructible K~
un
+
EGo-M2,
S2.
pour
(X) = n 2’
Remarque 1.2.5. Dans l’approche de Deligne, c’est plutôt la fonction
c - P(c) - n + 1
qui apparaît comme une perversité. D’autre part, Deligne
considère une perversité comme une fonction sur l’ensemble des strates d’une
stratification arbitraire (et
mesure,
non
une
fonction de la
il peut s’affranchir des conditions strictes
MacPherson
[D2
codimension). Dans
imposées à p
par
une large
Goresky et
J, LLuminyJ .
Dans le
cas
analytique complexe,
le
complexe IC’=
le;
[n]
estparticulière-
J. L. BRYLINSKI
(il
ment intéressant
une
caractérisation
IC°
est
objet
un
est "auto-dual" modulo
de cette
de
approche
au
site étale d’une variété de type fini
et
permet
entre autres de construire
est "auto-dual" et pour
(D2 J CK-LJ (pour
analogue
[K-LJ
Variante 1.2.6
on
a
ce
fait
théorème
un
IC~® ~
de
admet
Kunneth).
Db(X).
de
L’avantage
qui
torsion, et de
~GO-M2,§6.1~ ;
simple
assez
X
Soit V
lisse,
sur
un
est
qu’elle s’adapte
corps
fini
lequel
quelle
ou
d’une caractérisation
dispose
on
telle
algébriquement clos,
(ou simplement _IC~(X)) de
objet
un
a
on
système
un
Deligne
local de
K-espace
vectoriels
sur un
ouvert
complémentaire est de codimension réelle ~ 2 (pour X une variété
pseudo-stratifiée, K = ~ /m, 1l, 0~, 1R ou et par exemple). La méthode v de Deligne
pour K un corps, IC.(X,V) est dual
permet de construire un complexe
V
ou
est
le système local contragrédient.
de
de
sens
Verdier)
(au
de X dont le
~
Construction similaire pour X
(avec
clos
briquement
K
cation de
la théorie de Morse stratifié
avec
Définition 1.3.1
E-
(LaJ
Soit X
x EA,
critique
un
(d’après
on
un
ou
algé-
muni d’une stratifi-
espace
est
fIA
(1) /
df(x )
a
corps fini
Goresky-MacPherson)
sous-analytique,
Whitney. Une fonction C sous-analytique f :
Morse si pour toute strate A,
pour
sur
ou
IHk(X) = Hk(X,IC’)
Notation 1.2.7 On pose
1.3 Relation
variété
une
=
où
0
T
est
une
fonction de
fonction de Morse et si pour tout
une
est
limite
une
en
point
x d’espaces tangents
strate B telle que A C B .
une
On
de
peut parler
points
et de valeurs criti ues d’une fonction de Morse.
Théorème 1.3.2 ~Pi ~ L’ensemble des fonctions de Morse est ouvert et dense dans
C°°(X, R) (défini à l’aide d’un plongement de X dans une variété lisse). Une fonction de Morse à valeurs critiques distinctes et topologiques stable.
Supposons maintenant X (et sa stratification) analytiques complexes.
Soit
xo
x
x l’indice de
un
point critique
soit la seule
Théorème
1.3.3
(G-M3 J
est nul sauf pour i
De
même
pour
On
(où
N
=
IC’(X,V)
peut
est une
se
soit A la strate contenant
de la fonction de Morse f,
point critique x .
fiA
valeur critique dans l’intervalle
au
Sous
ces
Soit
v
=
f(x )
et supposons que
[v - e,v + e~ .
hypothèses
X.
(notation
ramener
au
de
1.2.6).
où f
cas
"tranche transverse" à
A
est
dans
une
X
au
fonction du type
point
xo ).
Reg,
pour
v
COHOMOLOGIE D’INTERSECTION
Goresky - MacPherson construisent
Exp ]
image isomorphe
théorème de Lefschetz
son
LG-M3]
pour Var,
au
IH
groupe
justifications
logie des variétés analytiques
2.1.
Ils
et
en
sous-catégorie pleine,
Soit S c C
un
pervers
Supposons C triangulée. Pour
sous-catégorie qui contienne
C
un
S
d’objets,
c
§1~)
C
on
d’isomorphie
on
entendra
sous-catégorie
de
ses
objets.
pose alors :
sous-catégorie,
une
de C"
une
on
note S la
plus petite
(évidemment une exten-
S et soit stable par extension
triangle).
sous-catégorie
une
isomorphisme. Décrire
l’ensemble des classes
certain ensemble
sion est donnée par
déduisent le
algébriques.
stable par
à décrire
prouvent
=
catégories triangulées (d’après
catégorie. Dans ce § par "sous-catégorie
une
de C revient donc
Soit
présente)
1.3.3.
"t-structures dans les
Soit C
une
ou
p
Le formalisme des faisceaux
2.
théorème
m). Ces résultats constituent une des
l’importance du complexe IC~ dans l’étude de la topo-
de
§
a~)
pour la situation
relatif du
(pour
faible
meilleures
morphisme "variation"
IH°(~)~ IH°~~,
Var :
(voir LSGA 7,
un
Il est clair que S - S =
de C et soit
=
(S) .
Idem
a
gauche.
(C ) SD 1
,
Définition 2.1.1 On dit que
tel
définit
c CSO
(i)
(ii) pour tout Y E C, il
que X E e et Z E CZ1.
existe
La t-structure est dite
entiers
i,j
On appelera
Exemple 2.1.2
en
degrés
> 0
Lemme 2.1.3
CsC
tels que
A
Supposons
que
En particulier,
canoniquement isomorphes.
On
en
déduit que
C si
sur
si pour tout X E
dégénérée
non
C, il existe des
C~1
catégorie triangulée
une
catégorie abélienne,
(trivial
t-structure
triangle distingué X.~Y ~
un
et
t-catégorie
mais
une
C
=
D(A),
C
munie d’une t-structure
formé des complexes acycliques
utile).
C
définit
pour Y
une
t-structure
sur
C.
fixé, tous les triangles du type 2.1.1.(ii)
définit
sur
Co
une
t-structure
(d’où
sont
la notion
J. L. BRYLINSKI
de
t-catégorie
manière évidente
diverses relations entre
Indications
dérons
un
ces
a).
sont dans
si
de ker
F(CSO) c C’03C4’ ~b
a)
Si C
=
C,
b) Supposons
Alors G est
2.2.
(i’,i)
X
un
f X_~Z~l].
Y
C~ .
morphisme
Alors Z E
Il est clair que
exact
(i,i’)-amplitude
=
et
F
dans
Lemme 2.1.6.
Y ~
iS0
dans
sera
C,°r,
C~0’1’,
et consi-
d’ou
F
à
dans
un
inter-
Si l’amplitude
â gauche (resp â droite).
(i,i’) exact(a gauche
Perversités et faisceaux pervers
de f est contenue dans
du foncteur F est contenue dans
droite ssi F est
le fait
et
de F est conte-
dit exact
l’amplitude
a
peut iden-
on
L’isomorphisme Coim f.~Im f s’inscrit
f.~ Z .~Y (cf.0.1)
Théorème 1.6~.
b) est plus fatiguant
Définition 2.1.5. On dira que la
valle
i : C---7C.On
conoyau pour f.
un
l’octaèdre déduit
nue
Soit f :
triangle distingué Z
noyau et
des foncteurs
foncteurs ; par exemple, pour i ~ j,
de
sur la preuve
Z et
que
sont
un
t-catégorie).
duale d’une
On définit de
(i,i’)
ou
[a,b]
ssi
â droite). Alors
exact
à gauche.
(d’après (Luminy])
topologique annelé, ~) une partition finie de X en
localement
fermées
parties
(appelées strates), vérifiant l’axiome de frontière.
Soit p une f onct ion %~ ~ Z ( la perversité)
Soit
(X,~)
un
espace
COHOMOLOGIE D’INTERSECTION
Définition 2.2.1 La sous-catégorie
de
K° tels que pour 1 : SX
l’inclusion
d’une
strate,
--,
s
n
>
correspondante
La
a
D+,~0(X,O)
démonstration
-
0 pour
complémentaire.
=
1"~
K E
tel s
D§/~
qUe j*
K E
D~0U
Définition 2.2.4.La
J
i~
et
KE
2.2.5 Soit U
j : UX l’inclusion.
droite jJ
et
sont
Notation 2.2.6
et r_r,p
p
0n
a
alors
Proposition
sur
des faisceaux
par le
à0
j*
et
sont
,et
H~
est formé des
p-pervers
sur
et
K
sur
X est la caté-
2.1.4.
de X,
réunion de strates,
à droi te,
leurs
adjoints à
-
(resp.p
lieu de
pour le
H°
au
sens
de la
D~~) ;
on
perversité
(P, U, É’), etc...
j~ À ~ j~ À----~ j,~
(ou simplement
2.2.7 PourA
D+(X,O)
D?
D (U,Ù) (resp.
que j* K E DU
écrit
p.
pour A
morphismes
~j~
p-exacts
à gauche.
*
suite de
procédé
partie localement fermée
au
À
tels
DX
laquelle
=
D§~ .
Alors j!t
et
~jj
pour
l’ouvert
DU
sur
complexes K" de
des
écrit
On définit le foncteur
dans
une
-
une
D~0
~D~"~(-X,Ù)
p-exacts
pour ~ T,0
On pose
s
le nombre
t-structure
une
catégorie M(p,X,O)
gorie abélienne déduite de
Proposition
(resp.
t-structure
une
D§~
=0pour n’p(S).
de strates, à l’aide
l’inclusion d’un fermé, et j :
Alors l’ensemble
défini t
sur
catégorie pD~1
sur
complexes K tels que
fait par induction
se
Fa$ X
Soient
D+(F,O)).
DF
t-structure
une
(loc.cit, Théorème 1.4.10)
2.2.3 Soit
Proposition
définit
les
objets
pour
du résultat suivant
Hn
complexes
Hn(i*s K) -
ait
p(S).
Proposition 2.2.2 p
On
est formée des
on
par
A est
iE-
tel que,
pour
iS : S
0 pour i Z
p(S)
et
À
l’unique prolongement P
d’une strate, on ait
de A
X l’inclusion
*
iS
P
=
H°
P
=
0 pour i S
p(S) .
Corollaire 2 : Les faisceaux p-pervers sur les ouverts de X forment
se recollent exactement comme des faisceaux ordinaires)
Supposons maintenant que p vérifie
p(T) pour
(ils
la réunion des strates S telles que
p(S) s
n,
et
soit jn : Un-1Un
un
champ.
Soit U
l’inclusion
J. L. BRYLINSKI
Proposition
2.2.9.
j l’inclusion de
Soit
Uk
Supposons
des
un
Un
anneau
parler
soient
en
un
filtration
au
Relativement â la stratification
(bi) dualité
de la
On
décalage).
ainsi
retrouve
Lorsque
est
1.2
:
p1/2(S) = - §
on
a
exemple
par
dimS.
on
c
peut
Les
°
La
perversité
a
les
HiP
A
IC°(X)
*
subi
paire,
un
on
de
dispose
Il résulte de 2.2.7 et des remarques
auto-dual P de A
l’unique prolongement
*
(0.2).
de Verdier
faisceau pervers auto-dual
un
,
dérivée
constructibilité. Pour
(mais la perversité
l’inclusion d’une strate,
Pour A
catégorie
toutes les strates sont de dimension
perversité auto-duale
précédentes que si A est
la
Uk,
sur
"
_"
_
une
respectent la
opérations précédentes
dispose
faisceau p-pervers
de 1.1.
de faisceaux constructibles et définir
on
un
pseudo-variété, que les complémentaires
et que O soit constant de valeur
une
sens
R commutatif noethérien.
corps,
j ,,(A)
et soit A
Ua
=
a
outre que X est
en
une
constructions et
R
tel que X
a
dans X. On
sur
(dans
ouvert U,
un
D (X))
soient nuls
sur
tel que,
alors
pour
-12
S pour 1>
dim S.
les variétés algébriques. (d’après [B-Bl, §3))
algébrique sur lll, ou sur un corps fini ou algébriou Ô> ou
quement clos. On travaillera dans une catégorie dérivée du type
la
(voir 0.2) et on parlera de faisceaux.(1/2)-pervers, en
(1/2)-pervers
2.3 Faisceaux
Soit X
une
sur
variété
DiX,lt
utilisant
perversité
auto-duale
P1/2(S)
=
-
dim(S).
On
complètera
résultats de 2.2. On pose pour simplifier = p1/2 , on notera D(X)~0 la
t-structure
définie
sur
comme
en
c
Lemme 2.3.1
Pour
K° É
c
où
x
parcourt
plitude
d’un
est l’ensemble des
K- tels que
male des fibres de f.
etc...)
f :
les
de X et
K- tels que
où
a
est l’am-
(K’) s
~,
et
est
b,~(K’) z ~ .
On
Proposition 2.3.2 Soit
cas
posons :
les
Alors
ce
2.2.1, etc...
points (non supposés fermés)
complexe d’espaces vectoriels L*.
l’ensemble des
dans
un
la
morphisme
catégorie
de
abélienne
variétés,
d la dimension maxi-
COHOMOLOGIE D’INTERSECTION
a)
La
~-amplitude de
E-d,dimX],
b)
c)
fi
celle de
Si f est affine,
(-dimY,d~,
f’
celle de
à droite
est p-exact
fa
(à
Si f est lisse
E-dimX,d],
est contenue dans
fj
dans
et
celle de
dans
L-d,dimyJ
f
est p-exact
f~~
dans
à gauche.
fl(-d)L-dJ
dimension des fibres
est p-exact.
Corollaire 1 : Soit i :
~-exacts à gauche, et
affine, alors
et
i~~
un
1*
et
ij
sous-schéma. Les foncteurs
à droite.
sont p-exacts
est un
Si i
:
sont
morphisme
sont ~-exacts.
il
Corollaire 2 (version relative de "Lefschetz faible"). Soit f : X
phisme projectif, i
morphisme canonique
i1
et
i..
Z ~.~ X
section
hyperplane, M
i~~ , M. Le morphisme correspondant
est un isomorphisme pour a
- 1, et
une
~ Y
un
mor-
Considérons le
monomorphisme
un
pour a = - 1.
On
dualement
a
Soit i :
Y:~2014~
X
J
aiJ i!
énoncé relatif
un
sous-schéma
un
M ~ M.
fermé, j :
sont reliées par uhe collection de
1l
autres
o
r
o
j* = i*o j
].Li’
= jo i* = 0.
~’j ~ (M ) ~ M -~~’i M .~ 0
et
pleine MY(X) de M(X)
sous-catégorie
U.
définissent
.
Théorème
morphismes
une
j~
transforme
=
se
catégorie M(X)
2.3.5 La
prouve
est
et
sous-objets
monomorphismes
foncteurs j
et
~’j#
(M
en
mono-
définissent
=
par
dévissage.
noethérienne
DX
catégorie M(X) est
on
en
déduit le
artinienne.
objets simples
de~(X).
Soit
sous-schéma fermé
lisse, 3
un
système
local
irréductible, j : U Y l’inclusion d’un ouvert
(resp. faisceau lisse) irréductible sur U. Alors
est
est de
ce
type.
Soit S
un
objet simple
appelé "complexe
un
Un tel faisceau pervers est
une
morphisme. Pour K’ E
14J
Les
élémentairement
Il est alors facile de décrire les
i :
catégories entre M(Y)
qui appartiennent
Grâce à l’involution
Théorème
entre
sont exactes.
sont les
épimorphismes en épimorphismes.
équivalence de catégories entre M(U) et MU(X) =
Le résultat suivant
de
et
et
Lemme 2.3.4 La
catégories
formée des faisceaux pervers de restriction
maximaux de M,
2.3.3 Le foncteur
équivalence
une
o~’it Ma-eM
Pour M
(resp. quotient)
Les
foncteurs, qui satisfant
M ~ M ..~ j~‘ (Mlu) et
la
à
X.
=
Les suites naturelles
Les foncteurs
nulle
U
courbe
algébrique,
(où
complexe de faisceau 03A8 K.
X sur
s
un
et tout
point lisse de S,
f 1(s)),
Deligne
Xs (complexe
a
f :i
construit
des cycles
objet simple
D-G-M"
X -.~ S
[SGA7,
évanescents)
un
Exposé
J. L. BRYLINSKI
Proposition 2.3.6 (Gabber, [Ga2] et [Luminy])
Si K est pervers, alors ’Y
est
les
techniques
Proposition
[SGA4 1/2,
de
Th.
Le groupe d’inertie I de S
pervers 03A8 K°[-1] ;
supposera cette action
on
probablement toujours
K*
si
K’E-l]
finie P :
est du
[Weil II, §1.7.]
et
action
une
un
(~K’[-1])~LJL~ (’YK’~-1~)p(I)
la
XIV]
et
morphisme "nilpotent"
(1) [Weil II, §1.6.1.7~ (N
et
le
sur
avec 3 constant). D’ou
2.3.5
type
agit
s
en
quasi-unipotente (c’est
[SGA7, Exp.I
vrai si l’on est au-dessus d’un corps fini
et
pervers. La démonstration utilisé
et le fait suivant
K’) =D(Y K’) (1) [2].
2.3.7
Soit K*
faisceau
finitude]
de
est le
de
logarithme
monodromie).
Proposition
2.3.8
(Gabber,
cit.)
loc.
On
a
i~~j~~K’..~(~K’[-1])p(1)~ (’YK’[-lj)p(I)
(i ~é j~~K ) - ,
ker N et
=
=
un
(1).
Théorème de
3.
théorème
3.1. Le
D (X )
la
Weil) correspondante.
fondamental 3.1.1
quotient
de M
:
p.
appartient
Soit i :
cas
i1
i3~
~
de
plus
X, ~ F’~-1~
est pervers.
vigueur. On applique 2.3 a la catégorie
catégorie abélienne des faisceaux pervers (de
ou
en
une
i est
une
sont ~.-exacts
Alors tout
conserve
les
d), de
2.3.2).
(d’après
sous-
immersion affine localement fermée. Alors
poids.
immersion fermée est clair. Le
immersion ouverte résulte de 0.3.1
et
a
Théorème 3.6] Soit M
La même chose est vraie
Mmixte
(Yo’
~Mmixte
mixte
mixte (Xo)
Le
~
On obtient de
Théorème
’
D (X ) :
particulier,
pureté de Gabber et applications
(d’après EB-B1, §3~)
on
Corollaire 1 :
sur
dans
fondamental
Les notations de 0.3 sont
et
En
coker N. On
Corollaire 2.3.9 Pour F’un faisceau pervers
§
triangle distingué
la définition de
cas
i,~
ou
i est
une
et du fait que
Tout faisceau pervers mixte irréductible est pur.
Corollaire 2 :
Résulte du théorème et de la classification des objets irréductibles
(cf.2.3.5) (et
du fait que tout ouvert contient
Démonstration du théorème Pour M
sur
les ouverts affines de
2.3.2
b), ~
est
(~.-vectoriels
en
est
un
munis d’un
toujours ainsi
de
on
opérateur
JM(U ).
ouvert
affine!)
considère
le
préfaisceau
a
droite
F.
a
valeurs dans les
On dit que les
poids
JM
D’après
défini par la formule :
(Xo)ét
foncteur exact
un
de
préfaisceaux
~M
de
sont z i s’il
COHOMOLOGIE D’INTERSECTION
Lemme 3.1.2 Soit M
Il est
diabolique).
et
Alors
ssi les
agréable de prouver que
à prouver 3.1.2.
(il
3.1.2 ~ 3.1.1
sont 2 i.
astuce triviale
une
a
y
jM
de
poids
Reste
résulte de 0.3.1. d)
~
Prouvons = Soit N le plus grand sous-faisceau pervers de M, à support ponctuel.
~
A) Supposons
que M est
lisse
dimX
U
sur
1.
=
(en
Soit i :
tant
faisceau lisse et
un
Al) Prouvons
pas ainsi.
les
immersion ouverte dense telle
une
Alors
DWeil(Xo».
MIU
0(1J où J
=
MIU
1. e à E
Supposons qu’il
n’en soit
o
On peut alors trouver
i-1, et
sous-faisceau lisse
un
ceux
01G
de
non
G c J
nul
(si nécessaire,
sont 2i-1
Théorème 3.4.1]).
U
tel que
[Weil
voir
Il est facile de trouver un morphisme étale
~ Uo
irréductible et affine,de degré suffisamment grand pour que dim
U
est
0
o
que
de G sont
poids
Xo
de
qu’objet
>
~
avec
H (U,G)
>
(cf. l’introduction) (au besoin, on agrandit le corps de base). Alors
l’image
dans
sont
M(U )> est non nulle. Mais les poids de
d’après
d),
0.3.1.
de
x
Ceci est
d’après
localiser
une
un
N~~(Vj) ,
B)
Le
cas
récurrence
de
choisie
~’
et
un
M
=
N~~~c__~(V,M)
général
jo,! jo!(M) M et com e
alors
jM
=
~
de
On
se
lequel
on
d >
point
V
par le groupe de
>
et
on
0.3.1.
irréductible et affine.
N ~___~H"(V,M).
=
poids >i+l
grâce a
a)
x ~ supp(N). Quitte a
___).X un revêtement
Soit
j.xj. Soit
rg ? , avec V
est de
conclut
=
ramené aisément a
N
=
0.
On voit tout de suite
Galois,
ne
rencontre pas
conclut.
°
supposer X
=
o
Ano,
et
procède
on
o
j~ :
Quitte a agrandir le corps de base,
~(y) H
M, de trouver
[-l].
et
7~ :
(il
On vérifie
voisinage
un
est
facile,
en
U~
tel
=
(d’après A))pour V
M
on
que
que
un
=
~
ouvert affine de
de x,
M
en
0).
d’ou
=
Ano .
Si
peut
on
de sorte
utilisant
que ~j~ soit supporté
conclut
0,
jo!
aisément
7~
N
D~i(A1o)
pour tout
n.
0 pour
dévissage
,
de N sont ~ i.
invariante ~
projection linéaire
une
(H~i~Q)~ ,
donc ~ i et
sont
point x,de degré
-1 (V,~N),
sur
),
poids
peut supposer supp (N)
on
Bl) Supposons d’abord
que
quotient de
suite exacte
de H
par
poids
au
d’ou
i
0
prouver que les
peu,
l’image
que
Comme
espace vectoriel,
étale galoisien
a
x/N E
on a :
0.3.2. Les
A3) Reste a
On
que
x - U ,
un
de
contradiction.
A2) Prouvons
fermé
II,
2.3.5
mais
x~ ;
on
V
=
a
alors
U,
on
a:
J. L. BRYLINSKI
D’après 0.3.1.d),
1
i
>
-i
a)
est dans
les
N
est de
Par
D~i+1(03C0-1(y)~Uo),
de
poids
poids
jiM
d’où
M sont ~ i,
=
récurrence,
de
donc
est dans
encore
D,.,
le fait que
Uk
voisinage
U~ , de degrés
de
Une fois le lemme
lemme,
on
se
un
au
cas
étale affine contenant
est
lemme suivant
(où le
où
x,
X
au
est
qu’en A2)
un
où
cas
ouvert
U1
g > 1
surjectif
de
de
U~
Cn
et des
x,
prouve que
de
An
puis,
.
revêtements étales
Notant j
degré dk
de
Pour établir
N
en
prenant
affine de
est un ouvert
, Uk
corps de base est
des courbes
degrés
d ,
tel que pour tout
on
ait pour
système
projectives lisses,
Ca
de revêtements étales
et pour tout
=
où
C
dans
U1
xCn Xk ,
on
algébriquement clos).
Il
1
_
A
Cn ,
l’inclusion de
E U1
ouvert
un
On est donc ramené à prouver le
dual de
Lemme 3.1.4 Soient
existe
Il reste à
et
dk -~ ~
avec
lisse de genre
revêtement étale
voit que
étale affine
la même méthode
prouvé,
ramène
est une courbe propre et
un
d’après B1).
MIN
On le déduira du lemme suivant :
Lemme 3.1.3 Il existe
connexes
Il est clair que
quelconque.
N
prouver que
U1
H1
son
.
B2) Soit
le
)).
~c~~(M I Y o )) _
ap liquée à 03C0-1o(y), H1 j! M
donc par 0.3.1
poids ~ i, donc
1
On vérifie que
M
est de
o
entier
connexes
des
Ca ,
de
i :
-~ Ci , K est
localement acyclique en dehors d’une partie finie T de Ci . L’hypothèse de récurest le prolongement par zéro
rence, et un dévissage, permettent de supposer que K
de sa restriction à p1(C1 -T) .On peut supposer T ~ ~ .On notera N les objets
relatifs à Ci , Y, etc... On procèdera à une majoration des dimensions de
sur
Par hypothèse de récurrence, le rang du système local
On
procède
par récurrence
sur
n .
Relativement à la
projection
Y
COHOMOLOGIE D’INTERSECTION
mension du
Remarque :
H1 . Or la
l’importance
dont
3.2.1
a)
b)
communiqué
sa
[Ray])
démonstration inédite de
GrW(M)
soit pur de
tibles
à
Xo
sur
est
semi-simple
X
sur
(filtration
poids
en
i. Les
par le
poids) W.(M)
morphismes
unique
telle que, pour tout i,
de Mmixte.. (X )
sont strictement compa-
la filtration par le
a) résulte
b) résulte
Théorème
~ur
Tout faisceau pervers de Weil mixte est muni d’une
filtration croissante
3.2.2
de 3.1.1
de 2.3.5,
poids
(corollaire 2)
et de 0.3.1
3.1.1 et 0.3.1
a) Soit K. E
c) Pour j
grâce
donnée par la formule (voir
cruciale.
Tout faisceau pervers de Weil
tant que faisceau pervers
et
est
est
Applications
Théorème
a)
m’avoir
Je remercie Beilinson de
l’étape 2B),
3.2.
caractéristique d’Euler
Dmixte(Xo)’
b) résultent aisément
à 3.1.1, corollaire 1
de 0.3.1
:
c)
c’est le
et
d).
e)
Alors
immersion localement
une
c)
conserve les poids.
fermée,
d) et de 3.2.1. c) est alors immédiat,
théorème de pureté de Gabber
et
J. L. BRYLINSKI
Corollaire 3.2.3. Soit f :
directe de complexes
réductible").
Deligne
et MacPherson
D.G.M.
a
donné, à Luminy,
"théorème
Ce
(Ge-M].
Voir
de
est
un
Idem pour des variétés
Corollaire 3.2.4.
3.2.4 de 3.2.3.
morphisme propre. Alors
décalés. (un tel complexe est dit
X.~Y
"~-complètement
complexes.
des indications pour déduire le corollaire
avait été
décomposition"
EGo-M4]
une
pour
discussion
conjecturé par
de ce théorème.
Db(X), -complètement
de
X, ~
un
point géométrique correspondant,
Ha(X,K°) ~ Ha03C4(K°~)Gal(~|~) est
Lemme 3.2.7 Sous les
le
épi
un
spectre
hypothèses
H (K-) ~
Ces
est
deux lemmes
en
(triviaux)
3.2.8 Soit f :t
un
morphisme
un
La
hyperplane.
K -,.~K~(1) C2J
Si K.
(i)
t
est
x
point générique
naturel
point géométrique
un
le
un
point générique
pour tout
de
théorèmes globaux et
situation 3.2.3 ou 3.2.4).
la
de X et
Xx.
un
3.2.7
pour tout
sur
géné-
la
K.ED(X)
faisceau pervers pur, alors
isomorphisme
un
Alors
locaux
H2(X,~~(1))
morphisme projectif, L f
multiplication par L induit
est
Xx
a.
donnent des
cycles invariants (par exemple dans
ralise (Weil II, Théorème 6.2.9].
classe d’une section
soit
Kazhdan)
de
a.
tout
epimorphisme
un
morphisme
Soit 11
x.
les
Théorème
le
morphisme pour
de 3.2.6,
du localisé strict de X
réductible.Pour ~
Gelfand
y))
Exemple 3.2.5 Si f est une résolution des singularités, f"_(~ )
contient IC’(Y) C-nJ en facteur direct (c’était une conjecture
Lemme 3.2.6 Soit K. E
somme
pour tout i ~ 0
"théorème de Lefschetz difficile relatif" est dû à Beilinson et
Théorème 4.5]
Revenons à la situation de 2.3.6-2.3.7, supposée réalisée sur un corps
Ce
Bernstein
fini ; supposons de plus K. pur de poids
Théorème
faisceau
par le
(Gabber, [Ga2 ] et [Luminy] La filtration de monodromie M. du
pervers ’~K’[-1] au sens de [Weil II, § 1.6] coïncide avec la filtration
3.2.9
poids (au
sens
de
est pur de
((~YK . ~-1~ p(I) ) N
P=Id,
on
n.
3.2.1.b) à
poids n-1+i.
est mixte de
applique
ce
un
poids s
résultat à
X
x
décalage près : plus précisément
2.3.8 et 3.1.1
n-1.
Passant
X,
en
a
(faisceaux
XsxXs
ments d~ la preuve de
(Weil
pervers
placés
degré -2).
II, Théorème 1.8.4J
en
que
avoir
observant :
0
sur
(Corollaire 1) montrent
revêtement fini pour
un
0
On
peut alors recopier les argu-
COHOMOLOGIE D’INTERSECTION
Corollaire 3.2.10
Supposons
K’ mixte (de filtration
seulement
alors la filtration de monodromie de
(au
(Weil
de
sens
la filtration par le
§
4.
DX-Modules
holonomes
fondamentales des
est
des
gr
X
X
est
0
=
est le fibre
cotangent,
une
grm
m,
Ch(m) (une
filtration,
m.
à
et s’identifie
schéma relatif
comme
(à gauche
grbx
sur
non
Son
=
sous-variété
plus
sa
que
X
sur
homogène
de
en
q,~~T~(X),
au
de
sens
où
X
[HaK]. Soit m
à droite) ; localement,
ou
support
multiplicité
3 X (m)
Le faisceau d’anneaux commutatifs
filtration ? ) de M (cf.[Kl], (Ma1])
bonne
cohérent
notée
vu
cohérent,
-~-Modules
faisceau cohérent de
sant
réguliers
"réunion" croissante des faisceaux
différentiels d’ordre ~
opérateurs
avec
le faisceau des foncvariété analytique complexe lisse,
le faisceau des opérateurs différentiels d’ordre fini.
faisceau cohérent d’anneaux,
un
décalage près,
0x
une
holomorphes,
existe
un
poids.
holonomes
Soit X
tions
coïncide, à
Faisceaux pervers etModules
Propriétés
4.1
et
poids W.),
à
relativement
1.6.13~)
II, Proposition
par le
obtient
on
est la variété
T#(X)) ;
chacun de
il
ne
ses
en
faisceau
un
caractéristique
dépend
un
choisis-
de
pas de la bonne
points génériques
[Mal], CBj].
Théorème
], [Ma1], [Ga3] Ch(m)
4.1.1
(en particulier
est
sous-variété involutive de
une
dim(X))
dim
Définition et lemme 4.1.2. ~ est dit holonome si dim
holonome,
est
dim(X).
Si
m
est
variété lagrangienne, et m est localement de longueur
une
finie
Exemple 4.1.3
intégrable)
0~(plus
généralement,
est holonome
à
fibre vectoriel holomorphe à connection
un
gauche ; Q
est holonome
=
â droite.
Les Modules holonomes ont de remarquables
propriétés de stabilité
un morphisme propre,...).
Il est commode
de complexe holonome : objet de la catégorie dérivée
DX-Modules à cohomologie holonome. Tout d’abord un utile
(par image inverse, image
d’introduire
la notion
bornée des faisceaux de
directe par
sorite.
Définition 4.1.4
0V-Modules,
on
sous-espace fermé de V lisse,
l!m
pose
n
Oy-Modules,
supporté
Proposition
même de
4.1.5
H1~ Z~ (~ ) .
Exti0V
{~~I~n+1 ~
et J
3).
un
C’est
faisceau de
un
faisceau de
par Z.
[Me1, ChapII] Si J
est
un
faisceau de
V-Modules,
il
en
est de
f.L. BRYLINSKI
Définition 4.1.6
le
graphe
gorie dérivée
Théorème
des
X
complexes
Si M
4.1.8
DX-Modules
Remarque
Soit f :
Y
un
morphisme
de
~-Modules
a
en
..
4.1.10
Sf
globale,
des
Pour
fait Lf*m
Théorème
DV-Module
pour
un
b)
Si f est
est
un
SX f_®1 (~
f 1(m)
sont des
DX-Module,
définit le complexe de
on
fermée, f
immersion
une
une
par
holonome,
complexes
(cf.4.1.6).
"
un
sous-espace
induit
un
DY-Modules
bonne filtra-
une
isomorphisme entre
catégorie des
un 9X -Module
analytique fermé
sont holonomes
compatibles à
Soit
~f
holonome
et la
foncteur j
DV-Modules Hi[Z](m)
~K1~, ~K3~, ~Bj~
est
inverse d’une
(resp. cohérents, resp.
X(resp. cohérents, resp. holonomes) (Ki)
holonomes et sont
4.1.12
admettant
holonomes)
vision "humaine" du
les
(cf. l’image
)
Les constructions et résultats 4.1.7.
X
m
Y
*~-Modules
4.1.11 Si Z est
aux
Théorème
de Lf*
_
=
projectif, et 57l holonome,
complexe holonome (Ki)
Si f est
DY-Modules
(Pham)
m
a)
m
catégorie
supportés
Voir
cohomologie
1L
4.1.8bis On
Définition 4.1.9
la
~f
X :
sur
holonomes.
.
tion
Soit
).
les faisceaux de
est holonome,
connexion )
Théorème
entre variétés lisses.
identifié à X. On définit deux faisceaux
de f,
un
à
la
à
lisse, et M
de V
un
[K4]
4.1.11 s’étendent évidemment
composition
Module holonome
droite et
des
morphismes
à gauche,
~~ - Hom
alors
’-
X
"
COHOMOLOGIE D’INTERSECTION
à gauche. On a 71( - (~1~~) ;i le foncteur ~. est exact, et
préserve variétés caractéristiques et multiplicités d’icelles aux points génériques.
est
un
9 X -Module
holonome
Définition 4.1.13
Pour
m
DX-Module
un
holonome,
DR(~)
Théorème
est le
[K2]
4.1.14
(le résultat
de Kashiwara est
Chap.2]
A
Remarque 4.1.16
les
f3~ DR(m) (cf.
4.2. Modules holonomes
D(9 )
DR(m*)
Pour m holonome,
est le
est
canoniquement isomor-
complexe
X
hypothèses
(~,~~)
a),
de 4.1.10
0.2).
convention
de Riemann-Hilbert
réguliers. Correspondance
dérivée de la
catégorie
la
(1/2)-pervers.
faisceau
un
beaucoup plus précis)
décalage près,
CK1J, [K3], [Me1]
Proposition 4.1.17 Avec
Soit
fait
en
est
un
de m
des solutions
m.
m holonome,
Pour
Théorème 4.1.15
phe à DX DR(m)
de
de De Rham de
complexe
pose :
LK2J, (Me1J.
Ce n’est pas la normalisation habituelle cf.
N.B. :
on
complexes de bornés
des
catégorie
à cohomologie holonome.
DX-Modules
CR~
Définition 4.2.1
Un
complexe ~’
est dit régulier si pour tout
de
sous-espace analytique fermé Y de X, le morphisme naturel
(DR(m’ ) )
DR
Proposition
isomorphisme
un
(i) m’ holonome est régulier ssi
(ii) Si m holonome est régulier,
4.2.2
quotient de m
est
les
m*
Hi(m°)
le sont
l’est aussi,
[Me2]
et tout
sous-
régulier LMe2J.
est
Soit
la
sous-catégorie triangulée
formée des complexes
de
réguliers.
Théorème
~K-K~
4.2.3
Le foncteur DR induit
C’est la solution
qui
dans
au
"problème
une
de
équivalence
Riemann-Hilbert ", due à Kashiwara
utilisent tous les deux de facon essentielle les
(K5J
et
entre
~-Modules;
la construction d’un foncteur inverse du foncteur DR.
Bernstein ont
prouvé
une
variante
algébrique
du
théorème "ô
e
z
on
et
à Mebkhout,
trouvera
Beilinson et
~-’ : à (ne pas?)
paraitre.
Corollaire 4.2.4
Modules holonomes
tructibles).
DR induit
(Deligne
réguliers
avec
la
une
catégorie
équivalence
de la
des faisceaux
catégorie
des
(1/2)-pervers (cons-
J. L. BRYLINSKI
Cela conduit
à
riche dictionnaire, pour
un
lequel
CMe1J,
réfère à
on
[Me2], [Le-MeL
Proposition
Soit i :
4.2.5
analytique fermée. Il existe
porté par Y, et satisfaisant
On
On
aussi
a
a
une
alors
Complément
unique
.~(Y,X)~
(~*)k -
Y-----~X
T.
centre le faisceau constant
-C(Y,X) =
l’exposé
Pour J
un
sur
X sup-
(B-B2], [Brl],
de
Springer.
d’anneaux a
Le faisceau
U(LieT)/J
régulier *~(Y,X)
i~ IC~(Y)
homogène (au
fibré principal
un
U(LieT).
l’inclusion d’une sous-variété
Module holonome
et DR
voir
applications,
faisceau aU(LieT)
YX
"à coefficients tordus"
Soit q :
4.2.6
l’action de
sous
~(Y,X) -
version
Pour des
un
Cc~~~
=
est
idéal maximal de
analytique)
sens
cohérent,
U(LieT),
DX,
de
le
une forme filtrée tordue de
dispose
(on travaille avec des faisceaux constructibles
Y, T-équivariants) (Beilinson - Bernstein - Drinfeld). Pour les
est
et
on
d’une variante de 4.2.3 et 4.2.4
ou
pervers
sur
applications à la description du foncteur 03A8 au moyen de
à un futur article de Beilinson - Bernstein (?) et aux conférences
et Verdier à Luminy LLuminy].
micro-analytiques profondes,
caractérisation remarquable suivante des Modules
Théorème 4.2.7 Soit ~ holonome.
tion de m telle que l’annulateur
Pour les
les
géomètres~
Il est
de
grm
Théorème
4.2.8
l’analyse microlocale
Soit m° E
est l’ensemble des dérivées
soit
dans
cycles évanescents des faisceaux pervers
ou
des
nulles
en
un
est
un
objets
Ch
et posons
non
holonomes
ssi il existe
régulier
renvoie
Malgrange
Kashiwara et Kawai prou-
Pour des méthodes
vent la
on
de
une
réguliers [K-KJ
bonne filtra-
faisceau d’idéaux réduit.
procédé
de
pour étudier
Db(X)
Alors
X
x E X de germes de projections
(voir [K3] ou [B-D-K])
qui sont non acycliques pour
permet de définir la variété caractéristique d’un faisceau pervers
due à Kashiwara. L’esti(entre autres), de comprendre une estimation de
mation de
pour Y fermé dans X, donnée dans CK-SJ a sûrement une
(X,x)-.-~,(~,0)
Cela
X ~),
signification topologique, qui reste à découvrir.
s’interprètent
dans
ce
cadre.
en
termes de
multiplicités dans Ch(m)
cycles évanescents;!.3.3 semble aussi très naturel
Les
COHOMOLOGIE D’INTERSECTION
§
5.1.
Pour X variété
(voir
projective
(Br J pour
Zucker LZ J, que
-~-Modules
sur C par les
ou
sur
le
désordre)
E, muni les
IH.(X)
de structures de
approches très différentes).
deux
théorème
du
(et)
décomposition
de
la théorie de
Hodge
Etudier la
Borel aurait résolue pour des groupes de
géométrie
la
Comprendre
(dans
ouverts
et
jecture de
5.2.
Problèmes
5.
’-rang
Hodge.
Définir l’homologie d’intersection d’une variété affine (substitut à
logie d’intersection d’une compactification "minimale") (Kazhdan)
En
quel
sens
l’homologie d’intersection
riante) ? (MacPherson, Fulton).
Formule de Lefschetz
phisme,
5.6.
voire pour
Transcrire
5.7.
avec
algébriques
ont
une
en
(co)homologie
"correspondance"
~-Modules
(au cône
les
d’intersection (d’abord pour
"spécialisation
sous-variété)". Idem
une
théorie des déformations d’un
des DX Y~X-Modules
un
automor
d’un
dans le cadre étale.
poids.
concepts "rigide-analytiques" nécessaires
Construire
peut-être
biva-
classe fondamen-
type Hecke)
la théorie de Verdier de
normal d’une
la filtration par le
du
Défricher d’éventuels analogues cristallins (en car / 0)
Développer
5.8.
une
aux
faisceau pervers
Lien
(ou
serait-elle fonctorielle
l’homo-
(Dubson)
tale dans
5.5.
Quels cycles
un.
3.2.4. Le prouver
5.3.
5.4.
"holonomes", plats
4.
(Berthelot-Ogus)
*~-Module
sur
au §
holonome
(regarder
OY).
Généraliser 4.1.14, etc...
5.9.
Relier
dimension
5.10.
*
pures
con-
1)
à
et
topologie les Modules holonomes non réguliers
(si ça a un sens) les non holonomes.
la
Indépendance de l
Gabber m’a informé
en
en
cohomologie d’intersection
février 1982
qu’il
avait résolu
(voirLMa 2J
~-adique *.
cette
question.
en
J. L. BRYLINSKI
Sigles :
[SGA4], Springer Lectures Notes 269, 270,
CSGA41/2], Springer Lecture Notes 569
[SGA5.J, Springer Lecture Notes 589
[SGA7], Springer Lecture Notes 288, 340
[Weil IJ
P.
Deligne,
la
305
de Weil
conjecture
I, Publ. Math. I.H.E.S. 43 (1974),
273-308
[Weil IIJ
P.
la
Deligne,
conjecture
de Weil II, Publ. Math.
I.H.E.S.
52
(1979),
138-252.
[Luminy]
Comptes-Rendus de la Conférence "Analyse et topologie
singuliers, juillet 1981, à paraître dans Astérisque.
les espaces
sur
Bibliographie
[B-B.1]
A.A Beilinson et J.N.
poids (version préliminaire),
le
[B-B2]
A.A Beilinson et J.N.
(5-1-1981),
t.292
[B-D-K]
Bernstein, Modules
J-L
Brylinski,
l-adiques
manuscrit
en
et filtrations par
russe
(1981)
Bernstein, Localisation des G-modules, C.R.A.S,
15-18
A.S. Dubson et M. Kashiwara : Formule de l’indice pour
les Modules holonomes et obstruction d’Euler locale,
C.R.A.S. t.
(26-10-1981)
[Bj]
J-E.
[Br 1,2]
Björk : Rings
J-L
de
of differential
Brylinski : Modules
Hodge
à paraître
I :
holonomes
dans les
(Espagne) janvier
II :
operators North-Holland 1981
à singularités régulières
Comptes-Rendus
et filtration
de la conférence de La Rabida
1981
Prépublication
de l’Ecole
Polytechnique (1981), à
paraître
dans
[Luminy]
[Br-K]
J-L
Brylinski
et M.
Kashiwara :
systems, Invent. math.
[Ca]
H.
[C-G-M]
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Verdier :
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Jean-Luc BRYLINSKI
Ecole Polytechnique
Centre de Mathématiques
Plateau de Palaiseau
F-91128 PALAISEAU CEDEX
157
paraître