TS Physique D`Aristote à aujourd`hui… Exercice résolu

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D’Aristote à aujourd’hui… Document : M.Moppert - CPF - Beyrouth
TS Physique D’Aristote à aujourd’hui… Exercice résolu
Enoncé
-342 avant JC : Aristote déclare qu’une masse d’or, de plomb ou de tout
autre corps pesant tombe d’autant plus vite qu’elle est plus grosse et, en
particulier, qu’une boule de fer aura parcouru une distance 100 fois plus
grande qu’une boule de fer de masse 100 fois inférieure.
1604 : Galilée lâchant des boules de fer du haut de la tour de Pise (sa ville
natale) déclare : « Aristote prétend qu’une boule de fer de 100 livres1 est
déjà descendue d’une hauteur de 100 coudées2 quand une boule de fer de 1
livre a parcouru seulement une coudée. J’affirme que les deux boules
arrivent ensemble et que l’écart est de deux largeurs de doigts
seulement ».
1634 : un an après la mort de Galilée, son élève Evangelista Toricelli
étudie la chute dans le vide d’une plume et d’une pomme : dans une
enceinte où l’air a été extrait, plume et pomme ont des mouvements de
chute en tous points identiques.
2007 : Sami et Zeina , deux élèves de TS, sont en grande discussion. Sami : « Je vais te
demander une chose simple en physique : tu prends une boule de pétanque et une balle de tennis,
tu les lâches en même temps, laquelle arrive la première ? ». Zeina : « La boule de pétanque ».
Sami : « Et bien non : elles arrivent ensemble, et c’est un problème fondamental que l’on a mis
2000 ans pour comprendre ».
Dans tous les cas étudiés dans l’exercice :
- on travaille dans un référentiel terrestre supposé galiléen,
- la valeur g du vecteur champ de pesanteur vaut 10 m.s
-2
,
- à la date t
0
= 0 s, le centre d’inertie G du système étudié est à l’origine d’un repère (O,
i
) d’axe
x’Ox orienté selon
g
et la valeur v
0
de sa vitesse est nulle,
- on néglige l’action de la poussée d’Archimède dans l’air.
A. Première partie : « Les travaux de Galilée »
1. a) A l’aide d’une étude analytique complète, montrer que le temps t de chute libre d’une boule
de centre d’inertie G lâchée d’une hauteur h est indépendant de sa masse m (il n’est pas demandé
d’application numérique).
b) Pour une durée de chute donnée, quelle est la relation mathématique évoquée par Aristote
entre la masse et la hauteur de chute ? Pourquoi Galilée a-t-il raison contre Aristote ?
c) Pour une hauteur h = 50 m (hauteur de la tour de Pise), calculer le temps t de chute et la
vitesse v du centre d’inertie de la boule quand elle arrive au sol.
2. Galilée trouve cependant un écart de deux doigts lors de la chute des deux boules.
a) A quelle force, dont on donnera la direction et le sens, cet écart est-il dû ? Cela est-il
confirmé par l’expérience de Toricelli ?
b) En supposant cette force
f
constante, montrer littéralement que le vecteur accélération
G
a
du centre d’inertie G de la boule dépend alors de la masse m de cette dernière.
1 : 1 livre = 478 g.
2 : 1 coudée = 50 cm.

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B. Deuxième partie : « Un modèle pour la force de frottement »
La valeur de la force de frottement est donnée par f =
1
2
.ρ.C.S.v2 avec :
- masse volumique de l’air : ρ = 1,3 kg.m-3
- coefficient de trainée d’une sphère : C = 0,50 (sans dimension)
- section équatoriale de la bille sphérique : S (en m2)
- valeur de la vitesse du centre d’inertie de la bille : v (en m.s-1)
1. Montrer, par une analyse dimensionnelle, que l’expression de f est homogène.
2. a) La valeur de la force de frottement est-elle constante au cours de la chute ?
b) Comment peut-on comprendre qualitativement l’existence d’une vitesse limite vlim ?
3. a) En utilisant la seconde loi de Newton , établir l’expression littérale de l’équation
différentielle de la chute d’une boule de centre d’inertie G, de masse m et de section
équatoriale S.
b) En déduire l’expression littérale de la vitesse limite vlim.
C. Troisième partie : « Simulation numérique des mouvements »
On a réalisé une simulation des mouvements de chute de trois boules B1, B2 et B3, dont les
caractéristiques sont les suivantes :
Les graphes obtenus (en annexe) sont représentatifs des fonctions t  x(t) (graphe 1) et t 
v(t) (graphe 2) avec t en s, x en m et v en m.s-1.
1. Sans justifier, déterminer graphiquement (et approximativement) les temps de chute t1, t2 et
t3 des trois boules du haut de la tour de Pise.
2. a) Sans justifier, déterminer graphiquement (et approximativement) les vitesses v1, v2 et v3
des centres d’inertie des trois boules quand elles arrivent au sol.
b) Pour la boule B3, vérifier par le calcul la valeur trouvée graphiquement.
3. Conclure sur l’influence des actions de l’air lors de la chute des trois boules du haut de la tour
de Pise.
D. Quatrième partie : « Zeina et Sami »
Suite à leur discussion, nos deux compères réalisent l’expérience suivante : une boule de
pétanque de masse 700 g et d’un diamètre de 7,5 cm, et une balle de tennis ayant à peu près le
même diamètre mais une masse de 58 g, ont été lâchées simultanément et sans vitesse initiale du
sommet d’une tour de 50 m de hauteur. Ils ont constaté que :
- la vitesse de la boule de pétanque est supérieure à celle de la balle de tennis et ce, dès la
première seconde de chute et la comparaison des positions des deux objets met également en
évidence un écart important,
- lorsque la boule de pétanque touche le sol, la balle de tennis se trouve encore à un peu plus de
10 m du sol.
1. Sami s’est-il trompé ou a-t-il omis de préciser certaines choses (ne pas justifier) :
 OUI  NON ?
2. Si OUI, reformuler les propos de Sami afin qu’ils soient en accord avec l’expérience
précédente.
Boule
B
1
B
2
B
3
Forme Pleine (100 livres)
Pleine (1 livre) Creuse (1 livre)
S (m
2
)
4,00 x 10
-
2
1,86 x 10
-
3
4,00 x 10
-
2
m (kg)
47,8
0
,478
0,478
s
ection
équatoriale

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Annexe
Graphe 1
Graphe 2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x (m)
t (s)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 1 2 3 4 5
t (s)
v (m/s)
B1
B2
B3
B1
B2
B3

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Corrigé
A. Première partie : « Les travaux de Galilée »
1. a) A l’aide d’une étude analytique complète, montrer que le temps t de chute libre d’une boule de centre
d’inertie G lâchée d’une hauteur h est indépendant de sa masse m (il n’est pas demandé d’application numérique).
- Système : boule de masse m et de centre d’inertie G.
- Référentiel : terrestre, supposé galiléen.
- Repère : (O,
i
)
- Conditions initiales : à t0 = 0, la bille est lâchée du point O sans vitesse.
- Bilan des forces extérieures : force de pesanteur (poids)
P mg
=
- Application de la deuxième loi de Newton :
G
ext
F P ma
Σ = =
avec
G
G
dv
a
dt
= : vecteur accélération du centre d’inertie de la bille.
On a donc :
G
mg ma
=
=> G
a g
=
.
En exprimant chaque vecteur en fonction de sa coordonnée cartésienne et du vecteur unitaire
i
,
on obtient : x
G x
a .i g .i
= .
Or x
x
G
dv
a
dt
=et x
g g
=
=> x
dv
g
dt
=
: c’est l’équation différentielle du mouvement.
D’après cette équation différentielle, vx est une fonction de primitive de g, nombre constant
(champ de pesanteur uniforme). On a donc : vx = g.t + k (k : Cte à déterminer).
Or, à t0 = 0, vx = 0
x
v 0
=
=> k = 0 et vx = g.t
Les coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse étant les dérivées des coordonnées
cartésiennes du vecteur position, on a : vx =
dx
dt
et x est une primitive de vx.
On a donc : x =
2
1g.t2 + k (k : cte à déterminer).
Or, à t = 0, x = x0 = 0 => k = 0 et x =
1
2
g.t2 (équation horaire du mouvement).
Si la boule est lâchée du haut de la tour de Pise, on a donc : h =
1
2
g.t2 => t =
2h
g
La durée de la chute est donc indépendante de la masse de la boule.
b) Pour une durée de chute donnée, quelle est la relation mathématique évoquée par Aristote entre la masse et la
hauteur de chute ? Pourquoi Galilée a-t-il raison contre Aristote ?
Aristote affirme que la distance parcourue est proportionnelle à la masse de la boule. Galilée a
raison puisqu’il prétend, à contrario d’Aristote, que des boules de masses différentes arriveront
en même temps.
c) Pour une hauteur h = 50 m (hauteur de la tour de Pise), calculer le temps t de chute et la vitesse v du centre
d’inertie de la boule quand elle arrive au sol.
t =
2 50
10
×= 3,2 s et vx = 10 x 3,2 = 32 m.s-1
2. a) A quelle force, dont vous donnerez la direction et le sens, cet écart est-il dû ? Cela est-il confirmé par
l’expérience de Toricelli ?
Il s’agit de la force représentative des frottements entre la boule et l’air. Cette force est
verticale et dirigée vers le haut.

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b) En supposant cette force
f
constante, montrer littéralement que le vecteur accélération
G
a
du centre d’inertie
G de la boule dépend alors de la masse m de cette dernière.
L’application de la deuxième loi de Newton donne :
P f
+ =
m.
G
a
=>
G
a
=
g
+
f
m
Le vecteur accélération
G
a
dépend de la masse m.
B. Deuxième partie : « Un modèle pour la force de frottement »
1. Montrer, par une analyse dimensionnelle, que l’expression de f est homogène.
[f] = [ρ].[C].[S].[v]2
[ρ] = M.L-3 ; [C] = 1 ; [S] = L2 ; [v] = L.T-1 ; [f] = M.L.T-2
Donc : [ρ].[C].[S].[v]2 = M.L-3.L2.L2.T-2 = M.L.T-2 = [f]
L’expression de f est homogène
2. a) La valeur de la force de frottement est-elle constante au cours de la chute ?
Non car elle dépend de v qui augmente au cours de la chute : donc f augmente au cours de la chute.
b) Comment peut-on comprendre qualitativement l’existence d’une vitesse limite v
lim
?
Dans les premiers instants de la chute on a P > f. Mais f augmente et il va arriver un moment où f
= P. A partir de cette date, le système est pseudo isolé et son centre d’inertie est alors animé
d’un mouvement rectiligne uniforme.
3. a) En utilisant la seconde loi de Newton, établir l’expression littérale de l’équation différentielle de la chute
d’une boule de centre d’inertie G, de masse m et de section équatoriale S.
Système, référentiel, repère et conditions initiales à ceux définis dans la question A.1.a.
Bilan des forces extérieures :
- force de pesanteur (poids)
P mg
=
- force de frottement :
f
= -
1
2
.ρ.C.S.v.
v
Deuxième loi de Newton :
G
P f m.a
+ =
Projection dans le repère (O,
i
) :
x
x x G
P f m.a
+ = soit Px + fx = m.
x
G
a
avec : Px = P = m.g ; fx= - f = -
1
2
.ρ.C.S.v.vx ; Or x
x
G
dv
a
dt
= et vx = v
=> m.g -
1
2
.ρ.C.S.v2 = m.
x
dv
dt
=>
x
dv
dt
= g -
2
.C.S.v
1.
2 m
ρ
b) En déduire l’expression littérale de la vitesse limite v
lim
.
Quand la vitesse limite est atteinte :
x
dv
dt
= 0 =>
2
lim
.C.S.v
1.
2 m
ρ= g => 2
lim
2.g.m
v
.C.S.
=ρ => vlim =
2.m.g
.C.S
ρ
C. Troisième partie : « Simulation numérique des mouvements »
1. Déterminer graphiquement (et approximativement) les temps de chute t
1
, t
2
et t
3
des trois boules du haut de la
tour de Pise.
Sur le graphe n°1, on cherche pour chaque courbe l’abscisse du point d’ordonnée x = h = 50 m. On
trouve t1 légèrement inférieur à 3,2 s, t2 égal à 3,2 s et t3 égal à environ 4 s.
2. a) Déterminer graphiquement (et approximativement) les vitesses v
1
, v
2
et v
3
des centres d’inertie des trois
boules quand elles arrivent au sol.
Sur le graphe n°2, on cherche sur les courbes des boules B1 et B2 l’ordonnée du point d’abscisse
3,2 s. On trouve des valeurs respectivement légèrement inférieures à 32 m.s-1 et à 31 m.s-1 pour
v1 et v2 et environ égale à 19 m.s-1 pour v3.