CHAPITRE 2 : CHAPITRE 2 : TRIANGLES TRIANGLES

Mathématiques 1 Niv. 2
Deuxième partie
GEOMETRIE
CHAPITRE 2 :
TRIANGLES
§2.1 Introduction
2.1.1 Théorème de Pythagore
A
Nous allons donner une démonstration géométrique
c
de ce théorème qui n'utilise que des faits
élémentaires concernant les figures et leurs aires.
!
b
"
Soit le triangle ABC, rectangle en C :
B
C
a
Considérons maintenant deux exemplaires d'un carré de côté "a+b", c’est-à-dire dont les quatre côtés
mesurent (a+b), et découpons ces carrés de deux façons différentes:
a+b
b
a
b
a+b
a
a
b
a
b
Ces deux découpages montrent que le carré de côté "a+b" peut être considéré soit comme une somme de
deux carrés (l'un de côté "a" et l'autre de côté "b") et de quatre triangles identiques au triangle rectangle
ABC, soit comme une somme d'un quadrilatère et des mêmes quatre triangles.
En fait, le quadrilatère du deuxième découpage a des côtés de même longueur, car ce sont les hypoténuses
des triangles !
De plus, ses angles sont droits car d'une part,
α + β + 90˚ = 180˚ (car α et β sont les deux angles
non droits du triangle rectangle) et d'autre part,
α + β + γ = 180˚
b
(car ces trois angles forment un angle plat).
"
a
!
Donc γ = 90˚.
"
#
!
Le quadrilatère du deuxième découpage est donc
a
un carré de côtés "c".
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b
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Comme les triangles des deux découpages sont identiques (en aire et en nombre), les surfaces ombrées cidessous doivent avoir la même aire :
a
c
=
b
donc l'aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les
côtés de l'angle droit.
Première formulation :
Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des cathètes est égale au carré
de l’hypoténuse.
Deuxième formulation :
A
Si
b
c
!
"
C
a2 + b2 = c 2
, alors
B
a
B
Remarque:
On utilise généralement les conventions suivantes
#
au sujet des triangles.
c
Le triangle ci-contre est un triangle dont les
sommets sont A, B et C, les angles
a
α, β et γ, et
A
les côtés a, b et c.
!
Dans cette notation, "α" indique aussi bien le nom
de l'angle (situé au sommet A) que sa mesure, de
même que "a" indique aussi bien le nom du côté
(opposé à l'angle α) que sa longueur.
b
"
C
Rappel
Deux triangles sont appelés semblables s'ils ont les mêmes angles (c’est-à-dire des angles
correspondants de même mesure).
Deux triangles sont appelés identiques (ou égaux) s'ils ont des côtés (correspondants) de même
longueur.
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2.1.2 Théorème de Thalès
Première formulation
Deux triangles semblables ont des côtés correspondants proportionnels.
B
E
"
c
"
f
d
a
D
A
!
!
e
b
#
F
#
C
c a b
= =
f d e
Deuxième formulation:
Des parallèles déterminent sur deux sécantes des segments proportionnels.
D
A
E
B
F
C
AB BC AC
=
=
DE EF DF
Nous admettrons ce théorème sans démonstration.
Cependant nous allons montrer la relation existant entre ces deux formulations.
Le dessin suivant est obtenu à partir de l'illustration de la deuxième formulation du théorème de Thalès en
traçant une parallèle à la droite DF passant par le point A.
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D
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Les triangles ABE' et ACF' sont semblables,
donc selon la première formulation du
théorème
E
A
AB AE"
=
AC AF"
E'
Mais comme les quadrilatères ADEE' et ADFF'
F
B
sont des parallélogrammes, on a
!
AE' = DE et AF' = DF , donc
AB DE
=
AC DF
AB AC
D'où il découle
=
DE DF
F'
C
En exercice, on montrera de la même façon l'autre partie de l'égalité.
Remarque :
Les réciproques des théorèmes de Pythagore et Thalès sont également vraies :
Si a2 + b2 = c2 , alors le triangle dont les côtés mesures a, b et c est rectangle.
Si deux triangles ont des côtés proportionnels, alors ils sont semblables.
Il est souvent utile de pouvoir reconnaître le fait que deux triangles donnés sont semblables ou égaux. Les
critères suivants permettent de répondre à ces questions :
§ 2.2 Similitude et égalité des triangles
2.2.1 Cas de similitude des triangles
Les triangles ABC et A'B'C' sont semblables si l'une des trois conditions suivantes est vérifiée :
B
A'
$
b'
c
A
a
$"
#"
C'
!
#
b
c'
!"
B'
I)
α = α′ et β = β′
II)
α = α′ et
III)
a' b' c'
= =
a b c
a'
b' c'
=
b c
C
Attention :
Le deuxième cas parle de deux paires de côtés correspondants et de l'angle compris entre ces
mêmes côtés.
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2.2.2 Cas d'égalité des triangles
Les triangles ABC et A'B'C' sont égaux si l'une des trois conditions suivantes est vérifiée :
B
A'
$
b'
c
A
c'
!"
a
$"
#"
B'
#
b
a = a' et
II)
α = α′ et b = b' et c = c'
III)
a = a' et b = b' et c = c'
a'
C'
!
β = β′ et γ = γ′
I)
C
Exemple
Soit un triangle isocèle (fig. 1), c’est-à-dire un triangle dont deux côtés sont de même longueur et
supposons que M est le milieu du côté AC (fig. 2).
Alors les triangles ABM et CBM sont identiques, car AB = BC , AM = MC et le segment BM est
commun aux deux triangles (3e cas d'égalité des triangles):
Cela signifie qu'ils ont les mêmes angles, donc que α = γ,
µ1 = µ2 et β1 = β2.
Nous venons de montrer qu'un triangle isocèle a deux angles égaux (α et γ).
(On montrerait de la même façon qu'un triangle équilatéral a 3 angles égaux).
De plus, la somme des angles µ1 et µ2 donne un angle plat; on a donc
µ1 + µ2 = 180˚ et µ1 = µ2, ce qui signifie que µ1 = µ2 = 90˚.
B
B
#
#1
A
A
!
!
µ1
M
"
µ2
C
figure 1
#2
"
C
figure 2
La droite qui passe par B et M est donc perpendiculaire au côté AC.
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§ 2.3 Théorème de la hauteur
Considérons un triangle ABC rectangle en C, et un point H de l’hypoténuse tel que la droite CH soit
perpendiculaire à la droite AB.
C
#
#
1
2
!
"
A
B
H
Les trois triangles ABC, ACH et CBH sont semblables car,
dans le triangle ABC, α + β + 90˚ = 180˚, donc
β = 90˚ – α et α = 90˚ – β
dans le triangle ACH, γ1 = 180˚ – 90˚ – α = 90˚ – α = β
dans le triangle CBH, γ2 = 180˚ – 90˚ – β = 90˚ – β = α
ce qui montre que les triangles ABC, ACH et CBH ont les mêmes angles.
Mais alors ils ont des côtés correspondants proportionnels :
C
Posons :
h = CH
a
b
c1 = AH
c2 = HB
Alors :
h représente la hauteur issue de l'angle
droit du triangle rectangle
"
!
c
A
C
b
c1 et c2 représentent les projections des
B
côtés de l'angles droit sur l’hypoténuse.
C
Dans les triangles ACH et CBH
h
c
= 2
c1
h
"
!
a
h
h
d'où
"
A c1
h2 = c1·c2
!
H
H
c2
B
C'est le théorème de la hauteur.
Selon ce théorème, le carré de la hauteur d'un triangle rectangle est égal au produit des projections des
côtés de l'angle droit sur l’hypoténuse.
Remarque :
On peut aussi tirer d'autres relations du fait que les triangles ci-dessus sont semblables ; elles
mettent en relation la hauteur, les côtés du triangles ainsi que les projections des côtés de l'angles
droit sur l’hypoténuse. Ces relations sont connues sous le nom de théorème d'Euclide.
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En résumé :
Hypothèse :
ABC est un triangle rectangle en A, CH est la
C
#
#
hauteur issue de C, à savoir CH ⊥ AB
Conclusion :
2
1
Théorème de la hauteur :
2
!
A
CH = AH !BH
"
B
H
Théorème d'Euclide :
2
AC = AH ! AB
2
BC = BH ! AB
Remarque : attention, A est maintenant le sommet correspondant à l’angle droit et D le pied de la hauteur.
1.
Le théorème d'Euclide nous permet de
démontrer très facilement le Théorème de
Pythagore. En effet,
AB 2 = BD ! BC
2
et
AC = BC !DC
⇒
AB 2 + AC = BD !BC + BC !DC
2
= BC(BD + DC) = BC
2
2.
Il est possible d'énoncer différemment le
théorème de la hauteur, à savoir :
Dans un triangle rectangle, le carré de la
hauteur relative à l'hypoténuse est égal
au rectangle des projections des
cathètes sur l'hypoténuse.
3.
De même, le théorème d'Euclide peut
s'énoncer ainsi :
Dans un triangle rectangle, le carré
d'une cathète est égal au rectangle de
l'hypoténuse et de la projection de cette
même cathète sur l'hypoténuse.
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