CHAPITRE 2 : CHAPITRE 2 : TRIANGLES TRIANGLES

Mathématiques 1 Niv. 2 Deuxième partie GEOMETRIE
Collège Sismondi (S.Z., cours G.E.) 2007 - 2008 chap.2 p.1
CHAPITRE 2 :
CHAPITRE 2 :
TRIANGLES
TRIANGLES
§2.1 Introduction
2.1.1 Théorème de Pythagore
Nous allons donner une démonstration géométrique
de ce théorème qui n'utilise que des faits
élémentaires concernant les figures et leurs aires.
Soit le triangle ABC, rectangle en C :
A
B
C
c
a
b!
"
Considérons maintenant deux exemplaires d'un carré de côté "a+b", c’est-à-dire dont les quatre côtés
mesurent (a+b), et découpons ces carrés de deux façons différentes:
a+b
a+b
a b a b
b a
b
a
Ces deux découpages montrent que le carré de côté "a+b" peut être considéré soit comme une somme de
deux carrés (l'un de côté "a" et l'autre de côté "b") et de quatre triangles identiques au triangle rectangle
ABC, soit comme une somme d'un quadrilatère et des mêmes quatre triangles.
En fait, le quadrilatère du deuxième découpage a des côtés de même longueur, car ce sont les hypoténuses
des triangles !
De plus, ses angles sont droits car d'une part,
α + β + 90˚ = 180˚ (car α et β sont les deux angles
non droits du triangle rectangle) et d'autre part,
α + β + γ = 180˚
(car ces trois angles forment un angle plat).
Donc γ = 90˚.
Le quadrilatère du deuxième découpage est donc
un carré de côtés "c".
a b
b
a
!
"
!
"#

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Comme les triangles des deux découpages sont identiques (en aire et en nombre), les surfaces ombrées ci-
dessous doivent avoir la même aire :
=
a
b
c
donc l'aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les
côtés de l'angle droit.
Première formulation :
Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des cathètes est égale au carré
de l’hypoténuse.
Deuxième formulation :
Si
A
B
C
c
a
b!
"
, alors a2 + b2 = c2
Remarque:
On utilise généralement les conventions suivantes
au sujet des triangles.
Le triangle ci-contre est un triangle dont les
sommets sont A, B et C, les angles α, β et γ, et
les côtés a, b et c.
Dans cette notation, "α" indique aussi bien le nom
de l'angle (situé au sommet A) que sa mesure, de
même que "a" indique aussi bien le nom du côté
(opposé à l'angle α) que sa longueur.
A
B
C
a
b
c
!
"
#
Rappel
Deux triangles sont appelés semblables s'ils ont les mêmes angles (c’est-à-dire des angles
correspondants de même mesure).
Deux triangles sont appelés identiques (ou égaux) s'ils ont des côtés (correspondants) de même
longueur.

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2.1.2 Théorème de Thalès
Première formulation
Deux triangles semblables ont des côtés correspondants proportionnels.
!
"
#
!
"
#
A
B
C
D
E
F
a
b
cf
d
e
c
f=a d=b e
Deuxième formulation:
Des parallèles déterminent sur deux sécantes des segments proportionnels.
A
B
C
D
E
F
AB
DE =BC EF =AC DF
Nous admettrons ce théorème sans démonstration.
Cependant nous allons montrer la relation existant entre ces deux formulations.
Le dessin suivant est obtenu à partir de l'illustration de la deuxième formulation du théorème de Thalès en
traçant une parallèle à la droite DF passant par le point A.

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A
B
C
D
E
F
E'
F'
Les triangles ABE' et ACF' sont semblables,
donc selon la première formulation du
théorème
!
AB
AC =A" E A" F
Mais comme les quadrilatères ADEE' et ADFF'
sont des parallélogrammes, on a
AE' =DE
et
AF' =DF
, donc
AB
AC =DE DF
D'où il découle
AB
DE =AC DF
En exercice, on montrera de la même façon l'autre partie de l'égalité.
Remarque :
Les réciproques des théorèmes de Pythagore et Thalès sont également vraies :
Si a2 + b2 = c2 , alors le triangle dont les côtés mesures a, b et c est rectangle.
Si deux triangles ont des côtés proportionnels, alors ils sont semblables.
Il est souvent utile de pouvoir reconnaître le fait que deux triangles donnés sont semblables ou égaux. Les
critères suivants permettent de répondre à ces questions :
§ 2.2 Similitude et égalité des triangles
2.2.1 Cas de similitude des triangles
Les triangles ABC et A'B'C' sont semblables si l'une des trois conditions suivantes est vérifiée :
!
! "
#
$
# "
$"
A
B
C
A'
B'
C'
c'
a'
b'
b
a
c
I) α = α′ et β = β′
II) α = α′ et
b'
b=c' c
III)
a'
a=b' b=c' c
Attention :
Le deuxième cas parle de deux paires de côtés correspondants et de l'angle compris entre ces
mêmes côtés.

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2.2.2 Cas d'égalité des triangles
Les triangles ABC et A'B'C' sont égaux si l'une des trois conditions suivantes est vérifiée :
!
! "
#
$
# "
$"
A
B
C
A'
B'
C'
c'
a'
b'
b
a
c
I) a = a' et β = β′ et γ = γ′
II) α = α′ et b = b' et c = c'
III) a = a' et b = b' et c = c'
Exemple
Soit un triangle isocèle (fig. 1), c’est-à-dire un triangle dont deux côtés sont de même longueur et
supposons que M est le milieu du côté AC (fig. 2).
Alors les triangles ABM et CBM sont identiques, car
AB =BC
,
AM =MC
et le segment BM est
commun aux deux triangles (3e cas d'égalité des triangles):
Cela signifie qu'ils ont les mêmes angles, donc que α = γ, µ1 = µ2 et β1 = β2.
Nous venons de montrer qu'un triangle isocèle a deux angles égaux (α et γ).
(On montrerait de la même façon qu'un triangle équilatéral a 3 angles égaux).
De plus, la somme des angles µ1 et µ2 donne un angle plat; on a donc
µ1 + µ2 = 180˚ et µ1 = µ2, ce qui signifie que µ1 = µ2 = 90˚.
A
B
C
!
"
#
A
B
C
M
!
"
#2
µ1
µ2
#1
figure 1 figure 2
La droite qui passe par B et M est donc perpendiculaire au côté AC.