` ` `` vvuu vuvu =® ® On note G= E ®F l`espace produit tensoriel

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DESCRIPTION D’UN SYSTEME A PLUSIEURS DEGRES DE LIBERTE
EN MECANIQUE QUANTIQUE : PRODUITS TENSORIELS D’ESPACES DE HILBERT
On s’intéresse à la description quantique d’un système S ayant plusieurs degrés de liberté. On ne cherchera pas
ici à donner une définition précise de ce qu’est un degré de liberté, mais il est par exemple intuitif qu’une
particule en mouvement dans l’espace a trois degrés de liberté correspondant aux translations dans les
directions respectives x,y,z, qu’un système de deux telles particules a six degrés de liberté, etc.
Les postulats de la mécanique quantique nous disent que l’état du système S est décrit par un vecteur d’un
espace de Hilbert H. Y a-t-il un moyen de relier cet espace H à des espaces « plus simples » qui seraient
associés à chacun des degrés de libertés individuels ?
La réponse est oui : à chaque degré de liberté i, on peut associer un espace de Hilbert Hi, et l’espace approprié
pour décrire le système avec l’ensemble de ses degrés de liberté est le produit tensoriel des espaces associés à
chacun des degrés de liberté individuels.
Produit tensoriel de deux espaces de Hilbert :
Soit E et F deux espaces munis de bases hilbertiennes orthonormées {|em>} et {|fn>}. On admet l’existence :
- d’un espace de Hilbert noté G, appelé espace produit tensoriel de E et F,
- et d’une application bilinéaire ⊗ du produit cartésien E×F dans G
tels que les images, notées |em>⊗|fn>, des couples (|em>,|fn>) de E×F par ⊗ forment une base hilbertienne
orthonormée de G.
En l’absence d’ambiguïté, on utilise souvent la notation simplifiée |m,n> pour désigner ces vecteurs de base
|em>⊗|fn>.
Conséquences :
- Tout élément Ψ de G peut donc s’écrire sous la forme d’une combinaison linéaire, éventuellement
infinie, de termes de la forme |em>⊗|fn > : n
nm
mnm feC ⊗=Ψ
∑
,
,
Si E et F sont de dimensions finies p et q, G est de dimension finie pq.
- La base |m,n> étant orthonormée, on a <m,n |m’,n’>=δm,m’δn,n’
donc, pour |u>,|u’>∈ E , |v>,|v’>∈ F : '''' vvuuvuvu =⊗⊗
On note G= E ⊗F l’espace produit tensoriel. Cette notation ne doit surtout pas conduire à penser que tous les
éléments de E ⊗F peuvent se mettre sous la forme |u> ⊗|v> !! Les vecteurs particuliers de E ⊗F qui peuvent
se mettre sous cette forme (et les états quantiques associés) sont dits « factorisables ». Les états quantiques non
factorisables sont dits « intriqués ».
Produit tensoriel d’opérateurs, prolongement à E
EE
E⊗
⊗⊗
⊗F
FF
F d’un opérateur défini dans E
EE
E
Si A et B sont des opérateurs agissant respectivement sur E etF, on peut définir un produit tensoriel d’opérateurs
A ⊗B agissant sur E ⊗F par : (A ⊗B) (|u>⊗|v>)=( A|u>) ⊗ (B|v>)
On est souvent amené à s’intéresser à l’opérateur A ⊗ IdF (resp. IdE ⊗ B) que l’on appelle prolongement de A
AA
A
(resp. de B) à E
E E
E ⊗
⊗⊗
⊗F
FF
F. Un tel opérateur agit sur E et « ne fait rien » sur F.
Attention : on se permet souvent d’adopter la notation allégée A (resp. B) pour désigner le prolongement A
⊗IdF (resp. IdE ⊗B). Il faut alors faire très attention au sens de ce que l’on est en train d’écrire !
Exemple important : si |m> est vecteur propre associé à la valeur propre Em de l’opérateur HE agissant sur
l’espace E et |n> vecteur propre associé à la valeur propre En de l’opérateur HF agissant sur l’espace F, alors on
pourra rencontrer une écriture telle que : H|m,n>, avec H= HE + HF.
Il faut alors comprendre : H|m,n>=( HE ⊗ IdF + IdE ⊗ HF)(|m> ⊗ |n>)
qui vaut ici : (HE |m> ⊗ IdF |n>)+( IdE |m> ⊗ HF |n>) = (Em|m>)⊗|n>+|m> ⊗(En|n>)

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soit encore : H|m,n>=(Em+En) (|m> ⊗ |n>) =(Em+En) |m,n>
Produit tensoriel de N espaces de Hilbert et associativité
Si l’on se donne maintenant trois vecteurs |u>, |v>, |w> appartenant à des espaces E, F, G, les expressions
(|u>⊗|v>) ⊗ |w> et |u> ⊗ (|v>⊗|w>) désignent des éléments appartenant respectivement à E ⊗ (F⊗G) et E ⊗
(F⊗G).
On montre facilement que les coordonnées de ces vecteurs sur les bases respectives (ei⊗fj) ⊗ gk et ei ⊗ (fj⊗gk)
sont égales, ce qui justifie de laisser tomber les parenthèses et de définir un espace E⊗F⊗G dont on va noter
|ei>⊗|fj>|⊗gk> les vecteurs de base (ou plus simplement, en l’absence d’ambiguïté, |i,j,k>).
Par généralisation immédiate, on peut définir un produit tensoriel de N espaces, qui est associatif. En
particulier, lorsque les N espaces sont identiques (et par exemple égaux à ℜ3), on appellera tenseur d’ordre N
un élément de cet espace produit tensoriel.
Exemple important : Soit une particule pouvant évoluer dans l’espace à trois dimensions. Son état est décrit
par une fonction d’onde ),,( zyx
ψ
appartenant à l’espace L2(R3) des fonctions complexes de carré sommable sur
R3. Cette fonction ne peut pas en général s’écrire sous la forme « factorisée » )()()( 321 zyx ψψψ . En revanche,
on peut montrer qu’il existe une décomposition )()()(),,( ,, zyxCzyx pnmpnm φφφψ ∑=, où les fonctions
i
φ forment une base de L2(R) (par exemple, la base des fonctions de Hermite).
Ceci est donc une manière de dire que L2(R3)= L2(R) ⊗ L2(R) ⊗ L2(R)
Remarque : lien avec les tenseurs introduits dans le cours de mécanique des milieux continus
Les éléments des espaces produits tensoriels que nous avons introduits ici s’identifient bien aux tenseurs
introduits en cours de mécanique des milieux continus.
Les tenseurs ij cd’ordre 2 sur ℜ
ℜℜ
ℜ3 rencontrés en mécanique sont des éléments de ℜ
ℜℜ
ℜ3 ⊗
⊗⊗
⊗ℜ
ℜℜ
ℜ3 définis par leurs
coordonnées cij sur la base des ei ⊗ ej , où les ei sont des vecteurs de base de ℜ
ℜℜ
ℜ3. Les coefficients cij s’identifient
donc naturellement aux éléments d’une matrice de M
MM
M3(ℜ
ℜℜ
ℜ) (espace vectoriel des matrices 3*3 de ℜ), ei ⊗ ej
s’identifiant à la matrice de base Eij de M
MM
M3(ℜ
ℜℜ
ℜ) (qui envoie le vecteur ei sur ej et les autres vecteurs ek ,k≠j sur 0).
Les tenseurs ijkl Ad’ordre 4 sur ℜ
ℜℜ
ℜ3 également rencontrés dans le cours de mécanique sont des éléments de
ℜ
ℜℜ
ℜ3⊗
⊗⊗
⊗ℜ
ℜℜ
ℜ3⊗
⊗⊗
⊗ℜ
ℜℜ
ℜ3⊗
⊗⊗
⊗ℜ
ℜℜ
ℜ3, qu’il faut voir ici comme (ℜ
ℜℜ
ℜ3⊗
⊗⊗
⊗ℜ
ℜℜ
ℜ3)⊗
⊗⊗
⊗(ℜ
ℜℜ
ℜ3⊗
⊗⊗
⊗ℜ
ℜℜ
ℜ3) ou encore M
MM
M3(ℜ
ℜℜ
ℜ)⊗
⊗⊗
⊗M
MM
M3(ℜ
ℜℜ
ℜ), définis par leurs
coordonnées Aijkl sur la base des (ei⊗ej)⊗(ek⊗el), ce dernier terme s’identifiant à la matrice de base Eijkl de
M
MM
M3(M
MM
M3(R)) (qui envoie la matrice de base Eij de M
MM
M3(ℜ
ℜℜ
ℜ) sur la matrice Ekl et les autres vecteurs Ei’j’, (i’,j’)≠
≠≠
≠(i,j) sur
0).
Petit exercice : trouver deux éléments indépendants de ℜ
2
⊗ℜ
2 qui ne soient pas factorisables
Solution :
soit e1,e2 un couple vecteurs de base de ℜ
ℜℜ
ℜ2
Les éléments factorisables de M
MM
M2(ℜ
ℜℜ
ℜ)=ℜ
ℜℜ
ℜ2⊗ℜ
ℜℜ
ℜ2 sont de la forme :
(αe1+βe2) ⊗(γe1+δe2)= α γ e1⊗ e1+ α δ e1⊗ e2+ β γ e2⊗ e1+ β δ e1⊗ e1
Soit u=a e1⊗ e1+ b e1⊗ e2+ c e2⊗ e1+ d e1⊗ e1 un élément quelconque de M
MM
M2(ℜ
ℜℜ
ℜ)
Imposons a=0 : si u est factorisable, alors en identifiant les deux expressions on voit qu’on doit avoir α γ=0 ce
qui implique α=0 ou γ=0 et donc b=0 ou c=0.
Ceci nous garantit que les vecteurs indépendants )(
2
1
1221 eeeeu ⊗+⊗= et )(
2
1
1221 eeeev ⊗−⊗= ne sont
pas factorisables.