Sur les mouvements presque périodiques

Mathematics. - Sur les mouvements presque périodiques. By F. LOONSTRA.
(Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.)
(Communicated at the meeting of June 29, 1946.)
§ 1. Introduction.
Dans la partie de la mécanique ordinairement comprise sous Ie nom
théorie des perturbations, on rencontre souvent des fonctions presque
périodiques dont l'étude a été inaugurée par H. BOHR 1) .
Ce sont les séries du type
~an"n2 ' ... ,nk cos (ni fi
l +
n2 fi
2 + ... +
nk fik)
ou les nl, n=.?, .• • , nk sont entiers, Or = },rt + f r, et ou les coefficients a, À
et E sont constants, qui ont été reconnues depuis longtemps comme les séries
les plus convenables à developper des coor · données dans Ie domaine de
J'astronomie. Déjà DELAUNAY 2) avait indiqué l'importance de ces séries
pour les coordonnées de la lune; NEWCOMB 3) les appliquait aux coordon-
nées des planètes, pendant que plusieurs autres auteurs comme LINDSTEDT,
TISS ERAND et POINCARÉ découvraient des applications semblables pour Ie
problème des trois corps . En physique on rencontre des problèmes pareils
depuis l'établissement de la théorie atomique de N. BOHR: l'influence d'un
champ électrique extérieur et celle des forces d'inertie relativistes sur les
courbes de KEPLER d'un atome de l'hydrogène est calculable par la méthode
des perturbations séculaires . Or, en général, les fonctions presque périodi-
ques qui se présentent en astronomie comme solutions d'équations différen-
tielles de la théorie des perturbations, sont d' un caractère spécial.
Dans Ie présent travail nous nous occupons d'a-bord des mouvements
presque périodiques en général; ensuite nous traiterons en particulier la
question suivante : Quels mouvements presque périodiques sont (spéciale-
ment pour Ie cas de deux dimensions) réalisables physiquement?
§ 2. H. BOHR a étudié sous Ie nom de fonction presque périodique une
fonction f(t) univoque et continue d'une variabIe réelle jouissant des
propriétés suivantes:
A tout nombre E positif arbitrairement petit, on peut faire correspondre
un nombre L = L(E) dépendant de E et de f(t) tel que tout intervalle de
longueur L contienne au moins une presque-période T, pour laquelle on a,
quel que soit t,
I f (t + T) -f (t) I < E.
1) H. BOHR, Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. Acta math. 45 (1925).
46 (1925).47 (1926).
Fastperiodische Funktionen. Ergebnisse der Math . und ihrer Grenzgebiete (Springer,
1932).
2) DELA U NAY : Théorie du mouvement de la lune, Paris, 1860.
3) Newcomb. : Smithsonian Contributions. 1874.

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On appelIe l'ensemble des nombres .. un ensemble de nombres d'inclusion
Considérons un nombre fini de fonctions presque périodiques
alors on a:
2.1 A tout nombre E positif arbitrairement petit, on peut faire cor-
respondre un nombre A dépendant de E et des fi tel que tout intervalIe de
longueur .A contienne une presque-période .. , pour laquelle on a, quel que
soit t,
I fi(t + .. ) - fi(t)1 < E
(i = 1,2, ... , n).
La démonstration est une extension immédiate de celle de BOHR pour Ie
cas n = 2.
Définition. Un mouvement est dit presque périodique s' il est représenté
par nfonetions presque périodiques
qui admettent en outre les dérivées successives.
Il est d'importance que toutes les n coordonnées Xl' x 2 . .... xn reprennent
à peu près leurs valeurs originales au bout d'un espace de temps ... Par
rapport aux cas particuliers nous mentionnons que Ie mouvement total
Xi = f;( t) (i = 1. 2 ..... n). dans lequel les f;( t) sont des fonctions périodi-
ques continues avec la période pi admettant des dérivées successives
représente un mouvement périodique au seul cas que Ie rapport d'une paire
de périodes quelconques est rationnel; cependant il est possible que les
pv se divisent en groupes maximaux de rapports rationnels; alors on pade
de mouvements conditionnellement périodiques -I) . Si Ie rapport de tout
couple de périodes est irrationnel, Ie mouvement est presque périodique
au sens absolu.
§ 3. Pour considérer les mouvements presque périodiques possibles,
nous nous occupons du théorème suivant :
3.1 Si X = X (t) est une fonction presque périodique, chaque fonction
uniformément continue F(x) de la variabIe x est également une fonction
presque périodique .
Démonstration: Si x = x (t) est presque périodique et si F (x) est uni-
formément continue, on sait que pour tout f > 0 il existe un 17 > 0 de
sorte que
si
et puis que d' après la définition il existe pour tout 17 > 0 un 17J de sorte que
chaque intervalIe a < t < a + 17J de longueur 17J contient un nombre d' in-
4) Par exemple: CHARLlER, Die Mechanik des Himmels, Bd. I.

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clusion r de x (t); alors rest un nombre d' inclusion de F (x) correspondant
à E. Si x (t) est en particulier une fonction périodique de période p. F (x)
est également une fonction périodique de la même période.
Considérons la suite finie XI=XI(t), X2=x2(t) •...• Xn=Xn(t) de
fonctions presque périodiques; la continuité d'une fonction F(XI' X2' ... , Xn)
par rapport aux x;( i = I, 2 .... , n) est dite uniforme. si à chaque E > 0 on
peut faire correspondre un c5 > 0 de manière que
IF(XI·.xi ..... x~)-F(xt ..... x~·) I -==E pour Ixi-x/'I-==d (i=1.2 ..... n).
3.2 Toute fonction F(XI' X2 •...• Xn) uniformément continue par rap-
port aux fonctions presque périodiques Xi = x;(t) est aussi une fonction
presque périodique.
En effet. nous avons vu dans ce qui précède qu'à tout nombre E > 0 on
peut faire correspondre un nombre c5 > 0 de manière que
1 F (XI'. x; ..... x~)-F (xt. xt ..... x~') 1-== E pour 1 xi -xi'l-== d (i= 1. 2 ..... n).
tandis que d' après 2.1 on peut faire correspondre à tout c5 > 0 un ensemble
de nombres d'inclusion de Xl ' X2 • ... , Xn. Par conséquent F(XI' X2 • ...• Xn)
est aussi unefonction presque périodique de t. D ' après 3.2 on obtient un
théorème important pour ce qui suit:
3.3 Supposons Xl = xdt). x2 = X2(t) •...• Xn -Xn (t) les équations
d'un mouvement presque périodique et
YI = FI (Xl. X2' .... Xn).
Y2 = F2 (XI,X2' ...• Xn).
des fonctions uniformément continues par rapport à x;( i = 1. 2 ..... n); à
condition qu'elles admettent des dérivées. YI . Y2 . ...• yn sont aussi des
fonctions presque périodiques définissant un mouvement presque périodi-
que. D'après ce qui précède ce mouvement peut être dans un cas particulier
un mouvement périodique ou un mouvement conditionnellement périodique .
§ 4. Dans ce qui suit nous étudierons les mouvements presque périodi-
ques en les soumettant à une transformation uniformément continue; en
particulier nous étudierons la structure topologique des trajectoires trans-
formées. D'abord nous citerons quelques définitions et théorèmes topolo-
giques 5).
4.1 Une transformation univoque de M en N sera dite uniformément
continue. si. pour chaque E > 0 on peut f :; ire correspondre un nombre ó > 0
5) A consulter par excmpl e: v. KERÉKJÁl<TÓ, Vorlesungen über Topologi e (Springer,
1923); ALEXANDR O FF-HOPF , Topologie (Spring er. 1935) .

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de sorte que la dis tance P'Q' d'une paire quelconque de points de Nest
plus petite que E, si PQ < Ó.
4.2 Toute transformation univoque et continue d' un intervalIe borné
et fermé est uniformément continue.
4.3 Un ensemble K sera dit courbe continue, si K est une transformation
univoque et continue de l'intervalle 0 :;; x :;; 1.
4.4 La condition nécessaire et suffisante pour qu ' un ensemble K soit
une courbe continue est que K soit un continu localement connexe (HAHN-
MAZURKIEWICZ) .
4.5 Une transformation qui est à la fois univoque et continue de M en
N et de N en M, autrement dite biunivoque et bicontinue. est appelée
transformation topologique.
Comme une fonction presque périodique est bornée. Ie mouvement pres-
que périodique. représenté par
Xl = xdt). X;! = x2(t) • .... Xn = Xn(t)
aura !ieu dans Ie fini: l'ensemble des points des trajectoires forme un
ensemble borné; alors. nous considérons les transformations univoques et
continues de x;(i = 1. 2 ..... n). parce que ces transformations sont aussi
uniformément continues. Pour conserver Ie sens physique. nous supposons
toujours que les transformations des trajectoires admettent des dérivées
successives.
§ 5. A. Sur les mouvements . dont la trajectoire est un segment fermé.
5.1 Il y a
des mouvements périodiques dont la trajectoire du point
mouvant est un segment fermé . par exemple Ie mouvement. désigné par
x = sin t avec la trajectoire - 1 :;; X :;; + 1.
5.2 Il y a des mouvements presque périodiques dont la trajectoire est
un segment fermé.
Démonstration: Le mouvement
x = sin 12 n . (sin n t + sin nt V2) I
est . comme nous verrons. un mouveme , nt presque périodique et la trajectoire.
c'est Ie segment fermé [-1; + 1]. Supposons ~ = sin nt + sinntV2.
nous démontrerons que les valeurs de ~ restent comprises entre - 2 et + 2.
les
extrémités exclues. Nous supposons comme étant connu, que ~ soit une
fonction presque périodique; sin ~ est une fonction uniformément continue
par rapport à ~ . alors X est également une fonction presque périodique
admettant des dérivées quelconques et qui présente un mouvement presque
pé r iodique . Il est clair que ~ n'admettra jamais la valeur + 2 (ou -2):
-4m + 1 .
sin nt = 1 pour t = 4n + 1. sin nt V 2 = 1 pour t = . ou m et n
V2
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sont entiers, tandis que jamais 4n + 1
4m + 1
V2 .
Néamoins, à tout
nombre E positif arbitrairement on peut faire correspondre des nombres m
et n, tels que
I 4m+l l E I -
V2-1 j' E
(4n+l)-VZ - <V2 ou (nV2-m)+ - 4- <T;(a)
puisque l'ensemble nV2 - mest den se en C, ou C est Ie continu linéaire,
et
puisque I' ensemble n V2 -m + V! -1 est aussi dense en C, il Y a
une infinité de paires de nombres entiers m et n satisfaisant la condition
(a), (qui forment en outre un ensemble relativement dense).
Il s'ensuit qu'il y a des nombres n, de sorte que sin 71tV-Z ne diffère
que d'un nombre infiniment petit de I, alors ~ ne diffère que d'un nombre
infiniment petit de 2, Uneargumentation semblable nous apprend que ~
admet aussi des valeurs qui ne diffèrent que d'un peu de -2, En vertu de
la continuité, ~ admettra toutes les valeurs entre - 2 et + 2, par consé-
quent l'intervalle [- 2; + 2] sera rempli à peu près (les extrémités
exclues) par ~ pour - 00 < t < + 00,
Puisque x = sin 2lT~ et que 2n~ admet l'intervalle (- 471; + 4.:T) (les
extrémités exclues), on a-I ~ x ~ + I, Par conséquent il existe des
mouvements périodiques et presque périodiques dont la trajectoire est un
segment fermé,
En nous servant du théorème qu'une transformation univoque et continue
d'un intervalIe borné et fermé est un continu localement connexe, il s' ensuit:
5.3 Un continu borné et localeme, nt connexe, étant une transformation
univoque, continue et différentielle d'un intervalIe borné et fermé, peut
être une trajectoire possible d'un mouvement presque périodique ou pério-
clique,
5.4: Un arc simpIe, étant même une transformation topologique d'un
segment borné et fermé, peut être une trajectoire possible d'un mouvement
presque périodique.
Parmi les trajectoires possibles se trouvent des courbes comme une ellipse,
un cercle, des courbes "lemniscatiens", etc. En physique on peut réaliser
ces formes de mouvements; supposons par exemple
x=a.sin2:rr: Isinnt+sin:rr:tV21 =a,sin2:rr:~.
y = b , cos 2:rr: I sin lT t + sin :rr: t V21 = b . cos 2 :rr: ~ ;
x et y sont des fonctions presque périodiques et différentielles; par consé-
quent Ie tout est un mouvement presque périodique. En outre ~ admet
toutes les valeurs entre - 2 et + 2, alors toute l'ellipse représente la
trajectoire du mouvement. Si a = b. on a un exemple d' un mouvement
presque périodique circulaire. Il s'ensuit: