Sur les mouvements presque périodiques

Mathematics. - Sur les mouvements presque périodiques. By F. LOONSTRA.
(Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.)
(Communicated at the meeting of June 29, 1946.)
§ 1. Introduction.
Dans la partie de la mécanique ordinairement comprise sous Ie nom
théorie des perturbations, on rencontre souvent des fonctions presque
périodiques dont l'étude a été inaugurée par H. BOHR 1) .
Ce sont les séries du type
+ n2 fi 2 + ... + nk fik)
n=.?, .• • , nk sont entiers, Or = },rt +
et ou les coefficients a,
~an"n2' ... ,nk cos (ni fi l
ou les n l ,
f r,
À
et E sont constants, qui ont été reconnues depuis longtemps comme les séries
les plus convenables à developper des coor·données dans Ie domaine de
J'astronomie. Déjà DELAUNAY 2) avait indiqué l'importance de ces séries
pour les coordonnées de la lune; NEWCOMB 3) les appliquait aux coordonnées des planètes, pendant que plusieurs autres auteurs comme LINDSTEDT,
TIS SERAND et POINCARÉ découvraient des applications semblables pour Ie
problème des trois corps. En physique on rencontre des problèmes pareils
depuis l'établissement de la théorie atomique de N. BOHR: l'influence d'un
champ électrique extérieur et celle des forces d'inertie relativistes sur les
courbes de KEPLER d'un atome de l'hydrogène est calculable par la méthode
des perturbations séculaires. Or, en général, les fonctions presque périodiques qui se présentent en astronomie comme solutions d'équations différentielles de la théorie des perturbations, sont d 'un caractère spécial.
Dans Ie présent travail nous nous occupons d'a-bord des mouvements
presque périodiques en général; ensuite nous traiterons en particulier la
question suivante: Quels mouvements presque périodiques sont (spécialement pour Ie cas de deux dimensions) réalisables physiquement?
§ 2.
H. BOHR a étudié sous Ie nom de fonction presque périodique une
fonction f(t) univoque et continue d'une variabIe réelle jouissant des
propriétés suivantes:
A tout nombre E positif arbitrairement petit, on peut faire correspondre
un nombre L
L(E) dépendant de E et de f(t) tel que tout intervalle de
longueur L contienne au moins une presque-période T, pour laquelle on a,
quel que soit t,
I f (t + T) - f (t) I < E.
=
1) H. BOHR, Zur Theorie
46 (1925).47 (1926).
Fastperiodische Funktionen.
1932) .
2) DELA UNAY : Théorie du
3) Newcomb. : Smithsonian
der fastperiodischen Funktionen. Acta math. 45 (1925) .
Ergebnisse der Math. und ihrer Grenzgebiete (Springer,
mouvement de la lune, Paris, 1860.
Contributions. 1874.
745
On appelIe l'ensemble des nombres .. un ensemble de nombres d'inclusion
Considérons un nombre fini de fonctions presque périodiques
alors on a :
2.1 A tout nombre E positif arbitrairement petit, on peut faire correspondre un nombre A dépendant de E et des fi tel que tout intervalIe de
longueur .A contienne une presque-période .. , pour laquelle on a, quel que
soit t,
I fi(t + .. ) - fi(t)1 <
E
(i
= 1,2, ... , n).
La démonstration est une extension immédiate de celle de
cas n = 2.
BOHR
pour Ie
Définition. Un mouvement est dit presque périodique s'il est représenté
par nfonetions presque périodiques
qui admettent en outre les dérivées successives.
Il est d'importance que toutes les n coordonnées Xl' x 2. .... xn reprennent
à peu près leurs valeurs originales au bout d'un espace de temps ... Par
rapport aux cas particuliers nous mentionnons que Ie mouvement total
Xi
f;( t) (i 1. 2..... n). dans lequel les f;( t) sont des fonctions périodiques continues avec la période pi admettant des dérivées successives
représente un mouvement périodique au seul cas que Ie rapport d'une paire
de périodes quelconques est rationnel; cependant il est possible que les
pv se divisent en groupes maximaux de rapports rationnels; alors on pade
de mouvements conditionnellement périodiques -I) . Si Ie rapport de tout
couple de périodes est irrationnel, Ie mouvement est presque périodique
au sens absolu.
=
=
§ 3. Pour considérer les mouvements presque périodiques possibles,
nous nous occupons du théorème suivant :
3.1 Si X = X (t) est une fonction presque périodique, chaque fonction
uniformément continue F(x) de la variabIe x est également une fonction
presque périodique.
Démonstration: Si x = x (t) est presque périodique et si F (x) est uniformément continue, on sait que pour tout f > 0 il existe un 17 > 0 de
sorte que
si
et puis que d 'après la définition il existe pour tout 17 > 0 un 17J de sorte que
chaque intervalIe a < t < a + 17J de longueur 17J contient un nombre d 'in4)
Par exemple: CHARLlER, Die Mechanik des Himmels, Bd. I.
746
clusion r de x (t); alors rest un nombre d' inclusion de F (x) correspondant
à E. Si x (t) est en particulier une fonction périodique de période p. F (x)
est également une fonction périodique de la même période.
Considérons la suite finie XI=XI(t), X2=x2(t) •...• Xn=Xn(t) de
fonctions presque périodiques; la continuité d'une fonction F(XI' X2' ... , Xn)
par rapport aux x;( i
I, 2 .... , n) est dite uniforme. si à chaque E > 0 on
peut faire correspondre un c5 > 0 de manière que
=
IF(XI·.xi ..... x~)-F(xt ..... x~·) I -==E pour Ixi-x/'I-==d (i=1.2 ..... n).
3.2 Toute fonction F(XI' X2 • ...• Xn) uniformément continue par rapport aux fonctions presque périodiques Xi
x;(t) est aussi une fonction
presque périodique.
En effet. nous avons vu dans ce qui précède qu'à tout nombre E > 0 on
peut faire correspondre un nombre c5 > 0 de manière que
=
1F (XI'. x; ..... x~)-F (xt. xt ..... x~') 1-== Epour 1xi -xi'l-== d (i= 1. 2 ..... n).
tandis que d' après 2.1 on peut faire correspondre à tout c5 > 0 un ensemble
de nombres d'inclusion de Xl ' X2 • ... , Xn. Par conséquent F(XI' X2 • ...• Xn)
est aussi unefonction presque périodique de t. D 'après 3.2 on obtient un
théorème important pour ce qui suit:
=
=
xdt). x2
X2(t) • ...• Xn -Xn (t) les équations
3.3 Supposons Xl
d'un mouvement presque périodique et
YI
Y2
= FI X2' .... Xn).
= F 2 (XI,X2' ...• Xn).
(Xl.
des fonctions uniformément continues par rapport à x;( i = 1. 2 ..... n); à
condition qu'elles admettent des dérivées. YI . Y2. ...• yn sont aussi des
fonctions presque périodiques définissant un mouvement presque périodique. D'après ce qui précède ce mouvement peut être dans un cas particulier
un mouvement périodique ou un mouvement conditionnellement périodique.
§ 4. Dans ce qui suit nous étudierons les mouvements presque périodiques en les soumettant à une transformation uniformément continue; en
particulier nous étudierons la structure topologique des trajectoires transformées. D'abord nous citerons quelques définitions et théorèmes topologiques 5).
4.1 Une transformation univoque de M en N sera dite uniformément
continue. si. pour chaque E > 0 on peut f:; ire correspondre un nombre ó > 0
5) A consulter par exc mpl e: v. KERÉKJÁl<TÓ, Vorlesungen über Topologie (Springer,
1923); ALEXANDROFF-HOPF , Topologie (Spring er. 1935) .
747
de sorte que la distance P'Q' d'une paire quelconque de points de Nest
plus petite que E, si PQ < Ó.
4.2 Toute transformation univoque et continue d 'un intervalIe borné
et fermé est uniformément continue.
4.3 Un ensemble K sera dit courbe continue, si K est une transformation
univoque et continue de l'intervalle 0 :;; x :;; 1.
4.4 La condition nécessaire et suffisante pour qu ' un ensemble K soit
une courbe continue est que K soit un continu localement connexe (HAHNMAZURKIEWICZ) .
4.5
Une transformation qui est à la fois univoque et continue de M en
N et de N en M, autrement dite biunivoque et bicontinue. est appelée
transformation topologique.
Comme une fonction presque périodique est bornée. Ie mouvement presque périodique. représenté par
Xl
= xdt).
X;!
= x2(t) • .... Xn = Xn(t)
aura !ieu dans Ie fini: l'ensemble des points des trajectoires forme un
ensemble borné; alors. nous considérons les transformations univoques et
continues de x;(i
1. 2 ..... n). parce que ces transformations sont aussi
uniformément continues. Pour conserver Ie sens physique. nous supposons
toujours que les transformations des trajectoires admettent des dérivées
successives.
=
§ 5.
A.
Sur les mouvements. dont la trajectoire est un segment fermé.
5.1 Il y a des mouvements périodiques dont la trajectoire du point
mouvant est un segment fermé . par exemple Ie mouvement. désigné par
x
sin t avec la trajectoire - 1 :;; X :;; + 1.
=
5.2 Il y a des mouvements presque périodiques dont la trajectoire est
un segment fermé.
Démonstration: Le mouvement
x
= sin 12 n . (sin n t + sin nt V2) I
est. comme nous verrons. un mouveme,n t presque périodique et la trajectoire.
=
c'est Ie segment fermé [-1; + 1]. Supposons ~
sin n t + sinntV2.
nous démontrerons que les valeurs de ~ restent comprises entre - 2 et + 2.
les extrémités exclues. Nous supposons comme étant connu, que ~ soit une
fonction presque périodique; sin ~ est une fonction uniformément continue
par rapport à ~ . alors X est également une fonction presque périodique
admettant des dérivées quelconques et qui présente un mouvement presque
périodique . Il est clair que ~ n'admettra jamais la valeur + 2 (ou -2):
sin nt
= 1 pour t = 4n + 1. sin nt V -2 = 1 pour t = 4m + 1 . ou. m et n
V2
48
748
sont entiers, tandis que jamais 4n
+
1
4m +
1
V2 .
Néamoins, à tout
nombre E positif arbitrairement on peut faire correspondre des nombres m
et n, tels que
I
4m+l l <V2
E
(4n+l)-VZou
puisque l'ensemble nV2 -
I(nV2-m)+
j' <T;(a)
E
-V2-1
4-
mest den se en C, ou C est Ie continu linéaire,
et puisque I' ensemble n V2 - m
+ V! -1
est aussi dense en C, il Y a
une infinité de paires de nombres entiers m et n satisfaisant la condition
(a), (qui forment en outre un ensemble relativement dense).
Il s'ensuit qu'il y a des nombres n, de sorte que sin 71tV-Z ne diffère
que d'un nombre infiniment petit de I, alors ~ ne diffère que d'un nombre
infiniment petit de 2, Uneargumentation semblable nous apprend que ~
admet aussi des valeurs qui ne diffèrent que d'un peu de - 2, En vertu de
la continuité, ~ admettra toutes les valeurs entre - 2 et + 2, par conséquent l'intervalle [ - 2; + 2] sera rempli à peu près (les extrémités
exclues) par ~ pour - 00 < t < + 00,
Puisque x = sin 2lT~ et que 2n~ admet l'intervalle ( - 471; + 4.:T) (les
extrémités exclues), on a - I ~ x ~ + I, Par conséquent il existe des
mouvements périodiques et presque périodiques dont la trajectoire est un
segment fermé,
En nous servant du théorème qu'une transformation univoque et continue
d'un intervalIe borné et fermé est un continu localement connexe, il s' ensuit:
5.3 Un continu borné et localeme,n t connexe, étant une transformation
univoque, continue et différentielle d'un intervalIe borné et fermé, peut
être une trajectoire possible d'un mouvement presque périodique ou périoclique,
5.4: Un arc simpIe, étant même une transformation topologique d'un
segment borné et fermé, peut être une trajectoire possible d'un mouvement
presque périodique.
Parmi les trajectoires possibles se trouvent des courbes comme une ellipse,
un cercle, des courbes "lemniscatiens", etc. En physique on peut réaliser
ces formes de mouvements; supposons par exemple
x=a.sin2:rr: Isinnt+sin:rr:tV21 =a,sin2:rr:~.
y = b , cos 2:rr: I sin lT t
+ sin :rr: t V21
= b . cos 2 :rr: ~ ;
x et y sont des fonctions presque périodiques et différentielles; par conséquent Ie tout est un mouvement presque périodique. En outre ~ admet
toutes les valeurs entre - 2 et + 2, alors toute l'ellipse représente la
trajectoire du mouvement. Si a = b. on a un exemple d'un mouvement
presque périodique circulaire. Il s'ensuit:
749
5.5 Chaque courbe simple continue, ou courbe de JORDAN, étant une
transformation topologique d'une circonférence d'un cercle, peut être une
trajectoire possible d 'un mouvement presque périodique.
Les équations
x
= a . sin n ! sin nt + sin nt V2! = a . sin n .;
y=b.sin2n !sinnt+sinntV2! =b.sin2n;
représentent les équations d 'un mouvement presque périodique dont la
trajectoire admet un point double. On peut facilement construire d'autres
exemples.
B.
Sur les mouvements, dont la trajectoire est un segment ouvert.
=
Le mouvement x
sin t + sin t V2 est presque périodique et la trajectoire est Ie segment Ol1vert - 1 < x < + 1. Considérant que la trajectoire est dense sur Ie segment fermé et considérant qu'on peut étendre
chaque transformation uniformément continue d'un segment ouvert à une
transformation conti.nue du segment fermé , qui est aussi uniformément
continue, on a :
5.6 Si un mouvement presque périodique, dont la trajectoire K est un
segment ouvert, sera transformé par une transformation uniformément
continue et différentielle, la trajectoire transformée K' est un ensemble
borné et K' est, à 0,1 ou 2 points près, une transformation continu du segment fermé, Par exemple:
x = sin
y = cos
! t n (sin t + sin t V2) ! '
! t n (sin t sin t V2) !.
+
La trajectoire de ce mouvement presque periodique est à un point près
toute la circonférence d'un cercle,
C. Sur les mouvements, dont la trajectoire est un ensemble partout
dense sur un ensemble borné d'un plan euclidien.
Considérons d'abord Ie mouvement presque périodique, défini par
x
= sin
2::7t, IJ = sin 2nJ.t,
ou }. est un nombre irrationnel. Nous allons démontrer que cette trajectoire
est un ensemble partout dense sur Ie rectangle -1 :;::; x :;:: + I ; - I :;:: IJ :;:: + 1.
Soit (xo; IJo) un point situé dans Ie rectangIe, nous supposons x
XII pour
=
t =
to -I- n et
Ij
= IJo pour t = tI
;" et n, pour lesque1s til
+n=
À.
+ m . Quand
À.
tI
il ya des nombres entiers
_
-I- - , les coordonnees (xo; IJo) seront
m
atteintes encore une fois . Sinon, on démontre la propriété suivante:
A tout nombre E positif arbitrairement petit, on peut faire correspondre
un nombre L = L(E) tel que tout intervalIe u < t < a + L de longueur L
750
conti ent ane presque période T, pour laquelle Ie point mobile reprend ses
coordonnées initiales (xo; Yo) à peu près, c'est à dire:
E
I x-xo
E
1< Vl' I Y-Yo I < Vl'
Evidemment il Y a des nombres entiers m, n formant un ensemble relatif
dense avec la condition
I (to + n) -
(tl
+ :) I < rJ
ou 1] > 0 est un nombre al1bitrairement petit. En vertu de la continuité de
la fonction sinusoïdale les coordonnées x et Y ne diffèrent également que
cl'une grandeur arbitrairement petite de Xo et Yo. 11 existe cles mouvements
presque périodiques ayant la propriété que la trajectoire est dense sur
l'interne d 'un cercle. Pour cela on étudie des équations
x
= cos t-cos (l-l)t
et y
= sin t + sin (), -1 )t,
ou 1 est irrationnel; ce mouvement se produit en faisant rou Ier un cercle
(N; r) d'un centre N et d'un rayon r Ie long de l'intérieur de la circonférence
d'ullo cercle fixé (M ; R) , pendant que Ie prolongement d 'un diamètre du petit
cercle conti ent un point A de sorte que QA
R. Supposant Rlr
J. et
R- r
1~ il n'est pas difficile à vérifier les équations cités plus haut. On a
=
=
d '2 = x 2
+ y2 =
2(1-
=
cos J.t) ,
et par conséquent la distance jusqu'au centre M est au maximum '4 et au
minimum 0, pendant que Ie cercle (M ; '4) est rempli partout dense par la
trajectoire de A. On s'assure que Ie point A n'atteint jamais deux fois Ie
même point du cercle extérieur ; en outre A passe régulièrement par M.
En demandant la transformation uniformément continue et différentielle
de la trajectoire K cl'un mouvement presque périodique ou K est un ensemble
partout clense sur un ensemble borné E, nous savons que la courbe trans-
751
formée K' est bornée, parce qu'iJ est possible d'étendre la transformation
uniformément continue de la trajectoire à une transformation continue de
l'ensemble borné fermé E. La trajectoire transformée K' est alors bornée et
elle est partout dense sur l'ensemble borné et fermé E'. Pour quelques cas
particuliers nous nous prononcerons plus nettement:
La trajectoire b d'un mouvement presque périodique est partout
dense sur l'intérieur d 'un cercle C; une transformation topologique transforme C en une courbe fermée simple K, l'intérieur de C en celui de K,
pendant que la transformation de b en k (remplissant rintérieur de K
partout dense) est en outre différentielle; alors K est la trajectoire d'un
mouvement presque périodique et k est partout dense sur Ie domaine
intérieur de K.
5.7
D. Sur les mouvements dont la trajectoire est partout dense sur Ie
domaine entre deux courbes de JORDAN.
A l'aide d'un exemple nous établirons une seconde possibilité de remplir
partout dense : un cercle d'un rayon r roule Ie long de l'extérieur d'un cercle
fixé d'un rayon R, de sorte que Ie rapport des rayons est irrationnel; alors
un point de la circonférence du cercle roulant décrit une trajectoire, qui
remplit Ie domaine entre deux cercles concentriques partout denses.
Les équations de mouvement sont:
x
=
a . cos t -
cos a . t; Y
= a . sin
t -
sin a . t
ou a est un nombre irrationnel. 11 s 'ensuit aussitót
x:!
+ y2 = a:! +
1-
2a . cos (a -
l)t
de sorte que
a-I
=
-== V x 2 + y2 -== a + 1 :
=
Ie rayon du cercle fixé R
a - I, pendant que a + 1
R + 2r.
11 est possible de transformer les cercles concentriques par une transformation topologique en deux courbes fermées simples qui n'ont pas un
point d'intersection, de sorte que les domaines intérieurs se transforment
run en l'autre.
Si la trajectoire entre les cercles est transformée en outre différentiellement en une courbe qui remplit Ie domaine entre les courbes fermées
simples partout denses, alors la courbe qu'on vi ent de nommer est une
trajectoire possible d'un mouvement presque périodique. Comme exemple
de cette espèce il y a: Ie mouvement de Mercure; Ie mouvement relatif d'un
pendule de FOUCAULT poussé centralement, Ie mouvement relatif à l'écliptique d'un pendule de FOUCAULT läché sans impulsion, Ie mouvement
relatif à la terre d'tm pendule de FO UCAUL T läché sans impulsion .