Etude 98 - HEC Paris

CLUB FINANCE
VALORISATION D’INVESTISSEMENTS
ET D’ACTIONS PAR OPTIONS REELLES
__________________________________________________
LES ETUDES DU CLUB
N° 98
DECEMBRE 2013
VALORISATION D’INVESTISSEMENTS
ET D’ACTIONS PAR OPTIONS REELLES
__________________________________________________
LES ETUDES DU CLUB
N° 98
DECEMBRE 2013
Etude réalisée par Monsieur Paul Badaro (HEC 2013)
sous la direction de Monsieur Olivier Levyne Professeur à HEC Paris
« Un nombre croissant de praticiens est désormais convaincu que les méthodes de
valorisation traditionnelles par DCF sont inefficaces »
Lenos Trigeorgis
« L’approche par Options Réelles est extrêmement novatrice : elle permet de
prendre en compte des incertitudes jusqu’alors non intégrées aux approches de
valorisation classiques »
Aswath Damodaran
« La valorisation optionnelle est particulièrement performante dans le cadre de
projets risqués ou fortement endettés »
Mondher Bellalah
« Alors que la valorisation par la VAN ou le TRI permet de savoir si un projet est
rentable à t=0, la méthode optionnelle permet d’aller plus loin et de déterminer s’il
vaut mieux investir maintenant ou plus tard dans le projet »
Olivier Levyne
2
Table des matières
I.
Introduction
II.
Avantages et inconvénients de la méthode du DCF
a. Revue des méthodes de valorisation traditionnelles
i. Un vaste panel de méthodes
ii. Méthodes analogiques
iii. Méthode patrimoniale ou de liquidation
b. Le DCF méthode reine ?
c. Les limites du DCF
i. Choix du taux d’actualisation
ii. Approximations dans le calcul de la dette
iii. Estimation de la volatilité des cash-flows
III.
Apports et limites de la méthode des options réelles
a. Rappels sur la théorie optionnelle
i. Le modèle binomial de Cox-Ross-Rubinstein
ii. Le modèle de Black & Scholes
iii. Merton : application d’un taux de dividende
iv. Monte-Carlo et méthode historique
b. Application aux Options Réelles : état de la recherche académique
i. Merton : calcul du spread de crédit (1973)
ii. Geske : payement de la dette par coupons (1977)
iii. Brennan et Schwartz : prise en compte du coût de faillite (1978)
iv. Leland : hypothèse du renouvellement de la dette (1994)
v. Dixit et Pindyck : option à maturité infinie (1994)
vi. Bellalah : prise en compte des coûts d’accès à l’information (2001)
vii. Analyses complémentaires
IV.
Des cadres de valorisation multiples
a. Valorisation d’investissements
i. Valorisation de l’option de croître
ii. Valorisation d’une mine d’or par une option d’achat
iii. Valorisation d’une concession pétrolière par un portefeuille d’options
iv. Valorisation de la flexibilité d’un investissement
v. Valorisation de l’option de sortie d’une joint-venture
3
b. Valorisation d’intangibles : l’exemple des licences
c. Valorisation de capitaux propres
i. Volatilité de la valeur d’entreprise
ii. Cash, minoritaires et associés
iii. Valeur économique de la dette et risque de défaut
iv. Application au risque de crédit
v. Etude détaillée sur PSA-Peugeot Citroën
V.
Etude empirique sur l’ensemble du CAC 40
a. Méthodologie d’analyse des sociétés de l’échantillon
b. Présentation des résultats
i. Analyse de l’endettement et de la volatilité
ii. Etude de la probabilité de défaut et du taux de recouvrement
iii. Valorisation optionnelle classique
iv. Valorisation par la Méthode de Leland
c. Comparaison DCF/Options Réelles : tests statistiques
i. Consensus capitaux propres vs. Méthode optionnelle classique
ii. Capitalisation boursière vs. Méthode optionnelle classique
iii. Consensus valeur d’entreprise vs. Méthode optionnelle classique
iv. Consensus valeur d’entreprise vs. Méthode de Leland
VI.
Conclusion
VII.
Appendice
4
I.
Introduction
Le DCF est habituellement considéré comme la méthode reine dans les banques d’affaires et
d’investissement. Toutefois, malgré des qualités indéniables qui permettent de surmonter les premières
approximations des multiples, le DCF semble surtout adapté à des sociétés mûres et à faible probabilité
de défaut.
Comment expliquer sinon la capitalisation positive d’Eurotunnel en 1997, alors même que les cash-flows
de l’entreprise étaient inférieurs à la valeur nominale de sa dette ? Comment alors prendre en compte
correctement la probabilité de défaut des entreprises fortement endettées ou aux cash-flows fortement
volatiles ?
C’est dans ces situations que l’on perçoit l’utilité des méthodes de valorisation optionnelles. Comme
expliqué par Bellalah à la fin des années 1990, période où ces méthodes ont commencé à prendre leur
essor, la nouvelle économie est caractérisée par trois facteurs :
-
la flexibilité des investissements, c'est-à-dire la possibilité de les différer dans le temps, de les
accroître avant terme si le contexte s’est amélioré, ou de les abandonner une fois lancés
La subordination possible d’un investissement à la réussite ou à l’échec d’un autre et la
possibilité de réutiliser les infrastructures à d’autres fins
la volatilité des retours sur investissement, et la difficulté à les prédire de façon précise,
notamment en raison de l’asymétrie des retours et de leur sensibilité à certains facteurs, parfois
externes à la société ou à l’investissement
On peut schématiquement diviser les incertitudes qui planent sur les entreprises et accroissent
l’importance des options dites réelles :
-
l’incertitude macroéconomique, dans la mesure où les cash-flows sont généralement corrélés à
la situation macroéconomique –au moins partiellement, en fonction de la cyclicité de l’activitél’évolution technologique, dans la mesure où la capacité des départements R&D et Stratégie
notamment, à faire les bons choix dans le futur est bien souvent cruciale
Ces incertitudes sont particulièrement marquées dans des secteurs tels que l’extraction de matières
premières. Le choix de la méthode des Options Réelles est renforcé par la volatilité possible des cashflows futurs en raison de la corrélation des revenus et des cours des matières premières, difficiles à
estimer.
Cette méthode est également utile pour valoriser des investissements dans des industries à forts
investissements dans la R&D –comme l’industrie pharmaceutique-, les start-up et les entreprises
fortement endettées ou en difficulté, pour lesquelles la volatilité des cash-flows futurs laisse espérer des
capitaux propres positifs à la date du remboursement de la dette, même si ce n’est pas encore le cas à la
date de valorisation.
5
Les managers et les investisseurs comprennent intuitivement que la valeur d’un investissement dépend à
la fois de l’état actuel de l’actif, et de la capacité de ses gérants à lui faire profiter des opportunités à
venir. Ce deuxième point est essentiel dans le choix d’investissements en Private Equity par exemple.
Pour faire la différence entre deux sociétés que les méthodes traditionnelles valoriseraient également, la
capacité des managers à saisir les opportunités futures feront toute la différence, comme l’explique
François-Xavier Mauron, directeur de participation chez Edmond de Rothschild Investment Partners.
Les valorisations par Options Réelles donnent donc un cadre analytique pour modéliser de tels aléas. Ce
mémoire se donne donc pour but de questionner les méthodes traditionnelles de valorisation des
investissements (NAV, TRI) et des entreprises (DCF) en vue de prouver l’utilité des valorisations par
Options Réelles dans le cadre de la finance d’entreprise.
La littérature académique sur ce domaine s’est progressivement densifiée depuis les années 1990, allant
jusqu’à rendre le sujet à la mode aujourd’hui. Toutefois, les études réalisées restent bien souvent peu
appliquées à des cas réels, notamment en raison du grand nombre données nécessaires à collecter pour
réaliser correctement le travail de valorisation. Nous avons donc tenté d’y remédier en combinant à nos
analyses des exemples très proches de ceux auxquels peuvent faire face des directeurs financiers, des
analystes actions ou des banquiers d’affaires. De plus, à la fin du mémoire se trouve une étude
empirique, qui a pour but d’étudier les différences de valorisations traditionnelles et optionnelles sur
l’ensemble des sociétés non financières du CAC 40 ayant une dette positive au 31/12/2012.
II.
Avantages et inconvénients de la méthode du DCF
A. Revue des méthodes de valorisation traditionnelles
i. Un vaste panel de méthodes
Un rappel des différentes méthodes de valorisation d’entreprises permet de les classer en trois
catégories :
-
Les méthodes partant des données comptables (Valeur de liquidation, Sum Of The Parts)
Les méthodes analogiques, utilisant les données disponibles sur des sociétés comparables
(multiples boursiers, multiples transactionnels)
Les méthodes intrinsèques : DCF, DDM (notamment pour les banques) et Options Réelles, que
nous décrirons ci-après
Actif Net Réévalué
Valeur de liquidation
Sum of the parts (SOTP)
Méthodes Intrinsèques
DCF ou DDM
Options Réelles
Méthodes Analogiques
Multiples boursiers
Multiples transactionnels
6
Etudions brièvement les avantages, inconvénients et contextes d’utilisation des principales méthodes.
ii. Les méthodes analogiques
La méthode des multiples présente l’avantage de permettre la valorisation d’entreprises financières ou
non financières à partir d’agrégats rapidement disponibles pour la plupart des sociétés, qu’il s’agisse de
l’EBIT(D)A, de l’EBIT ou –plus rarement- du Chiffre d’Affaire pour les multiples de la valeur d’entreprise,
ou du PER comme multiple de capitaux propres. Dans certains secteurs, d’autres multiples sont
privilégiés, comme le PBR pour le secteur financier le multiple d’EBITDAR dans le secteur hôtelier ou tout
secteur à fortes disparités d’intensité capitalistique, ou encore le multiple de clics pour les sociétés de
vente en ligne.
Cette méthode possède l’avantage d’être rapide et simple d’utilisation, moyennant souvent quelques
ajustements comptables pour avoir des agrégats comparables.
De plus, sur une longue période, on remarque que la valeur des entreprises à forte capitalisation tend à
osciller autour de la moyenne de leurs multiples: une étude empirique de Deloitte Finance sur les
sociétés du CAC 40 montre ainsi que le PER des grandes sociétés françaises oscille autour d’une valeur
moyenne de 9,8 entre 1990 et 2010, validant la thèse d’un retour à la moyenne.
Toutefois, l’utilisation de ce modèle comporte des présupposés forts, notamment des hypothèses de
croissances égales pour les différentes sociétés de l’échantillon. Finalement, les multiples sont
principalement utiles pour valoriser des sociétés appartenant à des secteurs matures, où les marges ne
diffèrent pas trop d’un concurrent à l’autre.
Autre défaut, les multiples transactionnels incluent une prime de contrôle très variable, mais pouvant
dépasser 20% de la valeur d’entreprise, ce qui fausse grandement les calculs.
La méthode des multiples n’est donc pertinente que dans de certains cas. En effet, il est rare de pouvoir
trouver des comparables répondants à des critères de similarité de business model, d’intensité
capitalistique, de géographie, de taille…
Certains ouvrages tentent toutefois de développer des multiples alternatifs, qui prennent en compte les
différentiels de croissance futurs, en particulier Damodaran on Valuation (Damodaran, 2006) et
Valuation (McKinsey, 2010), donnant ainsi plus de sens aux multiples. On peut par exemple y trouver un
multiple (appelé ‘value-driver’) plus évolué que les multiples classique, prenant en compte les retours
sur capitaux nouvellement investis :
Avec les notations suivantes :
-
où  est le taux d’imposition normatif de la société
: taux de croissance à long-terme du NOPAT
7
-
: Retour sur les capitaux nouvellement investis dans la société
Un autre multiple recommandé est le ratio PEG (price-earnings/growth), qui consiste à diviser le PER par
le taux de croissance de la société afin de rendre comparables les résultats d’un échantillon où ce taux
diffère. La valorisation d’une société y évoluant dans un secteur S sera alors la suivante :
Où
est le résultat net de la société y,
est le PER sectoriel, et
croissance respectifs de la société et de son secteur.
et
sont les taux de
Une troisième méthode aboutissant à des résultats plus fins, est l’usage de régressions linéaires : la
régression la plus courante est sans doute celle du multiple d’EBIT par rapport à la marge d’EBIT, dont la
pertinence est empiriquement prouvée (R² souvent supérieurs à 70%), et qui permet d’inclure dans la
valorisation les différences de rentabilité des entreprises de l’échantillon.
Cette brève étude sur les méthodes analogiques a pour but de montrer que l’utilisation des multiples
reste une approche approximative, mais qui peut être affinée grâce à des modèles intégrant des critères
jusqu’alors propres aux DCF comme les différentiels de croissance futurs, les retours sur capitaux
nouvellement investis, ou la rentabilité de l’entreprise à valoriser.
iii. Méthode Patrimoniale ou de liquidation
Cette approche consiste à évaluer chaque actif et passif de la société à sa valeur de marché ou à sa
valeur d’usage. Elle repose sur le postulat selon lequel la valeur de l’entreprise correspond au moins à
celle de son patrimoine. La valeur ainsi trouver peut être considérée comme une valeur plancher.
Il convient donc de passer en revue tous les postes d’actifs et de passif ainsi que les actifs non inscrits au
bilan et de les valoriser en valeur de marché ou valeur vénale
Cette méthode prend en compte le fait que le bilan ne reflète pas exactement la réalité économique des
actifs et des passifs, souvent inscrits à leur valeur historique.
Dans la pratique, cette approche est particulièrement adaptée dans un contexte :
-
De liquidation ou de difficultés financières
De valorisation de holdings, de banques et de sociétés immobilières
De valorisation de sociétés détenant des actifs hors exploitation d’une valeur significative
(immeubles, immobilisations financières) ou étant sur le déclin (ie. dégageant peu de profits ou
de pertes)
8
Elle présente les avantages d’utiliser des informations facilement accessibles et de ne pas exiger le calcul
(parfois aléatoire) du taux de financement (WACC), d’un taux de croissance à long-terme ou de
prévisions à long terme.
Cependant, cette méthode valorise les richesses accumulées par l’entreprise sans prendre en compte la
création de valeur future de la société. Elle est donc inadaptée pour les sociétés en phase de lancement
ou de redéploiement, et apparaît moins précise que la valorisation par DCF.
B. Le DCF, méthode reine ?
Le DCF est la méthode la plus couramment utilisée pour valoriser les sociétés non financières. Il présente
plusieurs avantages par rapport à la méthode des multiples, en particulier d’adapter le modèle plus
spécifiquement à chaque business plan, notamment en jouant sur le taux de croissance à l’infini
Selon la méthodologie du département Valuation & Economics de PwC, la méthode DCF s’applique dès
lors que :
-
La croissance de l’activité et des cash-flows n’est pas linéaire (ex : investissements lourds)
Les multiples ne sont pas applicables (ex : échantillon pas assez large et représentatif)
L’endettement de la société est significativement différent des sociétés du marché
Ce dernier point est dû à une simplification de la formule de Hamada se désendettement du Beta, qui
prend l’hypothèse que le Beta de la dette est nul, tout en négligeant le coût de faillite potentielle - ou
‘cost of financial distress’- pour les sociétés fortement endettées.
Autrement dit, la méthode DCF s’applique particulièrement bien dans le cas où :
-
Les projections financières sont disponibles et cohérentes
L’activité future est plus révélatrice de la valeur que les informations passées ou présentes (ex :
lancement de nouveaux produits)
La société évolue dans un secteur où il existe peu de sociétés comparables cotées ou peu
d’acquisitions/cessions ont été observées
L’activité est naissante (start-up) ou dans une phase de développement (rentabilité différente et
prise en compte des investissements nécessaires)
La méthode DCF permet d’appréhender les points suivants :
-
Les éléments fondamentaux de l’activité sont analysés (chiffre d’affaires, structure des coûts,
rentabilité, valorisation de BFR)
Les politiques d’investissement prévus sont prises en compte et corrélées avec la stratégie de
l’entreprise (rentabilité future, capacité de production et dépenses à venir)
Le différentiel de croissance entre l’entreprise et la croissance à long terme du secteur
9
L’usage du DCF apparaît donc comme globalement plus précis que les méthodes comptables ou
analogiques, et extrêmement modulable en fonction de la société.
C. Les limites du DCF
Au vue de l’analyse faite au paragraphe précédent, nous remarquons que l’application de la méthode
DCF est particulièrement délicate pour les cas suivants :
-
Entreprises en difficultés ou en cours de restructuration
Entreprises cycliques
Entreprises avec des actifs non utilisés ou sous-utilisés
Entreprises à forte R&D ou possédant des brevets
Sociétés Holdings
Revenons à la définition du DCF pour faire ressortir les trois principaux écueils de la méthode :

EV =

t 1
FCFt
E
D
où K  k
 i.(1   )
t
ED
ED
(1  K )
La valeur d’entreprise (EV) étant égale à la valeur des cash-flows futurs (FCF) actualisés au coût pondéré
du capital ou WACC (K), nous pouvons relever les trois principaux écueils de cette méthode.
i.
Choix du taux d’actualisation
Le calcul du WACC est assez subjectif car il repose sur plusieurs hypothèses assez fortes:
-
La prime de risque de marché (rm-rf) dépend de l’hypothèse faite sur le taux de croissance à l’infini
des dividendes de l’entreprise étudiée
Lorsque la société est cotée, le coût du capital peut utiliser comme Beta :
o Le Beta historique de cette société (qui diffère entre autres en fonction de l’indice par
rapport auquel on régresse, de la fréquence des données, et de la période considérée)
o Un Beta sectoriel réendetté par la formule de Hamada (qui dépend également de
l’échantillon de comparables utilisé)
Cette formule, pourtant largement employée par les professionnels, prend toutefois l’hypothèse d’un
Beta de la dette nul, ce qui s’avère être faux en général, comme le fait remarquer Didier Saintot dans sa
thèse Beta de la dette et coût du capital, 2002. La formule complète est en effet la suivante :
10
-
Enfin, les coefficients de pondération peuvent soit correspondre à une structure financière
normative, soit être basée sur un calcul itératif. Dans ce cas, E dépend du calcul du DCF, ce qui crée
une boucle dans le modèle et potentiellement une approximation.
Un autre point de discorde provient de l’utilisation, communément admise par les praticiens, du CAPM
pour déterminer le coût des capitaux propres. En 1992, Eugène Fama et Kenneth French avaient déjà
développé un modèle à trois facteurs, permettant de prendre en compte la prime de taille et la
différence de rendement entre actions de croissance et actions de valeur, en plus de la corrélation au
marché capturée par le CAPM. Le coefficient de significativité (R²) est généralement bien plus élevé avec
ce modèle, pour des sociétés de petite taille et/ou de rendement.
D’autres modèles alternatifs ont également été développés depuis : une étude du 14 mars 2013, How
did the Healthcare sector rob the Utilities ? écrite par Alexandre Champavere et Yann Aït Mokhtar,
analystes quantitatifs chez Exane BNP Paribas, va même plus loin. Partant du constat qu’en régressant le
rendement d’une société comme Essilor, pourtant liquide, par rapport à son indice de référence (le CAC
40), le coefficient de significativité (R²) ne valait que 29% sur deux ans, ils remettent non seulement en
cause le choix du CAPM dans le calcul du taux d’actualisation, mais également des autres modèles de
marché, faisant remarquer qu’une hypothèse sous-jacente de leur utilisation est que le rendement du
marché explique en grande partie le rendement des actions le composant. Leur équipe a ainsi développé
un modèle alternatif multifactoriel basé sur la corrélation des rendements d’actions à quatre facteurs :
-
Le taux EURIBOR 3 mois
Les taux d’intérêts réels du pays en question, calculés à partir du rendement des obligations
souveraines indexées sur l’inflation
L’inflation, définie comme le différentiel de rendement entre les obligations souveraines de longue
maturité et les obligations indexées sur l’inflation
La volatilité implicite de l’EuroStoxx 50, mesurée par l’indice VIX
Leurs résultats semblent pour le moment concluants, notamment pour les sociétés faiblement corrélées
au marché, mais seul un recul plus important nous permettra de vérifier leur pertinence.
En résumé, le choix du taux d’actualisation est extrêmement subjectif et peut fortement varier d’un
analyste à l’autre, et les méthodes couramment admises ne sont pas a priori les plus précises pour
l’estimer.
ii.
Approximations dans le calcul de la dette nette
La valeur des capitaux propres (E) se définit comme la différence entre la valeur d’entreprise (EV) et la
dette nette (D):
E = EV - D
11
La dette nette est, de plus, simplement calculée comme la différence entre la dette financière brute et le
cash (et équivalents), sans prendre en compte la maturité de la dette. Ainsi, pour une EV de 100, si une
dette (actualisée) de 60 est à rembourser et que l’entreprise n’a pas de cash, les capitaux propres actuels
seront estimés à 40, que la maturité de la dette soit de deux mois ou de vingt ans.
La raison est que les praticiens approximent la valeur économique de la dette par sa valeur nominale (ie.
bilancielle), ce qui est d’autant plus approximatif que la volatilité des cash-flows est élevée, que la
structure financière est endettée, ou que la duration de la dette est importante.
En d’autres termes, si la dette arrivait à échéance aujourd’hui, sa valeur économique serait
effectivement égale à sa valeur nominale, mais si elle y arrivait dans dix ans, sa valeur économique serait
égale à la valeur nominale actualisée sur dix ans à un taux reflétant le risque de défaut de l’entreprise.
Ainsi, le risque de faillite n’est pris en compte ni dans la valeur de la dette déduite de l’EV pour trouver
les capitaux propres, ni dans le calcul du WACC. Inversement, une société dont la valeur d’entreprise est
supérieure au nominal de sa dette aura des capitaux propres négatifs, alors même que la probabilité que
la relation s’inverse avant maturité de la dette est non nulle.
De plus, lors des prévisions de cash-flows, le Gearing de la société est généralement supposé constant.
Seuls les modèles LBO prennent en compte une diminution progressive de l’endettement.
iii.
Estimation de la volatilité des cash-flows
L’approche par DCF sous-estime la volatilité des cash-flows. En effet, le WACC qui permet l’actualisation
des cash-flows dépend du coût du capital estimé par le CAPM, qui ne prend en compte que le risque
systématique et non le risque spécifique à l’entreprise, car il n’est pas rémunéré. C’est donc une
volatilité inférieure à la volatilité totale (ie. Systématique et spécifique) qui est implicitement utilisée
dans le calcul d’actualisation.
Ainsi, en plus d’utiliser un taux d’actualisation imprécis par nature, d’un côté le DCF néglige le risque de
défaut de l’entreprise avant maturité de sa dette, ce qui surestime la valeur de la dette nette et sousestime le WACC (en surpondérant le coût de la dette après taxes) et d’un autre, le DCF sous-estime la
volatilité possible des cash-flows jusqu’à maturité de la dette. C’est ce dernier point qui explique la
capitalisation positive de sociétés en difficulté alors qu’un DCF aboutirait sans doute à des valeurs
d’entreprises supérieures à la valeur nominale de la dette de l’entreprise.
Dans la théorie optionnelle, ce point est, au contraire, pris en compte : il correspond à la valeur temps
d’une option d’achat européenne hors de la monnaie.
12
III.
Apports et limites de la méthode des Options Réelles
La méthode des Options Réelle utilise les apports de la théorie optionnelle « de marché » pour valoriser
des investissements dans un cadre plus concret.
A. Rappels sur la théorie optionnelle
La théorie optionnelle est fondée sur une hypothèse d’arbitrage. Il existe en effet un lien entre les prix
d’une option d’achat et d’une option de vente à la monnaie, et celui de leur sous-jacent. Il s’agit de la
parité « call-put » :
Les méthodes de valorisation d’options les plus répandues sont la méthode binomiale dite de Cox-RossRubinstein, utilisée encore aujourd’hui dans les salles de marchés pour valoriser certains produits
structurés complexes, celle de Black & Scholes, popularisée en 1973, qui peut être interprétée comme le
passage en temps continu du modèle binomial ainsi que celle de Merton, qui présente l’avantage
d’inclure également la notion de taux de dividende, et enfin la méthode de Monte Carlo, qui simule un
grand nombre de mouvements du sous-jacent sous l’hypothèse d’un mouvement géométrique brownien
afin de calculer la valeur moyenne de l’option dans les différents scenarios.
i.
Le modèle binomial de Cox-Ross-Rubinstein
La méthode binomiale est encore très largement utilisée par les praticiens car elle est capable de
prendre en compte un nombre important de conditions pour lesquelles l’application d’autres modèles
n’est pas aisée. Par exemple la méthode binomiale est utilisée pour les options américaines (celles-ci
peuvent être exercées à tout moment) et les options des Bermudes (celles-ci peuvent être exercées à
plusieurs moments). La méthode binomiale est mathématiquement relativement simple et peut être
facilement programmée sur Excel.
Bien que plus lente que la méthode de Black-Scholes, la méthode binomiale est considérée comme plus
précise, particulièrement pour les options à long terme et les options sur titre versant des dividendes.
La méthode binomiale utilise un cadre à temps discret pour retracer l’évolution de l’actif sous-jacent, via
un arbre, pour un nombre donné de pas qui correspond au temps entre la date d’évaluation et celle de
l’expiration de l’option. Chaque nœud de l’arbre est un prix possible du sous-jacent à un moment précis
dans le temps. Le processus d’évaluation est itératif. On part du nœud final de chaque branche et
ensuite on remonte jusqu’au premier nœud (date d’évaluation), où le résultat du calcul est la valeur de
l’option.
Le calcul de la valeur d’une option par cette méthode suit donc le processus suivant :
13
1. Création d’un arbre schématisant l’univers des possibles décrit par le sous-jacent, étape par
étape
2. Calcul de la valeur de l’option au nœud final de chaque branche
3. Calcul régressif de la valeur de l’option à partir du nœud précédent, la valeur du premier nœud
étant la valeur de l’option
Réalisons pour illustrer notre propos deux valorisations d’options d’achat par méthode binomiale.
Supposons pour cela que le taux sans risque au moment de la valorisation est de 5,0%
Exemple de valorisation d’un call européen par la méthode binomiale
0
1
u
d
K
p
100,00
75,42
2
3
4
5
1,15
0,90
100
0,73
115,00
87,89
90,48
55,89
132,25
102,05
104,06
66,18
81,87
38,59
152,09
118,08
119,66
77,96
94,15
46,79
74,08
23,68
FORMULE : C(0) = e^(-rt) . (p.C(1,u)+(1-p).C(1,d))
174,90
136,19
137,61
91,39
108,28
56,34
85,19
29,75
67,03
11,71
201,14
156,62
158,26
106,63
124,52
67,38
97,97
37,08
77,09
15,52
60,65
3,57
6
231,31
179,65
182,00
123,90
143,20
80,05
112,67
45,81
88,65
20,43
69,75
5,14
54,88
0,00
7
266,00
205,59
209,29
143,41
164,68
94,49
129,57
56,06
101,95
26,67
80,21
7,39
63,11
0,00
49,66
0,00
8
9
305,90
234,79
240,69
165,44
189,38
110,88
149,01
67,95
117,24
34,44
92,25
10,63
72,58
0,00
57,11
0,00
44,93
0,00
351,79
267,63
276,79
190,30
217,78
129,45
171,36
81,57
134,83
43,90
106,08
15,29
83,47
0,00
65,67
0,00
51,67
0,00
40,66
0,00
10
404,56
304,56
318,31
218,31
250,45
150,45
197,06
97,06
155,05
55,05
121,99
21,99
95,99
0,00
75,52
0,00
59,42
0,00
46,76
0,00
36,79
0,00
Comme nous pouvons le lire à gauche du schéma, le prix d’une option d’achat à la monnaie sur un sousjacent de 100 avec une maturité de 10 et un couple (u ;d) = (1,15 ;0,9) est de 75,42€.
Pour un taux sans risque donné, pas et prix d’exercice constant, on remarque que ce chiffre est
positivement corrélé à une augmentation du nombre de périodes.
14
Exemple de valorisation d’un call européen sur un sous-jacent payant un dividende D à T=6
Il est également possible d’introduire l’hypothèse du payement d’un dividende, dans le modèle binomial.
Dans l’exemple suivant, nous avons supposé que le sous-jacent émettra un dividende de 5 à T=6. Ainsi,
la formule du calcul du sous-jacent doit être modifiée dans toutes les cases bleues de la colonne
correspondant à T=6, les autres colonnes gardant les mêmes formules. Quant aux formules du calcul de
l’option, elles restent également inchangées.
0
1
u
d
K
D
p
100,00
72,48
2
1,15
0,90
500
5,0
0,73
115,00
84,61
90,48
53,33
3
4
5
6
7
Dividende 5
FORMULE : S(6) = u.S(5)-5
132,25
98,39
104,06
63,30
81,87
36,41
152,09
114,00
119,66
74,74
94,15
44,29
74,08
21,92
174,90
131,64
137,61
87,80
108,28
53,52
85,19
27,67
67,03
10,49
FORMULE : C(0) = e^(-rt) . (p.C(1,u)+(1-p).C(1,d))
201,14
151,55
158,26
102,63
124,52
64,22
97,97
34,65
77,09
13,98
60,65
3,03
226,31
174,00
177,00
119,45
138,20
76,52
107,67
43,02
83,65
18,50
64,75
4,36
49,88
0,00
260,25
199,28
204,77
138,45
160,15
90,57
125,05
52,93
97,42
24,30
75,69
6,27
58,59
0,00
45,13
0,00
8
9
299,29
227,75
235,49
159,91
185,28
106,53
144,91
64,48
113,15
31,63
88,15
9,01
68,49
0,00
53,01
0,00
40,84
0,00
344,18
259,79
270,81
184,13
213,08
124,59
167,65
77,75
131,12
40,72
102,38
12,96
79,76
0,00
61,97
0,00
47,97
0,00
36,95
0,00
10
395,81
295,81
311,43
211,43
245,04
145,04
192,80
92,80
151,70
51,70
118,64
18,64
92,64
0,00
72,17
0,00
56,07
0,00
43,40
0,00
33,44
0,00
Comme nous pouvons le lire à gauche du graphe, le prix du call est ici de 72,48€ contre 75,42€ dans le
cas d’une option de même maturité sur un sous-jacent ne payant, pas de dividende.
Méthode directe par la formule de Newton
Il existe un moyen de calculer directement le prix d’un call avec les hypothèses précédemment exposées,
et non par une méthode itérative :
Pour cela, raisonnons par récurrence.

Dans le cadre d’un arbre à deux étapes :
Où R représente le taux sans risque.
Ainsi :
15
Nous reconnaissons ainsi le développement de Newton d’ordre deux.
Notons au passage que :

En passant maintenant à un raisonnement à n étapes :
Notons X le nombre de mouvements vers le haut (u). X suit une loi binomiale de paramètres (n,p).
Soit a le nombre minimal de mouvements vers le haut tel que l’option soit dans la monnaie. Si k<a :
Ainsi :
Où
et
Si nous passons cette formule à sa limite, pour un nombre de périodes tendant vers l’infini, la loi
binomiale tend vers une loi normale (F devient alors , fonction de répartition de la loi normale). Cela
permet de comprendre le lien entre la méthode binomiale et la formule de Black & Scholes décrite ciaprès.
ii.
Le modèle de Black & Scholes
Malgré ses nombreux avantages et notamment sa flexibilité, le modèle binomial requiert un grand
nombre d’entrées. La méthode de Black & Scholes fournit un moyen alternatif de déterminer le prix
d’une option.
Les hypothèses principales du modèle sont, en l’absence d’arbitrage et en temps supposé continu :
- Le prix du sous-jacent suit un mouvement géométrique brownien avec une volatilité et une
dérive constante
- La vente à découvert est autorisée sans contraintes
- Le taux sans risque est constant et connu d’avance
16
-
Il n’y a pas de coûts de transactions
Les mouvements du sous-jacent suivent une loi normale (ie. son cours suit une loi log-normale)
Lorsque le sous-jacent est une action, elle ne doit pas payer de dividende avant que l’option
n’arrive à maturité
Prenons les notations suivantes :
-
S, valeur actuelle du sous-jacent
T-t, le temps qui reste à l'option avant son échéance (exprimé en années)
K, le prix d'exercice de l'option
r, le taux d'intérêt sans risque,
, la volatilité du prix du sous-jacent
Les calculs intermédiaires sont les suivants :
-
La valeur des options d’achat et de vente du sous-jacent à maturité sont les suivantes :
-
Option d’achat :
-
Option de vente :
o
o
o
o
o
N(.) étant la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
T-t étant le temps qui nous sépare de l’échéance de l’option
S étant le prix du sous-jacent à t=0
K étant le prix d’exercice de l’option
r étant le taux sans risque annualisé
Remarquons au passage que N(d2) peut s’interpréter comme la probabilité que le sous-jacent soit dans
la monnaie à maturité. Autrement dit, N(d2) est la probabilité que l’option soit exercée. Ce chiffre (ou
plus précisément 1-N(d2)) aura une utilité lorsque nous appliquerons Black & Scholes à des Options
Réelles (voir paragraphe IV-c-iii, sur le risque de défaut).
17
Sensibilité du prix du call au temps qui passe
35
30
25
27/10/2012
20
15/11/2012
15
30/11/2012
10
13/12/2012
5
0
80
90
100
110
120
130
Le graphe ci-dessus donne une idée du rôle du temps dans la formule de Black & Scholes. En effet ;
chacune des courbe donne une idée du prix du call en fonction de sa maturité, tous les autres
paramètres restant constants.
Prise en compte d’un dividende discret
Il est possible de prendre en compte un dividende discret dans la formule de Black & Scholes :
Soit D le dividende estimé à
-
. Il nous faut suivre les étapes suivantes
Actualiser le dividende à t=0 :
Retrancher D’ de la valeur S du sous-jacent :
Il suffit ensuite de calculer Black & Scholes avec F pour prix du sous-jacent.
iii.
Le modèle de Merton : introduction d’un taux de
dividende au modèle de Black & Scholes
La formule de Merton inclut quant-à-elle un taux de dividende (en pourcentage de la valeur de l’actif
sous-jacent). Soit q ce taux de dividende :
-
De la même manière que pour le calcul d’un dividende discret, S se trouve ainsi modifié :
-
Les valeurs de d1 et d2 se trouvent ainsi modifiées dans la formule de Black & Scholes :
18
o
o
-
Une fois ces calculs intermédiaires terminés, les valeurs des options d’achat et de vente
associées sont les suivants :
o
Option d’achat :
o
Option de vente :
iv.
La méthode de Monte-Carlo et la méthode historique
Pour les options comportant plusieurs sources d’incertitudes ou pour les options complexes (par
exemple les options asiatiques) l’application de la méthode binomiale en « arbre » présente des
difficultés et n’est pas optimale. Dans ces cas-là il vaut mieux utiliser la Méthode de Monte-Carlo.
Cette méthode consiste à isoler un certain nombre de variables-clés et à leur affecter une distribution de
probabilités (ex : loi Normale, loi de Poisson pour introduire des processus de saut…). Pour chacun de ces
facteurs, un grand nombre de tirages aléatoires est effectué dans les distributions de probabilité
déterminées précédemment, afin de trouver la probabilité d'occurrence de chacun des résultats.
La méthode historique
Un cas particulier de la méthode de Monte-Carlo est la méthode historique. Sa singularité vient du fait
que les N processus générés sont les même que ceux des N dernières périodes observées. Elle part donc
de l’hypothèse que la meilleure manière de prévoir le futur est de s’inspirer des mouvements passés.
La méthode historique prend l’hypothèse que l’on peut approximer le mouvement du sous-jacent par un
mouvement géométrique brownien et que les variations de cours sont normales (ce qui se rapproche de
l’hypothèse de normalité de Black & Scholes) :
Or le prix actuel du call sur ce sous-jacent peut être écrit comme:
Soit, en remplaçant
par son expression ci-dessus :
19
Ainsi, la valorisation d’une option financière par la méthode de Monte Carlo se fait de la façon suivante:
- Simulation d’un grand nombre de lois normales centrées réduites pour générer des 
- Calcul des correspondants, puis déduction du payoff actualisé du call :
o
o
-
, dans un environnement risqué-neutre
Le payoff actualisé du call vaut donc:
Calcul de la moyenne de l’ensemble des résultats trouvés pour les valeurs du call :
Application numérique :
Nous avons réalisé des simulations de Monte-Carlo sur un échantillon de quinze sociétés du CAC 40.
Nous avons calculé la volatilité historique entre le 01/01/2009 et le 31/12/2012. Et pris un échantillon
de 500 simulations pour chaque société (basées sur les 500 dernières variations des cours ajustés des
dividendes).
Dans l’hypothèse d’une absence de payement de dividendes par ces sociétés avant maturité des options
d’achat, nous avons calculé la valeur de ces options par la méthode de Black & Scholes ainsi que par les
simulations de Monte-Carlo.
Tableau comparatif des méthodes de B&S et de Monte Carlo :
Valeur de l'option (€)
Société
Air Liquide
Carrefour
Danone
EADS
GDF Suez
L'Oréal
LVMH
Pernod Ricard
Publicis
Renault
Safran
Saint Gobain
Total
Unibail Rodamco
Vinci
Moyenne
Médiane
Volatilité
24%
28%
42%
41%
94%
67%
55%
30%
34%
41%
101%
54%
47%
43%
41%
B&S
10,7
3,3
8,7
5,9
4,8
26,6
27,9
12,1
7,1
7,3
11,7
6,2
6,9
29,9
6,0
Monte-Carlo
11,6
3,4
9,7
5,4
4,9
27,8
32,5
13,1
7,6
6,9
10,6
6,7
7,1
31,5
5,5
Différence
8%
3%
12%
-8%
1%
5%
16%
8%
7%
-6%
-9%
8%
2%
5%
-7%
3%
5%
20
Dans notre étude, la méthode de Monte-Carlo donne une valeur d’option en moyenne 3% supérieure à
la valeur obtenue par Black & Scholes. En théorie, le résultat doit tendre vers zéro (par la loi des Grande
Nombres) car la volatilité utilisée est la même dans les deux cas, la rapidité de la limite dépendant bien
entendu du nombre de simulations et de sociétés dans l’échantillon. Ici, le résultat est non nul mais très
faible, et seules deux simulations sur quinze donnent des résultats différant de plus de 10% en valeur
absolue.
B. Application aux Options Réelles : Etat de la recherche académique
Dans cette partie, nous avons tenté de résumer les principaux avancements de la recherche académique
sur la théorie des Options Réelles depuis les années 1970, en nous inspirant du cours d’Olivier Levyne.
i.
Merton : calcul du spread de crédit (1973)
Merton considère les capitaux propres comme une option d’achat sur les actifs d’une entreprise, avec
pour prix d’exercice la valeur nominale de ses dettes. Il décrit l’évolution de la valeur d’entreprise (ie. de
ses actifs) selon l’équation différentielle suivante :
dV  (V  C ).dt  V .dz
-
 étant le rendement espéré généré par l’entreprise
-
C représentant l’ensemble des payements aux actionnaires et créanciers (si positif) ou des nouvelles
lignes de financement (si négatif)
-
² représentant la variance des revenus de l’entreprise
-
dz étant un processus standard de Wiener
Notons F la valeur économique de la dette et D son nominal. Si l’entreprise fait faillite, l’ensemble de la
valeur d’entreprise revient aux créanciers. Supposons que le payement de la dette se fait entièrement à
maturité. Ainsi :
1 2 2 2F
F
F
 V
 r.V .
 r.F 
0
2
2
V
t
V
F(V,) représentant la valeur économique de la dette t années avant sa maturité, nous avons :


F(V,0) = min(V,D)
F(V,)= V.(d1) – De-rt.(d2)
Comme F = V – f, nous avons également :
21
F = V – [V.(d1) – De-rt.(d2)] = V. [1 - (d1)] + De-rt.(d2) = V. (-d1) + De-rt.(d2).
V


F  D.e r d 2  
. d1  .
 r
D.e


Soit d 
1
V
1


D.e  r
ou
 . Alors: F  D.e r d 2   . d1 
 r
d
d
V
D.e


Cette formule nous permet d’exprimer le spread de crédit de la dette de l’entreprise.
Notons R son rendement à maturité :
F  D.e  R ou
F
1
F
 e  R et R   . ln
D

D
En conclusion :
1 
1


R   ln .e r d 2   . d1  
 
d


1
1 
1

R   ln e r  ln d 2   . d1 .

 
d

1 
1

R  r  ln d 2   . d1 .
 
d

Donc: R – r = spread = 
1


ln d 2   . d1 .
 
d

1
Cette formule de Merton nous permet donc d’exprimer le spread de la dette d’une entreprise en
fonction de son nominal et de sa maturité moyenne, ainsi que de la valeur et de la volatilité des actifs de
l’entreprise, et du taux sans risque au moment de la valorisation.
ii.
Geske : payement de la dette par coupons (1977)
Un avantage de la théorie des Options Réelles par rapport au DCF est que le payement de la dette n’est
pas supposé avoir lieu au moment de la valorisation, mais à un moment T fixé dans le futur, que l’on doit
déterminer au mieux.
22
Toutefois, aucune entreprise ne se finance avec une unique ligne de crédits, qui plus est sans payement
de coupons intermédiaires. C’est pourquoi en pratique, les praticiens choisissent la maturité moyenne
de la dette de l’entreprise comme maturité de l’option, afin de se rapprocher au mieux de la réalité
économique de l’entreprise.
En 1977, Geske a cependant développé un modèle permettant de se rapprocher encore plus de la
réalité : cette fois-ci, le payement de la dette n’est pas supposé survenir entièrement à sa date de
maturité moyenne, mais se décompose en n-1 payements de coupons intermédiaires, puis du payement
du nominal de la dette.
La valeur des capitaux propres est alors considérée comme une option composée. Supposons, en effet
que, au lieu d'être un zéro coupon, le service de la dette comporte 2 paiements. L'un au bout de 7 ans,
l'autre au bout de 8 ans (comme les tranches A et B de la dette senior dans un LBO). Au bout de 7 ans :
-
Si la VE est inférieure au montant dû, les actionnaires abandonnent la société à ses créanciers qui se
chargent alors de sa liquidation
Si la VE est supérieur au montant dû, la société paie le montant dû. Elle exerce alors, au bout de 7
ans, l'option de poursuivre son activité qui lui permet, 1 an plus tard de disposer de l'option de
poursuivre son activité au delà de 8 ans si la dernière échéance est honorée. En d'autres termes, les
actionnaires disposent, aujourd'hui, d'une option sur l'option de réaliser le dernier paiement.
Or la valeur économique des capitaux propres correspond à la prime de l'option d’achat des actifs ou de
remboursement de la dernière échéance de la dette. Donc la valeur économique des capitaux propres
correspond à la prime d'une option composée.
La notion d'option composée est assez naturelle si l'on considère le cas de base d'un call sur action. En
effet, la valeur des actions est celle d'un call sur les actifs de l'entreprise. Donc la prime du call sur les
actions est celle de la prime du call sur le call sur les actifs. En d'autres termes :
Option d’achat = e-r.max(0;S-E) = e-r.max[0;e(-r').max(0;EV-D)]
A noter que t est différent de t' car la date d'échéance du call sur action est différente de la date
d'échéance de la dette.
Geske a donc obtenu une formulation de la prime du call sur call (ou de l'option composée) dont la
formule de Black and Scholes est un cas particulier.
2
1
S

V
D
t
t*
T
23
Concrètement, à t=t*, l’actionnaire exercera son option si et seulement si l’option est dans la monnaie
(ie. St*>K). Comme la valeur des capitaux propres (S) dépend de la valeur d’entreprise (V), une telle
situation n’arrive que si V est supérieur à une valeur V* correspondant à la valeur d’entreprise telle que
S  K  0 .
Autrement dit, les actionnaires payent K à t=t* si, à cette date, V>V* pour garder la possibilité de payer
M à t=T. Dans ce cas :
C  V .N (a1 , b1 ,  )  D.e r 2 .N (a2 , b2 ,  )  K .e r1 .(a2 )
ln(
où a1 
b1 
ln(
2
V
)  (r  V ). 1

V*
2
, a2  a1   V .  1 ,   1
2
V . 1
V
2
)  (r  V ). 2
D
2
et b2  b1   V .  2
V .  2
N(.) et  étant respectivement les fonctions de répartition des Lois Normales bivariée et monovariée
(simple).
.
iii.
Brennan et Schwartz : prise en compte du coût de faillite (1978)
Brennan et Schwartz ont apporté une amélioration à la Théorie de la structure capitalistique de
Modigliani et Miller (1963), en introduisant un coût de faillite.
Supposons que la valeur d’entreprise de la société désendettée (U) suive un mouvement géométrique
brownien :
, dz étant un processus de Wiener.
La valeur d’entreprise de la société endettée (V) est une fonction de U et de la maturité (T) de sa
dette :
.
Nous en déduisons donc l’équation aux dérivées partielles suivantes:
A la maturité T de la dette :

, si
24

, si
où C(U) correspond au coût de faillite si l’entreprise fait
défaut
Notons
et
actionnaires :
les instants précédant et suivant le payement d’un montant d de dividendes aux
Considérons maintenant le payement d’un coupon iD et un taux d’imposition de 
, où
correspond à l’augmentation de
capital nécessaire pour restaurer la valeur d’entreprise de la société endettée après le payement du
coupon.
Le développement de cette formule et la simplification par iD aboutit à la formule suivante :
Si le dividende et le coupon de la dette sont payés le même jour :
Finalement, en prenant en compte le coût de faillite C(U) :
si
si
Ces deux formules correspondent aux contraintes à prendre en compte pour résoudre l’équation aux
dérivées partielles précédente. Il n’existe pas de solution directe à l’équation, à moins de prendre une
hypothèse supplémentaire (cf. paragraphe suivant). C’est pourquoi Brennan & Schwartz préconisent
l’usage d’une résolution numérique de proche en proche, pour déterminer le levier optimal d’une
entreprise.
iv.
Leland : hypothèse du renouvellement de la dette (1994)
Leland a résolu l’équation aux dérivées partielles de Brennan et Schwartz sous l’hypothèse que la dette
renouvelle sa dette à perpétuité, c'est-à-dire que sa structure capitalistique est viable à long terme, et
qu’elle la maintiendra.
Cela revient à supposer nul le risque de défaut et à supprimer la valeur temps des capitaux propres (en
tant qu’option d’achat sur la valeur d’entreprise).
Soit V la valeur d’entreprise et C le coupon payé :
25
1 2 2 2F
F
V
 V
 r.V .
 r.F 
C  0
2
2
V
t
V
Cette équation se simplifie légèrement si nous tenons compte de l’absence de valeur temps de la valeur
d’entreprise.
1 2 2 2F
F
 V
 r.V .
 r.F  C  0
2
2
V
V
Ou plus simplement, dans la mesure où toutes les dérivées se font par rapport à V:
1 2 2
 V F ' ' (V )  r.V .F ' (V )  r.F (V )  C  0
2
La résolution d’une telle équation requiert dans un premier temps de résoudre l’équation homogène
associée :
1 2 2
 V F ' ' (V )  r.V .F ' (V )  r.F (V )  0
2
Dans ce cas, les solutions de l’équation caractéristique sont les suivantes :

1 
1
1 
4


  r   2   (r  . 2 ) 2  2.r. 2
  r   2   r 2  r 2 
 2.r. 2
2
2 
4
1 =  2 
= 
2
2


1 2
2
1 2
2 2



r



r

  r     (r 
)


2 
2
2 
2


=
1
1 =
2
2



2 =
1 
1
1
4

  r   2   (r  . 2 ) 2  2.r. 2   r   2   r 2  r 2 
 2.r. 2
2 
2
2 
4
2 = 
= 
2
2


 2r
2
La solution de l’équation homogène est donc :
F(V) = A1.V 1  A2 .V  X où X 
 2r
2
.
En prenant en compte le coupon (C), la solution générale de l’équation est :
26
F(V) = A0  A1 .V 1  A2 .V  X
Les constants (A0, A1 et A2) étant déterminées par les contraintes.
Notons  la fraction de la valeur d’entreprise perdue en cas de faillite. Dans ce cas, il reste ).VB aux
créanciers et 0 aux actionnaires, VB étant la valeur d’entreprise si la faillite est déclarée.
La valeur de la dette D(V) est donc égale à :
(i)
(1-).VB si V= VB
(ii)
C/r lorsque V tend vers l’infini.
Ce sont les deux conditions nécessaires pour résoudre l’équation. De plus, si V tend vers l’infini,
V  X =0 donc (ii) implique A1  0 .
En revenant à la condition (i)
Ainsi,
A2 
(1   ).VB 
VB X
C
r
C
 A2 .VB X  (1   ).VB
r
C 
C  V 
et D(V) =
 (1   ).VB  . 
r 
r  V B 
X
Concernant les coûts de faillite (BC):
(i)
(ii)
si V=VB
si V tend vers l’infini
X
Or, lorsque V tend vers l’infini, V-x=0, donc A0=0 et A1=0. De plus, d’après (1), A2 .VB   .VB .
V
Donc A2 .   . BX
VB
V
et BC (V )   .VB .
 VB



X
Concernant les économies d’impôt (TB):
(i)
si V=VB
(ii)
si V tend vers l’infini
Comme lorsque V tend vers l’infini, V  X =0 donc la condition (ii) impose A0 
De plus, d’après (i,)
 .C
r
 .C
r
et A1  0 .
 A2 .VB X  0 .
27
 .C
Ainsi, A2   r X
VB
 .C  V 
et TB(V ) 

. 
r
 r  V B 
 .C
X
Finalement, la valeur d’entreprise (EV) vaut, en prenant en compte les coûts de faillite et les
économies d’impôts :
 .C   V 
1   
EV = V + TB(V) - BC(V) = V +
r   VB 

X

V
 -  .VB .

 VB



X
Et la valeur des capitaux propres, E(V) = EV – D(V)
 .C   V 
1   
Donc E(V) = V +
r   VB 

X

V
 -  .VB .

 VB
C 
C
 V 
E(V) = V - (1   ).  (1   ).  VB . 
r 
r
 V B 



X
C 
C  V 
-  (1   ).VB  . 
r 
r  V B 
X
X
De plus, l’expression de la valeur d’entreprise met en évidence que la valeur des actifs est maximisée en
minimisant VB, en supposant que ce n’est pas imposé par un covenant. La valeur de VB permettant de
maximiser la valeur des capitaux propres est telle que
dE (V )
C

 V 
= 1  X .(1   ).  VB . 
r
dV

 VB 
Pour V= VB: 1 
1
 X 1
.
dE (V )
=0 pour V= VB.
dV
1
=0
VB
2r 
C
 1
. (1   ).  VB .
0
2 
r
 
 VB
2r 
C

C
2
2r 
C
 1
.
(
1


).

V
.

0
(
1


).

1



.(1   ).
 1  1
B
r
r.VB
2.r
r.VB
 2 
2 
 VB

Et
Ainsi, VB est indépendant de V et . De plus, si r,  ou  augmentent, VB diminue; si C diminue, VB
diminue également.
28
v.
Dixit et Pindyck : option à maturité infinie (1994)
Dixit et Pindyck ont propose une méthode de valorisation de l’option d’investir dans un délai
indéterminé (ie. pour une maturité t = +∞). Le moment d’investir jugé opportun est atteint lorsque la
somme des cash flows (ie. la valeur d’entreprise V) atteignent une valeur critique, que nous allons
déterminer.
Supposons que V décrive un mouvement géométrique brownien :
dV =  .V.dt +  .V.dz
 étant le taux de croissance espéré de V et  sa volatilité
A ce niveau, le montant I de l’investissement est supposé fixe. Notons V* la valeur critique de V.
Soit  le rendement de l’action si elle ne payait aucun dividende et ce taux : 
Cette option est une option d’achat américaine sur les actifs V avec pour prix d’exercice I. Si l’option est
exercée, l’entreprise – qui possède l’option- paye I et reçoit V (ie. NPV = V – I).
Notons F le premium de l’option infinie. Par définition, F ≥ V-I soit F + I ≥ V, autrement dit le call n’est
exercé que si le coût du projet (investissement + premium de l’option infinie) est supérieur à la valeur
des cash-flows actualisés.
Le call est exercé lorsque F(V) = V-I pour V=V*. Graphiquement, cela arrive quand la courbe de F (en
bleu) touche la courbe non continue (en noir) qui représente le NPV.
F
F(V)
V-I
V*-I
I
V*
V
La lecture graphique nous aide à intuiter les trois conditions à remplir :
(i)
F(V*) = V* - I
29
(ii)
(iii)
F’(V*) = 1, car la droite de NPV (de pente 1) est tangente à la courbe de F
F(0) = 0, car si V = 0, le projet doit être abandonné immédiatement et le premium de l’option
est nul
L’équation aux dérivées partielles de l’option (F) avec pour sous-jacent V est la suivante :
(r   ).V .
F 1 2 2  2 F
 . V . 2 = rF
V 2
V
1 2 2
. V .F " (V )  (r   ).V .F ' (V ) - r.F(V) = 0
2
Si l’équation a une solution du type V, l’équation caractéristique est la suivante :
1 2 2
. V . .(   1).V  2  (r   ).V . .V  1 - r. V  = 0.
2
Soit, en divisant par V
1 2
.  .(   1)  (r   ). - r = 0.
2
1 2 2
1
.   (r    . 2 ). - r = 0
2
2
1
2
Le discriminant vaut :  = (r    . 2 ) 2  2.r. 2
1 

 r    2   
2 
1 = 
2

1 

 r    2   
2 
2 = 
2

Le produit des racines d’une équation de la forme ax2 + bx + c = 0 valant
1 .  2 =
c
:
a
r
< 0 donc  1 > 0 et  2 < 0 (car  1 >  2 )
1 2
.
2
Supposons pour simplifier que  1 > 1 (ce qui peut être prouvé)
30
La courbe représentative de fonction f(  ) =
1 2 2
1
.   (r    . 2 ). - r est une parabole telle
2
2
que :
f(0) = - r et f(1) = -  < 0,  étant positif
f(  )
2
-

1
1
-r
Selon ce graphe, f(1) est négatif si  1 > 1.
La forme générale du résultat de l’équation aux dérivées partielles est la suivante :
F = A. V 1 + B. V  2
Comme F(0) = 0,  1 > 0 et  2 < 0. Il est donc nécessaire que B = 0
Ainsi : F = A. V 1
De plus, comme F(V*) = V* - I et F’(V*) = 1 :


V*
1
A. V *1 = V* - I
A.  1 . V *1 1 = 1
= V* - I soit V*(
1
1
 1)  - I ie. V*(
1  1
) I
1
En conclusion:


(valeur critique)
(facteur multiplicatif dans la formule de la prime)
31
vi.
Bellalah : prise en compte des coûts d’accès à l’information (2001)
Comme noté par Merton en 1987, le taux d’actualisation des cash-flows futurs doit être cohérent avec
son modèle de marché à l’équilibre dans un monde où l’information est incomplète. Bellalah a donc
cherché à transposer ce modèle pour valoriser des Options Réelles.
Le modèle de Merton du marché à l’équilibre (CAPMI, ou CAPM étendu) :
La formule complète développée par Merton pour tenir compte du coût d’accès à l’information est la
suivante :
Où les notations sont les suivantes :
-
: rendement espéré de l’actif S
-
: rendement espéré du marché
-
: beta de S par rapport au marché sur la période d’étude
-
: coût d’accès à l’information de l’actif S
-
: coût d’accès à l’information moyen des actifs du marché
Si nous simplifions la formule sous l’hypothèse que
standard développé par Sharpe en 1964.
, nous retombons sur le CAPM
Impact sur les Options Réelles
Supposons comme précédemment que l’actif sous-jacent suit un mouvement brownien :
D’après le Lemme d’Ito :
Le changement de valeur du portefeuille (W) est donc le suivant :
32
Le portefeuille devant rapporter le taux sans risque majoré du coût de l’information :
Nous en déduisons donc :
Bellalah a donc développé l’équation suivante pour valoriser certaines Options Réelles :
b représentant le coût de portage de l’actif sur une unité de temps.
La valeur d’une option d’achat européenne sur cet actif est alors la suivante :
Avec
et
Avec N(.) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
Lorsque
et
, cette formule est égale à Black & Scholes.
Bellalah a donc développé une extension de la formule de Black & Scholes prenant en compte la
difficulté d’accès aux informations sur une entreprise. Les paramètres supplémentaires restent toutefois
très complexes à estimer, c’est pourquoi cette formule reste rarement employée en pratique.
vii.
Analyses complémentaires
Pour qu’une option ait une valeur économique significative, il est nécessaire que le marché dans lequel
opère l’entreprise soit imparfait. En effet, dans un marché à concurrence pure et parfaite, nulle
opportunité ne permet de générer de la valeur. Cette situation est bien sûr théorique, mais il est utile de
la rappeler dans la mesure où plus une entreprise aura la capacité à avoir l’exclusivité sur un produit/un
marché, plus ses options – et donc cette entreprise- auront de la valeur.
33
Par exemple, un marché à fortes barrières à l’entrée et où les produits de substitution sont difficiles à
développer sera plus susceptible de valoriser fortement des options réelles. Prenons trois exemples pour
illustrer notre propos :
La valorisation d’un brevet sur un médicament dépendra notamment de :
-
La capacité du laboratoire à revendiquer l’exclusivité sur le produit
La capacité des concurrents à des médicaments différents traitant la même maladie
La valorisation d’une mine ou d’un puits de pétrole dépendra notamment de :
-
La rareté des ressources extraites
Le coût et le temps de développement de nouvelles réserves
La valorisation d’une capacité d’expansion sur de nouveaux marchés ou du lancement de nouveaux
produits dépendra notamment des barrières à l’entrée sur ces nouveaux segments (un exemple de forte
barrière à l’entrée serait le secteur des opérateurs télécom, où le gouvernement garantit l’exclusivité des
droits).
Valorisation des capitaux propres
En ce qui concerne la valorisation des capitaux propres, les graphes ci-dessous illustrent la différence
entre les méthodes par DCF et par Options Réelles : alors que la méthode traditionnelle du DCF exclue
toute variation possible de la valeur d’entreprise avant maturité de la dette, la méthode optionnelle
cherche à introduire cette éventualité dans le modèle.
140
120
120
100
100
80
80
60
60
40
40
20
20
0
0
EV
Dette Nette + CP
EV
T = duration de
la Dette Nette
EV future
Dette
Nette + CP
Quelques mises en garde concernant l’utilisation des valorisations optionnelles
Comme l’a fait remarquer Damodaran, il existe plusieurs écueils à l’utilisation des Options Réelles. Nous
avons tenté de recenser les principaux :
34
-
-
Le sous-jacent n’est pas toujours côté, ce qui rend complexe l’estimation des paramètres
Lorsqu’il est coté, le sous-jacent n’est pas nécessairement liquide et a fortiori ne suit pas une
cotation en temps continu. Dans ce cas, le modèle risque de sous-estimer la valeur d’options
fortement hors de la monnaie (S<<K). Il existe deux solutions pour tenter d’y remédier :
 Surestimer la volatilité pour des options fortement hors de la monnaie, et sous-estimer
la volatilité pour les options fortement dans la monnaie
 Employer des simulations de Monte-Carlo autorisant des sauts (via des lois de Poisson
par exemple)
La variance est supposée connue et constante durant toute la durée de vie de l’option, ce qui
est peu vraisemblable lorsqu’on valorise des projets de long-terme
L’exercice de l’option est instantané : dans le cadre de la modélisation d’une concession
pétrolière par Options Réelles par exemple (voir paragraphe IV-a-iii), l’arrêt de l’exploitation ne
peut pas être instantané, et répond bien souvent à une logique plus complexe que celle
modélisée par un modèle de Black & Scholes.
Prise de recul par rapport à la loi normale
Les Options Réelles reposent sur l’hypothèse forte que la valeur d’entreprise suit un mouvement
géométrique brownien. Comme expliqué par le mathématicien Benoît Mandelbrot ou plus tard par
Nassim Nicholas Taleb dans la Théorie du cygne noir (2007), la validité de la formule de Black & Scholes
peut être remise en cause. L'une des critiques est que la distribution normale sous-estime les
événements "improbables" comme les crises ou les krachs alors qu'ils sont finalement beaucoup moins
rares que cette loi ne le prévoit. Même s’il est en théorie possible de corriger ce problème par la prise en
compte de la convexité de la volatilité, l’usage de la formule de Black & Scholes apparaît plus pratique et
réaliste en pratique, notamment pour valoriser des Options Réelles, pour lesquelles nous disposons de
peu d’informations. Ainsi, l’hypothèse d’un mouvement géométrique brownien nous paraît malgré tout
être l’approximation la plus réaliste du mouvement de la plupart des sous-jacents réels.
IV.
Des cadres d’utilisation multiples
L’utilisation des techniques de valorisation optionnelles peut être élargie à une palette d’investissements
bien différente des simples options financières sur actions.
Pour cela, la méthode la plus adaptée semble être la formule de Black & Scholes, que ce soit sous sa
forme simple, ou avec un taux de dividende (formule de Merton).
Tout d’abord, la plupart des décisions d’investissement peuvent être perçues comme optionnelles.
Prenons l’exemple d’une société subordonnant son entrée sur le marché Sud-Américain au succès de son
35
entrée sur le marché mexicain dans les trois prochaines années : son investissement ne sera effectif que
dans le cas où la valeur (estimée) des cash-flows générés par son entrée sur le marché Sud-Américain
sera supérieur à ses coûts, au moment de la décision (la maturité de l’option correspondant ici à trois
ans, et la volatilité du sous-jacent intégrant l’incertitude dans l’estimation des cash-flows à venir). Ce
type d’option s’applique également aux investissements pouvant être décalés dans le temps, accrus ou
diminués en fonction de facteurs externes, ou encore aux investissements dont seul le coût est bien
connu, mais dont les revenus futurs sont extrêmement difficiles à estimer avec précision (mine d’or,
puits de pétrole…). C’est pourquoi cette technique de valorisation est extrêmement utilisée dans les
industries minière et pétrolière.
Un autre domaine d’application des options réelles est la valorisation d’intangibles, et en particulier des
brevets. En effet, un brevet peut être vu comme l’option de produire et de vendre un produit avec une
exclusivité, pendant une période donnée. C’est ce qui explique que les grands laboratoires
pharmaceutiques utilisent également cette technique, pour valoriser leurs brevets, dont la valeur
représente souvent une part importante de leur valeur d’entreprise.
Le troisième domaine d’application majeur de la théorie des options réelles est la valorisation des
capitaux propres d’une entreprise. En effet, les capitaux propres peuvent être vus comme une option
sur la valeur d’entreprise avec pour prix d’exercice le nominal de la dette. Cela vient du fait que les
actionnaires sont payés après les créanciers de toutes sortes, et donc que leurs revenus sont soit nuls (si
la valeur d’entreprise ne suffit pas à payer les créanciers) soit égale à EV-D (si l’entreprise génère
suffisamment de cash-flows). Cela correspond bien au payoff d’une option d’achat à maturité. La
valorisation optionnelle diffèrera de la valorisation par DCF dans la mesure où elle prendra en compte la
valeur temps de l’option, c'est-à-dire le fait que la maturité de la dette est non nulle. C’est pourquoi les
sociétés fortement endettes, en difficulté ou aux revenus fortement volatiles sont parfois valorisés de
cette manière par les professionnels.
Ce sont ces trois types de cas que nous allons développer successivement dans les paragraphes suivants.
A. Valorisation d’investissements
i.
Valorisation de l’option de croître
L’approche optionnelle d’un investissement permet de refléter plus finement les possibilités
ouvertes :
36
Option d’accroître
0,5
0,5
500
- 600
0,5
0,5
0,8
600
0,2
100
500
- 600
STOP
Option d’arrêter
Investissement dans un pays A
Investissement dans un pays A puis dans un pays B
Considérons une société qui peut choisir d’investir dans un pays A (schéma 1) avec un NPV de -50 M€
(<0). Si cet investissement est un échec, l’entreprise se retire de la zone. Si l’investissement est au
contraire un succès, il investira davantage dans le pays, et génèrera un NPV de 500 M€.
Cette approche donne donc une valorisation de l’investissement égale à 200 M€ (>0) :
Grâce à cette approche plus fine, l’investissement sera réalisé. Bien entendu, cet exemple est
simplificateur, mais il a pour but de montrer l’intérêt qu’une telle approche peut avoir pour une direction
financière dans un choix d’investissement. L’option d’accroître cumulée à une option de stopper
l’investissement est donc valorisée à 150 M€.
ii.
Valorisation d’une mine d’or par une option d’achat
La valorisation d’un investissement par le calcul de sa VAN (Valeur Actuelle Nette) -ou de son TRI (Taux
de rendement interne)- permet de savoir si un projet donné est rentable ou non à t=0. La méthode des
options réelles permet d’aller plus loin et de déterminer s’il vaut mieux investir maintenant ou plus tard
dans un projet.
Les cash-flows futurs de l’investissement peuvent donc être modélisés par la fonction
, ce
qui correspond au payoff d’une option d’achat européenne sur l’actif sous-jacent, avec les
paramètres suivants dans la formule de Merton :
-
S : valeur actualisée des revenus futurs du projet
E : coût de l’investissement
: volatilité des revenus futurs
 : durée de l’investissement
r : taux sans risque
37
-
 : taux de dividende du projet (dont nous préciserons le calcul ci-après)
Tentons de valoriser une mine d’or ayant les caractéristiques suivantes :
-
La capacité d’extraction annuelle est de 50.000 onces/an
La durée d’exclusivité des droits d’exploitation est de 10 ans
Le prix actuel de vente d’une once d’or est de 1690€
Le coût du capital de l’exploitation minière est de 9,0% (moyenne sectorielle)
Le chiffre d’affaires est donc estimé à 845 M€.
Etude des coûts :
- Coût fixe d’ouverture de la mine 200 M€
- Coût variable de production : 700€/once d’or
Le total des coûts est donc de 550 M€ sur les 10 années d’exploitation.
Il est également nécessaire d’introduire un taux de dividendes (formule de Merton) afin de tenir compte
de la perte d’opportunité si jamais l’exploitation n’est pas exploitée. Cette perte est de 10% car chaque
année, un-dixième de l’opportunité d’exploitation est perdue (ie.
Cours de l’once d’or de 1968 à 2013 (en €)
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
38
Moyenne lissée de la volatilité de l’or sur une période croissante, de 1 an à 40 ans
24%
22%
Volatilité
20%
1 an
3 ans
5 ans
10 ans
25 ans
40 ans
18%
16%
14%
12%
10%
14,2%
16,7%
22,3%
19,8%
15,7%
20,5%
Grâce à l’étude historique présentée ci-dessus, nous avons choisi d’estimer la volatilité moyenne
annualisée des revenus de l’exploitation à 19%, pour les dix prochaines années (maturité de l’option).
Valorisation d'une mine d'or
Hypothèses
S
K
T
r discret
r continu

Dividende
845
550
10
9,0%
8,6%
19%
10%
EURm
EURm
years
Date de valorisation :
Date d'expiration :
29/04/2013
29/04/2023
Calculs
F
311
d1
d2
0,79
0,20
Option d'achat
109
N(d1)
N(d2)
0,785
0,581
N(-d1)
N(-d2)
0,215
0,419
EURm
La valorisation de la mine d’or, selon la méthode des Options Réelles (par la formule de Merton) est donc
de 109 M€.
iii.
Valorisation d’un puits de pétrole par un portefeuille d’options
Considérons un puits de pétrole exploité par Total pendant les vingt prochaines années. Sa capacité
d’extraction est de 650 barils/jour, soit 530 M€ sur l’ensemble de la période, le cours du Brent au jour de
la valorisation étant de 112€.
Sa volatilité historique est estimée à 36% (voir graphe et tableau ci-dessous).
Enfin, l’ensemble des coûts d’exploitation devrait être de 55€ par baril soit 260 M€ au total.
39
Cours du Brent de 1987 à 2013 (en €)
160
140
120
100
80
60
40
20
0
1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011
Moyenne lissée de la volatilité du Brent sur une échelle de 5 à 25 ans
38%
37%
36%
35%
34%
33%
32%
Volatilité
1 an
3 ans
5 ans
10 ans
20 ans
22,3%
25,7%
36,8%
35,2%
35,7%
Choix du taux de dividende ou « convenience yield »
Le taux de dividende correspond au coût d’opportunité du Brent. Il correspond à la perte d’avantage
provenant du fait de posséder un baril demain plutôt qu’aujourd’hui.
Il est possible de l’estimer en ayant recours aux produits dérivés ayant le Brent pour sous-jacent. En effet
les Futures nous donnent une estimation du « convenience yield » d’une matière première : pour un
sous-jacent donné, la valeur d’un Future s’exprime selon une formule simple en fonction de la valeur
actuelle du sous-jacent (S), du taux sans risque (r), du « convenience yield » (y) et de la maturité du
produit :
Dans le cas présent, nous avons par simplification estimé le « convenience yield » à 1,0%.
40
Valorisation de la concession
Supposons dans un premier temps que Total prenne à t=0 la décision d’investir sur les dix prochaines
années, puis dans cinq ans la décision d’investir ou non sur les dix années suivantes.
Valoriser la concession revient donc à valoriser deux options d’achat, la première n’ayant pas de valeur
temps. Le coût actuel de production étant inférieur au coût de vente, la difficulté vient donc de la
valorisation de l’option avec une valeur temps.
Utilisons donc la formule de Merton pour connaître son prix.
Rang de l'option
1
Date de l'évaluation
Date d'échéance de l'option
Cours actuel du Brent (€)
Coût de revient unitaire (€)
Taux sans risque
Durée restant à échéance (an)
Volatilité du sous-jacent
Convenience yield
2
112
55
7,7%
112
55
7,7%
10
36%
1%
F
101
d1
d2
1,78
0,64
N(d1)
N(d2)
0,96
0,74
Valeur du Call
- par unité produite (EUR)
x Volume (m)
- pour la période (EURm)
TOTAL
01/01/2013
31/12/2022
57
2,4
135
78
2,4
186
321
La concession est donc ici valorisée à 321 M€.
Bien entendu, si la décision avait été prise à t=0 d’investir sur les vingt prochaines années, sans
possibilité de mettre fin à l’extraction au bout de dix ans, la concession aurait valu moins cher en raison
du risque supérieur.
Plus précisément, la concession aurait été valorisée :
La survaleur de 12 M€ correspond au prix de la flexibilité apporté par l’option de mettre en cause
l’investissement au bout de dix ans.
Dans le paragraphe suivant, nous allons donc analyser plus précisément le coût de flexibilité d’un
investissement.
41
iv.
Valorisation de la flexibilité d’un investissement
Supposons maintenant que Total peut décider à intervalles constants de stopper ou de reprendre
l’exploitation du puits en fonction de l’évolution des opportunités. Cela revient à valoriser le puits
comme un portefeuille d’options d’achats de maturités croissantes.
Nous avons pour cela réalisé 7 valorisations successives, respectivement à partir de 1, 2, 3, 4, 5, 10 et 20
options d’achat (de maturités décroissantes) en calculant à chaque fois la valeur de la concession.
Voici par exemple le calcul de la valeur de la concession à partir de quatre options d’achat :
Rang de l'option
1
2
3
4
01/01/2013
31/12/2017
01/01/2013
31/12/2022
01/01/2013
31/12/2027
112
55
7,7%
5
36%
1%
112
55
7,7%
10
36%
1%
112
55
7,7%
15
36%
1%
F
106
101
96
d1
d2
1,70
0,89
1,16
0,02
1,42
0,02
N(d1)
N(d2)
0,96
0,81
0,88
0,51
0,92
0,51
71
1,2
84
76
1,2
90
80
1,2
95
Date de l'évaluation
Date d'échéance de l'option
Cours actuel du Brent (€)
Coût de revient unitaire (€)
Taux sans risque
Durée restant à échéance (an)
Volatilité du sous-jacent
Convenience yield
112
55
7,7%
Valeur du Call
- par unité produite (EUR)
x Volume (m)
- pour la période (EURm)
57
1,2
67
TOTAL
336
Le résultat est extrêmement intéressant, en témoigne le tableau ci-dessous :
Nb. Options
1
2
3
4
5
10
20
Fréquence du choix (an)
20
10
7
5
4
2
1
Coût du projet (EURm)
309
321
332
336
338
340
339
Coût de flexibilité (EURm)
12
23
27
29
31
31
% projet
4%
7%
8%
9%
9%
9%
La valeur de la concession croît avec le nombre d’options. Autrement dit, la flexibilité de la prise de
décision est valorisable par les Options Réelles, et cette flexibilité peut représenter une part significative
de l’investissement (jusqu’à 9% dans le cas présent). Ce constat peut donc avoir une utilité réelle dans la
prise de décision d’une direction financière, lorsqu’elle doit décider du lancement d’un investissement
éventuel.
42
v.
Valorisation de l’option de sortie d’une joint-venture
L’ensemble des exemples de valorisation étudiés jusqu’à maintenant tournent autour de la valorisation
d’une option d’achat. Certaines Options Réelles peuvent toutefois être considérées comme des options
de vente.
Prenons l’exemple de Nestlé qui souhaite ouvrir le capital d’une filiale brésilienne afin de conclure un
partenariat avec une entreprise locale pour 20 ans. Une valorisation par DCF de l’entreprise valoriserait
les capitaux propres à 850 M€ (soit 425 M€ pour 50%).
Nestlé souhaite toutefois donner la possibilité à l’entreprise local de lui revendre sa participation dans la
joint-venture si l’investissement ne lui parait plus rentable dans 3 ans, en l’échange de 380 M€. Ceci peut
être vu comme une option de vente de prix d’exercice 380 M€ avec pour valeur du sous-jacent 425 M€.
Supposons qu’en raison du risque fort, la volatilité des capitaux propres de l’entreprise sera en moyenne
de 30% dans les trois prochaines années.
Valorisation de l'option de sortie d'une Joint-Venture
Hypothèses
S
K
T
r discret
r continu

Dividende
425
380
3
2,0%
2,0%
30%
5%
EURm
EURm
years
Date de valorisation :
Date d'expiration :
04/05/2013
03/05/2016
(=1/20)
Calculs
F
366
d1
d2
0,30
-0,22
Option d'achat
Option de vente
78
70
N(d1)
N(d2)
EURm
EURm
0,618
0,413
N(-d1)
N(-d2)
0,382
0,587
(parité Put-Call)
L’option d’abandonner la joint-venture au bout de trois ans pour 380 M€ pourra donc être valorisée à
70 M€.
B. Valorisation d’intangibles : l’exemple des licences
Les cash-flows futurs du brevet peuvent donc être modélisés par la fonction
, ce qui
correspond au payoff d’une option d’achat européenne sur l’actif sous-jacent du brevet, avec les
paramètres suivants dans la formule de Merton :
43
-
S : valeur actualisée des revenus futurs
E : coût de développement du brevet
: volatilité des revenus futurs
 : durée de vie du brevet
r : taux sans risque
-
 : taux de dividendes = , dans la mesure où chaque année attendue représente une année de
revenus en moins
Etudions cette théorie sur un exemple concret :
Une entreprise pharmaceutique envisage d’acquérir un brevet l’autorisant à produire et à vendre un
nouveau médicament pendant vingt ans. Si le médicament est produit tout de suite, on estime le coût de
production à 2,5 Md€ et les futurs revenus (actualisés) à 2,3 Md€.
Le taux sans risque du pays considéré est de 3,0% et la forte volatilité des revenus dans ce secteur se
matérialise par un écart-type des revenus de l’ordre de 40%.
Si on valorise le brevet par la VAN, sa valeur est de -200 M€ : on ne lance donc pas le projet.
Regardons ce qu’il en est avec la méthode des options réelles :
Valorisation d'un brevet
Hypothèses
S
K
T
r discret
r continu

Dividende
2 200
2 500
20
3,0%
3,0%
40%
5%
EURm
EURm
years
Date de valorisation :
Date d'expiration :
29/04/2013
29/04/2033
Calculs
F
d1
d2
Option d'achat
809
0,59
-1,19
425
N(d1)
N(d2)
0,724
0,116
N(-d1)
N(-d2)
0,276
0,884
EURm
Le projet est ici valorisé à 425 M€. La conclusion est donc que ce projet vaut la peine d’être lancé, en
raison de la forte volatilité des cash-flows futurs (40%), et de l’horizon lointain de l’échéance du brevet
(20 ans).
Réalisons maintenant des tables de sensibilité afin d’étudier les variations de résultats en fonction des
facteurs principaux : l’espérance des cash-flows futurs ainsi que leur volatilité.
44
S

425
36%
38%
40%
42%
44%
2000
325,6
349,4
372,4
394,7
416,2
2100
350,1
374,7
398,6
421,6
443,8
425
36%
38%
40%
42%
44%
2000
-23%
-18%
-12%
-7%
-2%
2100
-18%
-12%
-6%
-1%
4%
2200
375,0
400,4
425,0
448,8
471,7
2300
400,2
426,5
451,8
476,3
499,8
2400
425,8
452,8
478,9
504,0
528,2
2200
-12%
-6%
0%
6%
11%
2300
-6%
0%
6%
12%
18%
2400
0%
7%
13%
19%
24%
S

Comme nous pouvions nous y attendre, ces deux facteurs, pourtant très difficiles à estimer, peuvent
avoir un impact majeur sur la valorisation d’un brevet.
C. Valorisation de capitaux propres
Les capitaux propres d’une entreprise pouvant être considérés comme une option sur la valeur
d’entreprise avec pour prix d’exercice le nominal de la dette et pour maturité la maturité moyenne de la
dette, nous pouvons employer la méthode des Options Réelles dans un tel contexte de valorisation.
Etudions brièvement l’exemple d’Eurotunnel afin de nous sensibiliser à l’impact que peut avoir une telle
approche.
L’exemple d’Eurotunnel
En 1997, les résultats d’Eurotunnel étaient négatifs dès le résultat opérationnel :
-
EBIT de -56 millions de livres
Résultat Net de -685 millions de livres
La valeur bilancielle des capitaux propres était négative, à -117 millions de livres, suite à des années de
résultats dans le rouge.
La structure de la dette étant la suivante:
Nature
< 10 ans
10 ans
20 ans
> 20 ans
Total
Valeur nominale
935
2 435
3 555
1 940
8 865
Duration
0,5
6,7
12,6
18,2
10,9
45
Contrairement à une valorisation par DCF, une valorisation par méthode optionnelle tiendrait compte de
la forte duration de la Dette et d’Eurotunnel, c'est-à-dire de la probabilité non-nulle qu’avait la société
de générer des cash-flows suffisants dans 11 ans pour rembourser sa dette. L’approche optionnelle
prend également en considération l’option d’accroitre la maturité de la dette avant exercice de l’option
si l’ensemble des parties prenantes ont intérêt à ne pas mettre la société en faillite. C’est effectivement
ce qui a eu lieu avec Eurotunnel.
C’est ce qui explique sa capitalisation boursière positive à la fin des années 1990, malgré une valorisation
négative par une approche DCF avec des hypothèses crédibles.
i.
Calcul de la volatilité des actifs :
La valeur d’entreprise n’étant pas cotée, contrairement à celle des capitaux propres ou d’une dette
cotée, nous devons la recalculer. Il existe pour cela deux méthodes que nous détaillons ci-après.
Méthode de Damodaran
Avec les notations suivantes :
-
représente la proportion d’equity dans la structure financière
représente la proportion de dette dans la structure financière
représente la volatilité (écart-type) de l’equity
représente la volatilité (écart-type) de la dette
est le coefficient de corrélation de la dette et de l’equity
Remarquons au passage que nous partons de l’hypothèse que les capitaux investis se répartissent sans
difficultés entre ces deux catégories equity et dette. Si nous utilisions d’autres catégories de capitaux
(dette convertible, actions subordonnées…), la formule s’en trouverait rallongée comme suit :
Méthode alternative
Il existe une façon d’élaborer un système de deux équations à deux inconnues, permettant d’obtenir la
valeur d’entreprise et sa volatilité à partir de la valeur des capitaux propres et de leur volatilité, de la
valeur nominale de la dette et de sa maturité moyenne ainsi que du taux sans risque.
46
Revenons à l’expression du mouvement d’une action comme un mouvement géométrique brownien :
Le Lemme d’Ito nous permet quant à lui d’obtenir l’expression suivante :
Les deux expressions de
et
devant être égales :
soit
Les capitaux propres étant un call sur la valeur d’entreprise,
n’est autre que N(d1), dont l’expression
détaillée est la suivante :
Dans la mesure où il existe une circularité entre
et EV, il est impossible de résoudre cette équation
simplement.
Toutefois, nous pouvons retrouver la valeur de EV en résolvant le système suivant, de deux équations à
deux inconnues (EV et EV), l’autre équation n’étant autre que Black & Scholes :
ii.
Cash, minoritaires, et associés
Afin d’utiliser les méthodes de valorisation optionnelles pour des sociétés en bonne santé financière, il
convient de retenir la dette financière brute de l’entreprise comme prix d’exercice de l’option. Dans ce
cas, l'actif comporte, en plus des immobilisations et du BFR, la trésorerie d'actif (VMP et Cash &
Equivalents). Une façon de voir les choses est d’étudier l’entreprise dans une optique liquidative : en
effet, si les actionnaires paient aux créanciers la dette brute qui figure au passif, ils peuvent ensuite
récupérer tous les actifs, y compris le cash. Cela signifie que la valeur d'entreprise obtenue par DCF doit
47
être augmentée de la trésorerie d'actif. C'est donc la valeur (VE+trésorerie d'actif) qui correspond au
cours du sous-jacent de la formule de Black & Scholes.
De même, une autre approximation avait été faite concernant les capitaux investis en dehors de la dette
financière. Il s’agit non seulement des capitaux propres part du groupe à proprement parler, mais
également des minoritaires retraités des associés.
En tenant compte des deux remarques précédentes, la simplification utilisée précédemment
devient maintenant :
La valeur d’une option d’achat sur la valeur d’entreprise relevée de la valeur de la trésorerie d’actif avec
pour prix d’exercice le nominal de la dette donnera donc une estimation de l’agrégat suivant :
iii.
Valeur économique de la dette et risque de défaut
La valeur d’entreprise étant égale à la somme de ses dettes et de ses capitaux propres, notons ED la
valeur économique de la dette :
En remplaçant Capitaux propres par sa valeur trouvée précédemment :
Il existe donc une formule directe pour calculer la valeur économique de la dette en fonction de la valeur
d’entreprise, de la valeur nominale de la dette, du paramètre temps de l’option et de la volatilité du
sous-jacent.
Nous pouvons également écrire cette expression d’une autre manière, plus facile à interpréter :
48
Cette nouvelle formulation de la valeur économique de la dette exprime cette dernière en fonction de la
valeur nominale actualisée de la dette (ie. comme si elle ne comportait aucun risque) et du risque estimé
de perte sur le nominal avant maturité.
En effet :
-
est la valeur actualisée de la dette de l’entreprise
-
est la probabilité de défaut de l’entreprise avant maturité de sa dette
-
est la perte estimée en cas de défaut, connu sous le nom de Loss
Given Default (LGD) dans la littérature anglosaxonne


étant le taux de recouvrement en cas de défaut de la dette
étant donc la part d’EV à disposition des créanciers en cas de défaut
Remarque : Les modèles de valorisation traditionnels de la dette actualisent le nominal au taux de
rendement à maturité, qui prend également en compte le risque de défaut associé. Toutefois, l’approche
optionnelle exige l’utilisation d’un taux sans risque. C’est ce qui nous mène au raisonnement ci-dessus.
iv.
Application au risque de crédit
Revenons maintenant à la formule de Black & Scholes :
Comme noté précédemment, N(d2) représente la probabilité que l’option soit dans la monnaie à
maturité.
Dans un approche appliquée à la finance d’entreprise, N(d2) représente la probabilité que les
actionnaires soient payés, autrement dit que l’entreprise génère assez de cash-flows pour rembourser
entièrement les créanciers de tous types (seniors, juniors, mezzanine…) et crée de la valeur pour ses
actionnaires.
49
Ainsi, N(-d2), ou encore 1-N(d2) représente donc la probabilité de défaut d’une entreprise, à savoir son
incapacité à honorer totalement ses dettes en temps voulu. Cette démarche est pratiquée par les
grandes agences de notation, notamment Moody’s, pour évaluer les risques de défaut des entreprises. Il
semblerait également intéressant de l’employer pour pricer correctement des CDS, dans la mesure où il
s’agit de polices d’assurances contre le défaut d’entreprises, les deux principales composantes de son
prix étant le risque de défaut et le taux de recouvrement estimés.
v.
Application au risque de crédit
Les agences de notation, et en particulier Moody’s, emploient cette méthode pour évaluer le risque de
défaut de la dette des entreprises qu’elles notent.
Moody’s introduit la notion de ‘Distance to default’ (en rouge sur le schéma suivant), que l’agence définit
de la manière suivante :
80
70
Valeur d'entreprise (EV)
60
50
40
30
Nominal de la dette
20
Probabilité de défaut
10
0
21/02/2011
21/06/2011
21/10/2011
21/02/2012
21/06/2012
21/10/2012
50
Prise en compte de la probabilité de défaut :
Afin de mieux comprendre le rôle de la maturité de la dette dans la valeur de la dette et donc des
capitaux propres, nous avons réalisé une série de simulations en faisant varier la duration de la dette
pour une société donnée de valeur 8 Md€ ayant une dette de 10 Md€ et ne possédant pas de cash.
Pour une duration nulle, les capitaux propres sont nuls car la valeur d’entreprise est inférieure à la valeur
nominale de la dette. Plus la duration augmente (jusqu’à 27 ans dans notre exemple), plus la valeur des
capitaux propres augmente, représentant une part croissante de la valeur d’entreprise, comme le
confirme le schéma ci-dessous.
100%
80%
60%
Economic value of debt
40%
Equity value
20%
0%
0
3
6
9 12 15 18 21 24 27
Etudions maintenant l’évolution de la probabilité de défaut d’une entreprise en fonction de deux
paramètres (la valeur de la dette restant fixée à 10 Md€) :
-
La duration de sa dette
Sa valeur d’entreprise
51
100%
90%
80%
70%
100
60%
300
50%
800
40%
30%
20%
10%
0%
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
La légende située à droite représente la valeur d’entreprise de la société, tandis-que l’abscisse
représente la duration de sa dette.
Un phénomène inattendu est alors observable : toutes les courbes n’ont pas la même forme. Autrement
dit, le risque de faillite n’évolue pas toujours de la même manière avec la duration, en fonction de la
valeur d’entreprise actuelle de la société. L’explication est la suivante :
Si la VE est de 1200, le risque de faillite est quasi nul. En revanche, si la VE est inférieure à 1000 (y
compris de 800), la probabilité de faillite est voisine de 100%. Si la VE est de 1000, la société a une
chance sur deux d’être en faillite
Normalement, plus la maturité est longue plus les variations – à la hausse comme à la baisse – de
la valeur d’entreprise sont nombreuses ce qui augmente le risque de ramener la VE au dessous de la
dette de 1000. En d’autres termes, la probabilité de faillite augmente avec la maturité de la dette
Toutefois, si l’option est hors de la monnaie (VE < dette à rembourser), donc si l’entreprise très
proche de la faillite, les premières années sont cruciales. Aussi, si l’entreprise arrive à passer le cap de la
première année, la probabilité de faillite ne peut que baisser. L’allongement de la maturité donne alors à
l’entreprise un ballon d’oxygène et éloigne le risque de faillite. Cette baisse du risque de faillite avec
l’accroissement de la maturité se constate jusqu’à ce que ce risque atteigne un plancher au-delà duquel
la variabilité (à la baisse) des cash flows prévisionnels rapproche à nouveau l’entreprise de la faillite.
52
vi. Exemple de PSA Peugeot Citroën au 31/12/12
Evolution du cours de l’action entre le 01/01/2009 et le 31/12/2012
35
30
25
20
15
10
5
0
01/01/2009
01/01/2010
01/01/2011
01/01/2012
Calcul de la Valeur d’Entreprise
Le nombre d’actions en circulation, augmenté des options dilutives, est égal à 321.185.403, et la valeur
d’une action, pondérée par les volumes échangés, est de 5,30€ au mois de décembre 2012.
La capitalisation boursière est donc de 1,70Md€. Les minoritaires étant estimés à 0,66Md€, la dette
financière brute à 4,23Md€, et le cash à 2,88Md€, la Valeur d’Entreprise de PSA est donc estimée à
3,71Md€ au 31/12/2012.
Etude de la dette de PSA
La valeur nominale de la dette est de 4,23Md€, et sa maturité moyenne est de 2,8 ans.
Conclusion : calcul de la volatilité de la Valeur d’entreprise
Pour calculer la volatilité de la valeur d’entreprise, nous avons résolu le système non linéaire décrit au
paragraphe (IV-c-i) avec pour données :
-
Moyenne pondérée du cours de bourse en décembre 2012 : 1,70Md€
Volatilité du cours de bourse entre le 01/01/09 et 31/12/12 : 49%
Valeur d’entreprise : 3,71Md€
Nominal de la dette : 4,23Md€
Maturité moyenne de la dette : 2,8 ans
Taux sans risque : 2,2%
La volatilité de la Valeur d’Entreprise est donc estimée à 44,8% (ce qui est assez élevé).
53
V.
Etude empirique sur l’ensemble du CAC 40
A. Méthodologie de l’analyse de l’échantillon
Nous avons choisi de tester l’utilisation de la valorisation des capitaux propres et de la dette avec le CAC
40 pour échantillon. Pour cela, nous avons récupéré sur Factset les données suivantes pour les quarante
sociétés:
-
Consensus des brokers sur la Valeur d’Entreprise
Capitalisation boursière au 31/03/2013
Volatilité des actions calculée sur une base quotidienne, pendant un an
Nous avons ensuite retiré de l’échantillon les sociétés suivantes :
-
Banques/assurance : AXA, BNP Paribas, Crédit Agricole, Société Générale
Sociétés « Net cash » : Capgemini, EADS, Gemalto, L’Oréal, STMicroelectronics, Renault
L’échantillon restant est donc constitué de 30 sociétés. Après avoir récupéré l’ensemble des données
nécessaires sur leur endettement au dernier exercice (dette brute, cash & équivalents, maturité de la
dette), nous avons utilisé le solveur d’Excel pour retrouver la volatilité de la valeur d’entreprise (voir
méthode au paragraphe IV-c-i).
Une application directe des techniques de valorisation décrites précédemment permet de calculer pour
chacune des sociétés :
-
La volatilité de la valeur d’entreprise
La probabilité de défaut de la société: N(-d2)
La valeur économique de sa dette
La valeur des capitaux propres induite (EV – valeur économique de la dette) et sa différence par
rapport au consensus et à la capitalisation boursière
La valeur d’entreprise sous l’hypothèse d’un renouvellement perpétuel de la dette (formule de
Leland, voir paragraphe V-c-iv) et sa différence par rapport au consensus
B. Présentation des résultats
i.
Analyse de l’endettement, de la volatilité et du risque de défaut
Une première lecture des résultats nous amène à remarquer que les sociétés du CAC 40 sont
relativement peu endettées.
54
En effet, le ratio
est en moyenne de 25%, avec seulement 3 sociétés dont le ratio
dépasse 50% : France Télécom, GDF Suez et Veolia Environnement.
La maturité moyenne de la dette est de 4,5 années avec seulement 6 sociétés dont la maturité dépasse
6 ans : ArcelorMittal, EDF, France Télécom, GDF Suez, Veolia Environnement et Vinci.
La liste des sociétés ayant la plus longue maturité correspond assez bien à celle des sociétés les plus
endettées. Ces sociétés ont en effet la particularité d’avoir une forte intensité capitalistique et des
contrats de long terme, ce qui les amène à s’endetter plus, et à plus long terme.
EURm (31/12/12)
Accor S.A.
Air Liquide S.A.
Alstom S.A.
ArcelorMittal SA
Bouygues S.A.
Carrefour S.A.
Saint-Gobain S.A.
Danone S.A.
Electricite de France S.A.
Essilor International S.A.
France Telecom
GDF Suez S.A.
Lafarge S.A.
LeGrand S.A.
LVMH
Michelin
Pernod Ricard S.A.
PPR S.A.
Publicis Groupe S.A.
Safran S.A.
Sanofi S.A.
Schneider Electric S.A.
Solvay S.A.
Technip S.A.
Total S.A.
Unibail-Rodamco SE
Vallourec S.A.
Veolia Environnement S.A.
Vinci S.A.
Vivendi
Moyenne
Médiane
Dette brute
2 381
7 274
5 022
19 897
6 807
11 179
13 567
9 522
59 932
904
39 828
57 209
16 557
1 766
6 812
627
13 659
4 584
2 284
3 175
14 090
9 186
3 652
2 393
31 664
11 034
2 095
16 155
20 194
17 313
Maturité
2,6
5,1
3,4
6,1
5,0
3,6
2,9
3,6
9,2
2,9
9,0
9,8
2,5
4,9
2,0
1,7
4,6
2,6
2,5
3,5
3,0
3,7
2,8
5,9
3,2
4,9
3,4
9,7
6,1
4,4
4,5
3,6
Cash & Eq.
1 960
1 154
2 091
3 432
3 453
4 760
2 949
3 230
33 127
667
8 321
9 149
5 081
488
2 196
145
787
2 092
2 174
2 193
6 379
3 864
2 527
287
20 828
65
605
5 548
6 337
3 894
Capitalisation
EV
boursière
(consensus)
6 272
7 074
30 192
34 666
9 732
12 777
16 016
33 957
6 953
11 137
15 649
20 306
16 359
29 926
34 947
39 300
28 510
67 684
19 115
16 356
21 236
51 448
37 459
79 613
15 041
24 324
9 169
10 157
65 985
72 797
12 102
13 998
25 868
33 425
22 121
22 942
11 156
10 372
15 167
15 092
107 434
103 138
32 353
35 684
9 029
12 156
9 270
8 551
90 378
108 524
17 755
28 789
4 703
6 653
5 197
17 728
20 634
33 963
21 594
34 146
check
5%
-5%
1%
4%
7%
-9%
10%
-5%
18%
-18%
-3%
-7%
-9%
-3%
3%
10%
-16%
-7%
-9%
-7%
-12%
-6%
16%
-33%
7%
0%
7%
11%
-2%
-3%
-2%
-3%
Notons que nous avons également ajouté une colonne de vérifications (colonne ‘check’) pour vérifier
que la valeur des capitaux propres induite par le consensus de l’EV (auquel on a retiré la dette nette) est
proche de la capitalisation boursière au 31/12/2012. C’est effectivement le cas à 2% près ce qui nous
conforte dans nos calculs (le consensus étant en général peu éloigné des valeurs reflétées par les
55
marchés, et inversement). Seules un-sixième des sociétés ont des résultats qui diffèrent de plus de 15%
en valeur absolue, témoignant d’un écart important de la capitalisation et du consensus fin 2012.
EURm (31/12/12)
Accor S.A.
Air Liquide S.A.
Alstom S.A.
ArcelorMittal SA
Bouygues S.A.
Carrefour S.A.
Saint-Gobain S.A.
Danone S.A.
Electricite de France S.A.
Essilor International S.A.
France Telecom
GDF Suez S.A.
Lafarge S.A.
LeGrand S.A.
LVMH
Michelin
Pernod Ricard S.A.
PPR S.A.
Publicis Groupe S.A.
Safran S.A.
Sanofi S.A.
Schneider Electric S.A.
Solvay S.A.
Technip S.A.
Total S.A.
Unibail-Rodamco SE
Vallourec S.A.
Veolia Environnement S.A.
Vinci S.A.
Vivendi
Moyenne
Médiane
Dette nette/
EV
6%
18%
23%
48%
30%
32%
35%
16%
40%
1%
61%
60%
47%
13%
6%
3%
39%
11%
1%
7%
7%
15%
9%
25%
10%
38%
22%
60%
41%
39%
25%
23%
Volatilité de
l'equity
32%
23%
39%
43%
39%
37%
36%
24%
31%
24%
33%
29%
36%
25%
27%
35%
21%
28%
21%
26%
25%
37%
36%
33%
23%
22%
45%
41%
32%
32%
31%
32%
Volatilité EV
25%
20%
29%
27%
26%
26%
25%
20%
17%
23%
19%
18%
23%
22%
24%
33%
25%
24%
18%
23%
23%
30%
29%
28%
19%
17%
35%
20%
21%
23%
24%
23%
Volatilité de la valeur d’entreprise
Grâce à l’usage du solveur d’Excel et des colonnes précédentes, nous avons résolu 30 systèmes de deux
équations à deux inconnues (EV et EV) afin de déterminer la volatilité des valeurs d’entreprises des
sociétés de l’échantillon.
L’entreprise moyenne de l’échantillon étudié a ainsi une volatilité de 24%, contre 31% pour ses capitaux
propres.
56
ii.
Etude du risque de défaut et du taux de recouvrement
Valeur éco de la
dette
Accor S.A.
2 247
Air Liquide S.A.
6 502
Alstom S.A.
4 617
ArcelorMittal SA
16 063
Bouygues S.A.
5 771
Carrefour S.A.
10 132
Saint-Gobain S.A.
12 660
Danone S.A.
8 790
Electricite de France S.A.
44 402
Essilor International S.A.
849
France Telecom
29 911
GDF Suez S.A.
43 341
Lafarge S.A.
15 430
LeGrand S.A.
1 584
LVMH
6 521
Michelin
604
Pernod Ricard S.A.
12 233
PPR S.A.
4 330
Publicis Groupe S.A.
2 161
Safran S.A.
2 939
Sanofi S.A.
13 195
Schneider Electric S.A.
8 456
Solvay S.A.
3 431
Technip S.A.
2 086
Total S.A.
29 494
Unibail-Rodamco SE
9 904
Vallourec S.A.
1 921
Veolia Environnement S.A.
11 211
Vinci S.A.
17 074
Vivendi
15 503
Moyenne
Médiane
EURm (31/12/12)
% différence
consensus
-6%
-11%
-8%
-19%
-15%
-9%
-7%
-8%
-26%
-6%
-25%
-24%
-7%
-10%
-4%
-4%
-10%
-6%
-5%
-7%
-6%
-8%
-6%
-13%
-7%
-10%
-8%
-31%
-15%
-10%
-11%
-8%
Probabilité de
défaut
0%
0%
3%
29%
16%
6%
4%
0%
29%
0%
31%
23%
5%
0%
0%
0%
3%
0%
0%
0%
0%
1%
1%
2%
0%
0%
6%
50%
11%
6%
8%
1%
Taux de
recouvrement
24%
16%
27%
38%
36%
33%
37%
19%
49%
0%
46%
43%
44%
13%
9%
4%
27%
15%
16%
15%
10%
17%
24%
15%
23%
32%
23%
53%
37%
35%
26%
24%
A l’aide des données précédemment calculées, nous avons élaboré un modèle de Black & Scholes pour
calculer la valeur économique de la dette et les éléments associés (probabilité de défaut, taux de
recouvrement). Le tableau présentant les étapes intermédiaires se trouve en annexes.
Valeur économique de la dette
Le calcul de la valeur économique de la dette des trente entreprises donne des résultats assez parlants :
celle-ci est en moyenne 11% plus faible que la valeur nominale actualisée, prenant ainsi en compte son
risque de défaut.
Risque de défaut
L’analyse du risque de défaut des sociétés du CAC 40 est lui aussi extrêmement intéressante : avec un
résultat moyen de 8%, et une médiane à seulement 1%, le risque de faillite apparaît très faible.
57
Seules 6 sociétés possèdent un risque supérieur à 12%, Veolia Environnement étant loin en tête avec une
probabilité de 50%, sans doute surévaluée par ce modèle par rapport à la réalité, ce qui explique l’écart
entre moyenne et médiane.
Au contraire, 15 des sociétés -soit la moitié de l’échantillon- possèdent un risque de défaut évalué à
moins de 1,5%.
Taux de recouvrement
L’analyse du taux de recouvrement donne des résultats assez faibles, avec un taux moyen de 26%.
Le produit du taux et de la probabilité de défaut, qui représente la perte estimée des créanciers, qu’il y
ait ou non une faillite, est alors de 3%.
Ce chiffre, extrêmement faible, laisse penser que les différentes approches de valorisation optionnelles
donneront des résultats proches de la méthode du DCF, qui postule que ce chiffre vaut 0%.
iii.
Valorisation optionnelle ‘classique’
Ce paragraphe a pour but d’étudier les différences entre l’approche par DCF et l’approche optionnelle
‘classique’ (ie. par Black & Scholes) dans la valorisation des sociétés de l’échantillon.
Le paragraphe suivant comparera l’approche DCF et l’approche optionnelle de Leland (voir paragraphe
V-c-iv), sous l’hypothèse d’un renouvellement perpétuel de la dette.
58
EURm (31/12/12)
Accor S.A.
Air Liquide S.A.
Alstom S.A.
ArcelorMittal SA
Bouygues S.A.
Carrefour S.A.
Saint-Gobain S.A.
Danone S.A.
Electricite de France S.A.
Essilor International S.A.
France Telecom
GDF Suez S.A.
Lafarge S.A.
LeGrand S.A.
LVMH
Michelin
Pernod Ricard S.A.
PPR S.A.
Publicis Groupe S.A.
Safran S.A.
Sanofi S.A.
Schneider Electric S.A.
Solvay S.A.
Technip S.A.
Total S.A.
Unibail-Rodamco SE
Vallourec S.A.
Veolia Environnement S.A.
Vinci S.A.
Vivendi
Moyenne
Médiane
Equity - Real
Options
6 787
29 319
10 251
21 326
8 819
14 934
20 214
33 740
56 409
16 174
29 858
45 421
13 976
9 061
68 472
13 540
21 979
20 704
10 384
14 346
96 323
31 093
11 252
6 752
99 858
18 951
5 337
12 065
23 226
22 538
% différence
consensus
2%
3%
4%
22%
13%
8%
5%
2%
38%
0%
50%
44%
9%
2%
0%
0%
7%
1%
1%
2%
1%
2%
2%
5%
2%
6%
3%
69%
16%
9%
11%
4%
% différence
capitalisation
8%
-3%
5%
33%
27%
-5%
24%
-3%
98%
-15%
41%
21%
-7%
-1%
4%
12%
-15%
-6%
-7%
-5%
-10%
-4%
25%
-27%
10%
7%
13%
132%
13%
4%
12%
5%
EV - Dette
infinie
10 980
22 720
15 015
35 923
16 155
36 240
57 506
41 258
117 455
4 252
72 450
102 001
89 256
5 083
43 591
3 140
36 573
22 669
15 308
12 389
64 229
24 018
13 726
4 325
164 460
41 406
4 891
25 734
49 057
54 390
% différence
consensus
55%
-34%
18%
6%
45%
78%
92%
5%
74%
-74%
41%
28%
267%
-50%
-40%
-78%
9%
-1%
48%
-18%
-38%
-33%
13%
-49%
52%
44%
-26%
45%
44%
59%
19%
15%
En moyenne, la valorisation optionnelle ‘classique’ des capitaux propres donne une valeur 11%
supérieure au consensus (4% pour la médiane).
De plus, les chiffres sont sensiblement égaux –bien que plus dispersés- si l’on compare nos calculs de
capitaux propres à la capitalisation boursière des sociétés au 31/12/2012, avec une valorisation
moyenne 12% supérieure (5% pour la médiane).
Autrement dit, le fait de prendre en compte la maturité de la dette des sociétés du CAC 40 a un impact
non nul, bien que relativement faible, sur leur valorisation. Seules les sociétés les plus endettées de
l’échantillon, qui ont par ailleurs une duration élevée, laissent apparaître un différentiel très significatif :
ArcelorMittal, EDF, France Telecom ou Veolia Environnement donnant les résultats les plus extrêmes.
59
iv.
Valorisation par la méthode de Leland
La valorisation optionnelle des entreprises sous l’hypothèse d’un renouvellement de la dette à
perpétuité donne une valeur médiane 15% supérieure au consensus.
Afin d’aboutir à ce résultat, nous avons utilisé la formule de Leland :
Le coupon C étant égal à la dette brute divisée par sa maturité moyenne, et le taux d’imposition étant
considéré égal à 34,4% pour la France.
Au vu du tableau ci-dessus, la valeur d’entreprise recalculée par la méthode de Leland est en moyenne
19% supérieure à la valeur du consensus (15% pour la médiane), avec une assez forte dispersion autour
de la moyenne.
Ces résultats semblent étayer l’idée selon laquelle la structure capitalistique de la plupart des sociétés du
CAC 40 est viable à terme, mais que certaines d’entre elles ont a priori un endettement plus élevé
qu’elles ne devraient avoir en théorie : c’est par exemple le cas de Lafarge ou Saint Gobain, dont les
résultats diffèrent fortement du consensus, ce qui veut dire que l’hypothèse de renouvellement de la
dette à l’identique à maturité est une hypothèse trop forte.
C. Comparaison DCF/Options Réelles : tests statistiques
Afin de tester statistiquement nos résultats, nous avons commencé par établir les quatre régressions
linéaires suivantes :
-
Consensus capitaux propres vs. Méthode optionnelle classique
Capitalisation boursière vs. Méthode optionnelle classique
Consensus valeur d’entreprise vs. Valeur d’entreprise recalculée par un système de deux
équations à deux inconnues
Consensus valeur d’entreprise vs. Valeur d’entreprise recalculée par la méthode de Leland
Afin d’approfondir nos analyses, nous avons également mis en place quatre tests statistiques de FisherSnedecor, qui ont pour but de vérifier si les variances de chaque paires d’échantillons sont
statistiquement assez proches.
60
i.
Consensus capitaux propres vs. Méthode optionnelle classique
120
100
R² = 0,9742
80
60
40
20
-
20
40
Moyenne
Variance
Observations
Degrés de liberté
F
P(F<=f) unilatéral
Valeur critique pour F (unilatéral)
60
80
100
120
Consensus Equity - Real Options
24190
26437
549325905
589235699
30
30
29
29
93%
43%
54%
Une étude statistique rapide de cette régression nous montre que la corrélation est très forte entre ces
deux méthodes, avec un R² supérieur à 97%.
De plus, le test de Fisher-Snedecor corrobore ce résultat, avec F = 93%. Ce chiffre très élevé signifie que
les variances des deux séries de données sont elles aussi extrêmement proches.
61
ii.
Capitalisation boursière vs. Méthode optionnelle classique
120
R² = 0,9312
100
80
60
40
20
-
20
40
Moyenne
Variance
Observations
Degrés de liberté
F
P(F<=f) unilatéral
Valeur critique pour F (unilatéral)
60
80
100
120
Capitalisation Equity - Real Options
24580
26437
568831842
589235699
30
30
29
29
97%
46%
54%
Une étude statistique rapide de cette régression nous montre que la corrélation est très forte entre ces
deux méthodes, avec un R² supérieur à 93%. De plus, le test de Fisher-Snedecor corrobore ce résultat,
avec F = 97%. Ce chiffre très élevé signifie que les variances des deux séries de données sont elles aussi
extrêmement proches.
Comme nous pouvions nous y attendre, les résultats des approches optionnelles classiques, comparées
au consensus ou bien aux capitalisations boursières, sont extrêmement corrélés, sur un échantillon tel
que le CAC 40, où le risque de défaut des sociétés reste globalement faible.
62
Consensus valeur d’entreprise vs. Méthode optionnelle classique
iii.
160
140
R² = 0,9659
120
100
80
60
40
20
-
20
40
Moyenne
Variance
Observations
Degrés de liberté
F
P(F<=f) unilatéral
Valeur critique pour F (unilatéral)
60
80
100
120
Consensus EV - Real Options
33223
36055
753473509
900524002
30
30
29
29
84%
32%
54%
Une étude de cette régression nous montre que la corrélation est élevée entre ces deux méthodes, avec
un R² supérieur à 84%. De plus, le test de Fisher-Snedecor corrobore ce résultat, avec F = 84%. Ce chiffre
élevé signifie que les variances des deux séries de données sont très proches.
Les résultats sont légèrement moins significatifs que lors du calcul des capitaux propres, mais restent
très probants malgré tout.
63
Consensus valeur d’entreprise vs. Méthode de Leland
iv.
180
160
140
R² = 0,666
120
100
80
60
40
20
-
20
40
60
Moyenne
Variance
Observations
Degrés de liberté
F
P(F<=f) unilatéral
Valeur critique pour F (unilatéral)
80
100
120
Consensus EV - Leland
33223
40207
753473509 1433434319
30
30
29
29
53%
4%
54%
Une étude de cette régression nous montre que la corrélation entre ces deux méthodes est
moyennement élevée, avec un R² de 67%. De plus, le test de Fisher-Snedecor donne des résultats
mitigés, avec F = 53%, ce qui n’est pas très élevé.
Les résultats sont donc moins significatifs que les trois précédents. Cela signifie que l’approche de Leland
est plus éloignée que l’approche optionnelle classique des résultats du consensus. Elle présente cela dit
l’avantage d’être facile d’utilisation. L’éloignement par rapport au consensus est probablement dû aux
hypothèses un peu fortes du modèle de Leland (voir paragraphe III-b-iv).
64
Conclusion
L’objectif de ce mémoire était double. Il s’agissait tout d’abord de mettre en lumière l’ensemble des
potentialités ouvertes par l’usage des méthodes optionnelles « de marché » à l’usage des praticiens de la
finance d’entreprise. Nous avons pour cela retracé l’évolution de la théorie des Options Réelles depuis
les années 1970, puis nous avons illustré nos propos au travers de nombreux exemples (investissements,
brevets, capitaux propres…). Le deuxième objectif du mémoire était d’établir une étude empirique
innovante sur le CAC 40, permettant d’une part de comparer les différentes approches de valorisation
optionnelles et la méthode consensuelle du DCF, et d’autre part d’obtenir des informations intéressantes
sur la structure de la dette, le risque de défaut ou encore le taux de recouvrement des grandes sociétés
françaises.
Les résultats de notre étude sont parlants en ce sens qu’ils font ressortir l’apport significatif que permet
la prise en compte de la maturité de la dette et de la volatilité de la valeur d’entreprise, en particulier
dans la valorisation de sociétés des secteurs à forte intensité capitalistique et/ou ayant une vision à long
terme sur revenus, car elles s’endettent le plus souvent fortement et à long terme.
Il résulte également que l’utilisation des méthodes optionnelles dans la valorisation des capitaux propres
est d’autant plus utile que la valeur d’entreprise de la société étudiée est proche de la valeur de sa dette
brute. En effet, la valeur temps des options est d’autant plus élevée que l’option est à la monnaie.
Concrètement, cela nous conforte dans l’idée que cette méthode est particulièrement utile dans le cadre
de valorisations de sociétés en difficulté ou ayant un fort recours au levier financier.
En ce qui concerne l’usage des Options Réelles dans la valorisation de brevets et d’investissements, nous
comprenons aisément pourquoi les deux industries où leur usage s’est démocratisé sont l’industrie
pharmaceutique –le très grand nombre de brevets permettant une estimation crédible de la volatilité
des revenus- et les matières premières –le sous-jacent étant généralement côté, il est alors aisé de
connaître les principaux paramètres du modèle-, comme le note Jean-Florent Rérolle, associé en charge
de la valorisation chez KPMG Corporate Finance à Paris.
Nous sommes toutefois convaincus que leur usage ira croissant, et s’étendra à d’autres industries dans
les années à venir.
65
Bibliographie
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Aswath Damodaran, Lecture at NYU University, 2002
(http://archive.nyu.edu/bitstream/2451/26802/3/S-DRP-05-02.pdf.txt)
Mondher Bellalah, Lecture at Paris Dauphine University, 2008
(http://www.cereg.dauphine.fr/cahiers_rech/cereg200008.pdf)
Olivier Levyne, Lecture at HEC Paris, 2013
Timothy Luehrman, Investment Opportunities as Real Options, Harvard Business Review, 1998
Crédit Suisse First Boston, Real Options
McKinsey, Valuation, 2010
Wikipedia, Monte-Carlo method, Black & Sholes formula
PwC Corporate Finance, Valuation & Economics study, 2011
Leland H. E., Corporate Debt Value, Bond Covenants and Optimal Capital Structure, Journal of Finance,
1994
Dixit A. et Pindyck R., Investment Under Uncertainty, Princeton University Press, 1994
A. Champavere, Y. Mokhtar, How did the Healthcare sector rob the Utilities? Exane BNP Paribas, 2013
66
Appendice
EURm (31/12/12)
d1
d2
N(d1)
N(d2)
N(-d1)
N(-d2)
Accor S.A.
Air Liquide S.A.
Alstom S.A.
ArcelorMittal SA
Bouygues S.A.
Carrefour S.A.
Saint-Gobain S.A.
Danone S.A.
Electricite de France S.A.
Essilor International S.A.
France Telecom
GDF Suez S.A.
Lafarge S.A.
LeGrand S.A.
LVMH
Michelin
Pernod Ricard S.A.
PPR S.A.
Publicis Groupe S.A.
Safran S.A.
Sanofi S.A.
Schneider Electric S.A.
Solvay S.A.
Technip S.A.
Total S.A.
Unibail-Rodamco SE
Vallourec S.A.
Veolia Environnement S.A.
Vinci S.A.
Vivendi
3,44
4,13
2,36
1,23
1,57
2,09
2,15
4,43
1,06
8,26
1,07
1,30
2,02
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