Construction des polygone reguliers

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CNS de constructibilité des polygônes réguliers.
Théorème 1. Le polygône régulier Pnest constructible à la règle et au compas si et seulement
si n= 2sp1. . . proù s∈Net les pisont des nombres premiers de Fermat deux à deux distincts.
Démonstration. Une condition nécessaire et suffisante pour que Pnsoit constructible à la règle
et au compas est que le point Md’affixe ei2π/n soit constructible. Notant, (−→ i , −→ j)les vecteurs de
base du repère orthonormé canonique (O, −→ i , −→ j)de R2identifié à C, il s’agit donc de construire
le point Mdu cercle unité tel que l’angle orienté (−→ i , −−→ OM)soit de mesure 2π
n[2π].
Lemme 1. Pour m∧n= 1,Pmn constructible si ⇐⇒ Pnet Pmconstructibles.
Démonstration. :
Etape 1 : Supposons Pmn constructible, i.e que le point Md’affixe ei2π/mn est constructible.
En reportant avec le compas, à partir du point A= (1,0) et dans le sens trigonométrique, mfois
la longeur du segment [AM ], on construit le point M0du cercle unité tel que (−→ i , −−−→ OM0)soit de
mesure m×2π
mn =2π n[2π]. On a donc construit M0d’affixe ei2π/n, ce qui suffit à construire Pn.
Par la même méthode, on construit Pm. D’où Pmn constructible =⇒ Pnet Pmconstructibles.
Etape 2 : Supposons Pnet Pmconstructibles. On sait donc construire les points Met M0
d’affixes ei2π/n et ei2π/m. Comme m∧n= 1, il existe (a, b)∈Ztels que
am +bn = 1 =⇒2π
mn =a2π n+b2π m.
Comme précédemment on construit en deux étapes le point du cercle unité M00 dont l’angle
orienté (−→ i , −−−→ OM00)a pour mesure 2π
mn =a2π n+b2π m[2π], en prêtant attention au fait que si a≤0
ou b≤0il faut cette fois-ci reporter les longueurs AM et AM0en parcourant le cercle unité dans
le sens inverse du sens trigonométrique. Alors, M00 étant constructible, Pmn l’est aussi.
Bilan 1 : si n=
k
Q
i=1
pαi
i, alors Pnest constructible si et seulement si Ppαi
il’est pour tout i∈[[1, k]].
Objectif : Réduire l’étude de la constructibilité de Pnà l’étude de la constructibilité de Ppα
pour ppremier impair.
Lemme 2. Soit α∈N∗,P2αest constructible.
Démonstration. On utilise ici la constructibilité de la bissectrice d’un angle. Si le point Md’affixe
zM=ei2π/n est constructible, le point Nd’affixe eiπ/n l’est également, comme point d’inter-
section du cercle unité et de la bissectrice de l’angle (−→ i , −−→ OM). La constructibilité du carré P4,
nous permet d’initialiser une récurrence et on en déduit ainsi que P2αest constructible pour tout
α∈N∗.
Bilan 2 : d’après les deux lemmes précédents, on s’est ramené à prouver que pour ppremier
impair, Ppαconstructible ⇐⇒ α= 1 et p= 1 + 22βpour β∈N∗.
Etape 1 : supposons Ppαconstructible et posons q=pα. Le point Md’affixe ω=ei2π/q est
donc constructible et d’après le théorème de Wantzel, il existe une suite d’extensions quadratiques
L0, L1, . . . , Lrtelles que Q=L0(L1(. . . (Lr−1(Lr=Q(ω). En particulier on en déduit
que [Q(ω) : Q] = ϕ(pα) = (p−1)pα−1est une puissance de 2. Ainsi, il existe d∈N∗tel que
(p−1)pα−1= 2det par unicité de l’écriture en facteur premier, comme pest impair, on a α= 1
et p= 1 + 2d. Il faut encore montrer que dest aussi une puissance de 2. Soit alors d=λ2βoù λ
est impair et β∈N. Puisque λest impair, on a 1 + X|1 + Xλet donc 1 + 22β|1 + (22β)λ=p,
absurde si λ6= 1, car pest premier. Finalement, si Ppαest constructible, alors α= 1 et p= 1+22β
est bien un nombre de Fermat.
Etape 2 : montrons que si p= 1 + 22β, alors Ppest constructible.
Méthode : On note n= 2βet prouvons qu’il existe une tour d’extensions quadratiques (Li)1≤i≤r
telle que pour ω=ei2π/p on ait Q=L0(L1(. . . (Lr−1(Lr=Q(ω). Pour construire ces

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extensions quadratiques deux à deux distinctes, intéressons nous aux Q-automorphismes de Q(ω)
i.e au groupe AutQ(Q(ω)).
Objectif : montrons que AutQ(Q(ω)) '(Z/pZ)∗. Soit φ∈AutQ(Q(ω)), par définition φest
entièrement détérminée par l’image de ωpuisque sa restricition à Qest exactement IdQ. Consi-
dérons Φp,Q, le p-ème polynôme cyclotomique, on a Φp,Q∈Z[X]⊂Q[X]et donc :
Φp,Q(φ(ω)) = φ(Φp,Q(ω)) = φ(0) = 0
On en déduit donc que φ(ω)est racine de Φp,Qi.e une racine primitive p-ème de l’unité et
φ(ω) = ωkpour un k∈[[1, p −1]]. Au final, card(AutQ(Q(ω)) = p−1et donc AutQ(Q(ω)) =
{φk:ω7−→ ωk|k∈[[1, p −1]]}et AutQ(Q(ω)) −→ (Z/pZ)∗
φk7−→ kest un isomorphisme de
groupes.
Définition de la tour d’extension. Par cyclicité de (Z/pZ)∗, il existe dans AutQ(Q(ω)) un
générateur φd’ordre p−1=2n= 22β. On définit alors pour i∈[[0, n]],Li=Ker(φ2i−Id). Notre
objectif est de montrer que les Lisont des sous-corps de Q(ω)et que :
L0=Q,Ln=Q(ω)et Li−1(Lipour i∈[[1, n]].
Comme noyau d’un morphisme de corps, Li=Ker(φ2i−Id)est un sous-corps de Q(ω). De plus, φ
est aussi un Q-isomorphisme du Q-espace vectoriel Q(ω)et envoie donc la base {1,ω,...,ωp−2}
de Q(ω)sur la base {1, φ(ω), . . . , φ(ω)p−2}de Q(ω). Pour z∈L0⊂Q(ω), on a donc l’existence
de p−1scalaires λ0, . . . , λp−2∈Qtels que :
z=λ0+λ1φ(ω) + . . . +λp−2φ(ω)p−2et φ(z) = z
Autrement dit z=
p−2
P
i=0
λiφ(ω)i=φ(z) =
p−2
P
i=0
λiφ(ω)i+1. Par unicité d’écriture dans une base, on
a donc λ0=λ1=. . . =λp−2et z=λ0φ(ω+. . . +ωp−2) = λ0φ(−1) = −λ0∈Qcar la somme
des racines des nracines n-ème de l’unité est nulle pour n≥2. Alors, L0⊂Qet comme Q⊂L0,
on a bien L0=Q. De plus, Ln=Q(ω)est évident car φest d’ordre p−1=2n.
Objectif : montrons que Li−1(Lipour i∈[[1, n]]. Si z∈Li−1on a φ2i(z) = φ2i−1◦φ2i−1(z) = z
et z∈Li, soit Li−1⊂Li. Montrons que l’inclusion est stricte. Considérons alors :
z=
2n−i−1−1
P
k=0
φ2i+1k(ω)
et montrons que z∈Li+1 mais z6∈ Li. On a en effet :
φ2i+1 (z) =
2n−i−1−1
P
k=0
φ2i+1 (φ2i+1k(ω)) =
2n−i−1−1
P
k=0
φ2i+1(k+1)(ω) =
2n−i−1
P
j=1
φ2i+1j(ω) = z
puisque pour j= 2n−i−1,φ2i+1j(ω) = φ2n(ω) = φp−1(ω) = ωcar φest d’ordre p−1=2n. Donc
z∈Li+1 et montrons que z6∈ Li. Si on avait z∈Li, on aurait l’égalité (∗∗):
ω+φ2i+1 (ω) + . . . +φ2n−2n−i−1(ω) = φ2i(ω) + φ2i+2i+1 (ω) + . . . +φ2i+2n−2n−i−1(ω)
Or, φengendrant AutQ(Q(ω)) = {φk|k∈[[1, p −1]]}, on a :
{φk(ω)|k∈[[1, p −1]]}={ωk|k∈[[1, p −1]]}=⇒ {φk(ω)|k∈[[1, p −1]]}est une base de Q(ω).
Par unicité de l’écriture d’un élément dans une base, (∗∗)est absurde.
Conclusion : on a l’existence d’une tour d’extension Q=L0(L1(. . . (Ln−1(Ln=Q(ω)
où 2n= [Q(ω) : Q] = [Ln:Ln−1]. . . [L1:L0]avec [Li:Li−1]>1pour tout i∈[[1, n]], ce
qui donne nécessairement [Li:Li−1] = 2 pour tout i∈[[1, n]] et donc le résultat souhaité, via
le théorème de Wantzel.
Rappel 1. On note Un={ei2kπ/n |k∈[[0, n −1]]}l’ensemble des nracines n-ème de l’unité.
Les points (Mk)0≤k≤n−1du plan complexe d’affixes zk=ei2kπ/n correspondent aux nsommets
d’un polygône régulier à ncôtés inscrits dans le cercle unité de C, que l’on note Pn.

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Rappel 2. Soit P0un ensemble de points du plan, en général P0={(0,0); (0,1)}. La construc-
tion d’un point Mdu plan affine R2à partir de P0résulte d’un nombre fini d’opération élémen-
taires du type 1ou 2suivant :
1. Tracer la droite passant par deux points de P0.
2. Tracer le cercle dont le centre est un point de P0et dont le rayon est égal à la distance de
deux points de P0.
Alors un point Mdu plan R2est dit constructible à partir de P0s’il existe une suite finie de
points M1, M2, . . . , Mn=Mtels que pour tout i∈[[1, n]],Miest construit en une étape à partir
de l’ensemble P0∪ {M1, . . . , Mi−1}.
Rappel 3. Théorème de Wantzel
Un point Mdu plan R2, d’affixe z∈Cest constructible à la règle et au compas à partir des
points d’affixes 0et 1si et seulement s’il existe une tour d’extension Q=L0(L1(. . . (
Lr−1(Lr=Q(z)telle que [Li:Li−1]=2pour tout i∈[[0, r]].
Rappel 4. z=a+ib est constructible si et seulement si aet bsont constructibles.
Rappel 5. Les polynômes cyclotomiques Φn,Q(X)∈Q[X]sont irreductibles et pour ωracine
n-ème primitive de l’unité, on a [Q(ω) : Q] = deg(Φn(X)) = ϕ(n).
Rappel 6. Si an+ 1 est premier avec a≥2et n∈Nalors a∈2Net n= 2rpour r∈N.
Rappel 7. Pour n∈N,Fn= 22n+ 1 est par définition le n-ème nombre de Fermat.
Rappel 8.
•Les Fnpour n≥4sont premiers.
•Les Fnne sont pas tous premiers : F5est divisible par 641.
•Pour n≥1,F0F1. . . Fn−1=Fn−2.
•Pour n6=m,Fn∧Fm= 1 et il y a une infinité de nombres premiers de Fermat.
Leçons concernées :
•Extensions de corps.
•Nombres complexes de module 1.