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CNS de constructibilité des polygônes réguliers.
Théorème 1. Le polygône régulier Pnest constructible à la règle et au compas si et seulement
si n= 2sp1. . . proù s∈Net les pisont des nombres premiers de Fermat deux à deux distincts.
Démonstration. Une condition nécessaire et suffisante pour que Pnsoit constructible à la règle
et au compas est que le point Md’affixe ei2π/n soit constructible. Notant, (−→
i , −→
j)les vecteurs de
base du repère orthonormé canonique (O, −→
i , −→
j)de R2identifié à C, il s’agit donc de construire
le point Mdu cercle unité tel que l’angle orienté (−→
i , −−→
OM)soit de mesure 2π
n[2π].
Lemme 1. Pour m∧n= 1,Pmn constructible si ⇐⇒ Pnet Pmconstructibles.
Démonstration. :
Etape 1 : Supposons Pmn constructible, i.e que le point Md’affixe ei2π/mn est constructible.
En reportant avec le compas, à partir du point A= (1,0) et dans le sens trigonométrique, mfois
la longeur du segment [AM ], on construit le point M0du cercle unité tel que (−→
i , −−−→
OM0)soit de
mesure m×2π
mn =2π
n[2π]. On a donc construit M0d’affixe ei2π/n, ce qui suffit à construire Pn.
Par la même méthode, on construit Pm. D’où Pmn constructible =⇒ Pnet Pmconstructibles.
Etape 2 : Supposons Pnet Pmconstructibles. On sait donc construire les points Met M0
d’affixes ei2π/n et ei2π/m. Comme m∧n= 1, il existe (a, b)∈Ztels que
am +bn = 1 =⇒2π
mn =a2π
n+b2π
m.
Comme précédemment on construit en deux étapes le point du cercle unité M00 dont l’angle
orienté (−→
i , −−−→
OM00)a pour mesure 2π
mn =a2π
n+b2π
m[2π], en prêtant attention au fait que si a≤0
ou b≤0il faut cette fois-ci reporter les longueurs AM et AM0en parcourant le cercle unité dans
le sens inverse du sens trigonométrique. Alors, M00 étant constructible, Pmn l’est aussi.
Bilan 1 : si n=
k
Q
i=1
pαi
i, alors Pnest constructible si et seulement si Ppαi
il’est pour tout i∈[[1, k]].
Objectif : Réduire l’étude de la constructibilité de Pnà l’étude de la constructibilité de Ppα
pour ppremier impair.
Lemme 2. Soit α∈N∗,P2αest constructible.
Démonstration. On utilise ici la constructibilité de la bissectrice d’un angle. Si le point Md’affixe
zM=ei2π/n est constructible, le point Nd’affixe eiπ/n l’est également, comme point d’inter-
section du cercle unité et de la bissectrice de l’angle (−→
i , −−→
OM). La constructibilité du carré P4,
nous permet d’initialiser une récurrence et on en déduit ainsi que P2αest constructible pour tout
α∈N∗.
Bilan 2 : d’après les deux lemmes précédents, on s’est ramené à prouver que pour ppremier
impair, Ppαconstructible ⇐⇒ α= 1 et p= 1 + 22βpour β∈N∗.
Etape 1 : supposons Ppαconstructible et posons q=pα. Le point Md’affixe ω=ei2π/q est
donc constructible et d’après le théorème de Wantzel, il existe une suite d’extensions quadratiques
L0, L1, . . . , Lrtelles que Q=L0(L1(. . . (Lr−1(Lr=Q(ω). En particulier on en déduit
que [Q(ω) : Q] = ϕ(pα) = (p−1)pα−1est une puissance de 2. Ainsi, il existe d∈N∗tel que
(p−1)pα−1= 2det par unicité de l’écriture en facteur premier, comme pest impair, on a α= 1
et p= 1 + 2d. Il faut encore montrer que dest aussi une puissance de 2. Soit alors d=λ2βoù λ
est impair et β∈N. Puisque λest impair, on a 1 + X|1 + Xλet donc 1 + 22β|1 + (22β)λ=p,
absurde si λ6= 1, car pest premier. Finalement, si Ppαest constructible, alors α= 1 et p= 1+22β
est bien un nombre de Fermat.
Etape 2 : montrons que si p= 1 + 22β, alors Ppest constructible.
Méthode : On note n= 2βet prouvons qu’il existe une tour d’extensions quadratiques (Li)1≤i≤r
telle que pour ω=ei2π/p on ait Q=L0(L1(. . . (Lr−1(Lr=Q(ω). Pour construire ces