Les taux liés Quelques exercices solutionnés

Les taux liés
#1
Quelques exercices solutionnés
Le rayon d’un cercle augmente au rythme de 2cm/sec. À quel rythme la surface augmente-t-elle lorsque
le rayon est de 15 cm ?
Les variables :
- rayon : r (cm) - temps : t (sec)
- aire : A et l’aire d’un cercle en fonction du rayon est de A ( r ) = π r 2 .
Taux de variation :
dA dA dr
=
•
dt dr dt
dA d
= (π r 2 ) = π 2 r .
dr dr
d
dr
- Le taux de variation du rayon par rapport au temps est de :
( r ) = = 2cm / sec .
dt
dt
- Alors le taux de variation de l’aire en fonction du temps est de:
dA(r (t ) ) dA(r ) dr
dr
=
•
= 2πr •
= 2πr (2) = 4πr cm 2 /sec
dt
dr
dt
dt
dA(r )
Si le rayon est de 15 cm alors
= 4π 15 cm 2 /sec = 60π cm 2 /sec .
dt
- Le taux de variation de l’aire en fonction du rayon est alors : A′ ( r ) =
#2
Une nappe de pétrole se répand circulairement sur l’océan. Le rayon de la nappe augmente de 0,05
km/jour. Calculez à quel taux augmente la surface de la nappe de pétrole lorsque celle-ci a un rayon de
1,2 km.
Les variables :
- rayon : r (km) - temps : t (jours)
- aire : A et l’aire d’un cercle en fonction du rayon est de A ( r ) = π r 2 .
dA dA dr
=
•
dt dr dt
dA(r (t ) ) dA(r ) dr d πr 2 dr
=
•
=
•
= 2πr (0,05) = 0,1πr km 2 /j
dt
dr
dt
dr
dt
dA
Si le rayon est à 1,2 km nous aurons :
= 0 ,1 ( 1,2 ) = 0 ,12 km 2 /j
dt
Taux de variation :
( )
#3
.
À quelle vitesse le niveau d’un liquide à l’intérieur d’un cylindre vertical baisse-t-il si nous le vidons au
taux de 3m3/min ?
r
Les variables :
- rayon du cylindre : r (m) - temps : t (min) - hauteur du liquide : h (m)
- volume : V et le volume d’un cylindre est de V = π r 2 h .
dV dV dh
Taux de variation :
=
•
dt
dh dt
dV
= 3 m 3 /min .
dt
dV d (πr 2 h)
- Sachant que le rayon est fixe, donc une constante :
=
= πr 2
dh
dh
dh
dV dV dh
dh
dh
3
- Nous cherchons
, alors
=
•
= πr 2 •
= 3 m 3 /min Donc :
= 2 m/min .
dt
dt
dh dt
dt
dt πr
h
#4
4π r 3
. Si le rayon
3
augmente au rythme de 2 cm/sec, quel est le taux de variation du volume par rapport au temps ?
On gonfle un ballon sphérique dont le volume en fonction du rayon est de V =
Les variables :
- rayon de la sphère: r (cm) - temps : t (sec)
- volume : V et le volume de la sphère en fonction du rayon est de V (r ) =
Taux de variation :
dV dV dr
=
•
dt
dr dt
4πr 3
.
3
4πr 3
d
3
dr
dV
4
= 2 cm/sec =
= π 3r 2 = 4πr 2
dt
dr
dr
3
dV
- Donc
= 4πr 2 • 2 = 8πr 2 cm 3 /sec
dt
-
#5
On verse dans un cône droit un liquide au rythme de 6000 cm3/sec. Quel est le taux de variation du rayon
par rapport au temps ? Quel est le taux de variation de la hauteur ?
Les variables :
R= 75
- rayon du cône: R = 75 cm - hauteur du cône : H = 300 cm
- rayon du liquide : r (cm) - hauteur du liquide : h (cm)
πr 2 h
r
- volume : V et le volume d’un cône est de V =
.
3
h
dr
dh
Nous cherchons :
et
.
dt
dt
dV dV dr
dV dV dh
Taux de variation : a)
=
•
et b)
=
•
dt
dr dt
dt
dh dt
Dans cette situation les deux variables r et h sont liées.
r
h
Dans le triangle rectangle nous pouvons dire :
=
.
Donc h = 4r .
75 300
π r 2 h π r 2 4r 4π 3
4π 3
a) Le volume devient alors : V =
=
=
r
et
V (r ) =
r .
3
3
3
3
4π 3
d
r
dV
dV
4π 2
3
3
= 6000 cm /sec =
=
3r = 4πr 2
dt
dr
dr
3
dV
dr
dr 6000
1500
- Donc :
= 6000 cm 3 /sec = 4 r 2 •
En isolant :
=
cm/sec =
cm/sec .
2
dt
dt
dt 4πr
r2
2
h
π
h
π r 2h
π 3
π 3
4
b) De même : V =
=
=
h
et
V (h) =
h .
3
3
48
48
d
π
h3
dV
dV
π
π
48
= 6000 cm 3 /sec =
=
3h 2 = h 2
dt
dr
dh
48
16
dV
π
dh
dh
6000
- Donc :
= 6000 cm 3 /sec = h 2 •
En isolant :
=
π 2
dt
16
dt
dt
h
16
-
cm/sec =
96000
cm/sec .
h2
#6
Un policier placé au point P mesure la vitesse des voitures
qui se déplacent dans la direction du point A. Le policier est
à 75 m du point A et la mesure se fait lorsque la voiture est
à 100 m du point A, soit lorsque la voiture arrive au point B.
Si la vitesse permise est de 50 km/h, quelle vitesse le
policier doit-il considérer comme étant la limite de vitesse
permise mesurée par son radar ?
A
100
B
e
Les variables :
P
- temps: t (h)
- distance séparant la voiture du point A : x (km)
- distance séparant le policier de la voiture : e (km) et e 2 = x 2 + 75 2
de
la vitesse de l’automobile par rapport au policier
dt
de de dx
=
•
Taux de variation :
dt dx dt
d (e 2 ) d ( x 2 + 75 2 )
de
de 2 x x
=
2e
= 2x
=
=
dx
dx
dx
dx 2e e
dx
= 50 km/h (vitesse permise)
dt
de x
- Donc
= • 50 et comme x = 100 alors e = 100 2 + 75 2 = 125 et;
dt e
de 100
=
⋅ 50 = 40 km/h
dt 125
Nous cherchons :
En conséquence, si la vitesse du véhicule se dirigeant vers le point A et que la vitesse dans la direction du
policier dépasse 40 km/h alors, il y aura une infraction au code de la route. Ce résultat n’est valide
qu’aux positions respectives du policier et de la voiture situés au point P et au point B.
#7
Une personne dont la taille est de 1,8 m s’éloigne à une vitesse de 2,2 m/s d’un réverbère situé à 9m du
sol.
a) À quelle vitesse la longueur de son ombre varie-t-elle ?
b) À quelle vitesse l’extrémité de son ombre se déplace-telle ?
Les variables :
- distance entre la personne et le réverbère: x (m)
- distance de l’ombre : y (m)
9
d ( y + x)
dy
Nous cherchons :
et
dt
dt
dy dy dx
d ( y + x ) dy dx
Taux de variation :
=
•
et
=
+
dt dx dt
dt
dt dt
dx
= 2, 2 m / sec .
dt
y
1,8
1,8 18 9 ⋅ 2 1
1
dy 1
=
=
=
= , c’est-à-dire : y = x , alors
=
- =
x 9 − 1,8 7, 2 72 9 ⋅ 8 4
4
dx 4
dy dy dx 1
- Donc
=
•
= • 2,2 = 0,55 m/sec .
dt dx dt 4
- De plus :
1,8
x
y
d ( y + x ) dy dx
=
+
= (0,55 + 2,2) = 2,75 m/sec .
dt
dt dt
Fait par : Claude Laflèche A-06
Modifié par : Julie Tremblay A-06