École secondaire La Camaradière Mathématique 068-416

Nom : ____________________________
Groupe : ________
Date : ____________________________
École secondaire La Camaradière
Mathématique 068-416
INITIATION À LA DÉMONSTRATION
Quelques exemples et exercices
1.
Trouve la mesure des angles 1,2 et 3 et justifie tes réponses.
C
A
3
2
1
40
O
B
65
D
Affirmation
Justification
1. m  1 = 40
1. Opposé par le sommet à  COD
2. m  2 = 140
2. Supplémentaire à  1
3. m  3 = 75
3. La somme des angles intérieurs d’un triangle est 180
B
2.
Dans la figure suivante, les segments AD et HE sont
parallèles. De plus, m  AIB = 54 et m  HJI = 113.
C
54
A
I
D
?
Trouve la mesure de l’angle JIK en justifiant ta
démarche.
113
E
H
J
G
Affirmation
K
F
Justification
1. m  IJK = 67
1. Les angles adjacents qui ont leurs côtés extérieurs en ligne droite
sont supplémentaires.
2. m  IKJ = 54
2. Deux angles correspondants coupés par une sécante et formés par
2 droites parallèles sont congrus.
3. m  JIK = 59
3. La somme des angles intérieurs d’un triangle est 180
Q
3.
Trouve la mesure des angles 1, 2, 3 et 4 et justifie tes
réponses, sachant que le segment PR est la
bissectrice de l’angle QPO.
R
88
4
O
2
3
P
S
1
60
54
T
Affirmation
4.
Justification
1. m  1 = 66
1. La somme des angles intérieurs d’un triangle est de 180 .
2. m  2 = 66
2. Les angles opposés par le sommet sont congrus .
3. m  3 = 26
3. La somme des angles intérieurs d’un triangle est de 180 .
4. m  4 = 26
4. Une bissectrice partage un angle en deux angles congrus.
Trouve la mesure des angles suivants et justifie tes affirmations.
Affirmation
1. m  XZY = 46
Justification
Y
1. Supplémentaire à l’angle XZW
X
2. m  XYZ = 66
68
2. La somme des angles intérieurs d’un
triangle est de 180 .
134
Z
W
B
5.
Dans la figure suivante, le segment EC est la
bissectrice de l’angle BED.
C
75
Quelle est la mesure de l’angle AEF ?
A
37
?
D
E
F
Affirmation
6.
Justification
1. m  AEB = 68
1. La somme des angles intérieurs d’un triangle est de 180 .
2. m  BED = 112
2. Supplémentaire à l’angle XZW
3. m  CED = 56
3. Une bissectrice partage un angle en deux angles congrus.
4. m  AEF = 56
4. Les angles opposés par le sommet sont congrus .
Hélène a appuyé une échelle sur le mur de sa maison.
L’échelle, de 5 mètres de longueur, forme un angle de
150 avec le sol.
5m
À quelle hauteur du sol l’extrémité de l’échelle
touche-t-elle à la maison ?
?
150
Hauteur = 2,5 m , car dans un triangle rectangle, le côté opposé à un angle de 30 mesure la
moitié de l’hypoténuse .
7.
La région de Montréal organise des Jeux de l’Amitié pour les jeunes de 8 à 12 ans. Leur fanion
pour l’événement a la forme d’un triangle rectangle. L’hypoténuse mesure 12 décimètres. Trouve
la mesure demandée sur le fanion et justifie chacune de tes étapes.
B
mBC  6 dm (Le côté opposé à un angle de 30 mesure la
moitié de l’hypoténuse .)
mAC  10,4 dm (La relation de pythagore .)
12 dm
30
A
?
C
8.
E
A
Dans la figure suivante, AB // CD. À partir des
informations sur la figure, trouve les mesures
demandées en justifiant tes réponses.
B
1
2
C
D
63
F
Affirmation
1. m  1 = 63
Justification
1. Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des
angles alternes-externes congrus.
2. Les angles adjacents qui ont leurs côtés extérieurs en ligne droite
2. m  2 = 117
9.
sont supplémentaires .
En te basant sur la figure suivante, détermine :
L’angle opposé par le sommet à l’angle 3.  5
a) L’angle correspondant à l’angle 4.
s
d1
2
8
1
b) L’angle alterne-interne à l’angle 2.
6
c) L’angle alterne-externe à l’angle 4.
8
7
2
3
6
d2
4
d) Les angles supplémentaires à l’angle 5.
10.
5
 6 et  4
Le quadrilatère suivant est un parallélogramme. Détermine la mesure de chacun des angles et
justifie tes réponses.
m  1 = 45
m  2 = 25
m  3 = 32
m  4 = 78
m  5 = 32
m  6 = 123
m  7 = 57
m  8 = 123
m  9 = 57
A
B
2
3
1
4
6
7
9
8
78
D
5
45
25
C
Q
11.
Soit un angle P mesurant 68. On trace la bissectrice de l’angle P
jusqu’en S et, de ce point, on élève deux perpendiculaires à cette
bissectrice qui rencontrent les côtés de l’angle P en Q et R.
P
S
Montre que les deux triangles ainsi formés sont isométriques.
R
Affirmation
12.
Justification
1.  QPS   RPS
1. Une bissectrice partage un angle en deux angles congrus.
2. PS  PS
2. Côté commun aux deux triangles.
3.  PSQ   PSR
3. Par hypothèse (Donnée du problème).
4.  PQS   PSR
4. ACA
Dans la figure suivante, le segment AB est parallèle au segment
DE. Prouve que les deux triangles sont isométriques.
B
D
3 cm
C
3 cm
A
Affirmation
1.  ACB   DCE
2.
mBC  mCE
3.  ABC   CED
Justification
1. Les angles opposés par le sommet sont congrus .
2. Par hypothèse , les deux segments mesurent 3 cm.
3. Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des
angles alternes-internes congrus.
4.  ABC   CDE
E
4. Par ACA .
C
13.
Par le sommet O d’un angle COD, on prolonge les
segments CO et OD jusqu’en E et F, d’une longueur
égale à leur mesure respective. On trace les segments
CD et EF. Par construction, le segment CD mesure 3 cm.
Quelle est la mesure du segment EF ?
3 cm
O
E
D
Pour répondre à cette question, prouvons que les deux
triangles sont congrus.
Affirmation
Justification
1. mCO  mOF
1. Par hypothèse.
2.  COD   EOF
2. Les angles opposés par le sommet sont congrus .
3. mDO  mOE
3. Par hypothèse.
4.
 COD   EOF
5. mEF  mCD  3 cm
14.
F
4. Par CAC.
5. Lorsque 2 triangles sont isométriques, les éléments homologues
sont isométriques.
P
Q
Deux segments PQ et RS sont parallèles et congrus. Un
troisième segment relie les extrémités P et S. Si on relie P
à R et Q à S, on obtient la figure suivante.
R
Affirmation
Justification
1. PQ  RS
1. Par hypothèse .
2.  QPS   PSR
2. Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des
angles alternes-internes congrus.
3. PS  PS
3. Côté commun aux deux triangles.
4.  PRS   PQS
4. Par CAC .
S
B
15.
Le triangle ABC est un triangle isocèle. On trace, à partir du segment AC
la médiatrice DB pour former ainsi deux triangles.
Démontre par la propriété CCC que les deux triangles sont isométriques.
A
Affirmation
1.
AB  BC
2. BD  BD
16.
C
D
Justification
1. Par hypothèse .
2. Côté commun .
3.
AD  DC
3. Par définition, une médiatrice est élevée perpendiculairement sur le
milieu d’un côté.
4.
 ABD   BCD
4. Par CCC
R
P
Dans la figure suivante, les segments PQ et RS sont deux
cordes congrues d’un même cercle de centre O. Lorsqu’on joint
P, Q, R et S au centre du cercle, on obtient deux triangles.
Q
Démontre que ces deux triangles sont isométriques.
S
O
PQ  RS Par hypothèse
QO  OS Deux rayon d’un même cercle
PO  RO Deux rayon d’un même cercle
 PQO   RSO Par CCC
N
17.
Les triangles MNO et OPQ sont tous les deux rectangles,
respectivement en M et P.
Démontre que le triangle MNO est semblable au triangle OPQ.
O
P
M
Q
Affirmation
Justification
1.  NMO   OPQ
1. Par hypothèse , tous les deux mesurent 90.
2.  MON   POQ
2. Les angles opposés par le sommet sont isométriques .
3.  MNO   OPQ
3. Par AA .
18.
B
À l’aide des informations fournies sur la figure suivante, prouve
que les deux triangles sont semblables. Les mesures sont
exprimées en centimètres.
14
10
O
A
6
C
12
5
7
D
Affirmation
1.
mAB 10

mCD 5
Justification
1. Tous
les
côtés
homologues
des
deux
triangles
sont
proportionnels.
mBO 14

mDO 7
mAO 12

mCO 6
2.
 ABO   CDO
2. Par CCC .
Q
19.
S
À partir des informations fournies sur la figure,
démontre que les deux triangles suivants sont
semblables. Les mesures sont exprimées en
centimètres.
5
5
O
4
6,25
R
P
Affirmation
1. mPOQ  mROS
Justification
1. Les angles opposés par le sommet sont isométriques.
2. Les côtés homologues sont proportionnels.
2. mOQ
mOR

5
 1,25
4
mPO 6,25

 1,25
5
mSO
3.  PQO   SRO
3. Par CAC .
Trois éléments à connaître
20.
On considère la figure suivante où la droite DE est parallèle au côté AC.
B
E
D
A
C
Est-ce que les triangles ABC et DBE sont semblables ? Si oui, démontre-le.
VOIR LES NOTES DE COURS…
Toute droite sécante à deux côtés d’un triangle et parallèle au troisième côté forme un plus petit
triangle semblable au grand.
21.
On considère maintenant la figure suivante où les droites AB, CD et EF sont parallèles.
A
6 mm
C
B
8,4 mm
10 mm
E
a) Détermine :
D
14 mm
F
Quelle est la mesure du segment AC ?
6 mm
Quelle est la mesure du segment BD ?
8,4 mm
Quelle est la mesure du segment CE ?
10 mm
Quelle est la mesure du segment DF ?
14 mm
b) Quelle relation y-a-il entre ces quatre mesures ? Les rapports sont identiques.
Des sécantes coupées par des parallèles sont partagées en segments proportionnels .
22.
On considère le triangle suivant où l’on a joint les milieux de deux côtés.
a) Que peut-on dire des segments DE et AC ?
B
Ils sont parallèles.
D
E
A
b) Relie les milieux des côtés AC et BC.
C
c) Relie les milieux des côtés AB et AC.
B
B
A
A
C
C
Le segment de droite qui joint le milieu de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté
et sa mesure en est la moitié.
Quelques exercices sur les triangles semblables
23.
Les triangles ci-dessous sont semblables. Détermine la valeur de x, si le rapport de similitude est
1
k = . Les dessins ne sont pas à l’échelle.
4
B
E
a)
A
D
x
2,25 cm
Réponse : x = 9
F
C
B
b)
E
?
6 cm
A
C
D
F
Réponse : x = 24
24.
Un lampadaire de 10 mètres de hauteur projette une ombre de 6 mètres. Au même moment, une
borne-fontaine projette une ombre de 0,48 mètre.
Calcule la hauteur de la borne-fontaine.
Réponse : 0,8 m
25.
À partir des informations fournies par la figure, calcule la
hauteur de cet édifice.
Réponse : 18 m
2m
2m
2,5 m
20 m
26.
Voici un schéma qui nous permet de calculer le diamètre
de la piscine ci-contre.
Détermine la mesure de ce diamètre.
Réponse : 8 m
12 m
2m
15 m
27.
Voici le logo d’une compagnie fabriquant des vêtements
et des accessoires.
Sachant que les deux triangles formant le logo sont
semblables, calcule la longueur recherchée (x).
Toutes les mesures sont en centimètres.
3
4,5
x
Réponse : 5 cm
2,5