Gravimétrie et structure du globe à différentes échelles

Gravimétrie et structure du globe à différentes échelles
Correction proposée par Mathieu Rodriguez
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Introduction : les principes de la gravimétrie
Définition de la gravité :
Du latin gravis = lourd. C’est une force d’attraction, créée par la masse même de la Terre, et
qui agit à distance. Galilée mesura la vitesse de chute de différents corps depuis la tour de
Pise : la vitesse de chute diffère selon la masse de l’objet. Mais l’accélération qu’ils subissent
est constante. C’est l’accélération de la pesanteur, notée g. Sur Terre, g (moyen)= 9,81 m.s-2
Ce qui est mesuré par les gravimètres ou les pendules : g !
Unité de pesanteur S.I. : m.s-2 … Mais en pratique : 1mGal= 10-5 m.s-2
Définition de la force d’interaction gravitationnelle :
Deux corps massiques exercent l’un sur l’autre une force d’attraction appelée attraction
gravitationnelle. Pour deux corps ponctuels ou sphériques, cette force croît en fonction de la
masse de chaque corps et diminue selon le carré de la distance entre ces deux corps.
La force gravitationnelle exercée sur une masse m ne dépend que de sa position par rapport au
centre de la masse M, noté O. La masse M génère un champ gravitationnel, ou champ de
gravitation, que l’on met en évidence par la force exercée sur la masse placée en A.

Détermination de la valeur de G : les expériences de Cavendish
G=6,67743.10-11 N.m².kg-²
La force de pesanteur :
2nde loi de Newton « la somme des forces f auxquelles est soumis un corps est égale au
produit de sa masse m par son accélération a »  f= m. a
Dans le cas de la chute d’un corps a = g  f=m.g .
Dans le référentiel terrestre, du fait de la rotation de la Terre autour de son axe, la force
centrifuge s’ajoute à la force de gravitation. La somme de la force de gravitation et de la force
centrifuge est appelée force de pesanteur (mais la force de pesanteur est bien moindre que la
force de gravitation).
Formule de l’accélération centrifuge = ω² .r.cos λ ; avec ω vitesse angulaire de rotation de la
terre (de l’ordre de 7.3.10-5 rad.s-1), et λ la latitude. L’accélération centrifuge déforme la Terre
(forme ellipsoïdale), avec aplatissement aux pôles (1/298)
La notion d’équipotentielle du champ de pesanteur et le Géoïde:
Si on lâche un même objet depuis des étages différents d’une tour, on obtient que la vitesse de
l’objet ne dépend que de la masse et de la hauteur z de l’étage : v= √(2gz)
L’énergie cinétique de l’objet, nulle au lâcher, augmente pendant la chute (selon Ec=1/2 mv2).
L’énergie cinétique est créée depuis l’énergie potentielle de gravité Ep= mgz.
mgz est donc la quantité d’énergie transformée sous forme cinétique lorsque l’objet atteint le
sol.
Ec=Ep=mgz d’où v = √(2gz)
Le potentiel de pesanteur, noté U (ou W …), est obtenu en divisant l’énergie de gravité par la
masse de l’objet. U=gz . La gravité g est la dérivée du potentiel de pesanteur  dU/dz=
d(gz)/dz= g. Dans le cas de la Terre, le vecteur U a une valeur (i.e.une norme, et non une
direction!) constante sur des surfaces à peu près ellipsoïdes, dites équipotentielles, qui sont
perpendiculaires à la direction de l’accélération de la pesanteur g (autrement dit, ces
équipotentielles marquent l’horizontale). C’est U (le potentiel) et non pas g (l’accélération)
qui est constant sur une équipotentielle. Autrement dit, Une équipotentielle ne signifie pas un

champ constant. Par ex. La pesanteur varie de 9,83 aux pôles à 9,78 m.s-2 à l’équateur (car
rayon différent: 6356 km aux pôles contre 6378 km à l’éq.)
En physique, on montre que l’interface entre deux fluides est toujours une équipotentielle. La
surface moyenne des océans a donc été choisie comme équipotentielle de référence et définit
le Géoïde. Géoïde = forme qu’aurait la Terre si elle était entièrement recouverte par les
océans.
Détermination de la masse de la Terre :
g=GM/R². Avec R ~6370km, M = 5,97. 10 24 kg
Volume : 4/3πR3 -> densité moyenne de la Terre ρ= 5,52.103 kg.m-3
La densité moyenne de la Terre est largement supérieure à la densité des roches de surface ;
autour de 2-3. Il existe donc au sein de la Terre des roches plus denses. Noyau : densité autour
de 7…mais aussi hétérogénéités de masse dans le manteau et dans la lithosphère.
Forme théorique de la Terre si enveloppes concentriques avec distribution homogène de
masse : un ellipsoïde avec coeff d’aplatissement de 1/298…mais il existe des anomalies, qui
nous renseignent sur la structure interne de la Terre.
Problématique :
Le champ de gravité est fonction de la distribution des masses à l’intérieur de la Terre. A
différentes longueurs d’onde, son étude permet d’identifier des hétérogénéités de masse à
différentes échelles, de la lithosphère à l’ensemble de la Terre. La gravimétrie permet donc
une première approche de la connaissance de la structure interne de la Terre.
Modèles d’ellipsoïdes de la Terre sont construits en considérant une répartition homogène et
concentrique des enveloppes de la Terre modèle gravimétrique avec équipotentielles
ellipsoïdales et concentriques. En gravimétrie, on cherche l’anomalie, qui nous renseigne sur
la structure profonde à une échelle donnée et la distribution des hétérogénéités de masse à
l’intérieur de la Terre.
Notion d’Anomalie en géophysique : différence entre la valeur mesurée et sa valeur théorique
(ici, calculée pour Terre à enveloppes concentriques et distribution de masse homogène)
• Une anomalie nulle vérifie donc le modèle
• Anomalie <0 : pesanteur + faible, la masse placée dans le champ gravimétrique est
moins attirée que dans le modèle : déficit de masse p/r au modèle.
• Inversement pour Anomalie >0  Excès de masse p/r au modèle.
1) Mesures et corrections du champ gravimétrique
a) Comment mesurer le champ gravimétrique ?
-Le pendule : La période d’oscillation d’un pendule dépend de la gravité.
T= 2π√(l/g) (1+αo2/16)
Avec T: période; l: longueur du pendule; g: accélération de la gravité; αo: amplitude
d’oscillation

-Gravimètre à ressort
k (l-l o)=mg
l o : longueur du ressort au repos; l : longueur du ressort sous le poids de la masse m; k : cste de
déformation du ressort (varie selon élasticité du ressort, & la température)
Schéma d’un gravimètre à ressort
-Autres gravimètres, plus complexes ; les appareils à chute libre…
b) Corrections et anomalies gravimétriques
Correction topographique ; correction à l’air libre ; correction de Bouguer. Objectif de
Bouguer : isoler la part du signal qui renseigne sur d’éventuelles hétérogénéités de masse au
sein de la lithosphère.

c) La non-unicité de l’inversion du signal gravimétrique
Le même signal gravimétrique peut correspondre à différentes géométries et profondeurs de
l’hétérogénéité de masse/ Nécessité de compléter avec d’autres données pour bien contraindre
la forme de l’hétérogénéité (ex. sismique réfraction).