Mécanique du solide et Mécanique analytique

M´ ecanique du solide
et
M´ ecanique analytique 1
D´ecembre 
Ch. Duval 2
Figure 1 – Joseph-Louis Lagrange
1. Enseignement de la Licence de Physique de Luminy
2. D´epartement de Physique, Universit´e de la M´editerran´ee & CPT-CNRS, Luminy,
Case 907, F–13288 Marseille, Cedex 9, FRANCE ; mailto : duv[email protected]

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Table des mati`eres
Introduction vii
1 Les ´equations de Lagrange 1
1.1 Une introduction heuristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Illustration : Equations de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 EquationsdeLagrange.......................... 4
1.3.1 Formalisme intrins`eque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Exercices illustratifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Liaisons holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.4 Le couplage minimal au champ ´electromagn´etique . . . . . . . 14
2 Les ´equations de Hamilton 17
2.1 Equations canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Exercices ............................. 20
2.1.2 Le couplage minimal au champ ´electromagn´etique . . . . . . . 21
2.2 Crochets de Poisson et transformations canoniques . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Structure symplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3 Transformations canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 M´ecanique des syst`emes en rep`eres mobiles 31
3.1 Legroupeeuclidien............................ 31
3.1.1 Espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
iii

iv TABLE DES MATI ` ERES
3.1.2 Isom´etries euclidiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Changements de r´ef´erentiels non inertiels . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Prol´egom`enes ........................... 36
3.2.2 Consid´erations m´ecanistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.3 Loi de transformation de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.4 Loi de transformation de l’acc´el´eration . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.5 Forces inertielles : introduction g´en´erale . . . . . . . . . . . . 42
3.2.6 Exemple : chute libre et d´eviation vers l’est . . . . . . . . . . 44
3.2.7 Exemple : le pendule de Foucault (1819-1868) . . . . . . . . . 46
4 M´ecanique du solide 49
4.1 Dynamique des syst`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.1 Th´eor`eme g´en´eral I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.2 Th´eor`eme g´en´eral II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Configurations solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.1 Espace de configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.2 Champ de vitesse dans les solides . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Cin´etique des solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.1 Centre d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.2 Op´erateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.3 Energie cin´etique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.4 Dynamique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.5 Lois de la statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4 Equations d’Euler & mouvements de Poinsot . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.1 Equations d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.2 Exemple : la toupie sym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4.3 Mouvements de Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5 ToupiedeLagrange............................ 72
4.5.1 Anglesd’Euler .......................... 72

4.5.2 Lagrangien de la toupie de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5.3 Mouvements de la toupie de Lagrange . . . . . . . . . . . . . 76
Bibliographie 81