Archimède, le poisson et ce fameux `Ludion`

IUFM 2007-2008 L3S6 MPC-SV PE
Archimède, le poisson et ce fameux ‘Ludion’
Préambule
La statique des fluides date des fonds des temps, alors que l’homme essayait de comprendre la nature
des gaz et des liquides, des ethers , des lois qui gouvernaient ces états de matière, et des bénéfices
qu’ils pouvaient en tirer.
Comment plonger dans la mer ou les rivières et lacs pour être homme-poisson, comment s’élever dans
l’air.
Pourquoi certains objets flottent, d’autres coulent ou restent à une altitude ou profondeur fixe.
Comment vaincre la gravité
Comment la pression varie quand on plonge sous l’eau ?
Pourquoi on a les oreilles bouchées quand on monte ou on descend rapidement en altitude (en avion
ou en voiture pour aller à la montagne)
Comprendre la compressibilité des gaz, la notion de pression et la loi de l’hydrostatique
Le poisson et le ludion
Si le poids est supérieur à la poussée d'Archimède, l'objet coule, si c’est le contraire il s'élève. On
appelle poids apparent la somme du poids et de la poussée d'Archimède. Un ballon dirigeable ou une
montgolfière en équilibre ont un poids apparent nul.
On peut se demander comment font les poissons pour flotter entre deux eaux ? Eux aussi
compensent exactement leur poids par la poussée d'Archimède. Pour cela ils changent leur volume en
gonflant plus ou moins leur vessie natatoire remplie d'air. En augmentant la pression de l'air dans cet
organe ils diminuent de volume, augmentent leur poids apparent et descendent. Ils remontent en
décomprimant le même volume d'air.
Le ludion est un jouet basé sur le même principe. Un tube scellé en haut (par exemple un tube de
stylo Bic vide, bouché en haut à la pâte à modeler et lesté en bas par un trombone pour qu'il reste
vertical) contient juste la quantité d'air nécessaire pour le faire flotter. On le place dans un récipient
d'eau fermé déformable (par exemple une bouteille en plastique ou un tube fermé par une membrane
déformable (figure) . En comprimant la bouteille on augmente la pression de l'eau à l'intérieur ce qui
diminue le volume d'air dans le ludion et cause sa lente descente vers le fond. Le but du jeu étant de le
maintenir le plus longtemps possible entre deux eaux.
Un sous-marin lui aussi annule son poids
apparent mais cette fois sans changer de volume.
Il augmente sa masse totale en vidant l'air de ses
ballasts et en les remplissant d'eau. Il remonte
vers la surface en purgeant ses ballasts, c'est-àdire en y injectant à nouveau de l'air venant de
ses réserves d'air comprimé.
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*manip : le ludion
- un bocal
- un ballon de baudruche
- un élastique résistant
- une petite fiole capable de flotter avec l’ouverture tournée vers le bas
*Ou autre matériel :
1 capsule/capuchon de stylo à bille ,
1 bouteille pastique de 1.5 litre,
des trombones,
du ruban adhésif, de la pâte à modeler pour boucher le haut du capuchon si troué,
un verre d’eau ou un becher.
+ d’autres matériels à vous de voir (paille pieuvre, méduse, un stylo, un tube à essai…,
de l’eau, une bassine…
Quelques sites sur Achimède
http://fr.wikipedia.org/wiki/Archim%C3%A8de
http://wwwcrdp.ac-rennes.fr/crdp_dossiers/dossiers/archimede/accueil.htm
http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=85&IDD=0
Quelques sites sur le ludion (cartesian diver en anglais)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Ludion
http://dispourquoipapa.free.fr/experiences/ex00028.htm
http://www.seed.slb.com/fr/scictr/lab/diver/index.htm
http://www.seed.slb.com/fr/scictr/lab/diver/diver.pdf
http://irh.unice.fr/spip.php?article664 + activer on controlX sous windows
http://pagesperso-orange.fr/bernard.langellier/dynamic/ludion.html
http://www.chez.com/ecolemarsac/ludion.htm
http://www.proftnj.com/ludion.htm
http://xxi.ac-reims.fr/ec-st-thierry/articles.php?lng=fr&pg=427
http://ecole.plouguiel.free.fr/articles.php?lng=fr&pg=228
http://rihetperez.free.fr/autrpage/ludion/ludion.htm
http://www.iufm.univ-ag.fr/guadeloupe/GRF/pdf/Eau/EA5.pdf
http://tagoecole.free.fr/cycle3/ludion/ludionfabriquer.htm
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Archimède
Archimède de Syracuse (du grec Arkhimêdês),
né à Syracuse en 287 av. J.-C. et mort à Syracuse
en 212 av. J.-C. à 75 ans !!), est un grand
scientifique Grec de Sicile (Grande Grèce)) de
l'Antiquité,Physicien,
La poussée d'Archimède est la force particulière que subit un corps plongé en tout ou en partie dans
un fluide ( liquide ou gaz) soumis à un champ de gravité. Cette force résulte de l'augmentation de la
pression du fluide avec la profondeur (effet de la gravité sur le fluide, hydrostatique) ; la pression est
plus forte sur la partie inférieure d'un objet immergé que sur sa partie supérieure, d'où une poussée
globalement verticale dirigée vers le haut. Dans son Traité des corps flottants, il élabore la célèbre loi :
"tout corps plongé dans un fluide subit une poussée verticale, dirigée de bas en haut, égale au poids
du fluide déplacé."
Notion de pression
-un ballon de baudruche
-des seringues en plastique de diverses sections
Faire gonfler les ballons de baudruche aux enfants. Pourquoi est-ce difficile ?
Souffler et aspirer par l’extrémité de la seringue. Que se passe-t-il ?
Repousser le piston d’une grosse seringue, boucher hermétiquement la seringue, attacher un poids au
piston.
Expérience : boucher hermétiquement plusieurs seringues de sections croissantes, et tirer sur les
pistons à la main : la force requise croît avec la section du piston. Comme l’intérieur de la seringue ne
contient pratiquement pas d’air, on peut expliquer aux enfants que les forces de pression ne peuvent
que pousser. On constate qu’à pression constante, la force est une fonction croissante de la section (on
peut montrer que F=P·S)
Refaire les expériences avec des seringues remplies d’eau : conclusion sur les compressibilités
respectives de ces deux fluides ?
Lien entre pression et poids de la colonne de fluide : le baromètre.
* Principe des vases communicants :
-un tube en U (ou un tuyau en plastique souple transparent) fixé dans un plan vertical par un moyen
quelconque.
-si disponible : un système de vases communicants avec des tuyaux de tailles et orientations diverses
Remplir le fond du U d’un liquide coloré. Pourquoi le niveau est-il le même dans les deux branches ?
Souffler ou aspirer dans une des extrémités du tube, ou emmancher un ballon de baudruche gonflé
d’un côté du tube. Pourquoi le niveau du liquide varie-t-il ?
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* expérience : retrouver le théorème d’Archimède
-une bassine
-un récipient avec bouchon rodé
-deux cristallisoirs de diamètres différents
-une balance
Remplir la bassine d’eau et poser à la surface le récipient flottant, sans rien dedans. D’où vient la
poussée d’Archimède compte tenu de ce que nous savons déjà ?
Remplir le récipient d’eau jusqu’à la limite où il coule; à l’aide des deux cristallisoirs, essayer de peser
le volume d’eau déplacé. Comparer avec le poids de l’ensemble. Pourquoi l’ensemble coule si on
verse trop d’eau ? Expliquer cette « loi » en raisonnant sur les forces subies par le volume déplacé
avant qu’il le soit…
Exercices de reflexion :
Il était un petit navire …..
Un soldat de plomb est embarqué sur un bateau qui flotte dans une baignoire. Le soldat tombe à l’eau.
Le niveau d’eau monte-t-il ou baisse-t-il dans la baignoire ???
Solution
Considérons d’abord le bateau seul. Lorsque le soldat est mis à bord, il déplace un volume d’eau (le
bateau s’enfonce) correspondant à sa masse (son poids) d’après le théorème d’Archimède. Comme la
masse volumique du plomb (densité 11,25) est supérieure à celle de l’eau, le soldat déplace un volume
d’eau supérieur à son volume. Lorsque le soldat est mis à l’eau, il déplace alors un volume d’eau égal
à son volume. Par conséquent, le niveau d’eau descend dans la baignoire quand le soldat tombe à
l’eau.
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La montgolfière
Une montgolfière pèse 240kg (son enveloppe + la
nacelle + l’équipement et les personnes à bord).
Le ballon de cette montgolfière, d’un volume de
1000 m3, est gonflée à l’air chaud. L’air est
considéré comme un gaz parfait, de masse
volumique
ρ=P
M mol
avec Mmol = 29g/mol et R = 8,3144 J/mole/K
RT
R/M =286,9 J.kg-1K-1
Au sol, la pression est égale à la pression atmosphérique standard, la température est de 10°C.
a) Calculez la poussée d’Archimède reçue par la montgolfière
b) Calculez la masse apparente de la montgolfière
c) Quelle doit être la masse volumique de l’air contenu dans le ballon pour que la
montgolfière puisse décoller
d) A quelle température faut-il chauffer l’air du ballon pour que la montgolfière puisse
décoller
Problème de statique / dynamique du sous-marin
Un sous-marin d’exploration a un volume de 10 m3 et pèse 8,5 tonnes, passagers et équipement
compris, mais sans le lest.
a) Quelle est la fraction du volume du sous-marin qui dépasse de la surface de la mer (densité de
l’eau marine 1,035) lorsque le sous-marin n’est pas lesté
b) 3 tonnes de lest sont ajoutées sous forme de de masses de plomb (densité 11,34). Calculez le
poids du sous-marin lesté et la poussée d’Archimède qu’il subit.
c) Calculez alors l’accélération et la vitesse du sous-marin dans ces conditions.
d) En réalité, l’eau s’oppose au déplacement du sous-marin, et celui-ci subit également une force
r
r
de frottement opposée à la vitesse instantanée F = − β u . Donnez alors l’expression de
l’accélération du sous-marin et transformez cette expression en une équation différentielle
pour la vitesse.
e) Résoudre cette équation différentielle littéralement.
f) Quelle est la vitesse maximale de descente du sous-marin ? On mesure une vitesse de descente
de 6,5 m/minute. Quelle est la valeur du coefficient de frottement β ?
g) Arrivé au fond, le sous-marin largue une partie de son lest pour avoir une densité égale à celle
de l’eau de mer. Il peut ainsi se mouvoir plus facilement. Quelle quantité de lest doit-il
larguer ?
h) Son expérience terminée, le sous-marin largue la totalité de son lest. Calculez la vitesse de
remontée du sous-marin et la vitesse maximale atteinte.
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De la transmission des forces de pression par les liquides :
Une souris (ou deux, trois..) peut-elle soulever un éléphant ?... Jusqu’aux vérins hydrauliques
qui équipent les avions (pour sortir le train d’atterrissage), la navette spatiale ou des éléments
simples industriels (presse hydraulique…)...
Ou de la construction des pyramides ??
Exemple :
Poids (masse) d’une souris : 50 grammes ‘une souris bien,bien nourrie’
Poids (masse) d’un éléphant d’Asie : 5 tonnes (5000 kg)
Rapport des poids : 5000/(2x0.05) = 5.104
Rapport des surfaces : 5.104
Rapport des diamètres : 223
.
Bernard
Jumbo
Bianca
* Manip pour illustrer de façon plus quantitative que F= P·S : la presse hydraulique artisanale
- deux seringues de sections très différentes
-deux raccords
-un tuyau pour raccorder les deux seringues
-des masses marquées à placer sur le piston des seringues
Les seringues sont placées verticalement, ouverture vers le bas (à l’aide d’une planche en bois ou de
matériel de chimie : supports, tiges métalliques, noix et pinces)
Si les frottements du piston sur le cylindre sont négligeables, à l’équilibre les masses posées sur
chaque seringue sont proportionnelles à la section de la seringue.
Question :
Peut-on faire pareil avec des gaz ??
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Mesure de densité d’un solide
Il est assez facile de mesurer la densité d'un corps solide insoluble et imperméable à l’aide d’un
balance. Encore faut-il pouvoir l’expliquer scientifiquement !!
Densité supérieure à celle de l'eau : le Plomb
Exemple des plombs de pêche et d’une ficelle genre fil de pêche
Prendre une balance électronique à plateau et mettre un récipient contenant de l'eau ;
• Appuyer sur le bouton tare et la balance affiche zéro ;
• Attacher l'objet à un fil fin (exemple : 6 plombs de pêche de 15 g) ;
• Mettre l'objet sur la balance qui affiche 90 grammes que l'objet soit sur le plateau ou qu'il soit
au fond du récipient contenant de l'eau ;
• Tenir l'objet par le fil de façon qu'il soit immergé sans toucher les parois du récipient : la
balance indique 8 grammes dus à la célèbre Poussée d’Archimède.
On en déduit que le plomb a une densité de 90/8 = 11,25 ; la température de l'eau étant de 18 °C.
Attention : le plomb est toxique ; ne pas utiliser l'eau ou le récipient pour boire. Se rincer les mains
après manipulation.
Densité inférieure à celle de l'eau : le liège un bouchon de liège genre pot de moutarde
Exemple du bouchon de liège et d’une épingle
•
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•
•
•
•
Prendre un bouchon de grand volume, genre bouchon de pot de moutarde et donc une
coupelle contenant de l'eau de diamètre plus grand que le diamètre du bouchon ;
Prendre une balance électronique à plateau et mettre la coupelle contenant de l'eau ;
Appuyer sur le bouton tare et la balance affiche zéro;
Mettre une épingle sur l'axe du bouchon ;
Mettre le bouchon sur la balance qui affiche 12 grammes (par exemple, le poids du
bouchon) qu'il soit sur le plateau ou qu'il soit flottant sur l'eau du récipient : l'eau
transmet le poids du bouchon à la balance, via la célèbre poussée d'archimède (cliché
du milieu) ;
Tenir par l'intermédiaire de l'aiguille le bouchon de façon qu'il soit entièrement
immergé sans toucher les parois du récipient : la balance indique 52 grammes dus à la
célèbre poussée d'Archimède (cliché de droite).
On en déduit que le liège a une densité de 12/52 = 0,23 !!!
Sur la toile : http://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A9
Matériel :
- des plombs de pêche
- de la ficelle (ou du fil de pêche)
- une balance
- un récipient type becher
- des bouchons de liège type couvercle de pot en liège
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La montgolfière
Une montgolfière pèse 240kg (son enveloppe + la nacelle + l’équipement et les personnes à
bord). Le ballon de cette montgolfière, d’un volume de 1000 m3, est gonflée à l’air chaud.
L’air est considéré comme un gaz marfait, de masse volumique
ρ=P
M mol
avec Mmol = 29g/mol et R = 8,3144 J/mole/K
RT
R/M =286,9 J.kg-1K-1
Au sol, la pression est égale à la pression atmosphérique standard, la température est de 10°C.
e) Calculez la poussée d’Archimède reçue par la montgolfière
f) Calculez la masse apparente de la montgolfière
g) Quelle doit être la masse volumique de l’air contenu dans le ballon pour que la
montgolfière puisse décoller
h) A quelle température faut-il chauffer l’air du ballon pour que la montgolfière puisse
décoller
Solution de la montgolfière :
La poussée (en kg, donc la masse de poussée) est donnée par :
ρair (10°C) x 103 m3 = 101300 Pa /(286,9 J.kg-1K-1)/283 K = 1247 kg
Masse virtuelle de la montgolfière sans l’air dans le ballon = 240 kg -1247 kg ~ -1000 kg
Donc l’air dans le ballon de volume 103 m3 devra peser moins de 1000 kg, ce qui veut dire que la
densité interne ρair devra être inférieure à 1kg/ m3
Soit T = pression standard x M/(R ρair) = 101300 Pa/ 286,9 J.kg-1K-1)/ 1kg/ m3 ~353 °K = 80°C
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Problème de statique / dynamique du sous-marin
Un sous-marin d’exploration a un volume de 10 m3 et pèse 8,5 tonnes, passagers et équipement
compris, mais sans le lest.
i) Quelle est la fraction du volume du sous-marin qui dépasse de la surface de la mer (densité de
l’eau marine 1,035) lorsque le sous-marin n’est pas lesté
j) 3 tonnes de lest sont ajoutées sous forme de de masses de plomb (densité 11,34). Calculez le
poids du sous-marin lesté et la poussée d’Archimède qu’il subit.
k) Calculez alors l’accélération et la vitesse du sous-marin dans ces conditions.
l) En réalité, l’eau s’oppose au déplacement du sous-marin, et celui-ci subit également une force
r
r
de frottement opposée à la vitesse instantanée F = − β u . Donnez alors l’expression de
l’accélération du sous-marin et transformez cette expression en une équation différentielle
pour la vitesse.
m) Résoudre cette équation différentielle littéralement.
n) Quelle est la vitesse maximale de descente du sous-marin ? On mesure une vitesse de descente
de 6,5 m/minute. Quelle est la valeur du coefficient de frottement β ?
o) Arrivé au fond, le sous-marin largue une partie de son lest pour avoir une densité égale à celle
de l’eau de mer. Il peut ainsi se mouvoir plus facilement. Quelle quantité de lest doit-il
larguer ?
p) Son expérience terminée, le sous-marin largue la totalité de son lest. Calculez la vitesse de
remontée du sous-marin et la vitesse maximale atteinte.
Réponses :
Equilibre statique Poids = Poussée d’Archimède = 1035 kg/m3 x Volume immergé
Volume immergé = 8500/1035 m3 = 8,21 m3
Fraction emmergée = 0,179
Poids du sous-marin lesté = 8,5 tonnes + 3 tonnes = 11,5 tonnes.
Poussée d’Archimède : on supposera que le lest est complètement immergé pour la stabilité du
sous-marin. Ceci représente 3000kg / 11340 kg/ m3 = 0,264 m3
De plus tout le sous-marin sera immergé, car il pèse 11,5 tonnes pour un volume total de 10 m3 +
0,264 m3
Et on a bien la Poussée d’Archimède = Volume total x ρmer = 10623 kg < 11500 kg = Poids total
L’équation du mouvement projetée suivant la verticale descendante est :
11500kg x g – 10623 kg x g = 11500 du/dt, ce qui donne une accélération du/dt = 0,07626g
Avec le frottement visqueux, l’équation devient :
du
β
= 0,07626 g − u
dt
m
Dont la solution générale est :
u (t ) = α . exp(− βt / m) +
0.07626mg
β
La vitesse limite est évidemment donnée par u (t → ∞) =
0.07626mg
β
Dans le cas d’une descente à 6,5 mètres par minute (0,108 m/s), β = 79660 kg/s
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Equilibre statique Poids = Poussée d’Archimède = 1035 kg/m3 x Volume (sous-marin + lest
restant)
8500 kg + masse plomb restant (MPR) = 1035 kg/m3 x (10 m3 + masse plomb restant/11340)
Soit MPR (1- 1035/11340) = MPR x 0.909 = 10350 – 8500 kg = 1850 kg
MPR = 2035 kg , aussi la masse larguée est de 3000 -2035 = 965 kg de plomb
Vérification : poids = 10535 kg, poussée 10,179 x 1035 = 10535 kg (2035 kg de plomb = 0.179
m3)
Remontée :
Equation du mouvement (attention verticale orientée vers le bas)
msp.
du
= msp.g − ρVg − β u
dt
msp = masse sans plomb = 8500kg
Poussée d’Archimède : ρV = 1035 kg/m3 x 10 m3 = 10350 kg (volume complet 10 m3 immergé)
On remarquera la trainée vers le bas (u < 0).
Vitesse limite de remontée (une fois l’accélération nulle) :
u = ( msp.g − ρVg ) / β
u = (8500 – 10350)g /79660 = - 0.228 m/s (vitesse négative vers le haut)
Remarque :
u( t ) = α .exp( − β t / msp ) +
( msp − ρ V )g
β
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