Montgolfiere-SousMarin

LICENCE L3S5 2009-2010
Mécanique des Fluides
TD1 - Corrigé
Allée de von Karman derrière un
cylindre-Image équipe ITD-IMFS
Dany Huilier – 30 septembre 2010
La montgolfière
Une montgolfière pèse 240kg (son enveloppe + la nacelle + l’équipement et les personnes à bord). Le
ballon de cette montgolfière, d’un volume de 1000 m3, est gonflée à l’air chaud. L’air est considéré
comme un gaz parfait, de masse volumique
ρ=P
M mol
avec Mmol = 29g/mol et R = 8,3144 J/mole/K
RT
R/M =286,9 J.kg-1K-1
Au sol, la pression est égale à la pression atmosphérique standard, la température est de 10°C.
a) Calculez la poussée d’Archimède reçue par la montgolfière
b) Calculez la masse apparente de la montgolfière
c) Quelle doit être la masse volumique de l’air contenu dans le ballon pour que la montgolfière
puisse décoller
d) A quelle température faut-il chauffer l’air du ballon pour que la montgolfière puisse décoller
Solution de la montgolfière :
La poussée d’Archimède (en kg, donc la masse de poussée) est donnée par :
ρair (10°C) x 103 m3 = 101300 Pa /(286,9 J.kg-1K-1)/283 K x 103 m3 = 1247 kg, ce qui équivaut à une
masse volumique de l’air de ρair (10°C) = 1,247 kg/m3
Masse virtuelle de la montgolfière sans l’air dans le ballon = 240 kg -1247 kg ~ -1000 kg
Donc l’air dans le ballon de volume 103 m3 devra peser moins de 1000 kg, ce qui veut dire que la
densité interne ρair ( en fait masse volumique) devra être inférieure à 1kg/ m3
Soit T = pression standard x M/(R ρair) = 101300 Pa/ 286,9 J.kg-1K-1)/ 1kg/ m3 ~353 °K = 80°C
(la pression de l’air dans le ballon est égale à la pression extérieure, l’enveloppe est en équilibre)
Problème de statique / dynamique du sous-marin
Un sous-marin d’exploration a un volume de 10 m3 et pèse 8,5 tonnes, passagers et équipement
compris, mais sans le lest.
a) Quelle est la fraction du volume du sous-marin qui dépasse de la surface de la mer (densité de
l’eau marine 1,035) lorsque le sous-marin n’est pas lesté
b) 3 tonnes de lest sont ajoutées sous forme de masses de plomb (densité 11,34). Calculez le
poids du sous-marin lesté et la poussée d’Archimède qu’il subit.
c) Calculez alors l’accélération et la vitesse du sous-marin dans ces conditions.
d) En réalité, l’eau s’oppose au déplacement du sous-marin, et celui-ci subit également une force
r
r
de frottement opposée à la vitesse instantanée F = − β u . Donnez alors l’expression de
e)
f)
g)
h)
l’accélération du sous-marin et transformez cette expression en une équation différentielle
pour la vitesse.
Résoudre cette équation différentielle littéralement.
Quelle est la vitesse maximale de descente du sous-marin ? On mesure une vitesse de descente
de 6,5 m/minute. Quelle est la valeur du coefficient de frottement β ?
Arrivé au fond, le sous-marin largue une partie de son lest pour avoir une densité égale à celle
de l’eau de mer. Il peut ainsi se mouvoir plus facilement. Quelle quantité de lest doit-il
larguer ?
Son expérience terminée, le sous-marin largue la totalité de son lest. Calculez la vitesse de
remontée du sous-marin et la vitesse maximale atteinte.
Réponses :
Solution de la dynamique du sous-marin
Equilibre statique Poids = Poussée d’Archimède = 1035 kg/m3 x Volume immergé
Volume immergé = 8500/1035 m3 = 8,21 m3
Fraction emmergée = 0,179 (1,79 m3)
Poids du sous-marin lesté = 8,5 tonnes + 3 tonnes = 11,5 tonnes.
Poussée d’Archimède : on supposera que le lest est complètement immergé pour la stabilité du
sous-marin. Ceci représente 3000kg / 11340 kg/ m3 = 0,264 m3
De plus tout le sous-marin sera immergé, car il pèse 11,5 tonnes pour un volume total de 10 m3 +
0,264 m3, soit un volume total de 10,264 m3
Et on a bien la Poussée d’Archimède = Volume total x ρmer = 10623 kg < 11500 kg = Poids total
L’équation du mouvement projetée suivant la verticale descendante est :
11500kg x g – 10623 kg x g = 11500 du/dt, ce qui donne une accélération du/dt = 0,07626g
Avec le frottement visqueux, l’équation devient :
du
β
= 0,07626 g − u
dt
m
Dont la solution générale (équation différentielle ordinaire, linéaire du premier ordre, nécessitant
une condition initiale pour fixer la constante α) est :
u (t ) = α . exp(− βt / m) +
0.07626mg
β
La vitesse limite est évidemment donnée par u (t → ∞) =
0.07626mg
β
Dans le cas d’une descente à 6,5 mètres par minute (0,108 m/s), β = 79660 kg/s
Equilibre statique Poids = Poussée d’Archimède = 1035 kg/m3 x Volume (sous-marin + lest
restant)
8500 kg + masse plomb restant (MPR) = 1035 kg/m3 x (10 m3 + masse plomb restant/11340)
Soit MPR (1- 1035/11340) = MPR x 0.909 = 10350 – 8500 kg = 1850 kg
MPR = 2035 kg , aussi la masse larguée est de 3000 -2035 = 965 kg de plomb
Vérification : poids = 10535 kg, poussée 10,179 x 1035 = 10535 kg (2035 kg de plomb = 0.179
m3)
Remontée :
Equation du mouvement (attention verticale orientée vers le bas, ce qui fixe le signe du poids et
de la poussée d’Archimède)
msp.
du
= msp.g − ρ Vg − β u
dt
msp = masse sans plomb = 8500kg
Poussée d’Archimède : ρV = 1035 kg/m3 x 10 m3 = 10350 kg (volume complet 10 m3 immergé)
On remarquera la trainée vers le bas (u < 0).
Vitesse limite de remontée (une fois l’accélération nulle) :
u = (msp.g − ρVg ) / β
u = (8500 – 10350)g /79660 = - 0.228 m/s (vitesse négative vers le haut)
Remarque :
u( t ) = α .exp( − βt / msp ) +
( msp − ρV )g
β