Leçon - euclides.fr

DROITES REMARQUABLES
D'UN
TRIANGLE (II)
Distance d'un point à une droite
Soient (d) une droite et A un point n'appartenant pas à cette droite. Prenons un segment élastique,
ne pouvant que s'allonger ou raccourcir, et dont nous fixons une extrémité au point A et l'autre au
point M, mobile sur (d). Lorsque le point M parcourt la droite (d), y a t-il des endroits où ce segment
élastique est le plus court possible ?
Propriété 1. Si H est l'intersection de (d) et de la perpendiculaire à (d) passant par A et M un
point de (d) distinct de H alors AH<AM.
Démonstration. Plaçons le point A' symétrique de A par rapport à (d), la droite (d) est donc la
médiatrice de [AA']. Tout point de la médiatrice d'un
segment est équidistant des extrémités du segment,
donc M est équidistant des extrémités A et A'. D'autre
part, d'après l'inégalité triangulaire, on a :
AA' < AM + A'M.
Or, AA' = 2AH et AM = A'M, donc
2AH < 2AM
Et ainsi on en déduit que AH < AM, autrement dit H est le point de (d) le plus proche de A.
Définition. La distance entre un point et une droite est la distance entre ce point et le point de la
droite le plus proche.
Ce point le plus proche est l'intersection de la droite et de la perpendiculaire à cette droite passant
par le point donné.
Tangente à un cercle
Définition 1. Une tangente à un cercle est une droite n'ayant qu'un seul point d'intersection avec
ce cercle. Ce point d'intersection est appelé point de contact entre la droite et le cercle.
Voici comment construire une tangente d'après un ouvrage du XVIIe siècle :
D'un point A donné à volonté 1tirer une ligne droite AB qui touche la circonference d'un cercle à un
seul point ?
Tirez une ligne droite de A au centre C du cercle : diviſez-là en deux également au point D, duquel
comme centre & de l'intervale DC, faites un arc qui coupera la circonference du cercle au point B, tirez la
ligne droite AB, elle touchera le cercle.
Clermont, La geometrie pratique de l'ingenieur ou l'art de mesurer, 1693.
1 Ce point A est supposé hors du disque. L'auteur propose ensuite la construction dans le cas d'un point E sur le cercle.
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Définition 2. L'extrémité d'un rayon d'un cercle est l'extrémité du segment appartenant au cercle.
Propriété 2. Si une droite est tangente à un cercle alors cette droite coupe
perpendiculairement l'extrémité d'un rayon du cercle.
Démonstration. (Raisonnement par l'absurde) Supposons que (d) n'a qu'un seul point d'intersection
A avec un cercle de centre O. Supposons également
que cette droite ne soit pas perpendiculaire au rayon [OA].
Soit H l'intersection de (d) et de la perpendiculaire à
(d) passant par O. Les points H et A sont distincts. Soit
B le symétrique de A par rapport à (OH), on a alors
OA = OB, autrement dit B est un point du cercle. Le
point B appartient également à (d). Ainsi (d) a deux
points d'intersection distincts avec le cercle, ce qui est
absurde. Donc (d) est perpendiculaire au rayon [OA].
Réciproque. Si une droite coupe perpendiculairement l'extrémité d'un rayon d'un cercle
alors cette droite est tangente au cercle.
Démonstration. Supposons que la droite (d) coupe perpendiculairement l'extrémité A du rayon
[OA] d'un cercle de centre O. Soit P un point
quelconque de (d), distinct de A. D'après la
propriété 1, on a OP > OA. Or le cercle de centre O
et de rayon OA est l'ensemble des points M tel que
OM = OA, donc P n'est pas un point du cercle. Ainsi
la droite (d) n'a qu'un seul point d'intersection avec
le cercle, cette droite est tangente au cercle.
Bissectrice d'un angle
Propriété 3. Si un point appartient à la bissectrice d'un angle alors ce point est équidistant
des côtés de l'angle.
Démonstration. Plaçons un point M sur la bissectrice d'un angle de sommet A, et de ce point on
mène les perpendiculaires (MB) et (MC) aux
côtés de l'angle. Sachant que la bissectrice d'un
angle est l'axe de symétrie de cet angle, le point
B' image de B par rapport à (AM) appartient
nécessairement à [AC). De plus, les symétries
conservent les angles, donc :
̂
MBA
=
̂
MB' A
= 90°.
On en déduit que le point B' est confondu avec C. Enfin, les symétries conservent les longueurs,
donc MB = MC.
Réciproque. Si un point est équidistant des côtés d'un angle alors ce point appartient à la
bissectrice de l'angle.
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Démonstration. Sachant que les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux, dans MBC on a
̂
MBC
=
̂
MCB
. Par suite les angles
complémentaires
̂
ABC
et
̂
ACB
sont égaux.
Deux angles égaux d'un triangle font un triangle
isocèle, on déduit que AB = AC. Les triangles ABM
et ACM sont donc identiques et les angles
̂
MAB
et
̂
MAC
compris entre des côtés correspondants
sont égaux. Ainsi (AM) est la bissectrice de
̂
BAC
.
Bissectrices d'un triangle et cercle inscrit
Définition. On dit qu'un cercle est inscrit dans un polygone lorsque les côtés de ce polygone sont
tangents au cercle.
Propriété 4. Les bissectrices d'un triangle sont concourantes, leur point d'intersection est le
centre du cercle inscrit du triangle.
Démonstration. Soit I le point d'intersection de la bissectrice issue de A et de celle issue de B.
D'après la propriété 3, on IE = IF et IF = ID. On en déduit que IE = ID et donc, d'après la réciproque
de la propriété 3, le point I appartient également à la bissectrice issue de C. Ainsi les trois bissectrices
sont concourantes en I. D'autre part, la droite (AC) coupe perpendiculairement l'extrémité E du
rayon [IE] du cercle de centre I, donc, d'après la réciproque de la propriété 2, (AC) est tangente au
cercle. De même (AB) et (BC) sont tangentes au cercle. Ainsi le cercle de centre I et de rayon IE est
inscrit dans le triangle ABC.
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