Modèle mathématique. Ne pas hésiter à consulter

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Dans cette fiche, ne seront abordées que des équations trigonométriques de 1er niveau,
c’est-à-dire celles où tu arrives à la configuration suivante :
Quand tu aborderas des équations trigonométriques d’un autre niveau, tout l’art de la
résolution sera de se ramener à une des 4 configurations ci-dessus. Nous te conseillons très
vivement de relire toutes les fiches relatives aux angles associés si tu en éprouves le besoin.
1. ÉGALITÉ DE COSINUS
Il faut tout d’abord que tu comprennens ce qu’on te veut ! Quand on te demande de résoudre
cos  = cos , on te demande, quelle est la condition pour que deux angles aient un même
cosinus.
Une réponse te vient peut-être de suite. Si les angles sont identiques. Évidemment, ils auront
alors le même cosinus. Mais n’oublie pas que sur le cercle trigonométrique, un angle de 68°
définit un même point que l’angle de … 428° (360° + 68°). Ils auront donc le même cosinus.
Ainsi
cos  = cos  =>  =  + k. 360° (si tu travailles en degré)
ou encore
cos  = cos  =>  =  + k. 2 (si tu travailles en radian)
ÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES DE 1ER NIVEAU
Mise à jour : 31/01/13
cos  = cos 
sin  = sin 
tan  = tan 
cot  = cot 

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Mais il y a aussi un autre angle qui a le même cosinus. Souviens-toi des angles opposés ! Et oui,
(- 68°) a le même cosinus que 68°.
Il y a donc deux possibilités (mais chacune de ces possibilités engendre un nombre infini de
solutions à cause des multiples de 360°) pour que les cosinus soient égaux :
 soit les angles sont identiques (à un tour de cercle près),
 soit les angles sont opposés (toujours à un tour de cercle près).
Ce qui donne donc l’équation résolue suivante :
cos  = cos 
 =  + k. 360°
 = (-) + k. 360°

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2. ÉGALITÉ DE SINUS
Ici aussi, c’est le même principe… et donc le même raisonnement : nous allons donc pouvoir
aller plus vite. Bien entendu, des sinus sont identiques si … les angles sont identiques (encore
et toujours à un tour de cercle près).
Mais des sinus sont aussi identiques si les angles sont … supplémentaires.
Ainsi donc :
sin  = sin 
 =  + k. 360°
 = (180° - ) + k. 360°

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3. ÉGALITÉ DE TANGENTES
C’est de nouveau … la même chanson. Qui dira que les mathématiques sont rébarbatives ?
Des tangentes sont identiques si les angles sont identiques (à un tour de cercle près).
Mais des tangentes sont aussi identiques si les angles sont … anti-supplémentaires.
tan  = tan 
 =  + k. 360°
 = (180° + ) + k. 360°

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Ici, une petite variation… L’encadré précédent est tout à fait exact mais ne correspond
peut-être pas à la formule que tu aurais vue en classe ? Rassure-toi. Nous y arrivons.
Le problème avec les matheux, c’est qu’ils n’aiment pas écrire pour rien. Et donc, quand il y a
moyen de faire plus court, ils n’hésitent pas. C’est le cas avec la formule précédente. Tu vas
comprendre.
Imagine un instant que tu dois résoudre tan  = tan 38°.
En appliquant l’encadré, tu trouves que les valeurs de  peuvent être 38° (solution évidente)
mais aussi 398°, 758°, 1118°… (tu rajoutes à chaque fois 360°)
Mais les valeurs de  peuvent aussi être 218° (180° + 38°) et 578° (on avance maintenant par
pas de 360°), 938°,….
Si tu classes ces valeurs positives par odre croissant, tu obtiens
 = 38°, 218°, 398°, 578°, 758°…
Autrement dit : il suffit de prendre l’angle de départ (38°) et d’avancer de … 180°.
Voilà pourquoi l’encadré précédent peut donc se résumer à
tan  = tan 
 =  + k. 180°