De l`application du principe de la superposition des - E

De l'application du principe de la superposition
des petits mouvements dans certains
problèmes d'acoustique
Autor(en): Kool, C.-J.
Objekttyp: Article
Zeitschrift: Bulletin de la Société Vaudoise des Sciences Naturelles
Band (Jahr): 31 (1895)
Heft 118
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-264367
PDF erstellt am: 04.06.2017
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Subtecta Diplodia
Tilise Otthia.
Tinctus Cryptodiscus.
Tremelloïdes Sphœria.
Tristis Cœlosphseria.
Tristis Nitschkia.
Tristis Sphœria.
Tuberculariformis Hypocrea.
Tuberculariformis Nectria.
Vaccinii Otthia.
Vaccinii Gibbera.
Vaccinii Brachysporium.
Vaccinii Helminthosporium.
Vaccinii Sphœria.
Vagans Cucurbitaria.
Ventricosus Hypolyssus.
Vestita Cucurbitaria.
C.-J. KOOL
Vestita Fenestella.
Vestita Sphœria.
Vestita Thyridium.
Viridis Hypomyces.
Viridis Sphœria.
Visci Camarosporium.
Visci Centhospora.
Visci Diplodia.
Visci Gibberidea.
Visci Sphœria.
Visci Sphœropsis.
Vulgaris Tubercularia.
Xylostei Camarosporium.
Xylostei Didymosphœria.
Xylostei Otthia.
Xylostei Xyloma.
DE L'APPLICATION
PRINCIPE DE LA SUPERPOSITION DES PETITS MOUVEMENTS
CERTAINS PROBLÈMES D'ACOUSTIQUE
Je rappellerai d'abord brièvement en quoi consiste ce principe.
Supposons qu'on ait àdéterminer le mouvement d'une molé¬
cule de gaz soumise simultanément àl'action de deux ou plu¬
sieurs ondes provenant de sources sonores différentes.
Pour mieux préciser les idées, j'attribuerai àces sources,
dans tout ce travail, une étendue assez petite pour qu'on puisse
les assimiler àdes éléments de matière en état de vibration con¬
tinue. Actuellement les physiciens, pour avoir la position d'une
molécule àun instant quelconque, déterminent d'abord les diffé¬
rentes positions qu'elle occuperait au même instant par les effets
respectifs des ondes des différentes sources vibrant chacune
séparément. Ils font la somme géométrique des vecteurs qui
joignent la position primitive àces différentes positions, comme

DE L'APPLICATION DES PETITS MOUVEMENTS 129
si ces vecteurs représentaient des forces àcomposer. Selon eux,
l'extrémité de la résultante est la position cherchée. Ils connais¬
sent ainsi le mouvement de la molécule et peuvent en étudier
toutes les particularités intéressantes.
Or je vais démontrer, et c'est là l'objet de mon travail, que
cette détermination est inexacte, qu'on ne trouve pas les diffé¬
rentes positions occupées successivement par une molécule du
gaz au moyen de l'opération exposée ci-dessus.
Pour plus de facilité, je ferai abstraction dans ma démonstra¬
tion du mouvement complexe que, conformément àl'hypothèse
cinétique, les molécules du gaz auraient les unes par rapport
aux autres. J'admettrai que, sans le passage des ondes sonores,
ces molécules demeureraient toujours en repos parfait les unes
par rapport aux autres.
Cela dit, je suppose d'abord une seule source sonore A, d'in¬
tensité constante, située dans un gaz d'étendue illimitée. Je
considère la couche de gaz G, limitée par deux sphères de centre
Adont les rayons diffèrent d'une longueur d'onde, et je me pro¬
pose de calculer la quantité d'énergie que la source Aengendre
dans cette couche de gaz Gpar l'effet des ondes qu'elle produit
dans le gaz.
Soit :
lla longueur d'onde,
tl'instant auquel je me propose d'évaluer la quantité d'éner¬
gie en question. Je suppose que l'origine des temps coïncide
avec l'un des instants auxquels la source sonore passe par sa
position d'équilibre,
xla distance des positions d'équilibre de la source Aet d'une
molécule m' de la couche G(j'entends par position d'équilibre
d'une molécule la position qu'elle occupait avant d'être ébranlée
par les ondes sonores),
Tla période, c'est-à-dire la durée d'une oscillation entière,
sl'élongation de m' àl'instant t,
al'amplitude du mouvement oscillatoire de m', c'est-à-dire
son elongation maxima. Je puis la supposer connue, elle est
la donnée qui fixe les autres conditions que l'on suppose réali¬
sées dans le problème.
Quant àl'intensité de la force qui tend àramener àleur po¬
sition d'équilibre les molécules qui en sont écartées par l'effet
des ondes sonores, je la supposerai proportionnelle àcet écarte-
ment, suivant l'habitude des physiciens. C'est là, du reste, une

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des hypothèses les plus simples que l'on puisse rationnellement
faire, et elle a, précisément àcause de sa simplicité, l'avantage
de réduire au minimum la longueur des calculs àexécuter.
Toutefois je démontrerai plus loin que toute autre hypothèse sur
l'intensité de cette force mènerait exactement àla même con¬
clusion, non pas assurément en ce qui concerne les valeurs
numériques que prendraient les quantités d'énergie dont il sera
question, mais en ce qui concerne le fait même que je me pro¬
pose de prouver.
En partant de l'hypothèse faite, on trouve pour Pélongation
que la molécule m' possède àl'instant tpar l'effet des vibrations
de la source sonore A, l'expression :
flnt 2ux
sasin —— —
VT/
ainsi que cela se démontre dans tous les traités de physique
dans la théorie des ondes.
La direction suivant laquelle cette elongation doit être me¬
surée, c'est-à-dire suivant laquelle se meut la molécule m' passe
on le sait par la source A.
En différenciant spar rapport àt, on ala vitesse vde la mo¬
lécule m' :ds 2k (2rd 2ct
v——=-77s-cos
dt TVTl
Si mest sa masse, sa force vive sera :
1„4t:2 y2nt 2y.x
-M! O' -^-COS' (-t ry
expression qui peut s'écrire encore comme suit en transformant
le dernier facteur :
1.k'j 'Int. /, „,2nt\ ,2tzx 14m! \kx)
—ma1 -y,- cos 2-^-+11—2cos*-y--jsin- —-—y.—sin-y-sm __
Or, avant le passage des ondes sonores, les molécules de la
couche Gsituées sur un même rayon se trouvaient, on peut
l'admettre, uniformément dispersées le long de ce rayon. Pour
déterminer la valeur de l'énergie cinétique (énergie de mouve¬
ment) contenue dans la couche Gpar l'effet des vibrations de la
source Ail faudra donc calculer la valeur moyenne de l'expres¬
sion précédente entre les limites ret r-\-1 et multiplier par le

DE L'APPLICATION DES PETITS MOUVEMENTS 131
nombre de molécules que renferme la couche G. On commettra
ainsi, il est vrai, une légère erreur, car les tranches sphériques
élémentaires de même épaisseur dx qui constituent la couche G
ne contiennent pas toutes exactement le même nombre de molé¬
cules puisqu'elles sont de rayons différents, variant de ràr+l,
et par conséquent de volumes différents. Toutefois en supposant
la couche Gtrès éloignée de la source A. ce qui ne nuit pas àla
démonstration, cette erreur devient négligeable. Pour conserver
àce calcul une exactitude rigoureuse il suffirait d'ailleurs d'ex¬
primer exactement en fonction du rayon xl'énergie cinétique
contenue dans une de ces branches sphériques élémentaires et
d'intégrer entre les limites ret r-\-l.
Pour déterminer, comme je me le propose. la valeur moyenne
de l'expression analytique ci-dessus, il suffira de déterminer
celles de chacun des trois termes qui la composent et de les ad¬
ditionner.
La valeur moyenne du premier terme, qui ne contient pas x,
c'est ce terme lui-même :2-t
cos- T
Pour obtenir celle du second terme, il suffit de calculer la
2T.X
valeur moyenne Xdu facteur sin2 —~ le seul qui dépende de
xdans ce terme :
1fr.+.' 2T.X 1
a=—- Isin- ——dx —
tJl2
Par conséquent la valeur moyenne du second ternie est :
1/. 0.,2r.t
1—2cos-
2VT
De même, afin d'obtenir celle du troisième ternie, calculons
4~x
la valeur moyenne X' du facteur sin —-—qui seul contient x:
/¦»»' +'A
sin —j- dx 0.
r
La valeur moyenne du troisième terme est donc nulle.