parcours scientifique cycle terminal du bac pro atelier distances

PARCOURS SCIENTIFIQUE
CYCLE TERMINAL DU BAC PRO
ATELIER DISTANCES – MAGNITUDE
Benoît PATEY (IEN) - Laurent DERNIS - François HAUSSOULLIEZ - Patrice HUMIERE Nicolas NOWAK - Gérard VERSTRAETE - Bruno DECRIEM - Martial ANDRE - Nicolas FIOLET
Avertissements
Dans ce dossier, plusieurs symboles sont utilisés.
Permet une aide pour la (ou les) notion(s) abordée(s).
Avant de manipuler, écoutez avec attention les précautions à prendre et les règles de
sécurité rappelées par le professeur.
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Atelier Distances/Magnitude
La quête des distances inaccessibles (approches historiques)
I. La pyramide de Khéops.
Selon sa légende, Thalès obtient la hauteur de la pyramide de Khéops en utilisant cette idée « le rapport que
j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne ».
1. Indiquer le triangle où le théorème de Thalès peut s’appliquer, justifier la réponse.
Triangle 1
Triangle 2
E
E
M
M
N
K
O
K
N
O
2. Énoncer le théorème de Thalès pour le triangle choisi.
3. Toujours selon la légende, Thalès hésite sur son placement pour déterminer la hauteur de la pyramide,
donner lui un conseil (placement 1 ou placement 2)
□ Placement 1
□ Placement 2
4. A partir du fichier GeoGebra (d’après T.Pasquier), ThalesKheops3.ggb, déplacer le soleil de façon à
créer un triangle dans lequel le théorème de Thalès s’applique. Mesurer (à l’aide de l’outil mesure) les
grandeurs permettant de calculer la hauteur de la pyramide. Attention à ne mesurer que des
longueurs accessibles pour un mètre. Calculer la hauteur de la pyramide.
5. Vérifier votre réponse sur internet.
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II. L’arbre de la cour.
Un arbre est entouré d’un mur de sorte qu’il est impossible de mesurer sa hauteur avec la méthode
précédente (on ne peut pas mesurer une distance à partir de son tronc). La situation est schématisée
dans un plan dans le fichier mesureArbre.ggb.
Pour effectuer la mesure, il faut effectuer 2 visées. On utilise 2 bâtons d’une même hauteur h
représentés par [GE] et [HF].
1. Première visée : elle se fait à partir de Q
Tracer le segment [QS]
Positionner [GE], en déplaçant le point E, de manière à pouvoir utiliser le théorème de Thalès.
Ainsi on a
Transformer la relation de façon à exprimer QZ en fonction de la hauteur de l’arbre.
2. Deuxième visée : elle se fait à partir de R.
Tracer le segment [RS]
Positionner [HF], en déplaçant le point F, de manière à pouvoir utiliser le théorème de Thalès.
Ainsi on a
Transformer la relation de façon à exprimer RZ en fonction de la hauteur de l’arbre.
3. En remarquant que RQ = RZ – QZ, la hauteur de l’arbre s’écrit ZS =
4. Mesurer les longueurs accessibles et calculer la hauteur de l’arbre.
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III. La distance Terre – Lune
La Lune est l'unique satellite naturel de la Terre, elle a depuis toujours fasciné les hommes. La mesure
de la distance Terre –Lune est très vite apparue comme un défi. Cette mesure ne peut se faire ni avec la
méthode de mesure de la pyramide de Khéops ni avec celle de mesure de l’arbre de la cour.
1. Justifier ces impossibilités
En 1751, 2 scientifiques français Lalande et Lacaille utilisent la méthode des parallaxes pour l’obtenir.
Devant l’impossibilité d’obtenir des distances, ils mesurent des angles (en prenant pour référence la verticale
terrestre et en visant un point dans le ciel). Il faut effectuer 2 mesures simultanées à partir de 2 villes
suffisamment distantes. Ils choisissent Berlin et Le Cap.
2. A partir du fichier globeTerrestre-1b.ggb, en observant la position de ces 2 villes sur le planisphère,
donner 2 raisons aux choix de ces villes.
Pour Lalande et Lacaille, ce problème de géométrie dans l’espace devient un problème de géométrie
plane. Ils trouvent une relation entre les angles Ф (l’angle sous lequel la lune est vue) et les angles α1 (angle de
visée nord), α2 (angle de visée sud) et les latitudes des 2 villes λnord (Berlin) et λsud (Le Cap).
3. A partir du fichier relation Lalande.ggb, relever dans le tableau ci-dessous les valeurs pour ces
angles dans 5 différentes situations (faire varier le curseur) :
λnord
52,3
λsud
34,2
α1
α2
Ф
Recopier ce tableau sous Excel. En utilisant les fonctionnalités du tableur choisir la bonne relation liant
ces angles parmi : Ф = (λnord + λsud) - α1 + α2
et
Ф = (λnord + λsud) - (α1 + α2 )
4. A partir du fichier distance_terre_lune.ggb, ajuster l’angle de visée mesuré à Berlin (53,5°). La Lune se
positionne alors automatiquement à l’endroit où elle se trouvait lors de la mesure en 1751, la mesure du Cap
vaut donc
° et l’angle sous lequel la lune est vue Ф =
°
5. Dans le calcul, pour le simplifier, Lalande et Lacaille remplacent tan Ф par Ф, cette approximation n’est
vraie que si Ф est proche de 0. Calculer tan Ф pour la valeur trouvée au 4. et la comparer à Ф.
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6. Pour réaliser cette approximation, l’angle doit être exprimé en radian, convertir la valeur de Ф de
degré en radian puis calculer tan Ф(radian) et la comparer à Ф (radian).
7. Lalande et Lacaille arrivent à une distance Terre-Lune TL =
.
Effectuer le calcul en prenant RT = 6400 km.
8. Sur la figure du fichier GeoGebra, la distance TL est affichée, retrouver la distance réelle Terre-Lune en
utilisant l’échelle.
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Distances Soleil – Planètes
I. Introduction : Histoire de galaxie
La distance des planètes du système solaire au soleil a toujours passionné les astronomes. C’est ainsi
que l’on a pu déterminer au fil des années les distances de certaines d’entre-elles. Avec l’arrivée de nouveaux
télescopes et de techniques toujours plus performantes, on a pu établir la distance entre d’autres étoiles et le
Soleil et entre des galaxies et le Soleil. Il a fallu pour cela déterminer une nouvelle unité de mesure plus
adaptée, l’année lumière (al). C’est la distance parcourue par la lumière en une année, soit environ
milliards de kilomètres.
Dans le tableau ci-dessous, voici quelques-unes de ces distances.
Planète ou
étoiles
Mercure
Vénus
Terre
Mars
Uranus
Neptune
Sirius
Galaxie
Andromède
Etoile polaire
Distance
moyenne au
Soleil
1. Nous voulons représenter toutes ces distances sur une droite munie d’une graduation régulière. Si
millions de
est représenté par un
, quelle devrait être la dimension de la feuille pour arriver à nos
fins ?
2. Les calculs précédents montrent qu’il est impossible de représenter ces distances sur une graduation
régulière. Construisons alors une graduation où chaque nombre correspondrait à un exposant de dix. Par
exemple, la graduation correspondrait à
, et réciproquement,
correspondrait à la graduation .
Construire le repère en plaçant les points des distances 106 à 1019.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
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Le repère ainsi formé est une fonction qui, à une puissance de dix fait correspondre son exposant.
Cette fonction existe, elle est appelée logarithme décimal et est notée "log".
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II. Fonction logarithme décimal
1. Définition
2. Propriétés
–
3. A l’aide des différentes propriétés, on calculera les positions précises des planètes, étoiles, et galaxie,
afin de les situer sur le repère établi en I.2.
Mercure distance
Position :
Venus distance
Terre distance
Mars distance
Uranus distance
Neptune distance
Sirius distance
Etoile polaire distance
Galaxie Andromède distance
0
1
2
3
4
5
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4. Papier logarithmique et semi-logarithmique
Il existe un papier appelé "papier logarithmique", où les deux axes sont des échelles logarithmiques. Le papier
"semi-logarithmique" est tel que l’un des axes est gradué normalement, l’autre axe est une échelle
logarithmique.
L’échelle logarithmique permet de représenter une grandeur ayant une grande amplitude de variation.
On peut donc placer directement les nombres sans avoir à les calculer.
Par exemple, on peut placer sur l’axe ci-dessous gradué avec une échelle logarithmique la distance de Mercure
et Neptune au Soleil, soit respectivement
et
1 6
10
2
3
5
8
1 7
10
2
3
5
8
1 8
10
2
3
5
8
1 9
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2
3
5
8
1 10
10
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5
8
1 11
10
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III. Relation entre la magnitude et l’éclairement d’un astre
La magnitude a été définie lors de la séance au planétarium.
La relation liant la magnitude à l’éclairement d’une étoile est donnée par la phrase suivante :
« Quand la magnitude m augmente de une unité, le rapport entre l’éclairement E et l’éclairement de
référence E0 perd 60 % »
La magnitude 0 correspond à celle de l’étoile de référence : Véga, étoile située dans la constellation de la Lyre,
dont son éclairement vaut E0 = 3,87 × 10-8 W/m2.
1. À l’aide d’un tableur, établir le tableau de valeurs répondant au problème.
2. Ouvrir le fichier Magnitude_Eclairement.ggb et représenter le nuage de points obtenu dans la
question précédente.
3. Cocher la case affichant la relation et en faisant varier le curseur donner la relation liant la magnitude
et le rapport entre l’éclairement et l’éclairement de référence.
4. Voici les valeurs des éclairements de Rigel et de Bételgeuse se situant dans la constellation d’Orion.
Donner à l’aide des outils de GeoGebra les magnitudes de ces 2 étoiles.
Étoile
Éclairement
Rigel
2,57 × 10-8 W/m2
Bételgeuse
1,81 × 10-8 W/m2
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