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Mines Physique 1 PSI 2008 — Énoncé 1/5
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ECOLE NATIONALE DES PONTSET CHAUSS ´ EES.
´
ECOLESNATIONALES SUP´ ERIEURESDE L’A´ ERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUESAVANC´ EES,DEST´ EL ´ ECOMMUNICATIONS,
DESMINESDEPARIS,DESMINESDESAINT–´ ETIENNE,DESMINESDENANCY,
DEST´ EL ´ ECOMMUNICATIONSDEBRETAGNE,
´
ECOLE POLYTECHNIQUE(FILI` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2008
PREMI ` ERE´ EPREUVEDEPHYSIQUE
Fili` ere PSI
(Dur´ ee del’´ epreuve:3heures)
L’usagedelacalculatrice estautoris´ e
Sujetmis ` adisposition desconcours:ENSAEParisTech,ENSTIM,T´ el´ ecomSudParis (exINT),
TPE–EIVP,Cycle international
Lescandidats sontpri´ esdementionnerdefac¸on apparentesurla premi` erepagedelacopie:
PHYSIQUEI—PSI.
L’´ enonc´ ede cette´ epreuve comporte5 pages.
–Si, aucoursdel’´ epreuve,un candidatrep` ere ce quiluisemble ˆ etreune erreurd’´ enonc´ e,il estinvit´ e` ale
signalersursa copie et` apoursuivresa compositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’il aura´ et´ e
amen´ e` aprendre.
–Ilnefaudrapash´ esiter` aformulerlescommentaires(incluantdesconsid´ erationsnum´ eriques)quivous
semblerontpertinents,mˆ eme lorsquel’´ enonc´ enele demandepasexplicitement. Labar` eme tiendra compte
de cesinitiativesainsiquedesqualit´ esder´ edaction dela copie.
MOD´ ELISATION DESDUNESDESABLE
Ce probl` eme,dont lasource est lath` esedeF.RIOUAL(2002),abordequelquesaspectsdespropri´ et´ es
desmilieux granulaires.Lesdiff´ erentespartiesde cette´ epreuvesont largement ind´ ependantesentre
elles.Lesdeux premi` eresconcernent ladescription microscopiquedesinteractionsentreparticulesde
milieux granulaires.Latroisi` emepartie concerneladynamiquedelaformation deridesdesabledans
lesd´ eserts.Danstoutel’´ epreuve,exprimersignifiedonnerune expression litt´ erale etcalculersignifie
donnerunevaleurnum´ erique.Laquantit´ ex′d´ esignelad´ eriv´ ee totaledexpar rapportautempst.Les
vecteurs sontnot´ esavec un chapeaus’ils sontunitairesb ux,avec unefl` eche−→ vdansle cascontraire.
I.—Collisions sansperte d’´ energie:Lemod` eledeHertz
Lorsd’un chocfrontalentredeux billes sph´ eriqueshomog` enes,l’´ energie cin´ etiqueinitiale estd’abord
convertie en´ energieded´ eformation Edpuisrestitu´ ee sousformed’´ energie cin´ etique.
Figure1
Lorsquelesdeux billes sontencompression l’unepar rap-
port` al’autre,un m´ eplatcirculairedediam` etreaapparaˆ ıt
autourdu pointde contact initial(Fig.1).On note2
δ lalon-
gueurd’interp´ en´ etration desdeux billesquel’on consid` ere
identiquesdemassem,derayon Retdemassevolumique
ρ
b=3m/(4
π R3).Dansler´ ef´ erentieldu centredemasse,
elles sed´ eplacentsurun axehorizontalavec desvitessesde
mˆ ememodulevetdesensoppos´ es.Le contactavec lasur-
face (S)sefait sansfrottementeton n´ egligelemouvement
derotation desbilles.
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Mines Physique 1 PSI 2008 — Énoncé 2/5
Quand ladistance entrelesdeux centresdebillesdevient inf´ erieure au diam` etred’unebille,elles
entrentencontactetsubissentuned´ eformation ´ elastique,sousl’action d’uneforce,quin’adesens
physiquequepour
δ ≥0,dont lemodule estnot´ eFde.Si l’on notePlapression moyenne agissant
surlasurface de contact,laloideHookestipuleque
P=Fde
4 π a2=
εδ
a
o` u
ε estune constantepositive appel´ ee moduledeYoung delabille etquicaract´ eriseson ´ elasticit´ e.
Danscettepartie,la collision estsuppos´ ee ˆ etre´ elastique,c’est-` a-direquel’´ energiem´ ecaniquetotale
du syst` emedesdeux billesest identique avantetapr` esle choc(apr` esquelesbilles sesonts´ epar´ ees).
Onconsid` eredanstoute cettepartieque
δ ≪R.
1—V´ erifierque ε esthomog` ene` aunepression.Montrerqu’` al’ordre1en δ /R,lediam` etredu
m´ eplats’´ ecrit a=2√2R
δ .Onconservera cette expression danstout leprobl` eme.
2—Donnerl’expression du moduleFdedelaforce ded´ eformation enfonction deR, δ et ε .En
d´ eduire,l’´ energiepotentielleEpdontd´ erive cetteforce.On prendraEp≥0.
Figure2
3—On notex1etx2lesabscissesrespectivesdescentres
desbilles(Fig.2).Quand ladistance entre cescentresest
inf´ erieure au diam` etre,donnerlarelation entre
δ ,x1,x2et
R.En d´ eduirex′
1=dx1/dtenfonction de
δ
′=d
δ /dt.
4—Exprimerl’´ energiem´ ecaniquetotaleEmdesdeux
billespendant le choc enfonction deR,
ε ,m, δ et δ
′?
5—Pourquoi laquantit´ edemouvementdu syst` eme
constitu´ eparlesdeux billesest-ellelamˆ eme avantetapr` es
le choc ? Quelle est larelation simpleliant lesvitesses−→ w1et
−→
w2desbillesunefoisqu’elles sesonts´ epar´ ees?
6—Quelle est larelation liantv` alanormedesvecteurs−→ wdelaquestion 5 ?
7—D´ eterminerlavaleurmaximale δ
matteintepar
δ aucoursdela collision enfonction de ρ
b,v,
ε etR.Que constatez-vouspourlad´ eformation maximaleum= δ
m/R?
8—En utilisant l’expression del’´ energiem´ ecaniquetotaleEm,d´ eterminerladur´ ee τ dela colli-
sion,c’est-` a-direletempspendant lequel lesbillesrestentencontact.Onexprimera
τ enfonction de
ε ,m,v,Retdel’int´ egrale
I=Z1
0
du
p1−u5/2
9—Application num´ erique:calculer τ etumpourdesparticulesdesabledevitessev=3,00 m.s−1,
demoduledeYoung
ε =7,00×1010 Pa etdemassevolumique ρ
b=2,50×103kg.m−3danslesdeux
cas suivants:R=1,00×10−4metR=1,00×10−3m.On donneI≈1,47.On v´ erifieraqueler´ esultat
estexprim´ e ensecondes.
FIN DELA PARTIEI
II.—Collisionsavec perte d’´ energie
Figure3
Onconsid` eremaintenantdeux billesd´ eformables
in´ elastiques sed´ eplac¸antsurun axehorizontalavec
lesvitesses−→ v1=v1b
uxpourlaparticule` agauche et
−→
v2=v2b
uxpourlaparticule` adroite.
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Mines Physique 1 PSI 2008 — Énoncé 3/5
Onconsid` erev1>v2: il yadonc collision ; lesvitessesapr` esle chocsontnot´ ees−→ w1=w1b
uxet
−→
w2=w2b
ux.Onsupposequela collision est instantan´
ee ; le coefficientderestitution,not´ ee,estd´ efini
parlarelation
e=−w2−w1
v2−v1
10 —Laquantit´ edemouvementdu syst` eme constitu´ eparlesdeux billesest-ellelamˆ eme avant
etapr` esle choc ?
11 —Exprimer,enfonction dev1,v2,mete,laperted’´ energie cin´ etiquedesdeux billescaus´ ee
parla collision.
12 —PourtoutelasuitedelapartieII,on supposed´ esormaisquev1=−v2=v(chocdeplein
fouet).Exprimerlaperted’´ energie cin´ etiquedesdeux billesli´ ee auchoc,enfonction dem,eetv.
13 —Aucoursdela collision,lad´ eformation rapidedelabille,d’amplitudemaximale δ
m,est
maintenantsource dedissipation.Ce ph´ enom` ene estassoci´ e` auneforce demoduleFd.Onsuppose
que cetteforce estreli´ ee ` alaforce ´ elastiquenon dissipativeFdedelapartieIparlarelation
Fd=A
δ
′
∂ Fde
∂ δ
Quelle est ladimension dela constantepositiveA?Exprimer,souslaformed’uneint´ egralesur
l’intervalle[0,
δ
m],l’´
energieUddissip´ ee aucoursdela collision enfonction deA, ε ,R, δ , δ
′et
δ
m.
14 —Onsupposequel’´ energiedissip´ ee estfaibledevant l’´ energie cin´ etiqueinitiale.En´ ecrivant
un bilan´ energ´ etique,justifierquependant la collision on puisse´ ecrire
δ
′2=v2 1−16
π
√2R
5mv2
εδ
5/2!
Exprimer
δ
′enfonction de
ε ,R, δ
m,mety=
δ / δ
m.
15 —D´ eduiredelaquestion pr´ ec´ edentequel’´ energiedissip´ ee lorsdela collision estdelaforme
Ud=Av
β
f( ε ,R,m)
o` u
β estune constante` ad´ etermineretfunefonction sansint´ erˆ et ici.On v´ erifieraque β estvoisin de
2.
16 —Lath´ eoriedeKuwabara etKono pr´ evoit quel’on puisseramenerla collision deplein
fouetdesdeux particulesd´ eformablesdissipatives,` aune collision instantan´ ee avec un coefficientde
restitution effectiftr` esprochede1 quid´ epend delavitessed’impactdetellemani` ereque1−esoit
proportionnel` av1/5.Justifiercetteth´
eorie enconsid´ erantquelatotalit´ edelaperted’´ energie cin´ etique
estdissip´ ee lorsdela collision.
17 —Expliquerqualitativementpourquoi le coefficientderestitution tend vers1 pourlesfaibles
vitesses.Ce coefficientest-il unepropri´ et´ edesparticulesou unepropri´ et´ edela collision ?
FIN DELA PARTIEII
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Mines Physique 1 PSI 2008 — Énoncé 4/5
III.—Letransport´ eolien du sable:Lemod` eled’Anderson
Figure4
Figure5
Lesrides´ eoliennes sontdesmotifsquised´ eveloppent,par
exempledanslesd´ eserts,` apartird’un solplat,perpendicu-
lairement` aladirection du vent(Fig.4).Oncherchedans
cettepartie` amod´ eliserleur formation.R´ eguli` erement,le
d´ esertestsoumis` aun ventsuffisammentfortpourempor-
terdesgrainsdesablesurdesdistancesimportantes:ce
m´ ecanisme estappel´ esaltation.Puisquelevent lesatri´ es,
on admettraquelesgrainsensaltation sont tousentraˆ ın´ es` a
lamˆ emevitesse,etont tous` apeu pr` eslamˆ ememassem.
Ainsi,ils suivent tous,enmoyenne,lamˆ emetrajectoire.
En particulier,leursanglesd’impactsurlasurface sableusesontenmoyenne´ egaux etdel’ordre
de14 degr´ es.On note α cetangle caract´ eristique(Fig.5).La collision d’un grain desablesurle
solproduit localement l’´ ejection deplusieursparticules` adesvitessesplusfaiblesquelavitesse
delaparticuleincidente.Lesparticules´ eject´ eesretombentsurlelit desable au voisinagedu point
d’impact ; ce ph´ enom` ene estappel´ ereptation.Ladistance caract´ eristiquedeparcoursdesgrainsen
reptation estnot´ ee ℓr.Onsupposequelelit desable estform´ ederidesinvariantespartranslation dans
ladirection perpendiculaire au ventdesable.Lahauteurdu lit desablened´ epend alorsqued’une
seulevariabled’espace not´ ee xetdu tempst;on lanoteh(x,t).OnappelleQ(x,t)lamassedegrains
transport´ es` al’abscissexet` al’instanttparunit´ edetempsetparunit´ edelargeur;on rappelleque
[Q]=[M][L]−1[T]−1.Ce flux parunit´ edelargeurest lasommededeux contributions,celledesgrains
enreptation,not´ ee Qr,etcelledesgrainsensaltation,not´ ee Qs.Onsupposedanstoute cettepartie
queleflux desgrainsensaltation estconstantetuniforme avec uneincidence fixed’angle
α .On note
enfin
ρ lamassevolumiquedu lit degrains,quel’on supposeuniforme etconstante.
18 —En´ ecrivant la conservation localedelamassesurunetranchedegrainsd’extension δ xet
delargeurL,´ etablirlarelation
∂ h(x,t)
∂ t+1 ρ
∂
Q(x,t)
∂ x=0
19 —Soit Ne(x,t)lenombredegrains´ eject´ es` al’abscissexparunit´ edetempsetdesurface ;on
rappellequeleflux dereptation estdonn´ epar
Qr(x,t)=mZx
x−ℓr
Ne(u,t)du
d´ eterminerl’´ equation aux d´ eriv´ eespartiellesreliant lesfonctionshetNe.
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Mines Physique 1 PSI 2008 — Énoncé 5/5
Figure6:Saltation surun lit plat(a),etsurun
lit depentelocale
θ (b).Laquantit´ ed µ repr´ e-
-senteun volume´ el´ ementairedegrainsen
saltation.
20 —On noteNolenombredegrainsensaltation
arrivantsurunesurface horizontaleparunit´ edetemps
etdesurface.Soit nladensit´ edegrainsdevitesse
varrivantsurunesurface horizontale avec uneincli-
naison
α .Lenombredegrainsarrivantsurunesur-
face d’aireSpendant letempsdtestdoncdN=n d
µ
(VoirFig.6).ExprimerNoenfonction den,vet α .
En d´ eduirequelenombreNsdegrainsensaltation
parunit´ edesurface etdetempsentrantencollision
avec lelit ` al’abscissexestdonn´ eparlarelation
Ns(
θ )=No1+tan(
θ )
tan( α )cos(
θ )
21 —´ Etablirl’´ equation aux d´ eriv´ eespartiellesreliant lesfonctions θ (x,t)eth(x,t).
22 —Lemod` eled’Anderson consiste` asupposerquelenombredegrains´ eject´ esdu lit estpro-
portionnelau nombredegrainsensaltation Ns:Ne(x,t)=noNs(x,t),o` unoest lenombredegrains
´
eject´ eslorsd’une collision.Souscettehypoth` ese,etens’appuyantsurler´ esultatdelaquestion 19,
´
etablirl’´ equation d’´ evolution deh(x,t)enfonction dem,no,
ρ ,Ns(x,t)etNs(x−ℓr,t).
23 —D´ eduirede cette´ etudel’´ equation suivante
∂ h
∂ t=−mnoNo ρ tan( α )tan(
α )+
∂ h
∂ xcos(
θ )x
x−ℓr
24 —Montrerqueh(x,t)=ho=cste estunesolution possibledel’´ equation delaquestion 23 (on
lanommesolution triviale).
Oncherchedor´ enavant` a analyserlastabilit´ edelasolution trivialedansler´ egimedespetitesincli-
naisons.Onconsid` eredoncque cos(
θ (x,t)) =cste≈1
25 —Ecrirel’´ equation aux d´ eriv´ eespartiellesv´ erifi´ ee parhenfaisantapparaˆ ıtrela constante
co=mnoNo/
ρ .Quelle est ladimension deco?
26 —Oncherchelasolution del’´ equation delaquestion 25 souslaforme complexe
h(x,t)=ho+h1exp[i(kx −
ω t]exp( γ t)
avec hoeth1deux r´ eelstelsque|ho|≪|h1|,puisk,
ω et γ troisparam` etresr´ eels.D´ eterminerles
expressionsde
ω et γ enfonction deu=kℓret ω
o=co/(ℓrtan(
α )).
27 —Aquelle condition surketℓrlasolution propos´ ee ` alaquestion pr´ ec´ edente est-ellestable ?
28 —On notevgetv
ϕ
lesvitessesdegroupe etdephasedesrides´ eoliennesdansle cadredela
solution trivialeperturb´ ee d´ ecritedanslesquestions26 et27.D´ eterminerlarelation entrevg,v
ϕ
, γ et
ℓr.
29 —On dit d’un milieu qu’il estdispersiflorsquela c´ el´ erit´ ed’uneonde en propagation dansce
milieu d´ epend desafr´ equence.Lesablevous semble-t-il ˆ etreun milieu dispersifou non ?Onjustifiera
soigneusementsar´ eponse.
FIN DELA PARTIEIII
FIN DE L’´ EPREUVE
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