1 - Propriété Enoncé Forme Logique A ⇔ B
publicité
ÉLÉMENTS DE LOGIQUE I. INTRODUCTION : LE TRIANGLE RECTANGLE 1. Théorème de Pythagore Soit ABC un triangle, nous allons considérer les propositions suivantes : A : « Le triangle ABC est rectangle en A » B : « L’égalité BC2 = AC2 + AB2 est vraie » Propriété Enoncé Forme Logique Théorème de Pythagore Si le triangle ABC et rectangle en A alors BC2 = AC2 + AB2 Implication : A⇒B Réciproque du théorème de Pythagore Si BC2 = AC2 + AB2 alors le triangle ABC est rectangle en A Implication réciproque : B⇒A Contraposée du théorème de Pythagore Si BC2 ≠ AC2 + AB2 alors le triangle ABC n’est pas rectangle en A Contraposée de l’implication : non B ⇒ non A Théorème de Pythagore sous forme d’équivalence Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si BC2 = AC2 + AB2 Equivalence : A ⇔B Remarques : a. Dans le théorème de Pythagore l’implication A ⇒ B et sa réciproque B ⇒ A sont vraies en même temps on dit alors que les propositions A et B sont équivalentes A ⇔ B. b. Il est possible qu’une implication soit vraie sans que la réciproque le soit. Exemple : Si ABCD est un parallélogramme alors AB = CD. Réciproque fausse : Si AB = CD alors ABCD est un parallélogramme. (Penser à un trapèze isocèle). c. Une implication et sa contraposée sont toujours vraies ou fausses en même temps. 2. Caractérisation du triangle rectangle Théorème : Soit ABC un triangle, les propositions suivantes sont équivalentes : B B AA (1) Le triangle ABC est rectangle en A (2) BAC = 90° (3) AB2 + AC2 = BC2 H H (4) Le milieu H de [BC] est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. C C Remarque : Dire que les quatre propositions sont équivalentes signifie que : Si l’une d’entre elles est vraie alors elles sont toutes vraies. Si l’une est fausse alors elles sont toutes fausses. -1- DMartin-LAH II. PROPOSITIONS MATHÉMATIQUES A. Proposition mathématique Une proposition mathématique P est une affirmation pouvant être soit vraie, soit fausse. • • Si on pense que l’affirmation est vraie (c.a.d. toujours vraie) alors il faut la justifier dans le cas général (des exemples ne suffisent pas à démontrer une affirmation). Si on pense que l’affirmation est fausse, il suffit de trouver un seul contre-exemple. Exercice : Pour chaque proposition, démontrer si elle est vraie ou fausse. Proposition V/F Démonstration Tous les réels ont une racine carrée. Pour tout réel x positif ou nul, 1 + x est strictement positif. Tous les réels ont un inverse. Si x < 1 alors x2 < 1. Le carré d’un nombre réel est positif B. Négation d’une proposition La négation d’une proposition P, notée non P, est la proposition qui est fausse lorsque P est vraie et qui est vraie lorsque P est fausse. Exercice : Écrire la négation des phrases suivantes: Phrase Négation de la phrase Les droites d et d’ sont parallèles x ≠1 x∈N x < 3 ou x > 7 III. IMPLICATION, ÉQUIVALENCE A. Implication Une implication est une phrase mathématique indiquant qu'une donnée (p) entraîne (ou implique) une conclusion (q). Elle s'écrit sous la forme: (p) ⇒ (q) Le symbole ⇒ se lit: « implique » Dans les théorèmes, elle est utilisée sous la forme: si (p) alors (q) Une implication est fausse dans le cas où (p) est vraie et (q) est fausse, dans tous les autres cas, l'implication est vraie Implication Vrai ou Faux Si c’est un chêne alors c’est un arbre (x = 3) ⇒ (x² = 9) ABCD rectangle ⇒ AC = BD [AC] ⊥ [BD] ⇒ ABCD losange ABCD carré ⇒ ABCD losange -2- DMartin-LAH Vocabulaire : Condition suffisante, condition nécessaire Dans l’implication : (p) ⇒ (q), La condition (p) est une condition suffisante de (q) La condition (q) est une condition nécessaire de (p) Exemples: • (x = 3) est une condition suffisante pour que (x² = 9). Cette condition (x=3) n'est pas nécessaire. Il existe au moins un autre réel dont le carré est 9. Il suffit que (x = 3) pour que (x² = 9) mais il n’est pas nécessaire que (x = 3) pour que (x² = 9). • [AC] ⊥ [BD] n'est pas une condition suffisante pour que ABCD soit un losange, mais c’est une condition nécessaire. On a : ABCD losange ⇒ [AC] ⊥ [BD] B. Réciproque La réciproque de l’implication (p) ⇒ (q) est l’implication : (q) ⇒ (p) Si une implication est vraie sa réciproque ne l’est pas forcément. Exercice : Écrire les réciproques des implications suivantes et dire si elles sont vraies ou fausses. Implication Réciproque Réciproque V/F Si c’est un chêne alors c’est un arbre (x = 3) ⇒ (x² = 9) n ∈ N, n pair ⇒ n est un multiple de 6 ABCD rectangle ⇒ AC = BD [AC] ⊥ [BD] ⇒ ABCD losange ABCD carré ⇒ ABCD losange C. Contraposée La contraposée de l’implication (p) ⇒ (q) est l’implication : non (q) ⇒ non (p) Une implication et sa contraposée sont vraies en même temps et fausses en même temps. Exercice : Écrire les contraposées des implications suivantes et dire si elle sont vraies ou fausses. Implication Contraposée Contra V/F Si c’est un chêne alors c’est un arbre (x = 3) ⇒ (x² = 9) n ∈ N, n pair ⇒ n est un multiple de 6 ABCD rectangle ⇒ AC = BD [AC] ⊥ [BD] ⇒ ABCD losange ABCD carré ⇒ ABCD losange -3- DMartin-LAH D. Équivalence Dans certains cas lorsqu'on l'implication (p) ⇒ (q) est vraie, l'implication (q) ⇒ (p) est également vraie. On dit alors que les propositions (p) et (q) sont équivalentes. On note (p) ⇔ (q). Le symbole ⇔ se lit: « équivaut à » On énonce le théorème sous la forme: (p) si et seulement si (q). Une équivalence est vraie lorsque (p) et (q) sont vraies en même temps et lorsque (p) et (q) sont fausses en même temps. Une équivalence est fausse lorsque l'une des conditions est vraie et l'autre fausse. Vocabulaire : Condition suffisante, condition nécessaire Dans l’équivalence : (p) ⇔ (q) : (p) est une condition nécessaire et suffisante de (q). E. Exercices Exercice 1 :Pour chacune des propositions suivantes, rédigez sur votre cahier sa réciproque et sa contraposée, et précisez si cette proposition, sa réciproque et sa contraposée sont vraies ou fausses: 1) Si c'est une poule, alors elle pond des œufs. 2) Si c'est un carré, alors il a quatre angles droits. 3) Si il a quatre côtés, alors c'est un quadrilatère. 4) Si il n'est pas vieux, alors il est jeune. 5) Si AB = BC, alors B est le milieu de [AC]. 6) Si il fait froid, alors il ne fait pas chaud. 7) Si deux segments ne se coupent pas, alors ils sont parallèles. Dans les questions 8, 9, 10 et 11, on parle d'un quadrilatère: 8) Si c'est un rectangle, alors ses diagonales sont de même longueur. 9) Si c'est un parallélogramme, alors tous ses côtés opposés sont parallèles. 10) Si c'est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires. 11) Si c'est un trapèze, alors il a deux côtés parallèles. 12) Si MA = MB, alors M appartient à la médiatrice de [AB]. 13) S’il pond des œufs, alors c'est un oiseau. D B 14) Si ABC est un triangle rectangle en B, alors AB² + BC² = AC². 15) (Voir figure) Si (BC) parallèle à (DE), alors AB AC BC = = . AD AE DE A C E Exercice 2 : Compléter par ⇒ ⇐ ou ⇔ : ABC est isocèle en A a>b x < y et z < t ABCD parallélogramme x=3 a+b=c+d x − a = 0 ou x − b = 0 a+x=a+y xy>0 A ∈ c(O, r) ଵ ୶ AB = AC xy = 0 a> b x>0 x = 0 ou y = 0 x + y2 > 0 x+z<y+t ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ AB = CD AB = CD ሬሬሬሬሬԦ AB= ሬሬሬሬሬԦ DC ax=ay x=y x2 = 9 ABC est rectangle en B x−5=4 a = c et b = d x2 = 4 (x − a)(x − b) = 0 x=y x > 0 et y > 0 OA = r >0 x>0 x>3 x>4 x=9 x = −2 ou x = 2 AB ≠ CD ሬሬሬሬሬሬԦ≠ CD ሬሬሬሬሬԦ AB ABCD est un rectangle AC = BD x > y > 0 et z > t > 0 IA = IB C’est le 1er janvier -4- AB2 + BC2 = AC2 xz>yt I milieu de [AB] le lycée est fermé DMartin-LAH
