Pour démarrer: raisonnements mathématiques et

Pour d´emarrer: raisonnements math´ematiques et strat´egies de base
pour coll´egiens
Margaret Bilu
20 octobre 2014
Ce document 1a pour but de vous familiariser avec quelques ”trucs” de base en math´ematiques qu’il est
important de savoir, en particulier certains types de raisonnements.
1 Vocabulaire de th´eorie des ensembles
1.1 D´efinitions
En math´ematiques, on appelle ensemble une collection d’objets, qui peuvent ˆetre de nature vari´ee. Les
objets contenus dans l’ensemble sont appel´es ´el´ements de l’ensemble. Ainsi, on peut consid´erer des ensembles
de nombres, mais par exemple aussi l’ensemble des ´el`eves d’une classe, l’ensemble des chats roux en France
etc. Un ensemble se note entre accolades {et }. Si un ´el´ement xappartient `a un ensemble A, on note x∈A,
sinon on note x6∈ A.
Un ensemble est dit fini s’il ne contient qu’un nombre fini d’´el´ements, infini sinon. Si un ensemble Aest
fini, on appelle cardinal de Ale nombre d’´el´ements de A. On peut le noter CardAou |A|.
Exemples
– L’ensemble {1}contient un seul ´el´ement, qui est 1.
– L’ensemble A={1,2,5,7, π}est compos´e de cinq ´el´ements, les nombres 1, 2, 5, 7 et π. Cet ensemble
est donc fini de cardinal 5. On a 1 ∈Amais −36∈ A.
– L’ensemble Bde tous les entiers pairs est infini. On a 2 ∈Bmais 1 6∈ B, et π6∈ B.
– L’intervalle C= [0,4] est l’ensemble des nombres compris entre 0 et 4 (au sens large). Il est infini.
1.2 Op´erations sur les ensembles
Soient Aet Bdeux ensembles. On appelle intersection de Aet B, et on note A∩B, l’ensemble des ´el´ements
appartenant `a Aet `a B. On peut ´egalement d´efinir l’intersection de plusieurs ensembles A, B, C, D . . ., comme
l’ensemble des ´el´ements appartenant `a tous les ensembles consid´er´es.
Exemple Soient A,Bet Cles ensembles d´efinis ci-dessus. Alors :
–A∩B={2}puisque le seul entier pair appartenant `a Aest 2.
–B∩C={0,2,4}car les seul entiers pairs compris entre 0 et 4 sont 0,2 et 4.
–A∩C={1,2}.
–A∩B∩C={2}.
Soient Aet Bdeux ensembles. On appelle union de Aet B, et on note A∪B, l’ensemble des ´el´ements
appartenant `a Aou `a B. De mˆeme que pour l’intersection, on peut d´efinir l’union de trois ensembles ou plus
comme l’ensemble des ´el´ements appartenant `a au moins l’un des ensembles concern´es.
Soient Aet Bdeux ensembles. On dit que Aest inclus dans B(ou que Bcontient A) si tout ´el´ement de
Aest ´egalement ´el´ement de B. On dit alors aussi que Aest un sous-ensemble de B, et on note cela A⊂B.
Exemple
– L’ensemble des entiers pairs est un sous-ensemble de l’ensemble de tous les entiers.
– L’intervalle [0,4] est un sous-ensemble de l’intervalle ] −1,5[, et contient l’ensemble {0,1}.
1. Cet texte a ´et´e r´edig´e sur la base d’extraits de cours donn´es par Margaret Bilu, Joon Kwon, Fran¸cois Lo Jacomo et Ir`ene
Marcovici lors de divers stages olympiques et autres ´ev´enements destin´es aux coll´egiens et lyc´eens.
1

Il est souvent commode d’illustrer des raisonnement sur des ensembles par des dessins : on repr´esente les
ensembles par des ”patates”. On a alors A⊂Bsi la patate correspondant `a Aest enti`erement contenue dans
celle correspondant `a B. L’intersection de Aet de Best l’ensemble des points contenus dans les deux patates,
l’union l’ensemble des points contenus dans au moins une des deux patates. Par exemple sur le dessin suivant,
l’intersection de Aet Best la zone doublement hachur´ee, et l’union est toute la zone hachur´ee (doublement
ou pas).
A
B
1.3 Comptage et inclusion-exclusion
Dans ce paragraphe tous les ensembles utilis´es seront finis, et on pourra donc parler de leur cardinal. Le
but ici est de donner des moyens de calculer les cardinaux d’intersections et d’unions d’ensembles.
Principe d’inclusion-exclusion - On note |A|le nombre d’objets d’un ensemble A. Si A, B, C sont
des ensembles, alors on a :
|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C|.
Pour d´emontrer ces formules, le plus simple est de dessiner des patates ! Ainsi, pour la premi`ere formule,
`a l’aide du dessin ci-dessus, on peut voir que l’aire de toute la zone hachur´ee, qui repr´esente |A∪B|, s’obtient
en ajoutant l’aire de Aet l’aire de B, puis en soustrayant l’aire de la zone doublement hachur´ee, car cette
derni`ere a ´et´e compt´ee deux fois. Essayons de comprendre la deuxi`eme formule en ajoutant une patate pour
l’ensemble C:
A
B
C
Ici :
– L’ensemble Acorrespond `a la zone gris´ee ;
– L’ensemble Bcorrespond `a la zone hachur´ee ;
– L’ensemble Ccorrespond `a la zone en pointilles ;
– L’ensemble A∩Bcorrespond `a la zone gris´ee et hachur´ee ;
– L’ensemble B∩Ccorrespond `a la zone hachur´ee et en pointill´es ;
– L’ensemble C∩Acorrespond `a la zone en pointill´es et gris´ee ;
– L’ensemble A∩B∩Ccorrespond `a la zone gris´ee, hachur´ee et en pointill´es.
Nous nous int´eressons `a l’aire de l’ensemble A∪B∪C, qui correspond `a la zone qui est gris´ee ou hachur´ee
ou en pointill´es. Pour cela, on commence par additionner l’aire de la zone gris´ee A, de la zone hachur´ee B
et de la zone en pointill´es C, ce qui nous donne d´ej`a |A|+|B|+|C|. Or on a compt´e ici en double toutes
les aires qui ont un double coloriage. Il faut donc soustraire |A∩B|+|B∩C|+|C∩A|. Mais maintenant,
la zone du milieu qui est gris´ee, hachur´ee et en pointill´es a ´et´e compt´ee trois fois dans |A|+|B|+|C|, puis
soustraite trois fois dans |A∩B|+|B∩C|+|C∩A|. Il faut donc rajouter |A∩B∩C|pour ˆetre sur d’avoir
pris en compte tout le monde, ce qui nous donne la formule ´enonc´ee.
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Exercice 1 Combien y a t-il de nombres `a moins de quatre chiffres (de 0 `a 9999) qui ne sont divisibles ni
par 3, ni par 5, ni par 7 ?
Exercice 2 Un cube 20 ×20 ×20 est divis´e en 8000 cubes unit´es. On ´ecrit un nombre dans chaque cube
unit´e. Dans chaque ligne et dans chaque colonne de 20 petits cubes, parall`ele `a une des arˆetes du cube, la
somme des nombres fait 1. Dans un des petits cubes, le nombre ´ecrit est 10. Par ce petit cube passent trois
couches 1 ×20 ×20 parall`eles aux faces du cube. Trouver la somme de tous les nombres en dehors de ces
trois couches.
2 Les diff´erents ensembles de nombres
Pour se fixer les id´ees, rappelons rapidement les noms et d´efinitions des diff´erents ensembles de nombres.
L’ensemble N={0,1,2,3. . .}contient tous les entiers positifs (y compris z´ero). Pourquoi N? Parce qu’on
l’appelle souvent l’ensemble des entiers naturels, par opposition avec les entiers relatifs contenant les n´egatifs,
qui, rappelons-le, ont ´et´e introduits bien plus tard.
Si on rajoute les n´egatifs, on obtient l’ensemble des entiers relatifs, Z, cette lettre venant probablement de
l’allemand ”Zahl”, qui veut dire ”nombre”. Ainsi, Z={. . . , −3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}.
Les nombres comme 1
2,−9 10 , et plus g´en´eralement ceux de la forme p qavec pet qentiers et qnon nul (que
vous connaissez sous le nom de fractions) sont regroup´es dans Q, l’ensemble des nombres rationnels. La lettre
Qvient probablement du mot ”quotient”. Notons que tout entier ns’´ecrit n
1et appartient donc `a Q(on note
n∈Q).
Exercice 1 Montrer que √2 n’appartient pas `a Q. Indication : ´ecrire √2 = p
qavec pet qpremiers entre eux
et mettre au carr´e. Plus g´en´eralement, si n∈Nn’est pas le carr´e d’un entier, on peut montrer que √n6∈ Q.
Il y a donc des nombres non rationnels, qu’on appelle irrationnels. Un autre irrationnel c´el`ebre est π.
Tous les nombres que vous connaissez appartiennent `a un ensemble beaucoup plus grand, R, l’ensemble
des nombres r´eels. Ainsi, Rcontient aussi bien 0 que √2 et que −π
6. Il contient aussi plein de nombres plus
myst´erieux, qu’on ne peut pas ´ecrire aussi facilement. Pour vous repr´esenter R, dessinez un axe, avec les
nombres 0,1,-1,... Vous pouvez aussi placer 1
2,3 4, et, plus approximativement, 1 3et π.
0 1 2 3 4 5
−1
2
1
3π
−1
Cet axe est souvent appel´e l’axe des r´eels, ou la droite r´eelle. En fait, tout point de cet axe correspond
`a un r´eel. Vous pouvez ainsi voir `a quel point cet ensemble est gros par rapport `a l’ensemble des entiers. Il
est en fait aussi beaucoup plus gros que l’ensemble des rationnels (c’est-`a-dire qu’il y a beaucoup plus de
nombres irrationnels que de nombres rationnels).
R´ecapitulons : Nous avons quatre ensembles de nombres inclus strictement les uns dans les autres de
cette fa¸con :
N⊂Z⊂Q⊂R.
3 Principes de d´emonstration
Dans un probl`eme de math´ematiques, on vous demandera toujours de d´emontrer quelque chose. Mais les
d´emonstrations peuvent prendre des formes tr`es diff´erentes, suivant l’´enonc´e, mais aussi suivant la solution
que vous avez trouv´ee, et suivant votre propre choix de r´edaction. Voici n´eanmoins quelques grands types de
d´emonstrations.
3.1 ´ Equivalence et double implication
Avant de pr´esenter les sch´emas de preuve par ´equivalence et double implication, nous avons besoin de
faire un peu de logique. Soient Pet Qdeux propositions.
On dit que Pimplique Q, et on note P=⇒Qsi on ne peut simultan´ement avoir que Pest vraie et que
Qest fausse. On peut alors ´egalement dire que
– Si Pest vraie, alors Qest vraie.
– Pour que Qsoit vraie, il suffit que Psoit vraie : Pest une condition suffisante pour Q.
– Pour que Psoit vraie, il faut que Qsoit vraie : Qest une condition n´ecessaire pour P.
On appelle souvent la proposition Q=⇒Pla r´eciproque de P=⇒Q. Attention, si P=⇒Qest vraie,
sa r´eciproque ne l’est pas n´ecessairement ! Voyons quelques exemples :
3

Exemples
1. Soient P=”Il fait beau aujourd’hui” et Q= ”Il ne pleut pas aujourd’hui”. Alors P=⇒Q. En revanche,
nous n’avons pas Q=⇒Pvu qu’il pourrait tr`es bien faire moche sans qu’il pleuve... L’absence de pluie
est donc une condition n´ecessaire au beau temps, mais non suffisante.
2. Soit P= (x∈N) et Q= (x∈Z). En fran¸cais, Pest la proposition ”xest un entier naturel” et Qest
la proposition ”xest un entier relatif”. Alors P=⇒Q. En revanche, la r´eciproque n’est pas vraie, vu
qu’il existe des entiers relatifs qui ne sont pas naturels, par exemple −1. Le fait d’ˆetre un entier naturel
est une condition suffisante au fait d’ˆetre un entier relatif, mais nullement n´ecessaire.
Et que se passe-t-il si la r´eciproque est tout de mˆeme vraie ? Si Pimplique Qet Qimplique P, on dit
que Pet Qsont ´equivalentes et on note P⇐⇒ Q. On peut alors ´egalement dire que
–Pest vraie si et seulement si Qest vraie.
– Pour que Qsoit vraie, il faut et il suffit que Psoit vraie : Pest une condition n´ecessaire et suffisante
pour Q.
– Pour que Psoit vraie, il faut et il suffit que Qsoit vraie : Qest une condition n´ecessaire et suffisante
pour P.
Exemples
1. Soit P= (x∈N) et Q= (x∈Zet x≥0). Alors P⇐⇒ Q. En effet, nous avons P⇐⇒ Qvu qu’un
entier naturel est un entier relatif, et est positif ou nul. R´eciproquement, si xest un entier relatif et
qu’il est positif, il est n´ecessairement naturel.
2. Soit P= (x= 3) et Q= (x+ 1 = 4). Alors P⇐⇒ Q. En effet, pour d´eduire Qde Pil suffit d’ajouter
1 aux deux cˆot´es de l’identit´e. Pour d´eduire Qde P, il suffit de soustraire 1 des deux cˆot´es. Retenez
cela : si vous faites des op´erations r´eversibles sur les ´egalit´es, c’est-`a-dire telles que vous pouvez effectuer
l’op´eration inverse, alors vous obtenez des ´egalit´es ´equivalentes.
3. Soit P= (x= 3) et Q= (x2= 9). Alors P=⇒Qvu qu’il suffit de mettre au carr´e les deux cˆot´es de
l’identit´e donn´ee par Ppour obtenir Q. En revanche, Q=⇒(x= 3 ou x=−3), mais Qn’implique
pas P: normal, nous avons effectu´e une ´el´evation au carr´e, qui n’est pas une op´eration ”r´eversible” si
nous n’avons pas d’indications sur le signe de ce que nous avons mis au carr´e.
Beaucoup de th´eor`emes en math´ematiques se pr´esentent ou bien comme des implications, ou bien comme
des ´equivalences. Quelques exemples parmi ce que vous connaissez :
Racines carr´ees : Soit a∈R. Si aest la racine carr´ee d’un entier, alors aest entier ou irrationnel. En
revanche, la r´eciproque est fausse : 1
√2est irrationnel, mais son carr´e 1
2n’est pas entier.
Th´eor`eme de Pythagore Soit ABC un triangle. ABC est rectangle en Asi et seulement si BC2=
AB2+AC2.
De mˆeme, dans les exercices, on vous demandera souvent de prouver une implication ou bien une
´equivalence.
Prouver une implication Si un exercice vous demande de prouver qu’une certaine proposition Pimplique
une proposition Q, il suffit de partir de Pet d’essayer d’en d´eduire Q. Un exemple simple :
Exercice : Montrer que si le triangle ABC ci-dessous est rectangle en A, alors a= 5.
3
•
a
•
4
•
A
B
C
D´emonstration. Ce qui se cache derri`ere le ”si...alors...” de l’´enonc´e, est simplement l’implication
(ABC rectangle en A) =⇒a= 5.
C’est cela que nous allons prouver : Supposons que ABC est rectangle en Aet montrons que a= 5. Le
th´eor`eme de Pythagore donne a2= 32+ 42= 25. Donc a= 5 ou a=−5. Mais aest positif car il s’agit d’une
longueur. D’o`u a= 5. Conclusion, on a bien d´emontr´e (ABC rectangle en A) =⇒a= 5.
4

Prouver une ´equivalence Imaginons qu’on nous demande de prouver que pour deux propositions Pet
Q, l’´equivalence P⇐⇒ Qest vraie. La mani`ere la plus r´epandue et la plus prudente de proc´eder est celle qui
consiste `a d´ecouper la preuve en deux, en montrant d’une part que P=⇒Q, et d’autre part que Q=⇒P.
Dans l’exemple ci-dessus, cela donne :
Exercice : Montrer que le triangle ABC ci-dessus est rectangle en Asi et seulement si a= 5.
D´emonstration. Nous avons d´ej`a montr´e le sens direct (ABC rectangle implique a= 5). Montrons la
r´eciproque, c’est-`a-dire supposons a= 5 et montrons qu’alors ABC est rectangle. Dans ce cas nous avons
a2= 25 = 32+ 42, donc la r´eciproque du th´eor`eme de Pythagore nous permet de conclure.
Attention : En r´edigeant une preuve par double implication, il est important de bien pr´eciser quel sens
vous ˆetes en train de montrer, sinon on peut vite avoir l’impression que vous vous servez de ce que vous
voulez prouver ! Par exemple dans la preuve ci-dessus, il ´etait important de pr´eciser qu’on ´etait en train de
prouver la r´eciproque pour pouvoir utiliser le fait que a= 5.
Vous avez d´ej`a fait pas mal de raisonnements par double implication lorsque vous avez r´esolu des
´equations : en effet, supposons que nous voulons r´esoudre l’´equation 4x+ 5 = 0. On commence `a cher-
cher des conditions n´ecessaires pour qu’un nombre soit solution de l’´equation, c’est-`a-dire qu’on cherche `a
voir ce que le fait que 4x+ 5 = 0 implique sur x. Par exemple, nous pouvons voir que cela implique que
4x=−5, donc que x=−4
5. Vu que nous avons raisonn´e par implication, nous n’avons pour le moment montr´e
seulement la proposition ”Si xest solution, alors x=−5
4”. Or on nous demande de r´esoudre l’´equation, c’est-
`a-dire de trouver l’ensemble de toutes les solutions. Il faut donc que nous prouvions ´egalement la r´eciproque,
c’est-`a-dire que nous v´erifions que −5
4est bien solution de l’´equation. Cela se fait par simple v´erification en
rempla¸cant xpar −5
4dans l’´equation : 4 ×−5 4+ 5 = −5 + 5 = 0. Nous avons donc prouv´e :
4x+ 5 = 0 ⇐⇒ x=−5
4.
Remarquons que dans des cas simples comme celui-l`a, on peut raisonner directement par ´equivalence.
Plus pr´ecis´ement, nous pouvons remarquer que
4x+ 5 = 0 ⇐⇒ 4x=−5,
et que
4x=−5⇐⇒ x=−5
4,
(nous n’avons effectu´e que des op´erations ”r´eversibles”) d’o`u l’´equivalence 4x+ 5 = 0 ⇐⇒ x=−5
4. Le fait
de montrer que deux propositions sont ´equivalentes en les reliant par une succession de propositions telles
que chacune est ´equivalente `a la suivante s’appelle un raisonnement par ´equivalence. Vous pouvez l’utiliser
pour des cas simples, mais si vous avez un doute, pr´ef´erez la double implication.
3.2 Le raisonnement par l’absurde
Supposons qu’on nous demande de prouver qu’une certaine propri´et´e Aest vraie.
Raisonnement par l’absurde : On suppose que Aest fausse, et on cherche `a aboutir `a une contra-
diction.
L’exemple le plus c´el`ebre est l’irrationalit´e de √2 que vous avez vue dans l’exercice dans le paragraphe
sur les ensembles de nombres. Remarquons que pour cette preuve, un raisonnement par l’absurde est indis-
pensable, car on ne sait caract´eriser un nombre irrationnel que par le fait qu’il n’est pas rationnel.
L’avantage du raisonnement par l’absurde, c’est qu’il introduit une hypoth`ese suppl´ementaire, ce qui est
appr´eciable quand on ne sait pas d’o`u partir. Par exemple dans le cas de l’irrationalit´e de √2, c’est le fait
de supposer qu’il est rationnel qui nous permet de d´emarrer la d´emonstration, et d’avoir des id´ees pour la
mener `a bout.
3.3 Bilan : r`egles pour bien raisonner et bien r´ediger
Voici quelques conseils `a suivre quand vous r´edigez une solution `a un exercice. Tout n’est pas forc´ement
obligatoire pour chaque exercice ; une fois que vous aurez l’habitude vous saurez ce qui est n´ecessaire et ce
qui est superflu, mais quand on d´ebute, il vaut toujours mieux ˆetre trop pr´ecis que pas assez !
1. Dites ce que vous voulez prouver. Par exemple, si l’´enonc´e pose une question : ”Est-il possible de... ”,
commencez par y r´epondre en une phrase avant de d´evelopper votre raisonnement.
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