1 Les entiers naturels

Lycée
Année 2007-2008.
G.MANDALLAZ.
Ecrit avec L
A
T
EX
Les Ensembles de Nombres
1 Les entiers naturels
1.1 Notation
Définition 1
L’ensemble des entiers naturels {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; . . .}est noté N.
Cette notation est due au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858-1932), le Nsignifie naturale.
Remarque 1
Autrement dit Nest l’ensemble de tous les entiers positifs ou nul.
A ce titre cet ensemble est infini, en effet si n∈Nson successeur n+ 1 ∈N.
On note aussi N∗l’ensemble des entiers naturels strictement positifs.
Exemple 1
l13 967 621 ∈N.
l√49 ∈N, en effet √49 = 7.
l−16∈ Ncar -1 est négatif.
l14,56∈ Ncar il admet une partie décimale non nulle.
lπ6∈ Ncar il admet une partie décimale non nulle (3< π < 4).
1.2 Arithmétique (rappels)
Dans l’ensemble Non peut voir la notion de diviseur, de multiple (cf cours de troisième).
Par extension on peut aussi définir la notion de PGCD de deux entiers naturels (Plus Grand Commun Diviseur).
Propriété 1 (Rappel)
Soient a∈N∗et b∈N∗.
P GCD(a;b) = 1 ⇔aet bsont premiers entre eux.
Propriété 2 (Rappel)
Soient a∈Net b∈N∗.
Soient qet rles entiers définis par la division euclidienne de apar b:
a=bq +ravec 0≤r < b
On a alors l’égalité suivante :
P GCD(a;b) = P GCD(b;r)
En réitérant le calcul avec les entiers bet rjusqu’à trouver r= 0 on obtient le PGCD (ce sera donc l’entier b),
ce procédé est appelé algorithme d’Euclide.
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Exemple 2
Calculons le Plus Grand Commun Diviseur des nombres 17784 et 6720.
17784 = 6720 ×2 + 4344.
6720 = 4344 ×1 + 2376.
4344 = 2376 ×1 + 1968.
2376 = 1968 ×1 + 408.
1968 = 408 ×4 + 336.
408 = 336 ×1 + 72.
336 = 72 ×4 + 48.
72 = 48 ×1 + 24.
48 = 24 ×2 + 0.
Ainsi P GCD(17784; 6720) = 24.
Définition 2
Etant donnés deux entiers a, b ∈N∗, on définit le PPCM de aet b(Plus Petit Commun Multiple) par :
P P CM(a;b) = ab
P GCD(a;b)
.
Exemple 3
P P CM(17 784; 6 720) = 17 784 ×6 720
24 = 4 979 520.
Lorsque l’on ajoute deux fractions a
bet c d, le meilleur dénominateur commun est P P CM(b;d).
1.3 L’ensemble des nombres premiers
Parmi les entiers naturels, on peut distinguer les nombres premiers.
Définition 3
On appelle nombre premier tout entier naturel qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
On note Pl’ensemble des nombres premiers.
Un entier naturel (différent de 1) qui n’est pas premier est dit composé.
Exemple 4
l12 6∈ P.
En effet, les diviseurs de 12 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12.
12 possède 6 diviseurs donc il est composé (12 = 4 ×3ou 12 = 2 ×6).
l37 ∈P.
En effet, les diviseurs de 37 sont 1 ; 37.
37 possède exactement 2 diviseurs, il est donc premier.
l16∈ Pvu qu’il possède exactement 1 diviseur : lui même.
Propriété 3
Soient n∈Ntel que n≥2et p, q ∈Ndeux diviseurs de ntels que n=pq et p≤q.
on a alors :
1≤p≤E(√n)où E(√n)désigne l’entier ≤√nle plus proche
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Démonstration 1
Soit n∈Ntel que n≥2.
On peut écrire nsous la forme d’un produit d’entiers naturels n=pq avec p≤q(et ce que nsoit premier ou non).
On a évidemment 1≤pcar p∈N∗nécessairement.
Il reste à montrer que p≤E(√n).
p≤q⇒p2≤pq.
p≤q⇒p2≤n.
p≤q⇒p≤√n.
p≤q⇒p≤E(√n)car pest entier.¥
Remarque 2
La propriété précédente nous permet de rechercher les diviseurs d’un nombre ndonné sans perdre trop de temps.
En effet, il suffit de tester chaque entier p compris entre 1 et E(√n):
Si l’on trouve un entier pcompris entre 1 et E(√n)divisant nalors pet l’entier n
pdivisent n.
Exemple 5
Cherchons les diviseurs de 240.
Pour cela, on va tester chaque entier compris entre 1 et E(√240) = 15.
Ce qui nous donne sur deux lignes (dans une même colonne les deux nombres ont pour produit 240).
1 2 3 4 5 6 8 10 12 15
240 120 80 60 48 40 30 24 20 16
Remarque 3
En appliquant ce procédé, on trouve facilement une liste de nombres premiers (en ne trouvant que deux diviseurs)
dont voici les premiers éléments :
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
Remarque 4
On peut trouver une liste de nombres premiers en appliquant la méthode du crible d’Eratosthène
(-276 / -194 : mathématicien grec qui fut directeur de la bibliothèque d’Alexandrie).
On part d’un carré (ici de 10) :
1. On barre 1 (il n’est pas premier).
2. On cherche le prochain nombre non barré : il est premier.
3. On barre tous les multiples de ce nombre.
4. On retourne à l’étape 2.
Dans l’image suivante, on a barré :
1. En rouge les multiples de 2,
2. En bleu les multiples de 3,
3. En vert les multiples de 5,
4. En violet les multiples de 7.
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Remarque 5
Sur les TI-89 et TI Voyage 200, il existe une fonction testant la primalité d’un nombre (sous certaines limites),
c’est la fonction IsPrime.
IsPrime(17) retourne true (vrai) alors que IsPrime(16) retourne false (faux).
Sur HP le test est beaucoup plus fiable (test probabiliste de Miller-Rabin).
Théorème 1
Tout entier n≥2admet un diviseur premier.
Démonstration 2
Soit n∈Ntel que n≥2.
Notons Dn={d∈N|d6= 1 et d|n}l’ensemble des diviseurs de ndifférents de 1.
Dn6=∅car n∈Dn.
Notons p= min Dnle plus petit élément de Dn(le plus petit diviseur de nautre que 1).
Montrons que pest premier.
Soit dun diviseur de p.
On a donc d|pet p|ndonc par transitivité d|n.
Ainsi d= 1 ou d∈Dn.
Or d∈Dnimplique que d≥p(car pest le plus petit élément de Dn) mais d|pdonc d≤p.
Finalement d∈Dnimplique d=p.
Ainsi, si dest un diviseur de palors d= 1 ou d=pie p∈P.¥
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Théorème 2
L’ensemble Pest infini.
Démonstration 3
Raisonnons par l’absurde. Supposons que Psoit fini.
Notons p= max Ple plus grand élément de P.
Posons n=p! + 1 = 1 ×2×3×4×5×. . . ×(p−2) ×(p−1) ×p+ 1 ∈N.
D’après le théorème 1 cet entier nadmet un diviseur premier q(donc q∈Pet 2≤q≤p).
Ainsi npeut s’écrire sous la forme d’un produit n=qa avec a∈N∗.
De même qest un facteur du produit p!donc p!peut s’écrire sous la forme d’un produit p! = qb avec b∈N∗.
On a donc qa =qb + 1 ⇔qa −qb = 1 ⇔q(a−b) = 1 donc q|1.
On a donc q|1et q≥2: impossible ! Donc Pest un ensemble infini.¥
Remarque 6
Le 4 septembre 2006 a été annoncé le plus grand nombre premier connu à ce jour : 232 582 657 −1.
Ce nombre comporte 9 808 358 chiffres.
Théorème 3 (Décomposition en facteurs premiers)
Soit n∈Ntel que n≥2.
Il existe r∈N∗entiers premiers pidistincts 2 à 2 et rentiers naturels non nuls αitels que
n=pα1
1pα2 2. . . pαr
r
Démonstration 4
Soit P(l)⇔n=pα1
1. . . pαl
lqlet ql>1ou (n=pα1
1. . . pαr
ret r≤l).
FPosons Dn={d∈N|d6= 1 ou d|n}et p1= min Dn.
Soit α1∈N∗tel que pα1
1|net pα1+1 1-n(α1s’appelle la valuation de p1).
npeut alors s’écrire n=pα1
1q1où p1-q1.
Si q1= 1 alors r= 1 et on a bien P(1) sinon on a bien aussi P(1).
FSupposons l’hypothèse vraie pour un rang l.
Si n=pα1
1pα2 2. . . pαr
ralors l’hypothèse est vraie au rang l+ 1.
Supposons donc que n=pα1
1. . . pαl
lqlet ql>1.
Posons pl+1 = min Dqlet αl+1 la valuation de pl+1.
ns’écrit alors n=pα1
1. . . pαl
lpαl+1 l+1 ql+1 et ql> ql+1 >1ou n=pα1
1. . . pαl
lpαl+1 l+1 et r=l+ 1.
On a donc bien P(l+ 1).
FEn conclusion il existe bien un entier rnon nul et rcouples d’entiers non nuls (pi, αi)où les pisont premiers
et distincts deux à deux tels que n=pα1
1pα2 2. . . pαr
r.
En effet q1> q2> . . . > qr−1> qr= 1.¥
Remarque 7
La décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.
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