1 Les entiers naturels

Lycée
Année 2007-2008.
G.MANDALLAZ.
Ecrit avec LATEX
Les Ensembles de Nombres
1
Les entiers naturels
1.1
Notation
Définition 1
L’ensemble des entiers naturels {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; . . .} est noté N.
Cette notation est due au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858-1932), le N signifie naturale.
Remarque 1
Autrement dit N est l’ensemble de tous les entiers positifs ou nul.
A ce titre cet ensemble est infini, en effet si n ∈ N son successeur n + 1 ∈ N.
On note aussi N∗ l’ensemble des entiers naturels strictement positifs.
Exemple 1
l 13 967 621 ∈ N.
√
√
l 49 ∈ N, en effet 49 = 7.
l −1 6∈ N car -1 est négatif.
l 14, 5 6∈ N car il admet une partie décimale non nulle.
l π 6∈ N car il admet une partie décimale non nulle (3 < π < 4).
1.2
Arithmétique (rappels)
Dans l’ensemble N on peut voir la notion de diviseur, de multiple (cf cours de troisième).
Par extension on peut aussi définir la notion de PGCD de deux entiers naturels (Plus Grand Commun Diviseur).
Propriété 1 (Rappel)
Soient a ∈ N∗ et b ∈ N∗ .
P GCD(a; b) = 1 ⇔ a et b sont premiers entre eux.
Propriété 2 (Rappel)
Soient a ∈ N et b ∈ N∗ .
Soient q et r les entiers définis par la division euclidienne de a par b :
a = bq + r avec 0 ≤ r < b
On a alors l’égalité suivante :
P GCD(a; b) = P GCD(b; r)
En réitérant le calcul avec les entiers b et r jusqu’à trouver r = 0 on obtient le PGCD (ce sera donc l’entier b),
ce procédé est appelé algorithme d’Euclide.
1
Exemple 2
Calculons le Plus Grand Commun Diviseur des nombres 17784 et 6720.
17784 = 6720 × 2 + 4344.
6720 = 4344 × 1 + 2376.
4344 = 2376 × 1 + 1968.
2376 = 1968 × 1 + 408.
1968 = 408 × 4 + 336.
408 = 336 × 1 + 72.
336 = 72 × 4 + 48.
72 = 48 × 1 + 24.
48 = 24 × 2 + 0.
Ainsi P GCD(17784; 6720) = 24.
Définition 2
Etant donnés deux entiers a, b ∈ N∗ , on définit le PPCM de a et b (Plus Petit Commun Multiple) par :
P P CM (a; b) =
ab
P GCD(a; b)
.
Exemple 3
17 784 × 6 720
= 4 979 520.
P P CM (17 784; 6 720) =
24
a
c
Lorsque l’on ajoute deux fractions et , le meilleur dénominateur commun est P P CM (b; d).
b
d
1.3
L’ensemble des nombres premiers
Parmi les entiers naturels, on peut distinguer les nombres premiers.
Définition 3
On appelle nombre premier tout entier naturel qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
On note P l’ensemble des nombres premiers.
Un entier naturel (différent de 1) qui n’est pas premier est dit composé.
Exemple 4
l 12 6∈ P.
En effet, les diviseurs de 12 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12.
12 possède 6 diviseurs donc il est composé (12 = 4 × 3 ou 12 = 2 × 6).
l 37 ∈ P.
En effet, les diviseurs de 37 sont 1 ; 37.
37 possède exactement 2 diviseurs, il est donc premier.
l 1 6∈ P vu qu’il possède exactement 1 diviseur : lui même.
Propriété 3
Soient n ∈ N tel que n ≥ 2 et p, q ∈ N deux diviseurs de n tels que n = pq et p ≤ q.
on a alors :
√
√
√
1 ≤ p ≤ E( n) où E( n) désigne l’entier ≤ n le plus proche
2
Démonstration 1
Soit n ∈ N tel que n ≥ 2.
On peut écrire n sous la forme d’un produit d’entiers naturels n = pq avec p ≤ q (et ce que n soit premier ou non).
On a évidemment 1 ≤ p car p ∈ N∗ nécessairement.
√
Il reste à montrer que p ≤ E( n).
p ≤ q⇒p2 ≤ pq.
p ≤ q⇒p2 ≤ n.
√
p ≤ q⇒p ≤ n.
√
p ≤ q⇒p ≤ E( n) car p est entier.¥
Remarque 2
La propriété précédente nous permet de rechercher les diviseurs d’un nombre n donné sans perdre trop de temps.
√
En effet, il suffit de tester chaque entier p compris entre 1 et E( n) :
√
n
Si l’on trouve un entier p compris entre 1 et E( n) divisant n alors p et l’entier divisent n.
p
Exemple 5
Cherchons les diviseurs de 240.
√
Pour cela, on va tester chaque entier compris entre 1 et E( 240) = 15.
Ce qui nous donne sur deux lignes (dans une même colonne les deux nombres ont pour produit 240).
1
240
2
120
3
80
4
60
5
48
6
40
8
30
10
24
12
20
15
16
Remarque 3
En appliquant ce procédé, on trouve facilement une liste de nombres premiers (en ne trouvant que deux diviseurs)
dont voici les premiers éléments :
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
Remarque 4
On peut trouver une liste de nombres premiers en appliquant la méthode du crible d’Eratosthène
(-276 / -194 : mathématicien grec qui fut directeur de la bibliothèque d’Alexandrie).
On part d’un carré (ici de 10) :
1. On barre 1 (il n’est pas premier).
2. On cherche le prochain nombre non barré : il est premier.
3. On barre tous les multiples de ce nombre.
4. On retourne à l’étape 2.
Dans l’image suivante, on a barré :
1. En rouge les multiples de 2,
2. En bleu les multiples de 3,
3. En vert les multiples de 5,
4. En violet les multiples de 7.
3
79
83
89
97
Remarque 5
Sur les TI-89 et TI Voyage 200, il existe une fonction testant la primalité d’un nombre (sous certaines limites),
c’est la fonction IsPrime.
IsPrime(17) retourne true (vrai) alors que IsPrime(16) retourne false (faux).
Sur HP le test est beaucoup plus fiable (test probabiliste de Miller-Rabin).
Théorème 1
Tout entier n ≥ 2 admet un diviseur premier.
Démonstration 2
Soit n ∈ N tel que n ≥ 2.
Notons Dn = {d ∈ N|d 6= 1 et d|n} l’ensemble des diviseurs de n différents de 1.
Dn 6= ∅ car n ∈ Dn .
Notons p = min Dn le plus petit élément de Dn (le plus petit diviseur de n autre que 1).
Montrons que p est premier.
Soit d un diviseur de p.
On a donc d|p et p|n donc par transitivité d|n.
Ainsi d = 1 ou d ∈ Dn .
Or d ∈ Dn implique que d ≥ p (car p est le plus petit élément de Dn ) mais d|p donc d ≤ p.
Finalement d ∈ Dn implique d = p.
Ainsi, si d est un diviseur de p alors d = 1 ou d = p ie p ∈ P.¥
4
Théorème 2
L’ensemble P est infini.
Démonstration 3
Raisonnons par l’absurde. Supposons que P soit fini.
Notons p = max P le plus grand élément de P.
Posons n = p! + 1 = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × . . . × (p − 2) × (p − 1) × p + 1 ∈ N.
D’après le théorème 1 cet entier n admet un diviseur premier q (donc q ∈ P et 2 ≤ q ≤ p).
Ainsi n peut s’écrire sous la forme d’un produit n = qa avec a ∈ N∗ .
De même q est un facteur du produit p! donc p! peut s’écrire sous la forme d’un produit p! = qb avec b ∈ N∗ .
On a donc qa = qb + 1 ⇔ qa − qb = 1 ⇔ q(a − b) = 1 donc q|1.
On a donc q|1 et q ≥ 2 : impossible ! Donc P est un ensemble infini.¥
Remarque 6
Le 4 septembre 2006 a été annoncé le plus grand nombre premier connu à ce jour : 232 582 657 − 1.
Ce nombre comporte 9 808 358 chiffres.
Théorème 3 (Décomposition en facteurs premiers)
Soit n ∈ N tel que n ≥ 2.
Il existe r ∈ N∗ entiers premiers pi distincts 2 à 2 et r entiers naturels non nuls αi tels que
n = pα1 1 pα2 2 . . . pαr r
Démonstration
4
€
Š
Soit P (l) ⇔ n = pα1 1 . . . pαl l ql et ql > 1 ou (n = pα1 1 . . . pαr r et r ≤ l).
F Posons Dn = {d ∈ N|d 6= 1 ou d|n} et p1 = min Dn .
Soit α1 ∈ N∗ tel que pα1 1 |n et pα1 1 +1 - n (α1 s’appelle la valuation de p1 ).
n peut alors s’écrire n = pα1 1 q1 où p1 - q1 .
Si q1 = 1 alors r = 1 et on a bien P (1) sinon on a bien aussi P (1).
F Supposons l’hypothèse vraie pour un rang l.
Si n = pα1 1 pα2 2 . . . pαr r alors l’hypothèse est vraie au rang l + 1.
Supposons donc que n = pα1 1 . . . pαl l ql et ql > 1.
Posons pl+1 = min Dql et αl+1 la valuation de pl+1 .
αl+1
αl+1
n s’écrit alors n = pα1 1 . . . pαl l pl+1
ql+1 et ql > ql+1 > 1 ou n = pα1 1 . . . pαl l pl+1
et r = l + 1.
On a donc bien P (l + 1).
F En conclusion il existe bien un entier r non nul et r couples d’entiers non nuls (pi , αi ) où les pi sont premiers
et distincts deux à deux tels que n = pα1 1 pα2 2 . . . pαr r .
En effet q1 > q2 > . . . > qr−1 > qr = 1.¥
Remarque 7
La décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.
5
Exemple 6
Décomposons en facteurs premiers les nombres suivants (on teste la divisibilité de chacun des nombres par la liste
ordonnée des nombres premiers).
l 5 864 918 400 = 27 × 45 819 675
5 864 918 400 = 27 × 34 × 565 675
5 864 918 400 = 27 × 34 × 52 × 22 627
5 864 918 400 = 27 × 34 × 52 × 113 × 171 .
l 3 804 838 289 = 74 × 1 584 689
3 804 838 289 = 74 × 171 × 93 217
3 804 838 289 = 74 × 171 × 312 × 971 .
Remarque 8
Les fonctions Factor des TI et Casio permettent d’obtenir une telle décomposition, sinon il faut la programmer.
Remarque 9
La décomposition en facteurs premiers peut être utile pour :
1. Simplifier des fractions.
2. Simplifier des racines carrées.
3. Et donc, on l’a deviné : à calculer un PGCD (ou un PPCM), en effet :
Propriété 4
Soient n et m deux entiers naturels plus grands que 2.
αn
αn
α
βm
βm
β
On a n = pn1 1 pn2 2 . . . pnrnr et m = pm11 pm22 . . . pmmss d’après la décomposition en facteurs premiers.
En notant pk1 , pk2 , . . . , pkt les facteurs premiers de n et m deux à deux distincts (t ≤ r + s) et
αki , βki leurs valuations respectives (éventuellement nulles), on a :
min{αk1 ,βk1 } min{αk2 ,βk2 }
min{αkt ,βkt }
pk2
. . . pkt
P GCD(n, m) = pk1
max{αk1 ,βk1 } max{αk2 ,βk2 }
max{αkt ,βkt }
pk2
. . . pkt
P P CM (n, m) = pk1
Démonstration 5
Evident.¥
Exemple 7
Déterminons le PGCD et le PPCM des nombres 62 015 625 et 40 994 800. La factorisation nous donne :
62 015 625 = 34 × 56 × 72 .
40 994 800 = 24 × 52 × 71 × 114 .
Soit en mettant sur l’ensemble des facteurs :
62 015 625 = 20 × 34 × 56 × 72 × 110 et
40 994 800 = 24 × 30 × 52 × 71 × 114 .
l P GCD(62 015 625, 40 994 800) = 20 × 30 × 52 × 71 × 110 = 25 × 7 = 175.
l P P CM (62 015 625, 40 994 800) = 24 × 34 × 56 × 72 × 114 = 14 527 532 250 000.
6
2
Les entiers relatifs
Dans l’histoire des mathématiques, les mathématiciens ont été amenés à résoudre des équations du genre
x + 14 = 5.
Cette équation n’a pas de solution dans N car 5 − 14 n’est pas un entier naturel.
On a donc introduit un ensemble de nombres plus grand contenant N.
Définition 4
L’ensemble des entiers relatifs {. . . ; −5 ; −4 ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; . . .} est noté Z.
Cette notation est due au mathématicien allemand Richard Dedekind (1831-1916), le Z signifie Zahl (nombre).
Remarque 10
Comme Z contient N, Z est aussi un ensemble infini.
Exemple 8
l Tout entier naturel est un entier relatif.
l −73 ∈ Z.
√
l − 81 ∈ Z.
l −3, 5 6∈ Z car sa partie décimale est non nulle.
3
Les nombres décimaux et les nombres rationnels
Dans leurs recherches les mathématiciens ont été amenés à résoudre des équations plus complexes du genre
4x + 1 = 2.
1
Cette équation n’a pas de solution ni dans N, ni dans Z car n’est pas un entier.
4
On a donc introduit un ensemble de nombres plus grand contenant Z.
Définition 5
a
On appelle nombre rationnel tout nombre qui peut s’écrire où a ∈ Z et b ∈ N∗ .
b
L’ensemble des nombres rationnels est noté Q (notation due à Peano qui signifie quotiente).
Exemple 9
l Tout entier relatif n est un rationnel car n =
n
.
1
0, 13
0, 13
0, 13 × 100
13
∈ Q car
=
= .
0, 5
0, 5
0, 5 × 100
50
−3 5
l
, ∈ Q.
17 4
√
l π, 2 6∈ Q, on dit que ce sont des nombres irrationnels.
l
7
Exemple 10
Soit p ∈ P.
√
On a alors p 6∈ Q.
Raisonnons par l’absurde et supposons que
a
√
√
p ∈ Q ie p = avec a, b ∈ N∗ et P GCD(a; b) = 1.
b
a
a2
√
p = on a p = 2 et donc a2 = pb2 d’où p|a2 .
b
b
Ainsi p est un facteur premier de a2 donc nécessairement aussi de a donc p|a, on peut donc écrire a = pq d’où
a 2 = p2 q 2 .
On a alors p2 q 2 = pb2 soit pq 2 = b2 ie p|b2 et a fortiori p|b.
a
On a ainsi démontré que p|a et p|b avec p ∈ P : contradiction car est irréductible.
b
De
Définition 6
Parmi les nombres rationnels, on peut distinguer les nombres décimaux.
Ce sont ceux dont la partie décimale est finie.
On note D cet ensemble (notation française des années 70).
Exemple 11
l 0, 5 ∈ D car la partie décimale est finie.
5
l = 0, 25 ∈ D.
4
5
5
l = 0, 714285 . . . 6∈ D mais ∈ Q.
7
7
Propriété 5
a
Un nombre rationnel est décimal ssi il peut s’écrire sous la forme n où a ∈ Z et n ∈ N.
10
Démonstration 6
a
(⇐) Il est évident que si a ∈ Z et n ∈ N alors n ∈ D.
10
(⇒) Soit d = a0 , a1 . . . an l’écriture décimale d’un nombre décimal (les ai sont des entiers compris entre 0 et 9, a1
peut être négatif).
Posons a = a0 × 10n + a1 × 10n−1 + . . . + ar ∈ Z.
a
On a alors d = n .¥
10
Propriété 6
Un nombre rationnel est décimal ssi il peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible
p, q ∈ N.
2p
a
où a ∈ Z et
× 5q
Démonstration 7
(⇐) Soient a ∈ Z et p, q ∈ N.
a
a
a × 2max{p,q}−p × 5max{p,q}−q
b
=
=
= n ∈ D.
p
q
max{p,q}
max{p,q}
p−max{p,q}
q−max{p,q}
max{p,q}
2 ×5
10
2
×5
×2
×5
10
(⇒) Soit x ∈ D.
a
Alors x = n avec a ∈ Z et n ∈ N.
10
a
a
b
x= n = n
= p
après simplifications éventuelles.¥
n
10
2 ×5
2 × 5q
8
Exemple 12
Utilisons la décomposition en facteurs premiers avec la propriété précédente :
92 599
l
∈ D.
850
92 599
13 × 17 × 419
13 × 419
En effet,
=
=
∈ D (ici p = 1 et q = 2).
850
2 × 52 × 17
2 × 52
8 177
6∈ D.
l
209
8 177
13 × 17 × 37
En effet,
=
6∈ D.
209
11 × 19
Terminons ce paragraphe par une caractérisation des nombres rationnels (a fortiori des décimaux, et la définition
6 sera une conséquence de cette propriété : un nombre décimal a sa partie décimale périodique, 0 se répète).
Propriété 7
Un nombre est rationnel ssi son développement décimal est périodique à partir d’un certain rang.
Démonstration 8
p
(⇒) Soit r = ∈ Q.
q
En effectuant la division euclidienne de p par q on trouve un reste compris entre 0 et q − 1, on a donc q restes
possibles.
Ainsi au bout de q + 1 divisions successives donnant les décimales de r, on est certain de trouver un reste
déjà calculé et donc le développement est périodique à partir d’un certain rang.
(⇐) La réciproque est plus délicate.
Soit x = a−r . . . a0 , a1 a2 . . . as as+1 . . . as+t un nombre ayant un développement décimal périodique.
x=
x=
r
X
i=0
r
X
a−i × 10i +
a−i × 10i +
i=0
|
x = q1 + q10−s
{z
s
X
i=1
s
X
ai × 10−i +
∞ X
t
X
as+i × 10−s−jt−i
j=0 i=1
∞
X
−s
ai × 10−i +10
i=1
}
10−jt
j=0
t
X
i=1
|
q1 ∈Q
∞
X
as+i × 10−i
{z
}
q∈Q
10−jt
j=0
10t−s
∈ Q.¥
x = q1 + q t
10 − 1
Exemple 13
Voici des exemples de développements périodiques.
14
= 0, 93.
l
15
1
l = 0, 3.
3
344
l
= 26, 461538.
13
3 818 573 669
l 19, 111980325 =
.
199 800 000
Remarque
√ 11
Comme 2 6∈ Q, son développement décimal n’est pas périodique.
Le nombre 0, 1234567891011121314151617181920 . . . (le nombre de Champernowne) n’est pas périodique donc ce
n’est pas un rationnel.
9
4
Les nombres réels
Historiquement, les mathématiciens grecs se sont confrontés à la résolution de l’équation x2 = 2.
Ils pensaient que cette équation avait une solution dans l’ensemble Q.
Mais leurs raisonnements aboutissaient à des absurdités en supposant une telle chose. Ils ont donc conclu qu’il
existe des grandeurs incommensurables c’est à dire des nombres irrationnels (l’exemple 10 donne des exemples de
nombres irrationnels).
L’équation précédente n’a donc pas de solutions dans Q, on a donc introduit un ensemble plus grand contenant Q.
Définition 7
On appelle ensemble des nombres réels l’ensemble des abscisses des points d’une droite munie d’un repère.
On note cet ensemble R (notation due à Dedekind qui signifie real ).
Remarque 12
R est le plus grand ensemble de nombres lorsque l’on place ces nombres sur une droite.
Il existe des ensembles plus grand que R, par exemple C (l’ensemble des nombres complexes qui contient R) que
l’on peut représenter non plus sur une droite mais dans le plan (il y a donc 2 composantes).
5
Comparaison des ensembles de nombres
D’après les paragraphes précédents, on a les inclusions suivantes :
P⊂N⊂Z⊂D⊂Q⊂R
10