Les systèmes électriques (5,5 points) I. Le dipôle RC
publicité
Les systèmes électriques (5,5 points) I. Le dipôle RC On réalise le circuit correspondant au schéma-ci après. Un dispositif d'acquisition de données relié à un ordinateur permet de suivre l'évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps t. On déclenche les acquisitions à la fermeture de l'interrupteur K1, le condensateur étant préalablement déchargé. L'ordinateur nous donne alors uc = f(t), courbe 1 ci-après. L'étude théorique conduit à une expression de la forme : où est la constante de temps du circuit. 1. Reproduire le schéma du montage sur la copie et indiquer où doivent être branchées la masse M et la voie d'entrée de la carte d'acquisition pour étudier les variations de la tension uc aux bornes du condensateur. Quel est le phénomène physique mis en évidence sur l'enregistrement ? 2. À partir de la courbe, indiquer la valeur E de la tension aux bornes du générateur. Justifier. 3. La constante de temps de ce circuit a pour expression . a) Montrer que la tension uc atteint 63 % de sa valeur maximale au bout du temps caractéristique égal à . b) Déterminer la valeur de et déduire la valeur de la capacité C du condensateur. II. Le dipôle RL On remplace le condensateur par une bobine d'inductance L et de résistance r selon le schéma ci-après. L'ordinateur nous permet de suivre l'évolution de l'intensité i du courant en fonction du temps, courbe 2 ci-après. La loi d'additivité des tensions appliquée à ce circuit série conduit à l'équation différentielle suivante : (équation 1) 1. Quel est le phénomène physique mis en évidence sur l'enregistrement et quel est l'élément du circuit responsable de ce phénomène ? 2. Soit I l'intensité du courant électrique qui traverse le circuit, en régime permanent. Établir son expression littérale à partir de l'équation (1) en fonction des grandeurs caractéristiques du circuit. Donner sa valeur numérique et déduire la résistance de la bobine. 3. Quelle est la valeur du courant à la date t = 0 s ? Comment s'écrit alors l'équation différentielle (1) donnée précédemment ? Montrer qu'à t = 0 s, on a avec constante de temps du dipôle RL. 4. Vérifier que est homogène à un temps. Déterminer graphiquement la valeur numérique de la bobine. et déduire la valeur de l'inductance L de III. Le dipôle RLC en oscillations libres On associe un condensateur de capacité avec la bobine précédente, comme le montre le schéma ci-après. Le condensateur est préalablement chargé (interrupteur en position 1). L'enregistrement des variations de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps commence quand on bascule K en position 2 (courbe 3 ci-après). 1. Caractériser du point de vue énergétique l'enregistrement obtenu. Les oscillations observées sont-elles périodiques ? Pourquoi les qualifie-t-on d'oscillations libres ? 2. Mesurer la pseudo-période T des oscillations électriques. En assimilant la pseudo-période à la période propre, déterminer la valeur de l'inductance de la bobine. La comparer à celle trouvée précédemment. On rappelle l'expression de la période propre : . 3. L'association bobine-condensateur est à la base de la constitution d'oscillateurs qui génèrent une tension sinusoïdale constante en fréquence et en amplitude. Ces oscillateurs sont présents dans de nombreux appareils électriques utilisés dans le domaine des télécommunications. Comment maintient-on constante l'énergie totale d'un oscillateur électrique ? Corrigé I. Le dipôle RC 1. Branchement de la carte d'acquisition aux bornes du condensateur : L'enregistrement obtenu correspond à la charge du condensateur. 2. Lorsque le condensateur est chargé, la tension aux bornes de la résistance est nulle, donc uC = E. On peut donc lire la valeur de E sur l'asymptote de la courbe : E = 2,0 V. 3. a) Lorsque t = , alors ce qui correspond bien à 63 % de sa valeur maximale E. b) On lit sur le graphique lorsque Détermination de la constante de temps du circuit RC Graphiquement, donc A.N. : Remarque : la précision de la détermination graphique est insuffisante pour donner deux chiffres significatifs, on se contentera donc d'un seul ; il peut être judicieux de le justifier dans sa copie. II. Le dipôle RL 1. L'enregistrement obtenu montre que l'intensité n'atteint pas immédiatement sa valeur maximale : on parle de retard à l'établissement du courant. Ce phénomène est dû à la présence de la bobine dans le circuit. 2. En régime permanent, l'intensité ne varie pas, donc L'équation (1) devient donc On en déduit Sur le graphique, on lit la valeur de I en régime permanent sur l'asymptote : I = 18 mA. donc finalement A.N. : Remarque : la formulation de l'énoncé est maladroite et peut prêter à confusion, puisqu'on demande successivement une expression littérale puis une valeur numérique, mais qu'il faut trouver cette valeur à partir du graphique et non pas, comme on pourrait le supposer, par application numérique de l'expression littérale précédente… 3. Initialement, l'intensité du courant dans le circuit est nulle : L'équation (1) devient donc soit est bien de la forme avec Remarque : cette relation signifie que la pente de la tangente à la courbe à l'origine, , est égale au rapport , c'est-à-dire que cette droite passe par le point de coordonnées ( , I). C'est la méthode dite « de la tangente à l'origine » qui est ainsi démontrée… Cependant, il n'était pas nécessaire de le comprendre pour poursuivre l'exercice. 4. Rappel : pour vérifier l'homogénéité d'une relation, on peut utiliser l'analyse dimensionnelle. On note [X] la dimension de la grandeur X, qui peut être une des sept grandeurs fondamentales du système international, ou bien une grandeur dérivée. De la relation on déduit que De la relation on déduit que , et . , et . On vérifie bien que est homogène à un temps. Remarque : pour déterminer graphiquement , on utilise de préférence le résultat de la question II.3., donc la méthode de la tangente à l'origine. Cependant la méthode des 63 % est également acceptée. Détermination de la constante de temps du circuit RL Graphiquement, donc A.N. : Remarque : cette fois encore, la précision de la détermination graphique est insuffisante pour donner deux chiffres significatifs, on doit donc se contenter d'un seul. III. Le dipôle RLC en oscillations libres 1. L'enregistrement montre des oscillations qui correspondent à des échanges d'énergie entre la bobine (énergie magnétique) et le condensateur (énergie électrique). Ces oscillations sont pseudo-périodiques, on constate un amortissement qui traduit des pertes d'énergie par effet Joule, dues à la résistance interne de la bobine et des fils conducteurs. Ce sont des oscillations libres car leur période n'est pas imposée par un dispositif externe (GBF par exemple). 2. On mesure 3 pseudo-périodes sur le graphique. Détermination de la pseudo-période des oscillations D'après le graphique, 3 T correspond à une abscisse de 7,2 cm. L'échelle de ce graphique est : 8,0 cm représentent 0,1 s. Par proportionnalité : Par conséquent, en admettant que . Finalement, . , alors A.N. : On constate que cette valeur est cohérente avec celle trouvée à la question II.4. 3. Pour maintenir constante l'énergie totale d'un oscillateur électrique, on utilise un dispositif d'entretien des oscillations (par exemple un montage « à résistance négative »), qui apporte de l'énergie à l'oscillateur pour compenser les pertes par effet Joule
