2 Cas d`un dipôle RC

C Evolution des systèmes électriques
1 Notions d’électricité générale
Par convention, on utilise les lettres minuscules pour les grandeurs variables avec le temps et les lettres
majuscules pour les grandeurs indépendantes du temps.
L’orientation d’un circuit est indiquée par une flèche sur un fil de jonction,
surmontée de i. Si le courant passe dans le sens de la flèche, alors i est
positif. Si le courant passe en sens opposé, alors i est négatif.
1.1 Quantité d’électricité
Une particule est caractérisée par sa masse et sa charge électrique. La quantité d'électricité q mesure la
charge globale apportée par un ensemble de particules. Sa valeur est donc égale a un nombre entier de
fois la charge élémentaire : q = n .e (n un entier)
1.2 Caractéristiques tension intensité de dipôles électriques
C'est la courbe représentant les variations de la tension aux bornes du dipôle en fonction de l'intensité du
courant qui le traverse.
Les dipôle linéaires
Leur caractéristique tension intensité est linéaire (dipôle non linéaire dans le cas contraire)
Exemple le résistor
Les dipôles actifs
Leur caractéristique tension-intensité ne passe pas par l'origine (dipôle passif dans le cas contraire)
Exemples
Remarques
Le générateur de tension est un générateur particulier dont la résistance interne est nulle. Quelle que soit
l’intensité du courant qu’il débite, la tension à ses bornes est constante.
Le générateur de courant est générateur particulier dont la résistance interne est infinie. Quelle que soit la
tension à ses bornes l’intensité du courant qu’il débite est constante.
1.3 Puissance mise en jeu dans un circuit électrique
Par définition la puissance électrique instantanée aux bornes d'un dipôle est :
u
R
u
i
i
u = R.i (loi d’Ohm)
i
E
u
i
i
u = E – r.i
u
E
u
i
u
i
u = E
I0
E
u
i
u
i
i = I0
E’
u
i
u
i
u = E’ + r.i
le générateur réel
l'électrolyseur
le générateur de tension
le générateur de courant

p u i.
1.4 Les dipôles générateurs ou récepteurs
Dans la convention récepteur la flèche tension et la flèche intensité ont des sens contraires.
Dans la convention générateur la flèche tension et la flèche intensité ont même sens.
Pour le montage ci-contre, l'expérience montre que u et i ont le même signe :
Le dipôle est un générateur si u .i > 0 dans la convention générateur
Le dipôle est un récepteur si u .i > 0 dans la convention récepteur
Remarques
Il est commode d’adopter la convention récepteur aux bornes d’un récepteur et la convention générateur
aux bornes d’un générateur. Certains dipôles assument les deux fonctions ; ils sont dit réversibles (une
bobine, un condensateur, ...). Si un dipôle réversible passe continûment d’un fonctionnement à l’autre,
une convention n’est pas meilleure que l’autre.
2 Cas d’un dipôle RC
2.1 Le condensateur
Un condensateur est constitué de deux surfaces conductrices séparées par un isolant. Les surfaces
conductrices sont les armatures ; l’isolant est le diélectrique.
Remarques
On adopte la convention récepteur aux bornes du condensateur.
+ q est la charge électrique de l’armature qui reçoit i (l’autre armature porte la charge – q).
2.2 Relation charge intensité pour un condensateur
L’intensité est un débit de charges électriques. Si pendant la durée dt, une armature reçoit une quantité
d'électricité dq, l'intensité i du courant est :
tdqd
i 
(1)
2.3 Relation charge tension pour un condensateur
On charge un condensateur à l’aide un générateur de courant et on relève la tension u à ses bornes.
La tension « u » et la quantité d’électricité positive « q » reçue par l’armature D croissent
proportionnellement au temps :
u = a.t et q = I0.t 
q .
Ia
u
0
(on pose
C
a
I0
)
C est une constante caractéristique appelée capacité du condensateur. Elle dépend de la forme et des
dimensions du condensateur ainsi que la perméabilité électrique  du diélectrique.
On en déduit la relation charge tension pour un condensateur :
u.Cq 
(2)
0
i
u
q
- q
u
i
q désigne la charge du condensateur
–
-
+
u
t
A
I0
u
D
u = a.t
0

2.4 Dipôle RC
Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension
Un générateur de tension soumet un circuit RC à un échelon de tension. En pratique, on bascule
l’interrupteur K d’un circuit alimenté par un générateur de tension continue :
A l’aide d’un oscilloscope à mémoire (ou d’un ordinateur) dont la masse est flottante, on suit les
évolutions de la tension aux bornes du condensateur et de l’intensité du courant dans le dipôle :
On se propose d’effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur lorsque le
dipôle RC est soumis à un échelon de tension :
- loi d’additivité des tensions : U = uR + uC (U = 0 ou E)
- loi d’Ohm : U = R .i + uC (3)
- relation charge intensité (1) : U =
dt
dq
.R
+ uC
- relation charge tension (2) : U =
dt
du
.C.R C
+ uC (4)
YA
uC
uR
E
K
i
–
-
+
-YB
tension aux bornes
du dipôle RC
tension aux bornes
du condensateur
intensité du courant
dans le dipôle
E
uC (t)
0
0
0
i (t)
E
uC (t)
temps
temps
0
0
temps
0
i (t)
cas n°1
cas n°2

On obtient une équation différentielle du premier ordre. Sa résolution permettra d’anticiper l’évolution de
uC en fonction du temps. On cherchera une solution de la forme :
 C.Rt
exp.AuC
+ B (5)
Les valeurs de A et B seront déterminées compte tenu des conditions de l’expérience :
 Avant le basculement de l’interrupteur ou quand le temps tend vers l’infini, les variables électriques
ne dépendent pas ou plus du temps (le régime est dit stationnaire). En particulier, la charge électrique
q du condensateur est constante.
(1) : i = 0 (3) : uC = U (5) : B = uC (t  ∞)= U
 On a vu ci-dessus que les tensions aux bornes du condensateur et du générateur sont égales en régime
stationnaire. A l’instant initial uC (t = 0) = E ou 0 :
(5) : uC (t = 0) = A + U
L’intensité du courant parcourant le dipôle s’en déduit aisément (1) et (2) :
dt
du
Ci C
On met en évidence deux solutions analytiques pour la tension aux bornes du condensateur et l’intensité
du courant :
cas n°1 U = E
 C.Rt
exp1 EuC
 C.Rt
.exp
R
E
i
cas n°2 U = 0
 C.Rt
exp. EuC
 C.Rt
.exp
R
E
i
Constante de temps d’un dipôle RC
Le temps de charge et de décharge du condensateur dépend des valeurs de R et de C :
loi d’Ohm :
i
u
RR
(2) : (1) :
dt .idq 
A l’évidence [uR] = [uC], [dq] = [q] et [dt] = [t]
d’où
]t[
i
dt.i
i
q
u
q
.
i
u
C.R
C
R
L’analyse dimensionnelle ci-dessus confirme que le produit R.C à les dimensions d’un temps noté 
Remarque
Le calcul montre que  représente le temps au bout duquel la charge et la décharge sont réalisées à 63%
C
u
q
C
0
charge d’un dipôle RC
temps
tension
temps
tension
  très élevé
  élevé
  peu élevé
décharge d’un dipôle RC
0

Energie emmagasinée dans un condensateur
Pour charger un condensateur de la quantité d’électricité dq, un générateur fournit le travail électrique
dWe
- relation charge intensité du courant : i.dt = dq
- on multiplie les deux membres par u : u.i.dt = u.dq
- définition du travail électrique : u.i.dt = p.dt = dWe = u.dq
- relation charge tension pour un condensateur : dWe = u.dq = u.d (C.u) =
.C.d (u²)
2
1
- la tension aux bornes du condensateur croit de 0 à u durant la charge :
u² C. .
2
1
(u²) d C. .
2
1
We u
0
Ainsi, le condensateur stocke de l’énergie potentielle électrostatique :
u² C. .
2
1
)tiqueélectrosta( Ep 
Le stockage ou le déstockage de l’énergie ne peuvent jamais s’effectuer instantanément. Ainsi l’énergie
potentielle électrostatique est une grandeur continue. Donc la tension aux bornes d’un condensateur n’est
jamais discontinue.
3 Cas du dipôle RL
3.1 La bobine
Elle est constituée d’un fil de cuivre, enrobé d’un vernis isolant, bobiné sur un axe cylindrique évidé.
On adopte la convention récepteur aux bornes de la bobine :
Un circuit est alimenté par un générateur qui débite un courant en dents de scie.
On constate expérimentalement qu’une bobine s’oppose aux variations de courant dans le circuit où elle
se trouve.
temps
tension
0
E
tangente à la courbe de décharge du
condensateur à l’instant t = 0
0,37.E
u
i
uL (t)
i (t)
temps
temps
0
0
i
uL
i
uG
uL