1 La division dans tous ses états De quoi as-tu besoin ? Sommaire • • • • • A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 livre d’algèbre p. 7-30 livre d’exercices p. 5-26 calculatrice crayons et feutres marqueurs fluo La division des entiers p. 8 Le signe d’une fraction p. 12 La division euclidienne p. 14 Encadrer une fraction p. 16 Propriétés de la division des entiers p. 20 Factorisation – PGCD – PPCM p. 22 Propriété de la divisibilité p. 26 Algèbre et divisibilité p. 28 7 A1 La division des entiers Exploration a Diviser un entier positif par un entier positif Une tablette de chocolat est formée de 24 petits rectangles. Tu dois la partager avec 2 amis. Combien de petits rectangles allez-vous recevoir tous les trois ? • Écris l’opération et le résultat. Tu disposes d’un panneau de bois de 240 cm sur 120 cm. Combien de mètres d’étagère de 30 cm de large peux-tu découper hors de ce panneau ? (On néglige l’épaisseur de la scie.) • 24 : 3 = 8 120 : 30 = 4 × 240 cm = 960 cm = 9,6 m � � � � � � � � � � � � � � � � 4 � ������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������� ����������������������������� � ������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������� ����������������������������� • Compare le signe des entiers avec le signe du quotient. • Les entiers et le quotient sont positifs. � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������� ����������������������������� � ������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � Diviser un entier négatif par un entier positif La dette publique de la Belgique s’élevait au 31.05.2012 à 368,8 milliards euros. Le solde du compte bancaire de l’état belge était donc de −368 800 000 000 €. Si on parvenait à diviser cette dette par deux, quel serait le nouveau solde bancaire ? • Écris l’opération et le résultat. En janvier 2012, un vent et une température de (−28) °C ont bloqué de nombreux automobilistes sur les bords du lac Léman. Le mois suivant, la température était devenue 4 fois moins froide. Quelle température faisait-il en février 2012 ? • • Compare le signe des entiers avec le signe du quotient. Les entiers sont de signes contraires est négatif.����������������������������� et � � � � � � �le � � � � �quotient ������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������� ����������������������������� Chapitre 1 – La division dans tous ses états Écris l’opération et le résultat. −28° : 4 = −7° −368 800 000 000 € : 2 = 400 000 000 € −184 � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������� ����������������������������� � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������� ����������������������������� 8 Compare le signe des entiers avec le signe du quotient. Les entiers et le quotient sont positifs. � ������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������� ����������������������������� b Écris l’opération et le résultat. � ������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � • Compare le signe des entiers avec le signe du quotient. Les entiers sont de signes contraires le quotient est négatif. et � ������������������������������������������������������������������������� ���������������� � ������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � c Diviser un entier négatif par un entier négatif Le sous-marin du réalisateur canadien James Cameron est descendu à (−11 000) m de profondeur dans la fosse des Mariannes dans le Pacifique. La profondeur du lac de l’Eau d’Heure approche les (−50) m. Combien de fois la fosse des Mariannes est-elle plus profonde que le lac de l’Eau d’Heure ? • • Écris l’opération et le résultat. La température estimée à la surface de Jupiter est de (−164) °C. En 1983 on a relevé une température de (−82) °C à Vostok au pôle Sud. Combien de fois la température à la surface de Jupiter est-elle plus froide que celle relevée à Vostok ? • Écris l’opération et le résultat. � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������� ����������������������������� −11 000 : (−50) = 220 � ������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������� ����������������������������� � ������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � Compare le signe des entiers avec le signe du quotient. Les entiers ont le même signe et est positif. ����������������������������� le � � � � � �quotient � � � � � � ������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������� ����������������������������� −164 : (−82) = 2 • Compare le signe des entiers avec le signe du quotient. Les entiers ont le même signe et est positif. le quotient � ������������������������������������������������������������������������� ���������������� � ������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � Règle de calcul – division d’un nombre entier par un autre nombre entier Les règles des signes pour la division dans ℤ sont les mêmes que celles pour la multiplication dans ℤ. Pour diviser un nombre entier par un nombre entier non nul, • détermine le signe du quotient : – si les 2 entiers ont le même signe, le quotient est positif. – si les 2 entiers ont des signes contraires, le quotient est négatif. (+…) : (+…) donne (+…) (+6) : (+3) = +2 (−…) : (−…) donne (+…) (−6) : (−3) = +2 (−…) : (+…) donne (−…) (−6) : (+3) = −2 (+…) : (−…) donne (−…) (+6) : (−3) = −2 • effectue la division comme dans ℕ. CONTRÔLE 1 Calcule. 12 : (−2) = −6 ������������������������������������������������������� 2 −14 : (−7) = ���������������������������������������������������� −2 −10 : 5 = ���������������������������������������������������������� 4 32 : 8 = ������������������������������������������������������������� −6 18 : (−3) = ������������������������������������������������������� 3 −3 : (−1) = ������������������������������������������������������ 0 0 : (−5) = ��������������������������������������������������������� −17 17 : (−1) = ������������������������������������������������������� 1 −1 : (−1) = ������������������������������������������������������ 9 A1 La division des entiers (suite) d Divisions successives contenant plusieurs nombres entiers • Complète le tableau. Règle de priorité des opérations : les divisions s’effectuent de gauche à droite. 36 : 4 : 3 −36 : 4 : 3 −36 : (−4) : 3 −36 : (−4) : (−3) = .9 .............. : 3 = −9 . . . . . . . . . . . . . . . : 3 =9 . . . . . . . . . . . . . . . : 3 =9 . . . . . . . . . . . . . . . : (−3) =3 ............... = −3 ............... =3 ............... = −3 ............... Nombre d’entiers négatifs dans l’énoncé �� ����������������������������� 0 ������������������������������� 1 ������������������������������� 2 ����������������� � � � � � � � � � � � � � � Signe du quotient �� ����������������������������� + ������������������������������� − ������������������������������� + ����������������� � � � � � � � � � � � � � � • Quel serait le signe d’une division successive contenant 5 entiers négatifs ? • Quel serait le signe d’une division successive contenant 50 entiers négatifs ? • Dans quel cas une division successive est-elle positive ? • Dans quel cas une division successive est-elle négative ? 3 − –. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + .................................................................................................................... quand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . le . . . . . .nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .négatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .est . . . . . . . . pair .............. quand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . le . . . . . .nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .négatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .est . . . . . . . . impair .............. Règle de calcul – divisions successives contenant plusieurs nombres entiers Pour diviser successivement un entier par d’autres entiers non nuls, • détermine le signe du quotient : – si la division contient un nombre pair d’entiers négatifs, le quotient est positif. – si la division contient un nombre impair d’entiers négatifs, le quotient est négatif. • effectue la division comme dans N. (−64) : (−2) : (−2) : (−2) : 2 = +4 (−64) : (−2) : (−2) : (−2) : (−2) = −4 64 : 2 : 2 : 2 : 2 = 4 CONTRÔLE 2 1 3 45 : (−3) : (−5) = ����������������������������������������� 1 −28 : (−4) : 7 = �������������������������������������������� 1 72 : (+3) : (−4) : (−6) = ������������������������������� −2 −36 : (−9) : (−2) = ��������������������������������������� +2 24 : (−2) : (+2) : (−3) = ������������������������������� 1 −18 : (−9) : 2 = �������������������������������������������� 2 10 Calcule. Détermine le signe des divisions successives si tu sais : – – qu’elle contient 5 entiers positifs et 3 entiers négatifs ...................... – qu’elle contient 14 entiers négatifs et 5 entiers positifs ...................... Chapitre 1 – La division dans tous ses états + Application 1 2 Colorie en bleu les calculs qui donnent un résultat positif. (+4) : (+2) (−200) : (50) −50 : (−5) 0 : (−20) 125 : (−25) −6 : (−3) −24 : (+6) (+9) : (+1) +99 : (−11) +45 : (−15) −16 : 8 −221 : 17 −481 : (−37) 3840 : (−256) a : (−a) Les quotients suivants sont-ils positifs ou négatifs ? Coche la bonne case. quotient positif quotient négatif X 13 860 : (−3) : (+7) : (−11) : (−10) X −13 860 : (−3) : (−7) : (+11) : (−10) 3-4 5 −13 860 : (+3) : (−7) : (+11) : (−10) X −13 860 : (−3) : (−7) : (−11) : (−10) X X 13 860 : 3 : 7 : 11 : 10 3 1-2 Détermine par calcul la profondeur à laquelle chaque animal souligné peut être observé. Un cachalot peut vivre à −3000 m. a 6 une étoile de mer vit à une profondeur 100 fois plus petite que le cachalot. −3000 m : 100 = −30 m ������������������������������������������������������������� ������������ �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� b 7 un requin gris descend à une profondeur 3 fois moindre que celle du cachalot. −3000 m : 3 = −1000 m ������������������������������������������������������������� ������������ �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� c un tourteau descend 10 fois moins profondément qu’un cachalot. −3000 m : 10 = −300 m ������������������������������������������������������������� ������������ �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� d un manchot empereur nage à la moitié de la profondeur d’un requin gris. −1000 m : 2 = −500 m ������������������������������������������������������������� ������������ �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � 4 Calcule de gauche à droite, en partant de la dernière solution trouvée. a : (−2) 512 5 :2 : (−4) : (−16) :2 b −256 ����������� −128 ���������� 32 ���������� −2 ���������� −1 :3 : (−9) : (−3) : (−3) 81 ���������� −27 ���������� 3 ���������� −1 ���������� 0,33… ������� � � � � � � � � � � 243 ����������� : (−3) 8 Complète les séries. a b c ............ 1000 −200 40 −8 −10 000 −1000 −100 .−10 . . . . . . . . . . . .−1 ........... 256 −128 64 .−32 ........... d e f 24 −23 22 . .−2 . . . . . . . . . . .2 . . . . . .=1 ..... 1 0 1 −10 10 −10 10 .−10 ........... 1 .___ __ 1 __ 1 __ . . 1. . . . . . . . . . .___ . .1. . . . . . . . 2 4 8 16 32 5 4 3 9 2 10 Tu es capable de ττ déterminer le signe d’un quotient ττ utiliser les règles de calcul pour diviser un nombre entier par un autre 11 A2 Le signe d’une fraction Exploration a Utilise l’écriture fractionnaire pour illustrer les situations suivantes : • Nous avons eu une panne de courant et le thermomètre du surgélateur qui affichait −18 °C affiche maintenant la moitié de ce nombre. Quelle température affiche le thermomètre ? Écris le calcul sous la forme d’une fraction Quelle est la réponse? • Le solde de mon compte en banque était de −150 € mais une rentrée imprévue d’argent m’a permis de diviser ma dette par 3. Quel est mon nouveau solde bancaire ? Écris le calcul sous la forme d’une fraction Quelle est la réponse? • La semaine dernière le thermomètre affichait −24 °C. Aujourd’hui je peux lire −6 °C. Combien de fois faisait-il plus froid la semaine dernière ? Écris le calcul sous la forme d’une fraction Quelle est la réponse? b −150 _____ . . . . . . . . . 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . −50 . . . . . . . . . . . .€ ................ −24 ____ . . . . . . . . . . −6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . .fois ....................... Traduis les phrases suivantes en langage mathématique en utilisant l’écriture fractionnaire : • Le quotient de l’opposé de 5 par 3 Traduction en langage mathématique : Quel est le signe du quotient ? • L’opposé du quotient de 5 par 3 Traduction en langage mathématique : Quel est le signe du quotient ? • Le quotient de l’opposé de 5 par l’opposé de 3 Traduction en langage mathématique : Quel est le signe du quotient ? • Le quotient de 5 par l’opposé de 3 Traduction en langage mathématique : Quel est le signe du quotient ? c ____ .−18 . . . . . . . 2 .................... −9 . . . . . . . . .°C ................... Convertis les divisions suivantes en écriture fractionnaire : • 5 : (−2) −5 ___ . . . . . . 3...................... –. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 –. . . . . . __ 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .– ........................... −5 ___ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −3 + ............................ 5 ___ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −3 –. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ___ −2 –. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quel est le signe du quotient ? • −5 : 2 −5 ___ 2 –. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quel est le signe du quotient ? 12 Chapitre 1 – La division dans tous ses états • −(5 : 2) 5 __ 2 Conversion − . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . –. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quel est le signe du quotient ? • Quelle conclusion peux-tu en tirer ? La signe moins dans une fraction ne change pas le signe du quotient. . . . . . . . .place . . . . . . . . . . . . . . . .du . . . ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� Convention d’écriture __ 3 est une fraction positive. 4 2 = − __ 2 ___ −2 = ___ 3 −3 3 Pour indiquer qu’une fraction est positive, aucun signe n’est requis. Pour indiquer qu’une fraction est négative, un seul signe « moins » doit être présent. sont des fractions négatives égales. Pour faciliter les calculs futurs, on évitera d’avoir un dénominateur négatif. CONTRÔLE 3 Écris sous la forme d’une fraction et détermine son signe. −5 ___ 6 –12 12 ____ ___ – 12 : (−5) = . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . −5 5 . . . . . Signe : ������������ – (−5) : 6 =.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Signe : ������������ 5 ___ –5 ___ −6 6 −12 = ___ ____ : ������������ 12 Signe + −12 : (−5) = . ......................... 5 −5 = Signe : ������������ – 5 : (−6) = ............................... −5 __ 5 ___ −6 6 −12 ____ −12 : 5 = ................................ 5 = Signe : ������������ + −5 : (−6) = ............................ – Signe : ������������ Application 6 Complète le tableau par le signe qui convient. a −2 est . . . . .+ Le signe de ___ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ������������������� . . b −5 ) −( −2 Le signe de ______ est . . . . – . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ������ . −5 c Si a > 0 et b < 0 alors e a est . . . . .– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ������������������������ . . le signe de __ b d ) −( −1 est . . . .+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �������������� . Le signe de − ______ −3 Si a < 0 et b < 0 alors f Si a < 0 et b < 0 alors a est . . . . .+ le signe de __ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��������������������� . . . . b 7 11 12 a est . . . .– le signe de − __ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ������������������ . b Relie les écritures qui désignent le même nombre. ______ (−2 ) − −3 −2 : (−3) −(−2) _____ 3 2 : (−3) 2 : 3 (−2) : 3 13 14 ___ −2 3 __ 2 3 Tu es capable de ττ déterminer le signe d’une fraction ττ respecter les conventions d’écriture liées aux fractions 13 A3 La division euclidienne Exploration a Comment partager équitablement un sac de 25 billes de cristal entre 6 personnes ? • Retire 6 billes du sac et donnes-en une à chaque personne. Combien de billes reste-t-il dans le sac ? . . .19 ......................... Tu peux écrire que 25 = 1 × 6 + 19 ............................. • Retire encore 6 billes du sac et donnes-en une à chaque personne. Combien chaque personne a-t-elle de billes ? .2 ........................... Combien de billes reste-t-il dans le sac ? . . .13 ......................... Tu peux écrire que 25 = 2 . . . . . . . . . . . . × 6 + 13 ............ • Écris l’égalité après la 3e distribution. 25 = 3 . . . . . . . . . . . . × 6 + 7 ............ • Écris l’égalité après la 4e distribution. 25 = 4 . . . . . . . . . . . . × 6 + 1 ............ • Est-il possible de faire une 5e distribution ? non ............................... Justifie ta réponse. Car le reste est inférieur au diviseur (ou il ne reste pas assez de billes). ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� b Envisageons une autre façon de répartir équitablement. • Combien de sacs de 6 billes peux-tu remplir si tu disposes de 25 billes ? . 4 ........................... • La question peut être posée autrement : Combien de fois 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . entre-t-il exactement dans 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ? (Complète les pointillés.) • Reste-t-il des billes après avoir rempli les sacs ? .oui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Si oui, combien ?1 ............................ Tu résumes en écrivant que 6 n’est pas . un . . . . . . . . .diviseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de 25. Règle de calcul – la division euclidienne – la relation d’Euclide Lorsque tu divises un entier par un autre entier non Si a, b, q et r ∈ ℤ et b ≠ 0 nul, tu obtiens un quotient et un reste. a = b ∙ q + r et r < b Il est interdit de diviser par 0 et le reste doit toujours a est le dividende être positif et plus petit que le diviseur. b le diviseur Une division est appelée exacte si le reste de la division q le quotient (euclidienne) est 0. r le reste positif CONTRÔLE 4 Utiliser la calculatrice La relation euclidienne de 19 : 8 est 19 = 8 × 2 + 3 19 est le dividende 8 le diviseur 2 le quotient 3 le reste (3 < 8) 1 Quel est le quotient de la division de 42 par 5 ? 2 Quel est le reste de la division de 72 par 7 ? 3 Écris la relation euclidienne de la division de 48 par 5. (à voir en fonction de la calculatrice utilisée) Écris la séquence de touches qui permet d’effectuer la division euclidienne de 365 par 42 à la calculatrice. 3 6 5 _ . . R 8 ,R = 6 Qu’affiche la calculatrice ? 14 Chapitre 1 – La division dans tous ses états 4 2 EXE 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 . . . . . . . .= . . . . .5 . . . . .× . . . . .9 . . . .+ . . . . .3 .......... Application 8 9 Écris la division euclidienne de : a 85 par 8 85 = 8 × 10 + 5 5<8 b 72 par 9 72 = 9 × 8 + 0 0<9 c 112 par 11 112 = 11 × 10 + 2 2 < 11 d 900 par 125 900 = 125 × 7 + 25 25 < 125 e x par y (z est le quotient et p le reste) x=y∙z+p p<y 15 - 16 17 - 18 Voici trois relations supposées d’Euclide. Coche celles qui sont fausses et corrige-les. 92 = 7 × 11 + 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ������������������������������������������������������������� . . 92 = 7 × 13 + 1 19 72 = 8 × 9 + 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ������������������������������������������������������������� . . 20 65 = 3 × 20 + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ������������������������������������������������������������� . . 95 = 4 × 25 – 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ������������������������������������������������������������� . . 65 = 3 × 21 + 2 95 = 4 × 23 + 3 10 Complète ces divisions euclidiennes par le(s) nombre(s) manquant(s). a 35 = . .3 . . . . . . . . . . × 11 + . .2 .......... 21 - 24 . .76 . . . . . . . . . . = 8 × 9 + 4 24 = 23 × .1 . . . . . . . . . . . + .1 ........... 123 = 11 × .11 . . . . . . . . . . . + .2 ........... . 191 . . . . . . . . . . . = 63 × 3 + 2 b 25 - 32 Détermine toutes les possibilités. ............ = 5 × 30 + ............ 150 . . . . . . . . .= .....5 . . . . .× . . . . .30 . . . . . . . .+ . . . . .0 . . . . . . . ������������������������������������������������ . . ............ = 4 × . . . . . . . . . . . . + 3 7=4×1+3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ����������������������������������������������������������������� . . 151 . . . . . . . . .= .....5 . . . . .× . . . . .30 . . . . . . . .+ . . . . .1 . . . . . . . ������������������������������������������������ . . 11 . . . . . . . .= . . . . .4 . . . . .× . . . . .2 ....+ . . . . . .3 . . . . . . . . . . . ����������������������������������������������������������������� . . 152 . . . . . . . . .= .....5 . . . . .× . . . . .30 . . . . . . . .+ . . . . .2 . . . . . . . ������������������������������������������������ . . 15 . . . . . . . .= . . . . .4 . . . . .× . . . . . .3 . . . . .+ . . . . .3 . . . . . . . . . . ����������������������������������������������������������������� . . 153 . . . . . . . . .= .....5 . . . . .× . . . . .30 . . . . . . . .+ . . . . .3 . . . . . . . ������������������������������������������������ . . 19 . . . . . . . .= . . . . .4 . . . . .× . . . . .4 ....+ . . . . . .3 . . . . . . . . . . . ����������������������������������������������������������������� . . 154 . . . . . . . . .= .....5 . . . . .× . . . . .30 . . . . . . . .+ . . . . .4 . . . . . . . ������������������������������������������������ . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ������������������������������������������������������������������ . . r. .<. . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ������������������������������������������������ . . . Il. . . . .y. . . .a. . . . une de solutions, car 3 < 4. . . . . . . . . . . . . . .infinité . . . . . . . . . . . . . . . . . . ������������������������������������������������������������������ Tu es capable de ττ écrire la relation d’Euclide ττ reconnaître une relation d’Euclide correctement écrite ττ compléter les éléments manquants d’une division euclidienne 15 A4 Encadrer une fraction Exploration a b Dans les calculs suivants, coche la case qui donne la meilleure approximation. 25 × 42 = 100 1000 2000 10 000 85 : 23 = 2 3 4 5 Après les moissons, une machine réalise des bottes de paille cylindriques. Chaque botte est entourée d’un filet. Si le filet a une longueur approximative de 300 cm, quelle est la longueur approximative du diamètre ? 50 cm 100 cm 150 cm Montre ton calcul : ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������� Circonférence = diamètre × π ⇒ diamètre = circonférence : π ⇒ 300 cm : π ≃ 100 cm ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������� c En quoi cette réponse est-elle approximative ? On a choisi une valeur de π égale à 3. On obtient un ordre de grandeur et non ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� une réponse précise. ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� Tu as invité 27 personnes à ton anniversaire et tu vas préparer des gâteaux. Si tu fais 6 portions par gâteau, combien de gâteaux dois-tu réaliser ? –– Écris la fraction qui te permet de calculer le nombre de gâteaux ? –– Quels sont les nombres entiers les plus proches de cette fraction ? –– Lequel choisis-tu ? Justifie : 27 ___ 6 4. . . . .et . . . . . .5 ............... .......................... 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Car pour servir tout le monde. . . . . . . . . . . .4 . . . . gâteaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .seront . . . . . . . . . . . . . . . . . . . insuffisants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... .. .. .. d Le parking souterrain de la gare TGV de Liège a une surface utile de 12 740 m². Il faut environ 15 m² pour garer une voiture. Combien de voitures peut-on garer dans ce parking ? ______ 12 740 15 –– Écris la fraction dont tu as besoin : –– Quels sont les nombres entiers les plus proches de cette fraction ?.849 . . . . . . . . . . .et . . . . . .850 ............. –– –– Lequel choisis-tu ? Justifie : ................................ 849 .......................... On . . . . . . . . . .ne . . . . . . . .gare . . . . . . . . . . . . .que . . . . . . . . . . .des . . . . . . . . . . voitures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .entières. ................................................................................................................................ e Place approximativement sur la droite graduée le point A dont l’abscisse est ___ 17 . 5 A −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Comment as-tu procédé ? J’ai à l’aide de deux nombres entiers consécutifs (3 et 4). . . . . . . . . . . encadré . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .la . . . . . . fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 15 _ < 17 < _ 20 ⇒ 3 < _ 17 < 4 _ . . . . . . . 5 . . . . . ... . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5 16 Chapitre 1 – La division dans tous ses états f Une voiture roule à une vitesse moyenne de 90 km par heure. La distance à parcourir est de 260 km. Combien d’heures approximativement faudra-t-il pour parcourir cette distance à cette vitesse ? 3 heures ............................................... Comment as-tu procédé ? cherché le multiple de 90 km le plus proche de 260. J’ai ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� Il.. . . .s’agit il faut 3 heures de route. . . . . . .. . . . . . . . . . .de .. . . . . . .270 . . . . . . . . . . . .km . . . . . . . . . . .pour . . . . . . . . . . . . . . .lesquels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... ...... Notion – encadrer un nombre • Encadrer un nombre consiste à trouver deux nombres, l’un plus petit et l’autre plus grand. 120 < 20 15 < ___ 7 • La différence entre le plus grand et le plus petit s’appelle l’approximation de l’encadrement. L’approximation de l’encadrement est de 5 (20 – 15) • Encadrer peut se faire avec une approximation d’une unité, d’un 10e,… tout dépend de la précision dont on a besoin. 3<π<4 3,1 < π < 3,2 3,14 < π < 3,15 7 . 3 est une valeur approchée par défaut de __ 2 • Le petit nombre s’appelle « la valeur approchée par défaut » et le plus grand « la valeur approchée par excès ». 7 . 4 est une valeur approchée par excès de __ 2 arrondir 1,72 au 10e près donne 1,7. 2,86 au 10e près donne 2,9. Une valeur approchée décimale (par défaut ou par excès) la plus proche de la valeur exacte est aussi appelée « un arrondi », d’où l’expression « arrondir au 100e près » CONTRÔLE 5 1 2 3 23 < 6 5 < ___ ................................ 4 Encadre 3,2657 au 100 près : .3,26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . < 3,2657 < .3,27 ........................ 27 ? Entre quelles graduations entières consécutives se trouve ___ .entre . . . . . . . . . . . . . . .13 . . . . . . . et . . . . . . .14 ........................................ 2 23 à l’unité près : Encadre ___ 4 ......................... e 4 3,14 < π < 3,15 est un encadrement de π avec une approximation de 1/100e ; 5 3,14 Il me faut 3,75 œufs pour réaliser ma recette. Combien d’œufs dois-je acheter ? .4 ............................................................. Comment s’appelle cette valeur ? . . .la . . . . . .valeur . . . . . . . . . . . . . . . . . .approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .par . . . . . . . . . .excès ..................................................................... -tu ? quelle est la valeur approchée par défaut de π ? Le savais ...................................................................... Archimè de a che rch Il a écrit un poèm é à mémoriser les décim e dont le mot cor ale res no de dix le pond à une déc mbre de lettre s de π. s de cha ttres. imale, 0 que représen En voici tant les les prem m ie ot s r s « Que j’a vers : im Immorte e à faire appren dre la Qui de to rchimède, artiste un nombre uti le aux sa n jugem , ingénie g es ! en ur, Pour mo i ton pro t peut priser la v blème eu aleur, t de pare ils avanta ges. (…) » 17 A4 Encadrer une fraction (suite) Application 11 Encadre les nombres suivants à l’unité près : 33 - 34 10 ............. 7 < 85 : 8 < ............ 35 11 ............. 3 ............. 31 < . .8 < ___ ........... 4 < 3,333 < 4 −24 ............. ............. −5 . . . . . . . . . . . . −2 . . . . . . . . . . . . . < ___ < .−1 3 < −23,35 < ............. 4 −23 ............. 78 < .4 < ___ ............ 23 12 Voici une approximation de π à 9 décimales près : 3,141592654. 36 37 3,141 < π < 3,142 Encadre π au 1000ème près ........................................................................ Encadre π au millionième près ........................................................................ Encadre π au 10 000ème près ........................................................................ 3,141592 < π < 3,142593 3,1415 < π < 3,1416 13 Voici des encadrements de différents nombres. Complète le tableau par les bonnes valeurs. 38 39 approximation valeur approchée par défaut valeur approchée par excès 22 < 3,2 3,1 < ___ 7 0,1 3,1 3,2 −20 < x < −10 10 −20 −10 z−x x z x<y<z 14 Choisis une fraction et encadre-la avec une approximation au 100ème. 40 - 42 1 3,34 __ 3,33 . . . . . . . . . . . . .< . . . . . . . . . .< 3 . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� −9 à l’aide de deux entiers consécutifs. Encadre la fraction ___ 2 43 −4 −5 < ___ −9 < 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� Écris un nombre dont la valeur approchée par défaut pourrait être 4,27 et la valeur approchée par excès 4,28. Quelle est l’approximation de cet encadrement ? 44 - 46 47 - 49 4,276 .............................. e le . . . . . . 100 .................................... 15 Le repère d’un graphique a été divisé en dix parties identiques. Le segment déterminé par les points d’abscisse 0,2 et 0,3 a été agrandi dix fois et à nouveau divisé en dix parties identiques. Ce processus a été reproduit jusqu’à la dernière ligne. Détermine l’abscisse du point G. Écris les étapes de ta solution sur le schéma. 0,2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .����������������������������������������������������� 0 0,2 0,2 0,3 0,3 1 0,27 0,28 0,2 0,3 0,3 Encadre le point G au 100e près. 0,27 . . . . . . . . . . . . .< . . . . .G .....< . . . . . .0,28 . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .����������������������������������������������������� 0,27 0,274 0,275 0,28 Quelle est la valeur approchée par défaut au 10e près du point G ? 0,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �������������������������������������������������������������������������������� 0,274 0,2748 G 18 Chapitre 1 – La division dans tous ses états 0,275 16 Pour construire un banc de jardin, il me faut 13 planches de 1 m de long. Au magasin de bricolage, je peux trouver des planches de trois dimensions différentes : 2,4 m, 3,6 m et 4,2 m. Détermine quelle longueur de planche m’évitera d’avoir trop de déchets si je n’achète que des planches de la même dimension. Écris tous tes calculs pour justifier ton choix et arrondis judicieusement. 50 - 53 a) À l’aide de planches de 2,4 m il me faut 7 planches (6 + 1). 1 m par planche et 13 m = 2 m × 6 + 1 m) valeur approchée par excès. � � � � � � � � (2 � � � � � � �× � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ����������������� sont 6 × 0,4 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ m + 1 × 1,4 m = 3,8 m. � � � � � � � � Les � � � � � � � � � �déchets � �������������������������������������������������� ����������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � b) À l’aide de planches de 3,6 m il me faut 5 planches (4 + 1). 1 m par planche et 13 m = 3 m × 4 + 1 m) valeur approchée par excès. � � � � � � � � (3 � � � � � � �× � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ����������������� sont 4 × 0,6 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ m + 2,6 m = 5 m. � � � � � � � � Les � � � � � � � � � �déchets � �������������������������������������������������� ����������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � c) À l’aide de planches de 4,2 m il me faut 4 planches (3 + 1). 1 m par planche et 13 m = 4 m × 3 + 1 m) valeur approchée par excès. � � � � � � � � (4 � � � � � � �× � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ����������������� sont 3 × 0,2 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ m + 3,2 m = 3,8 m. � � � � � � � � Les � � � � � � � � � �déchets � �������������������������������������������������� ����������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � Exprime ta réponse à l’aide d’une phrase : Je peux choisir des planches de 2,4 m ou 4,2 m, mais dans le cas des planches de déchets sont plus exploitables par la suite. 4,2 � � � � � � � � �m � � � � � � �les � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ����������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � Tu es capable de ττ encadrer un nombre avec une approximation donnée ττ déterminer l’approximation d’un encadrement ττ déterminer la valeur approchée par excès ou par défaut d’un nombre ττ arrondir judicieusement un résultat dans un contexte donné 19 A5 Propriétés de la division des entiers Exploration a Observe • 2 élèves doivent se partager 3 pommes. Combien auront-ils de pommes chacun ? 3 : 2 Écris le calcul qui lie le nombre de pommes au nombre d’élèves : Réponse : • 3 élèves doivent se partager 2 pommes. Combien auront-ils de pommes chacun ? Écris le calcul qui lie le nombre de pommes au nombre d’élèves : Réponse : • Formule une conclusion ............................ 1,5 pomme ................................................... 2:3 ............................ 0,6 pomme ................................................... Dans une division, le quotient dépend de la place des nombres. � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � b Calcule en respectant les priorités des opérations. • 12 : ( 6 : 2) = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelle conclusion tires-tu ? (12 : 6) : 2 = 1 ............................ • Dans une division, le quotient dépend de la place des parenthèses. 0 : 5 = .0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 : 0 = impossible .................................. Quelle conclusion tires-tu ? � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � • Dans une division, le quotient dépend de la place des nombres mais 0 est par tous les nombres. �divisible � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � 5 : 1 = .5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 : 5 = 0,2 ............................ Quelle conclusion tires-tu ? � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � Dans une division, le quotient dépend de la place des nombres mais 1 divise les nombres. �tous � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � 20 Chapitre 1 – La division dans tous ses états Dans la division dans ℤ • la place des nombres a de l’importance ; la division dans ℤ n’est pas commutative. Si a et b ∈ ℤ et b ≠ 0 et a ≠ b alors a : b ≠ b : a −8 : 4 = −2 et 4 : (−8) = −0,5 Si a, b, c ∈ ℤ b et c ≠ 0 a ≠ b, b ≠ c et a ≠ c alors a : (b : c) ≠ (a : b) : c −36 : (−6 : 3) = −36 : (−2) = 18 (−36 : (−6)) : 3 = 6 : 3 = 2 • 0 est absorbant pour autant qu’il soit le dividende de la division. 0 : a = 0 0 : (−5) = 0 • 1 est neutre pour autant qu’il soit le diviseur de la division. a : 1 = a −15 : 1 = −15 a : b = 1 ⇕ a=b≠0 −4 : b = 1 ⇓ b = −4 a : b = 0 ⇓ a = 0 et b ≠ 0 a : (−5) = 0 ⇓ a=0 • la place des parenthèses a de l’importance ; la division dans ℤ n’est pas associative. • Si un quotient vaut 1 alors le dividende égal le diviseur. • Si un quotient vaut 0 alors seul le dividende égal 0. CONTRÔLE 6 Illustre par un exemple numérique que la division dans ℤ n’est pas commutative. 1 10 : 5 = 2 et 5 : 10 = 0,5 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 Détermine la valeur de a ou de b : −5 : b = 1 ⇒ b = .−5 ................ a : (−12) = 0 ⇒ a = .0 . . . . . . . . . . . . . . . . a : b = 1 ⇒ a = .b ................ Application 17 Voici la résolution d’un exercice par Jacques. 4 : 100 : 25 = 4 : (100 : 25 ) = 4 : 4 = 1 Est-elle juste ? Justifie. Non, on ne peut pas introduire des parenthèses dans une division successive. � � � � � � � � � � ����������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � 54 - 55 � � � � � � � � � � ����������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � 18 Détermine la valeur des inconnues. __a = 1 ⇒ a = .5 ................ 5 ___ −2 = 1 ⇒ b = .–2 ................ b __ xc = 1 ⇒ x = .c ................ x – 1 = 5 ⇒ x = 5 + 1 ⇒ x = 6 __ de = −1 ⇒ d = .−e ................ _ x – 1 = 1 ⇒ ............................................................................................................................................................................... _ x + 3 = 0 ⇒ ............................................................................................................................................................................... 5 4 x + 3 = 0 ⇒ x = 0 – 3 ⇒ x = –3 56 -57 58 2x + 1 = 3 ⇒ 2x = 3 – 1 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1 _ 2x + 1 = 1 ⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Tu es capable de ττ illustrer la non-commutativité de la division dans ℤ ττ illustrer la non-associativité de la division dans ℤ ττ déterminer dans quel cas un quotient vaut 0 ττ déterminer dans quel cas un quotient vaut 1 21 A6 Factorisation – PGCD – PPCM Exploration a Voici quelques résultats d’un tirage au bingo. 1 27 41 53 14 26 67 Entoure les résultats qui sont des nombres premiers. b Écris l’ensemble des diviseurs des nombres suivants : . . . . . 2, . . . . . . 3, . . . . . .4, . . . . . .6, . . . . . .9, . . . . . .12, . . . . . . . . .18, . . . . . . . . .36 ...................} div 36 = {.1, div 35 = {.1, . . . . . 5, . . . . . . 7, . . . . . .35 .......................................................} . . . . . 3, . . . . . . 5, . . . . . .9, . . . . . .15, . . . . . . . . . 45 ........................................} div 45 = {.1, div 49 = {.1, . . . . . 7, . . . . . . 49 .............................................................} 1, 3, 9 Quels sont les diviseurs communs à 36 et 45 ? ............................ Quels sont les diviseurs communs à 36 et 49 ? ............................ Quels sont les diviseurs communs à 35 et 49 ? ............................ Quels sont les diviseurs communs à 35 et 36 ? ............................ 1 1, 7 1 Dans chaque réponse aux questions précédentes, entoure le diviseur commun le plus grand. PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) Par quelle abréviation remplace-t-on ce nombre ? ............................................................................................... Quels sont les nombres qui ont 1 pour plus grand commun diviseur ? ............................................................................................... 36 et 49, 35 et 36 Notion – nombres premiers entre eux • Deux nombres premiers entre eux sont des nombres dont le seul diviseur commun est 1. c 27 et 35 sont des nombres premiers entre eux div 27 = {1, 3, 9, 27} div 35 = {1, 5, 7, 35} 1 est le seul diviseur commun. Factorisation première d’un nombre naturel En 1ère, tu as appris à décomposer un nombre et à l’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers. Tu as utilisé une disposition pratique. Décompose les nombres suivants en un produit de facteurs premiers. 128 64 .32 .................... 16 ..................... .8 .................... .4 .................... 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 .................... ..................... 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 .................... 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 .................... .2 .................... .2 .................... 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 = .2 ............................................. 7 22 Chapitre 1 – La division dans tous ses états 1260 630 .315 .................... 105 ..................... .35 .................... .7 .................... 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................... 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 .................... 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 .................... .5 .................... .7 .................... 1260 = .2 . . . . . .× . . . . .3 . . . . . . .× . . . . .5 . . . .× . . . . .7 ............. 2 2 315 105 .35 .................... 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 .................... ..................... 3 .3 .................... 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 .................... ..................... 315 = .3 . . . . . .× . . . . .5 . . . . .× . . . . .7 ........................ 2 d PGCD – PPCM • Complète :div 360 = {1, . . . . . . . .2, . . . . . .3, . . . . . .4, . . . . . 5, . . . . . . 6, . . . . . .8, . . . . . .9, . . . . . .10, . . . . . . . . .12, . . . . . . . . .15, . . . . . . . . .18, . . . . . . . . .20, . . . . . . . . .24, . . . . . . . . .30, . . . . . . . . .36, . . . . . . . . .40, . . . . . . . . .45, . . . . . . . . . 60, . . . . . . . . . 72, . . . . . . . . . 90, ........... 120, 180, 360 } {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 192 } div 192 = .................................................................................................................................................................... Détermine le Plus Grand Commun Diviseur de 360 et 192 : .24 ........................... ....................................................................................................................................................................... • Décompose 360, 192 et le PGCD de 360 et de 192 en un produit de facteurs premiers. 360 = 2 . . . . . . .× . . . . .3 . . . . . . .× . . . . .5 . . . . 3 2 192 = 2 . . . . . . .× . . . . .3 . . . . . . . . . . . . . . . . PGCD = 2 . . . . . . .× . . . . .3 ................ 6 3 Formule un procédé pour obtenir le PGCD de deux nombres à partir de leur décomposition en facteurs premiers. Le PGCD de deux nombres s’obtient en multipliant les nombres premiers aux décompositions en tenant compte du nombre de fois qu’ils �communs � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������� simultanément dans les décompositions. �apparaissent � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������� � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � • Applique ta règle : a = 2² x 3² x 7³ et b = 2³ x 3 x 5² ⇒ PGCD de a et b = .2 . . . . . . .× . . . . .3 ....................................................................... 2 Écris les 5 premiers multiples non nuls de 32 et de 24 : 32 ℕ = { 32, . . . . . . . . . 64, . . . . . . . . . .96, . . . . . . . . .128, . . . . . . . . . . . . 160… .........................................................} 24 ℕ = { 24, . . . . . . . . . .48, . . . . . . . . .72, . . . . . . . . .96, . . . . . . . . . 120,… ............................................................} Détermine le Plus Petit Commun Multiple de 32 et 24 : • 96 ............................ Décompose 32, 24 et le PPCM de 32 et 24 en un produit de facteurs premiers. 32 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 24 = 2. . . .3. . .× . . . . .3 . . . . . . . . . . . . . . . . PPCM = 2. . . .5. . .× . . . . .3 ................ Formule un procédé pour obtenir le PPCM de deux nombres à partir de leur décomposition en facteurs premiers. Le PPCM de deux nombres s’obtient en multipliant les nombres premiers présents dans toutes les������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� décompositions en tenant compte du plus grand �� � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ���������������� nombre de fois qu’ils apparaissent dans une des décompositions. �� � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������� �� � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � Applique ta règle : a = 2² × 3² × 5³ et b = 2³ × 3 × 7² ⇒ PPCM de a et b = • Colorie en rouge les puissances reprises pour le calcul du PGCD ci-dessous et colorie en vert les puissances reprises pour le calcul du PPCM. 22 × 3 × 52 3 2 3 b = 2³ × 3 × 5² ⇒ PPCM de a et b = .2 ......× . . . . . .3 . . . . . .× . . . . .5 ................................................................................ a = 2² × 3² × 5³ et b = 2³ × 3 × 5² ⇒ PGCD de a et b = a = 2² × 3² × 5³ et 23 × 32 × 53 × 72 ........................................................................ ........................................................................................................ Formule une observation : Toutes les puissances sont reprises une fois soit dans le PGCD soit dans le PPCM. �� � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � Si tu multiplies a et b, tu peux écrire : 2² × 3² × 5³ × 2³ × 3 × 5² 3 2 3 2 2. . . .2. . .× . . . . .3 . . . . . .× . . . . . .2 ......× . . . . . .3 . . . . . .× . . . . .5 . . . . . . .× . . . . .5 ............................................................ Que constates-tu ? PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . (de . . . . . . . . . .a . . . . .et . . . . . .b) ......× . . . . . .PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . .(de . . . . . . . . .a . . . . .et . . . . . .b) . . . . . . .= . . . . .a . . . . ∙. . .b ................................................................. Que vas-tu écrire pour PGCD × PPCM de a et b : 23 A6 Factorisation – PGCD – PPCM (suite) Définition – factorisation première – PGCD – PPCM • La factorisation première d’un nombre est l’écriture du nombre sous la forme d’un produit de facteurs premiers. 600 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 On utilise l’écriture en puissance si le produit contient plusieurs fois le même facteur. 600 = 2³ × 3 × 5² a = 2² × 3 × 5³ et b = 2³ × 5² × 7 • Le PPCM (plus petit commun multiple) de deux nombres s’obtient en reprenant une fois les puissances dont la base intervient dans une des deux décompositions des nombres, affectée du plus grand exposant et en effectuant le produit de ces puissances. a = 2² × 3 × 5³ et b = 2³ × 5² × 7 • Le produit du PGCD et du PPCM de deux nombres est égal au produit des deux nombres. a = 2² × 3 × 5³ et b = 2³ × 5² × 7 PGCD de a et b = 2² × 5² PPCM de a et b = 23 × 3 × 53 × 7 a ∙ b = 2² × 3 × 5³ × 2³ × 5² × 7 Le savais-tu ? • Le PGCD (plus grand commun diviseur) de deux nombres s’obtient en effectuant le produit des puissances dont la base est commune aux deux décompositions des nombres, affectée du plus petit exposant. PGCD (a, b) = 2² × 5² PPCM (a, b) = 2³ × 3 × 5³ × 7 a ⋀ b se lit le PGCD de a et b. a ⋁ b se lit le PPCM de a et b. Propriétés – PGCD et PPCM de nombres particuliers • Si deux nombres naturels sont premiers entre eux, leur PGCD est 1 et leur PPCM est leur produit. 38 et 37 sont premiers entre eux ⇒ PGCD (37, 38) = 1 ⇒ PPCM (37, 38) = 37 ∙ 38 = 1406 • Si un nombre naturel est multiple d’un autre, leur PGCD est le plus petit et leur PPCM est le plus grand. 396 est multiple de 36 ⇒ PGCD (36, 396) = 36 ⇒ PPCM (36, 396) = 396 CONTRÔLE 7 1 Écris la factorisation première des nombres suivants : 3×5×7 2 3 1125 = .3 . . . . . .× . . . . .5 ................................................................................................................................................................................... 3 2 504 = .2 . . . . . . .× . . . . .3 . . . . . .× . . . . .7 ....................................................................................................................................................................... 105 = 2 24 ............................................................................................................................................................................................... Détermine a ⋀ b , a ⋁ b et a ∙ b (sans effectuer les produits). a= b= 2³ × 3² × 7 2² × 3³ × 11 Chapitre 1 – La division dans tous ses états a⋀b 22 × 32 a⋁b a∙b 23 × 33 × 7 × 11 25 × 35 × 7 × 11 Application 19 Écris la factorisation première des nombres suivants : 462 = .2 . . . .× . . . . .3 . . . . .× . . . . .7 ....× . . . . . .11 . . . . . . . . . . . . 900 = .2 . . . . . .× . . . . .3 . . . . . .× . . . . . .5 .................. 2 2 2 83 = .1 . . . .× . . . . . 83 ................................ –– Calcule le PGCD de 462 et 900 .2 . . . .× . . . . .3 . . . . .= . . . . .6 ................................................................................................................................... –– Détermine le PPCM de 462 et 900. Écris ta réponse uniquement sous la forme d’un produit de puissances. .2 . . . . .× . . . . .3 . . . . . . .× . . . . .5 . . . . . .× . . . . .7 ....× . . . . . .11 ............................................................................................................................................................... 2 –– 2 2 59 - 60 61 Quels sont parmi ces trois nombres ceux qui sont premiers entre eux ? .83 . . . . . . . et . . . . . . .462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 . . . . . . . .et . . . . . . 900 ...................... 20 Voici les factorisations premières de deux nombres : a = 2² × 3² × 11 b = 2³ × 3³ × 13 Écris le produit qui correspond au PPCM de a et b : 2 ......× . . . . . .3 . . . . . .× . . . . . 11 . . . . . . . .× . . . . .13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 3 Déduis-en le produit qui correspond au PGCD de a et b : 2 ......× . . . . . .3 .......................................................................................................... 2 2 62 - 63 64 21 a « Le PPCM de deux nombres est toujours plus petit que le produit de ces deux nombres.» faux vrai Le produit de deux nombres sauf dans le cas où les . . . . . . . . . . . . .PPCM . . . . . . . . . . . . . . .est . . . . . . . .plus . . . . . . . . . . .petit . .. . . . . . . . . . . .que . . . . . . . . . . .le . . ....................................................................................................................................... sont premiers entre eux. Dans ce cas le PPCM de a et b = a ∙ b car le PGCD� vaut �nombres � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � �1. ���� Justifie. 65 - 67 68 - 69 b « Le PPCM de 12 et 25 vaut 300. » vrai faux Justifie. 12 eux, leur PPCM est leur produit (12 ∙ 25 = 300). . . . . . . . et . . . . . .25 . . . . . . .sont . . . . . . . . . . . premiers . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . entre . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . c « Le PGCD de 40 et 80 vaut 60. » faux vrai Justifie. 80 est le plus petit. . . . . . . . est . . . . . . . .multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . ..40, . . . . . . . . .leur . . . . . . . . . . .PGCD . . . . ....................................................................................................................................... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . 22 En utilisant les factorisations premières suivantes, réponds aux questions. c = 2³ × 3² × 7 d = 2² × 3³ × 7² Écris, sans le calculer, le produit de c et d : . 2 . . . . . .× . . . . .3 . . . . . . .× . . . . .7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................... . . . . . . 5 5 3 70 - 73 Détermine sans le calculer le PGCD de c et d : 2 ......× . . . . . .3 . . . . . .× . . . . .7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................. . . . . . . 2 2 Quelles sont les puissances qui n’ont pas été utilisées pour la recherche du PGCD de c et d ? .2 . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .7 ......................... 3 3 2 Si tu multiplies ces puissances entre elles qu’obtiens-tu ? .Le . . . . . . .PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .c . . . .et . . . . . .d. ........................................................................... . 23 À Noël, j’ai garni mon sapin et je l’ai entouré de 3 guirlandes lumineuses. La 1re clignote toutes les 3 secondes, la 2e toutes les 5 secondes et la 3e toutes les 6 secondes. Au bout de combien de temps les trois guirlandes clignotent-elles en même temps ? Il faut calculer le PPCM de 3, 5 et 6. 30 secondes les guirlandes clignotent en même temps. Toutes � � � � � � � � � � � � � � � � � � �les �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ����������������� 74 - 77 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � 78 - 85 Tu es capable de ττ écrire la factorisation première d’un nombre naturel ττ calculer le PGCD de deux nombres naturels ττ calculer le PPCM de deux nombres naturels ττ reconnaître si un problème se résout à l’aide du PGCD ou du PPCM de nombres naturels 25 A7 Propriété de la divisibilité Exploration a Arthur affirme que si un nombre est divisible par 3 et par 6 alors il est aussi divisible par leur produit 18. A-t-il raison ? Justifie. Non, car 12 est divisible par 3 et par 6, mais pas par 18. � �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � b c Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Tous les nombres divisibles par 4 et par 5 sont divisibles par 20. Vraie Fausse Tous les nombres divisibles par 4 et par 8 sont divisibles par 32. Vraie Fausse Tous les nombres divisibles par 4 et par 16 sont divisibles par 64. Vraie Fausse Tous les nombres divisibles par 4 et par 7 sont divisibles par 28. Vraie Fausse Tous les nombres divisibles par 4 et par 100 sont divisibles par 400. Vraie Fausse Détermine les diviseurs communs à 4 et 5 Détermine les diviseurs communs à 4 et 8 Détermine les diviseurs communs à 4 et 16 Détermine les diviseurs communs à 4 et 7 Détermine les diviseurs communs à 4 et 100 d 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, . . . . . . 2, . . . . . .4 .............................. 1, . . . . . . 2, . . . . . .4 .............................. 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, . . . . . . 2, . . . . . .4 .............................. Compare tes réponses de l’exercice b avec celles de l’exercice c. Que constates-tu ? Formule une observation correcte en français. Pour qu’un nombre soit divisible par le produit de deux autres nombres, il suffit le seul diviseur commun des deux autres nombres soit 1. que � �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ����������������� � �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � Propriété – divisibilité par plusieurs nombres • Si un nombre possède deux diviseurs premiers entre eux, alors il est divisible par le produit de ces diviseurs. 36 est divisible par 2 et 3. 36 est également divisible par 6 car 2 et 3 sont premiers entre eux. • Si un nombre est divisible par plusieurs nombres, il n’est pas toujours divisible par leur produit. 24 est divisible par 12 et 3 mais pas par 36. CONTRÔLE 8 Parmi les affirmations suivantes, coche celles qui sont vraies ou fausses, sinon donne un contre-exemple : tous les nombres divisibles par 5 et par 10 sont divisibles par 50. Vraie Fausse 30 est divisible par 5 et par 10, mais pas par 50. � � � � � � � � � � ����������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � tous les nombres divisibles par 3 et par 13 sont divisibles par 39. Vraie Fausse 3 et 13 sont des nombres premiers entre eux. � � � � � � � � � � ����������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � 26 Chapitre 1 – La division dans tous ses états Application 24 Un nombre est divisible par 4, 5 et 6. Est-il nécessairement divisible par : 20 (4 x 5) ? Justifie. oui premiers entre eux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . car ..4 . . . . et . . . . . . .5 . . . . .sont . . . . . . . . . . . . . .des . . . . . . . . . . .nombres . . ....................................................................................................................................... ...... 24 (4 x 6) ? Justifie. non des nombres premiers entre eux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . car ..4 . . . . et . . . . . . .6 . . . . .ne . . . . . . . . sont . . . . . . . . . . . . . . pas . . . . . ....................................................................................................................................... ...... 86 - 87 88 - 89 30 (5 x 6) ? Justifie. oui premiers entre eux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . car ..5 . . . . et . . . . . . .6 . . . . .sont . . . . . . . . . . . . . .des . . . . . . . . . . .nombres . . ....................................................................................................................................... ...... 25 Détermine l’ensemble des diviseurs de 36 : .div . . . . . . . . .36 . . . . . . . .= . . . . .{1, . . . . . . . .2, . . . . . .3, . . . . . 4, . . . . . . 6, . . . . . . 9, . . . . . .12, . . . . . . . . . 18, . . . . . . . . . 36} ........................................................... L’affirmation suivante est-elle exacte ? ––– oui - non « Si on calcule le produit de n’importe quelle paire de diviseurs de 36, on obtient soit un diviseur de 36, soit un multiple de 36. » 90 Justifie ta réponse. . .La . . . . . . . justification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .peut . . . . . . . . . . . . . se . . . . . . .faire . . . . . . . . . . . . .à . . . . .l’aide . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . .contre-exemples. ........................................................................... 48 qui n’est pas un ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ diviseur ou un multiple de 36. 4 � � � � �x � � � �12 � � � � � � �= � � � �������������������������������������������������� ����������������� qui n’est pas un diviseur ou un multiple de 36. 6 � � � � �x � � � �9 � � � �= � � � � �54 � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ����������������� 26 Un nombre «a» est divisible par 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Détermine les autres diviseurs de «a» que tu déduis à partir de cette 1re série. 2 x 5 = 10 3 x 4 = 12 4 x 5 = 20 5 x 6 = 30 6 x 7 = 42 7 x 8 = 56 3 x 5 = 15 4������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ x 7 = 28 5 x 7 = 35 2 � � � � �x � � � �7 � � � �= � � � � �14 � �������������������������������������������������� ����������������� 3 x 7 = 21 5 x 8 = 40 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ����������������� 3 x 8 = 24 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � 91 - 92 27 Le nombre «b» est un nombre premier. Ce nombre est-il divisible par le produit de ses diviseurs ? Justifie : oui ................................ 93 - 94 Car ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même et sont donc premiers entre eux. � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � 28 Le nombre «c» est divisible par 8 et 9. Ce nombre est-il divisible par 6 ? .oui ............................... Justifie : 95 - 96 Car s’il est divisible par 8, il l’est aussi par 2, et s’il est divisible par 9 il l’est aussi par 3. sont des nombres premiers entre eux et donc le nombre c sera Or � � � � � � � �2 � � � �et � � � � � �3 � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ����������������� par 2 × 3 = 6. divisible � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � Tu es capable de ττ de déterminer dans quel cas un nombre est divisible par le produit de deux de ses diviseurs 27 A8 Algèbre et divisibilité Exploration a Illustre par un exemple la phrase suivante : « Si un nombre divise un 2e alors le 2e est multiple du premier ». 3 divise 21 ce qui implique que 21est un multiple de 3. �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� b En 1re tu as appris qu’il existe l’ensemble des nombres naturels. Ces nombres servent à compter des objets qui doivent rester entiers. ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, … n …} dans lequel « n » est l’écriture générale des éléments de ℕ. Tous ces nombres se suivent et chacun vaut le précédent augmenté de 1 (sauf 0). Dans la liste, 3 suit 2 car 3 = 2 + 1. Si n est un naturel, comment vas-tu écrire celui qui suit n ? Si n est un naturel, comment vas-tu écrire celui qui précède n ? n . . . . .+ .....1 ................................ n . . . . .– . . . . .1 ................................ Détermine la somme du naturel n, de celui qui précède n et de celui qui suit n. Réduis l’expression. n − 1 + n + n + 1 = 3n ............................................................................................. Si . . . . . .j’additionne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . un . . . . . . . . nombre, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .son . . . . . . . . . . .précédent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .et . . . . . .son . . . . . . . . . . .suivant, ........................ j’obtiens un multiple de 3. �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� Formule une constatation : c Voici les 5 premiers éléments de l’ensemble des multiples de 5 : 5ℕ = {0, 5, 10, 15, 20,…} Quelle est l’écriture générale de ces éléments comparée à celle des éléments de ℕ ? 5n .............................. Ajoute 3 à chaque multiple de 5. Tu obtiens la suite : {.3, . . . . . .8, . . . . . .13, . . . . . . . . .18, . . . . . . . . .23, . . . . . . . . .… ...............} Quelle est l’écriture générale de ces nombres ? 5n + 3 .............................. Multiplie par deux tous les éléments de ℕ. Comment s’appellent les nombres que tu obtiens ? .les . . . . . . . .nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pairs ....... Quelle est l’écriture générale de cet ensemble de nombres ? . 2n ............................. Si deux nombres pairs se suivent dans la liste, quel écart y a-t-il entre les deux ? .2 ............................. Si deux multiples de 3 se suivent dans la liste, quel écart y a-t-il entre les deux ? .3 ............................. Propriété – somme de nombres, de multiples de nombres et écriture litterale 28 • Deux nombres qui se suivent dans ℕ sont appelés consécutifs. 5 est le consécutif de 4 dans ℕ • L’écriture générale de deux nombres naturels consécutifs est n et n + 1. si n =20 alors n + 1 = 21 • La somme de deux nombres naturels consécutifs est toujours un nombre impair. n + (n + 1) = 2n + 1 • L’écriture générale des multiples d’un nombre est le produit de ce nombre par n. L’écriture générale des multiples de 6 est 6n ; des nombres impairs est 2n + 1. • Tout nombre peut être un multiple d’un autre augmenté ou diminué d’une valeur. 27 est un multiple de 4 diminué de 1 (28 – 1) 27 fait partie de la famille des 4n – 1 27 est un multiple de 4 augmenté de 3 (24 + 3) 27 fait partie de la famille des 4n + 3 Chapitre 1 – La division dans tous ses états CONTRÔLE 9 1 Quelle est l’écriture générale des multiples de 9 ? .9n ............................. 2 Si un nombre fait partie de la famille des 7n, comment s’écrit le consécutif de 7n ? 7n . . . . . . . . .+ . . . . .7 ................ 3 4n et 4n + 5 sont-ils consécutifs dans la famille 4n ? .Non . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Justifie. Car le consécutif de 4n est 4n + 4 ou 5 n’est pas un multiple de 4. � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � Application 29 Dans la famille des nombres pairs, quel est le consécutif de 28 ? Dans la famille des multiples de 3, quel est le consécutif de 36 ? Cite deux multiples de 5 consécutifs : 30 Quelle est l’écriture générale des multiples de 8 ? Quelle écriture générale vas-tu utiliser pour désigner 30 .39 ................................................................................. .25 . . . . . . . et . . . . . . .30 ................................................................... ............................................................................... 8n ............................................................................... les multiples de 8 augmentés de 5 ?.8n . . . . . . . .+ . . . . .5 .................................................................... les multiples de 8 diminués de 3 ?.8n . . . . . . . .– . . . .3 ..................................................................... 8n et deux multiples de 8 consécutifs ?. . . . . . . . . . . . . . .8n . . . . . . . .+ . . . . .8 ...................................................... 5, 6, 7 Additionne-les : .18 ................................................................................. De quel nombre choisi, cette somme est-elle un multiple ? .6 ................................................................................. 31 Choisis trois nombres naturels consécutifs : 97 - 101 102 - 103 104 - 105 106 ............................................................................... 107 Justifie en utilisant l’écriture algébrique. (n − 1) + n + (n +1) = 3n où n est le nombre du milieu. � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � 32 Détermine le troisième nombre consécutif de 4n : 4n + 12 ............................................................................... 108 33 Le nombre «a» fait partie de la famille des 4n + 1. Le nombre «b» fait partie de la famille des 3n + 2. Le nombre «c» fait partie de la famille des 5n + 3. À quelle famille appartient d = a + b + c ? Explique ton procédé. 12n + 6 109 - 110 .................................................................................. Il suffit d’additionner 4n + 1 et 3n + 2 et 5n + 3, on obtient 12n + 6 ou 6 ∙ (2n +1). 111 - 112 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � Tu es capable de ττ de reconnaître des nombres naturels consécutifs ττ de reconnaître des multiples d’un nombre consécutifs ττ de reconnaître une famille de nombre ττ de déterminer à quelle famille un nombre appartient 29 Résolution de problèmes 34 Trois éoliennes distantes de 400 m tournent à des fréquences différentes. La 1re effectue 1 tour en 10 secondes, la 2e 1 tour en 12 secondes et la 3e 1 tour en 15 secondes. Combien de temps s’écoule (si le vent ne change pas) entre deux moments au cours desquels les éoliennes sont synchros ? Utilise un tableau : � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � de tours 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11� � � � � � � � �12 � � � � � � � � � � �Nombre � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������� 1 (en sec) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110� � � � � � � �120 � � �Temps � � � � � � � � � � � � �éolienne � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������� 2 (en sec) 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132� � � � � � � �144 � � �Temps � � � � � � � � � � � � �éolienne � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������� 3 (en sec) 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165� � � � � � � �180 � � �Temps � � � � � � � � � � � � �éolienne � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � Toutes les 60 secondes les trois éoliennes seront synchros. PPCM de 10, 12 et 15. 60 � � � � � � � �est � � � � � � � � �le � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������� qu’après 30 secondes la 1e et la 3e éolienne sont synchros car Tu � � � � � � � �remarqueras � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � �le �������� 10 et 15 est 30. PPCM � � � � � � � � � � � � � � � � �de � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � 35 Un marbrier peut découper des carreaux de pierre naturelle à la taille demandée par le client. Je souhaite couvrir une pièce de 4,5 m sur 3,5 m à l’aide des plus grands carreaux carrés identiques sans avoir de découpe à effectuer. Quelle taille de carreaux dois-je commander à mon marbrier ? (Il n’y aura pas de joints lors de la pose du carrelage.) 4,5 m = 450 cm et 3,5 m = 350 cm de 450 et de 350 est 50. Le � � � � � � �PGCD � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������� commander des carreaux de 50 cm de côté. Je � � � � � � �dois � � � � � � � � � � � �donc �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������� 36 Un jardinier a reçu 140 plants de géranium et 105 plants de bégonia. Il désire réaliser un maximum de jardinières identiques, c.-à-d. comprenant la même répartition de géraniums et de bégonias, en utilisant tous les plants. a Détermine le nombre de jardinières identiques. Le PGCD de 140 et de 105 est 35. Le jardinier réaliser 35 jardinières. �pourra � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� b Détermine le nombre de géraniums et de bégonias que contiendra chaque jardinière. Chaque jardinière contiendra 140 : 35 géraniums et 35 bégonias, soit 4 géraniums et 3 bégonias. �105 � � � � � � � � � �:� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 30 Résolution de problèmes