Plan du chapitre

 Marché : rencontre Demande / Offre, où Offre = agrégation
Chapitre II :
Le producteur et la fonction d’offre
des offres individuelles
L’offre individuelle = comportement sous contraintes des
producteurs de B&S :
- le marché : concurrence, D (hyp : atomicité)
- les technologies disponibles : fonctions de production
- le coût des combinaisons technologiques disponibles
Microéconomie - 1ère année
Gif – Voie 2
Cours de Sébastien Bréville
⇒ Objectif : maximiser le profit (sym. max U)
Support : S. Bréville – D. Namur
1
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
2
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Plan du chapitre
L’entreprise dans la théorie microéconomique
La contrainte technologique, la fonction de
A l’intérieur de cette boîte noire
production, le taux marginal de substitution
technique
Productivité et élasticité de production
La maximisation du profit
La minimisation des coûts
Les rendements d’échelle
Les fonctions de coûts
L’offre du producteur
se déroule une activité productive
associant les inputs afin
d’obtenir un output.
Inputs
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Entreprise
=
Boîte noire
premières, capital financier,
44
Outputs
Production : processus
transformant des
inputs en outputs
Inputs : travail, terre, matières
capital physique (machines…). En
général, on considère 2 inputs
(capital et travail)
3 3
Contrainte
technologique
Contrainte
technologique
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Ensemble et fonction de production
Propriété des fonctions de production
Ensemble de production : ensemble des combinaisons [ input / output ] potentiellement
réalisables
Fonction de production : frontière de l’ensemble de production = la relation entre la
quantité de facteur(s) et le niveau maximum de produit qu’elle permet d’obtenir y = f(x)
Y=output
les fonctions de production sont croissantes et concaves
f’(x)>0 : une plus grande quantité de facteurs de production permet de produire plus
f’’(x)<0 : e produit marginal du facteur est positif mais il décroît avec la quantité de
facteur utilisée – Hypothèse discutable
Frontière = fonction
de production
•
Y = f(X)
Les fonctions de production sont monotones
si augmentation de la quantité d’au moins un input, il reste possible de produire au moins
la même quantité initiale d’output
y
Ensemble de
production
fonctions de production sont supposées être continues et dérivables.
Les fonctions de production sont supposées continues : les inputs et les outputs sont
donc considérés comme parfaitement divisibles
X = input
5
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6
5
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
6
Courbes d’iso-produit ou isoquantes
Exemple de fonction de production à deux facteurs
y = f ( x1 , x2 ) = x11/ 4 x2 = x11/ 4 x1/2 2
Définition : on appelle isoquante ou courbe d’iso-produit, l’ensemble de toutes les
Avec 16 unités de facteur 1 et 16 unités de facteur 2, le producteur ainsi modélisé produit
( y)
combinaisons possibles d’inputs 1 et 2 qui sont juste suffisante pour produire un niveau
donné de production
une quantité de 8: y = f (16,16) = 161/ 4161/ 2 = 2 × 4 = 8.
Vérification des propriétés :
x2 = input 2
∂y 1 (1/ 4) −1 1/ 2 1 −3/ 4 1/ 2
= x1
x2 = x1 x2
∂x1 4
4
∂2 y
3
= − x1/2 2 x1−7 / 4
∂x12
16
∂y 1 −1/ 2 1/ 4
= x2 x1
∂x2 2
Isoquante : y = f(x1, x2)
∂2 y
1
= − x2−3/ 2 x11/ 4
∂x22
4
Ensemble
de production
x1 = input 1
7
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7
8
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
8
Exemple d’isoquante
Facteurs complémentaires et facteurs substituables
Prenons un niveau donné de production, par exemple
y =4. On peut obtenir l’équation de
On dit que deux facteurs sont complémentaires lorsqu’ils ne peuvent être combinés que dans
l’isoquante dans le plan ( x2 0 x1). Il ressort :
x11/ 4 x1/2 2 = 4 ⇒ x1/2 2 =
X1
1
4
16
4
16
⇒ x2 = 1/ 2
x11/ 4
x1
yϮ
X2
16
8
4
des proportions fixes (un homme sur une machine). Le rapport de l’un à l’autre doit rester
constant
La forme de la fonction de production permettant de modéliser cela est une fonction dite de
type Léontieff f ( K , L) = min(aK , bL)
a>0 et b>0
L
ϭϲ
ϭϰ
isoquantes
ϭϮ
ϭϬ
ϴ
ϲ
ϰ
Ϯ
Ϭ
9
K
ϮϰϲϴϭϬϭϮ ϭϰϭϲyϭ
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10
10
9
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
fonction de production Cobb-Douglas
Facteurs complémentaires et facteurs substituables
Deux facteurs sont dits substituables lorsqu’il est possible de compenser la diminution d’une
quantité de facteur par une augmentation de la quantité de l’autre facteur, cette compensation
permettant de maintenir le niveau de production inchangé.
Ex : L’électricité et le gaz sont donc parfaitement substituables dans les proportions
suivantes : 1 unité de gaz pour dix unités d’électricité
La fonction de production a la forme générique suivante
Dans l’exemple, la fonction de production s’écrit donc :
y = ax1 + bx2 avec a et b positifs
En microéconomie, on suppose le plus souvent que les opérations de production utilisent des
facteurs qui ne sont ni parfaitement substituables, ni totalement complémentaires. Les
isoquantes prennent une forme intermédiaire aux deux précédentes. On obtient donc une
isoquante de forme convexe qui est un intermédiaire entre les deux cas extrêmes présentés
auparavant.
y = f(x1,x2) = A. x1c .x2d
yϮ
y = 0.1x1 + x2
&ĂĐƚĞƵƌƐƐƵďƐƚŝƚƵĂďůĞƐ
&ĂĐƚĞƵƌƐĐŽŵƉůĠŵĞŶƚĂŝƌĞƐ
yϮсŐĂnj
ϭŵϯ
ϭϬŬǁŚ
11
11
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
&ĂĐƚĞƵƌƐĐŽŵƉůĠŵĞŶƚĂŝƌĞƐ
yϭсĠůĞĐƚƌŝĐŝƚĠ
12
12
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
yϭ
Taux de substitution technique : TST
A partir d’un point précis d’une isoquante, nous envisageons de substituer un facteur à un autre
Taux marginal de substitution technique : TMST
Avec des fonctions de production continues et dérivables :
c’est-à-dire par exemple diminuer le recours à l’un (le facteur 1, par exemple) et donc
augmenter le recours à l’autre (le facteur 2) tout en conservant la même quantité d’output
TMST ( x1 , x2 ) =
yϮ
dx2
dx1
Le TMST est donc la dérivée de l’équation de l’isoquante. En un point, le TMST représente la pente
de l’isoquante
ĠƉůĂĐĞŵĞŶƚĚĞůĂ
ĐŽŵďŝŶĂŝƐŽŶƉƌŽĚƵĐƚŝǀĞ
Exemple de TMST : Reprenons l’équation de l’isoquante pour y = 4
∆x2
x2 =
yϭ
∆x1
x2 de ∆x2 pour conserver inchangé le niveau de production.
13
13
l’expression du TMST est donc TMST ( x1 , x2 ) =
dx2
= −8x1−3/ 2 = 8x1−3/ 2
dx1
On peut calculer sa valeur en un point, soit par exemple pour x1=4, x2=8.
Une diminution du facteur x1 de ∆x1 doit être compensée par une augmentation du facteur
16
⇒ x2 = 16 x1−1/ 2
x1/ 2
Il vient TMST(4,8) = 8*0,125=1 : pente de l’isoquante en ce point
En ce point, une légère diminution de facteur 1 pourra être compensée par une augmentation de
même montant (proportion de 1) du facteur 2.
∆x2
le taux de substitution technique de l’input 1 par de l’input 2 est TST ( x1 , x2 ) =
∆x1
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14
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Représentation graphique et propriété du TMST
Sous l’hypothèse de fonctions de production
croissantes et concaves, les isoquantes sont de
forme convexe. Si nous nous déplaçons vers la
droite (augmentation du facteur 1 et
diminution du facteur 2), le TMST va
diminuer (la pente de l’isoquante est de plus
en plus faible). On parle de décroissance du
TMST
yϮ
ϭϲ
ϭϰ
ϭϮ
La contrainte technologique, la fonction de
production, le taux marginal de substitution
technique
Productivité et élasticité de production
La maximisation du profit
La minimisation des coûts
Les rendements d’échelle
Les fonctions de coûts
L’offre du producteur
Croissance et concavité de la fonction de
production conduisent à la décroissance du
TMST
ϭϬ
ϴ
ϲ
Si les facteurs sont parfaitement substituables,
ϰ
Ϯ
Ϭ
15
15
ϮϰϲϴϭϬϭϮ ϭϰϭϲyϭ
les isoquantes sont des droites, on parle dans
ce cas de constance du TMST. Dans
l’exemple de la boulangerie, le TMST était
égal à 0,1.
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
16
16
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Productivités moyennes et marginales
L’hypothèse de décroissance du produit marginal
Dans le cas d’une fonction de production croissante et concave, la fonction de productivité
marginale est positive (dérivée première positive) mais comme la dérivée seconde de la
fonction de production est négative, la fonction de productivité marginale est décroissante
La fonction de productivité moyenne du facteur 1 est définie comme le rapport du produit total
à la quantité de cet input
PM ( x1 ) =
y
x1
Lorsque nous modifions successivement la
La productivité marginale du facteur 1 est la variation de production résultant d’une
Pm1 =
∆y
∆x1
ou pour des variations infimes
Pm1 = lim
∆x1 → 0
∆y ∂y
=
= f x'1
∆x1 ∂x1
y = f ( x1 , x2 )
quantité de facteur de production x1 d’un
montant identique, les autres facteurs étant
fixes, on remarque que la production totale
augmente mais de moins en moins. On a
A>B>C…
augmentation d’une unité supplémentaire de facteur 1. Autrement dit, la productivité
marginale (Pm) est la quantité supplémentaire d’output par unité supplémentaire de l’input
considéré.
C’est l’hypothèse du produit marginal
décroissant. Elle est la conséquence de la
forme de la fonction de production
yϭ
La productivité marginale en un point correspond à la pente de la tangente à la courbe de la
fonction de production au point considéré
17
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Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
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Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Productivité marginale et TMST
De façon analogue au TMS, pour une isoquante donnée, la production est constante => toute
modification marginale de la quantité d’un facteur est compensée par une modification de
celles des autres facteurs, tel que : y = f(•) = constante :
∂y
∂y
Soit la différentielle de la fonction de production dy =
dx1 +
dx2
∂
∂
x
x2
1
productivité marginale: dy = Pm1dx1 + Pm2 dx2
Pm1
dx
= − 2 = TMST ( x1 , x2 ).
Pm2
dx1
Le produit marginal mesure d’une certaine façon la sensibilité de la production à la variation
d’un facteur. On obtient la pente de la fonction de production pour un facteur donné. Il existe
en fait un indicateur de sensibilité plus satisfaisant : l’élasticité.
D’une manière générale, pour une fonction y = f(x1, …, xn), on définit l’élasticité de y par
rapport à un facteur x1 comme la variation relative de y résultant d’une variation relative de
x1 :
∆y y
∆y x
, ou exprimée en
Si l’on souhaite rester sur une isoquante, il faut que toute variation de la production consécutive à
une variation d’un facteur soit exactement compensée par une autre variation de l’autre
facteur, de sorte que dy=0
Pm1dx1 + Pm2 dx2 = 0 ⇒
Elasticités de production
e( y x1 ) =
∆x1 x1
=
∆x1
×
1
y
Interprétation : si le facteur varie de 1%, la production varie de e( y x1 ) %.
Pour des fonctions continues :
e( y x1 ) =
∂y x1
x
Pm1
× = Pm1 1 =
∂x1 y
y PM 1
Cette expression correspond à la définition du TMS.
19
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Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
20
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Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Elasticités de production : exemple
Etude d’une fonction de production Cobb-Douglas (1/2)
Si deux facteurs de production : y = ax1α x2β avec a, α , β des paramètres
Supposons que le passage de 600 à 650 heures travaillées permette à la
positifs et 0 < α < 1, 0 < β < 1.
production de passer de 3800 à 4500 unités
Calcul de l’élasticité de production :
Fonctions de productivité marginale :
avec
4500 − 3800
650 − 600
∆y y =
≈ 18.421% et ∆x x =
≈ 8.333%
3800
600
d’où
e( y / x ) ≈
Pm1 = aβ x1α x2β −1 > 0
∂ 2 y ∂Pm2
=
= aβ ( β − 1) x1α x2β − 2 < 0
∂x22
∂x2
18,4%
≈ 2,21
8,3%
Fonction croissante à productivité marginale décroissante
α −1 β
Elasticité de production : e( y x1 ) = Pm1 x1 = aα x1 x2 .x1 = α
y
ax1α x2β
et e( y x2 ) = β .
Interprétation : lorsque le travail augmente de 1%, la production augmente
d’environ 2,21 %
21
21
∂ 2 y ∂Pm1
=
= aα (α − 1) x1α − 2 x2β < 0
∂x12
∂x1
Pm1 = aα x1α −1 x2β > 0
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22
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Etude d’une fonction de production Cobb-Douglas (2/2)
TMST : TMST ( x1 , x2 ) =
Pm1 aα x1α −1 x2β α x2
=
=
Pm2 aβ x1α x2β −1 β x1
Isoquantes pour un cas particulier :
La contrainte technologique, la fonction de
production, le taux marginal de substitution
technique
Productivité et élasticité de production
La maximisation du profit
La minimisation des coûts
Les rendements d’échelle
Les fonctions de coûts
L’offre du producteur
1
a = 1, α = β = .
2
yϮ
y=x x
1/ 2 1/ 2
1
2
soit y = x1 x2 , nous aurons pour :
y = 1 ⇒ 1 = x1 x2 ⇒ x2 =
1
x1
y = 2 ⇒ 2 = x1 x2 ⇒ x2 =
23
23
4
x1
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
yϭ
24
24
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Le choix du producteur en concurrence parfaite : la
maximisation du profit (1/3)
La notion de profit : différence entre la recette totale et le coût total. Ce qui
reste de l’ensemble des recettes après que l’entreprise a rémunéré tous ses
facteurs de production. Il est exprimé en unités monétaires.
- Soit une entreprise qui fabrique un produit en quantité y à partir de n
facteur de production x1, x2… xn. Soit p le prix de marché de l’output et p1,
p2, … pn, les prix de marché des inputs.
- Recette totale : RT = py
- Coût total :CT = p1 x1 + p2 x2 + ... pn xn
π = RT − CT = py − ( p1 x1 + p2 x2 + ... pn xn )
Le choix du producteur en concurrence parfaite : la
maximisation du profit (2/3)
Résolution du programme de maximisation du profit avec deux facteurs
x1 , x2
s.c. y = f ( x1 , x2 )
26
26
x1 , x2
pf x'1 − p1 = 0 soit pPm1 = p1
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Résolution du système :
25 −1/ 2 1/ 4 −3/ 4 1/ 2
K L L K = pK pL
2
25
soit
= pK pL
2
2p p
d'où : L−1/ 2 = K L
25
625
donc L =
4( pK pL ) 2
1/ 2 1/ 4
L
- Les prix des facteurs sur le marché sont de pK = 5 et pL = 5 ; le prix de
marché de l’output est p = 10
pf ( K , L) − KpK − LpL
- Programme de maximisation du profit : max
K ,L
Fonction de demande de
travail
autrement dit :
max 10 K 1/ 2 L1/ 4 − KpK − LpL
K ,L
- CPO :
dérivée / K : 5 K
−1/ 2 1/ 4
L
= pK
5
dérivée / L : L−3/ 4 K 1/ 2 = pL
2
x1 , x2
s.c. y = f ( x1 , x2 )
La situation de la firme est optimale lorsque pour chaque facteur de
production, la valeur du produit marginal est égale au prix du facteur
Le choix du producteur en concurrence parfaite : la
maximisation du profit (3/3)
Exemple : f ( K , L) = K
max py − p1 x1 − p2 x2
pf x'2 − p2 = 0 soit pPm2 = p2
production (biens fongibles, rémunération du capital, du travail, paiements d’intérêt,
dividendes des actionnaires….) Le profit n’est pas assimilable à la notion de résultat proposé
par la comptabilité générale.
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
max pf ( x1 , x2 ) − p1 x1 − p2 x2
CPO :
- Remarquons que la définition économique du profit inclut le coût de tous les facteurs de
25
25
max π
variables :
625 
2 
4(
p
K pL ) 

soit : 5 K −1/ 2 ×
5
= pK
(2 pK pL )1/ 2
pK
(2 pK pL )1/ 2
25
25
=
pK (2 pK pL )1/ 2
d'où : K −1/ 2
au final : K =
625
2 pK3 pL
Fonction de demande de capital
En utilisant pK et pL = 5, on trouve K= ½ et L= ¼ .
La production est donc de
et le profit pour p=10
1
f ( K , L) = K 1/ 2 L1/ 4 =
est :
1
2
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
= pK
soit encore : K −1/ 2 =
1
2
1
4
π max = × 10 − × 5 − × 5 = 1.25
27
27
1/ 4

Puis : 5 K −1/ 2 
28
28
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
2
La fonction de coût mesure le coût minimum pour atteindre le niveau d’output
, sachant que les prix des facteurs sont p1et p2.
Principes de minimisation du coût
29
29
La contrainte technologique, la fonction de
Soit 2 facteurs de production x1 et x2 dont les prix sont p1 et p2
production, le taux marginal de substitution
technique
Productivité et élasticité de production
La maximisation du profit
La minimisation des coûts
Les rendements d’échelle
Les fonctions de coûts
L’offre du producteur
Pour maximiser son profit, le producteur doit minimiser son coût total étant
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
donné un niveau de production fixé :
facteurs de production ou seulement certains d’entre eux
fonction de coût à long terme : coût minimum de production pour un niveau
d’output donné et lorsque les quantités consommées de chacun des facteurs de
production peuvent être ajustées
fonction de coût à court terme : coût minimum pour atteindre un niveau de
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
1
+ x2 p2
s.c. f ( x1 , x 2 ) = y
La solution de ce problème donne le coût minimum permettant d’atteindre le
niveau de production y , il dépend de p1, p2 et y . Nous pouvons donc
l’écrire sous la forme d’une fonction de coût :
c = c( p1, p2 , y )
La fonction de coût mesure le coût minimum pour atteindre le niveau
d’output y , sachant que les prix des facteurs sont p1et p2.
30
30
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Minimisation du coût à long terme : approche graphique
Droite d’isocoût : toutes les combinaisons possibles d’inputs qui
correspondent à un certain niveau de coût C
p
C
− 1 x1
Equation de la droite d’isocoût :C = x1 p1 + x 2 p 2ou x 2 =
p2 p2
Cette équation est celle d’une droite de pente (- p1/p2) et d’ordonnée à
l’origine (C/p2). Nous pouvons donc représenter cette droite dans le plan
(x1, 0, x2).
x
2
Tous les points d’une droite
d’isocoût correspondent au
même coût C. A mesure que
le coût augmente, la droite se
déplace vers le haut
production donné et lorsque des facteurs de production sont fixes, c'est-à-dire
que seuls les facteurs de production variables peuvent s’ajuster
31
31
1
x1 , x2
Minimisation des coûts à court ou à long terme
les coûts minimums diffèrent selon que la firme puisse ou non ajuster tous ses
min x p
32
32
C2/p2
Augmentation du coût
Pente : -p1/p2
C1/p2
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
x1
Minimisation du coût à long terme
le problème de minimisation du coût revient à trouver la combinaison
Minimisation du coût à long terme
Au point de tangence , la pente de l’isoquante doit être égale à celle de la
optimale (x1*,x2*) pour un niveau donné d’output y
Graphiquement : optimum = point de tangence entre la courbe d’isoquante
permettant de produire un niveau d’output donné et la droite d’isocoût la
plus basse permettant d’obtenir ce niveau de production
x2
TMS ( x1* , x2* ) =
f ' x ( x1 , x2 )
p1 Pm1
=
= 1
p2 Pm2 f ' x2 ( x1 , x2 )
Le coût est minimum lorsque le taux marginal de substitution technique est
Isoquante permettant
d’atteindre le niveau de
production désiré
X 2*
x1
yϭΎ
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
33
droite d’isocoût
égal au rapport des prix.
Autrement dit, le coût est minimum lorsque le rapport des productivités
marginales des 2 facteurs de production est égal au rapport des prix de ces
facteurs.
Cette condition d’optimalité est valable sous l’hypothèse classique de
croissance et de concavité de la fonction de production.
34
34
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Approche analytique de la fonction de coût à long terme
(1/2)
Le sentier d’expansion
On peut représenter les isoquantes pour différents niveaux d’output et les
points de tangence associés aux droites d’isocoût. Si on relie tous les points
de tangence, on obtient une représentation graphique appelée sentier
d’expansion.
Problème de minimisation sous contrainte de technologie
min CT ( x , x
1
2
)
x1 , x2
s.c. f ( x1 , x 2 ) = y
Définition : On appelle
džϭ
sentier d’expansion, pour des
prix de facteurs fixés,
l’ensemble des facteurs
permettant de produire au
moindre coût lorsque le
niveau de production varie.
^ĞŶƚŝĞƌĚ͛ĞdžƉĂŶƐŝŽŶ
soit
min x p
1
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
+ x2 p2
s.c. f ( x1 , x 2 ) = y
La solution de ce programme de minimisation donne le coût minimum pour
atteindre le niveau de production y . La solution dépend alors des
paramètres p1, p2 et y .
Lagrangien : L = p1 x1 + p2 x2 − λ[ f ( x1 , x2 ) − y ]
džϮ
35
35
1
x1 , x2
36
36
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
L = pKK + pLL – λ[K1/2L1/4 ]
Approche analytique de la fonction de coût à long terme
(2/2)
Conditions de premier ordre :  p1 − λf x' = 0
1
Minimisation du coût : application (1/2)
Soit une fonction de production de type Cobb-Douglas à 2 facteurs de

'
 p2 − λf x2 = 0

 f ( x1 , x2 ) − y = 0
production variables K et L dont les prix sont respectivement
Résolution du système de 3 équations à 3 inconnues :
f ' x1
p1 ∂f ( x1 , x 2 ) / ∂x1
Pm1
=
=
=
= TMST
p 2 ∂f ( x1 , x 2 ) / ∂x 2
f ' x2 Pm2
Condition d’optimalité : la combinaison optimale de facteurs qui minimise
pK = 5 et pL = 5 : ƒ(K,L) = K1/2L1/4
Quel est le coût minimum pour atteindre y : Min KpK + LpL
s.c. K1/2L1/4 = y
Lagrangien : L = pKK + pLL – λ[K1/2L1/4 - y ]
CPO :
le coût total est celle qui égalise le rapport des productivités marginales des
facteurs au rapport des prix de ces mêmes facteurs.
37
37
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
38
38
Minimisation du coût : application (2/2)
A partir des 2 premières équations, on retrouve la condition d’optimalité
TMST = rapport des prix des facteurs :
3
1
1 −4 2
L K
5
4
= =1
1
1
1 4 −2 5
LK
2
ou
1 −1
L K =1
2
ou
K
= 1 ⇒ K = 2L
2L
1/ 2 1/ 4
En substituant dans la contrainte : K L − y = 0
−
2
4
ou 21/ 2 L3 / 4 = y
⇒ L = 2 3 y3
2
1
4
4
−
3
3
Comme K = 2L, on trouve K = 2.2 y 3 = 2 y 3
( 2 L)1/ 2 L1/ 4 = y
1 −1/ 2 1/ 4

'
 p K − λf K = 5 − λ 2 K L = 0

1 1 / 2 −3 / 4

'
 p L − λf L = 5 − λ K L = 0
4

 K 1/ 2 L1/ 4 − y = 0


Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Minimisation du coût à court terme (1/2)
A court terme, certains facteurs de production sont utilisés en quantités
fixes.
La fonction de coût de court terme est donc le coût minimum de
production d’un niveau donné d’output quand on ajuste uniquement les
facteurs de production variables.
Par exemple, on suppose l’existence d’une seule machine à court terme qui
permet de produire le niveau d’output y avec x1 travailleurs. La quantité de
facteur 2 est fixé à court terme (x2 = x2 )
Min x1 p1 + x2 p2
x1
1
Pour un niveau d’output de y = la combinaison de facteurs qui minimise
2* *
*
*
Programme de minimisation du coût :
s.c. f ( x1 , x2 ) = y
le coût total de production est (K , L ) avec K = ½ et L = ¼
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39
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
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40
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Minimisation du coût à court terme (2/2)
La contrainte technologique, la fonction de
La quantité de facteur 1 demandée dépend de la quantité fixe de facteur 2 (si
une seule machine, il faut un nombre limité de travailleurs)
production, le taux marginal de substitution
technique
Productivité et élasticité de production
La maximisation du profit
La minimisation des coûts
Les rendements d’échelle
Les fonctions de coûts
L’offre du producteur
La fonction de demande de facteur est donc : x1 = x1 ( p1 , p2 , x2 , y )
La fonction de coût est c( x2 , y ) = p1 x1 ,+ p2 x2
La résolution du programme de minimisation donne : f ' x1 = Pm1 = p1
La condition de choix optimal du facteur 1 qui minimise le coût lorsque le facteur
2 est fixe est donc que le prix du facteur 1 doit être égal à sa productivité
marginale.
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
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41
Chapitre II – Le producteur Supélec Gif - 2007/08
42
42
Les rendements d’échelle : définition
Les rendements d’échelle = indicateur de variation de la production d’une
entreprise relativement à celle de ses inputs. Variation de l’output suite à une
modification de l’échelle de production.
Détermination de la nature des rendements d’échelle : toutes les quantités
d’inputs sont multipliées par un nombre quelconque λ > 1. Les rendements
d’échelle sont :
Croissants si la production est multipliée par un nombre strictement supérieur à λ : si
Rendements d’échelle d’une fonction Cobb-Douglas
a b
Soit une fonction de type Cobb-Douglas : f ( x1 , x 2 ) = Ax1 x 2
Les rendements d’échelle sont en lecture directe :
Si a+b = 1 rendements constants
Si a+b < 1 rendements décroissants
Si a+b > 1 rendements croissants
f(λX) / f(X) > λ. L’augmentation de la production est plus que proportionnelle à
l’accroissement des quantités d’inputs. offre infinie
Décroissants si la production est multipliée par un nombre strictement inférieur à λ :
f(λX) / f(X) < λ décomposition de la production en petites unités
Constants si la production varie dans la même proportion que les inputs donc si
f(λX)=λf(X). Ce cas de figure est le plus utilisé en théorie économique car il implique
la réalisation d’un profit nul pour l’entreprise en concurrence pure et parfaite.
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43
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
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44
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Rendements d’échelle et fonction de coût
•
Rendements
constants
Rendements croissants
Coût augmente moins que
proportionnelement par
rappport à l’augmentation de la
produciton
Coût augmente plus que
proportionnelement par rappport
à l’augmentation de la
production
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
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45
production, le taux marginal de substitution
technique
Productivité et élasticité de production
La maximisation du profit
La minimisation des coûts
Les rendements d’échelle
Les fonctions de coûts
L’offre du producteur
LJ
LJ
LJ
Doublement de la
production doublement des coûts
La contrainte technologique, la fonction de
d
d
d
Rendements décroissants
Chapitre II – Le producteur Supélec Gif - 2007/08
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46
La fonction de coût total : définition
La fonction de coût total : application
Soit la fonction de production Cobb-Douglas à 2 facteurs de production
la fonction de coût total est une fonction qui fait correspondre, à tout niveau
d’output y, le coût minimum permettant d’atteindre cet output.
A partir du coût total, on détermine le coût minimum pour un output qu
maximise le profit
La fonction de coût total se déduit du programme de minimisation du coût ; elle
dépend donc de la forme de la fonction de production
3 étapes pour obtenir la fonction de coût :
variables K et L dont les prix sont respectivement
pK = 5 et pL = 5 : ƒ(K,L) = K1/2L1/4
La combinaison de facteurs qui minimise le coût total est :
1 4
2 4
−
et
(cf slides 38 et 39)
K * = 23 y 3
L* = 2 3 y 3
En substituant ces résultats dans la fonction de coût total :
CT
CT(y, pK, pL) = pKK(y) + pLL(y)
Programme d’optimisation (cf application slides 38 et 39)
Exprimer les différentes quantités de facteur par rapport à l’ouput y
Les substituer dans la fonction coût générique :
CT (y, p1, p2,….pn) = p1x*1 + p2x*2 +…….+ pnx*n
4
 1 4   −2 4 
CT = 5 2 3 y 3  + 5 2 3 y 3  = y 3 5 * 21/ 3 + 5 * 2 − 2 / 3

 

(
CT (y) = 9,4494 y4/3
Courbe convexe (rendements décroissants) :
1/2 +1/4 = 0,75 <1
80
)
60
40
20
y
1
47
47
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
48
48
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
2
3
4
5
Coûts fixes et coûts variables
Existence de coûts quasi fixes à LT pour certains types d’industries
Coûts fixes et monopole naturel
Si coûts fixes importants et coûts marginaux faibles production effectuée
de préférence par une seule entreprise (monopole naturel)
Monopole naturel si la demande apparaît lorsque la demande ne suffit à
amortir les coûts fixes de deux entreprises
(transport ferroviaire, transport d’électricité…) car certains investissements
(coûts) sont nécessaires avant de commencer à produire (Ex : construction et
entretien du réseau électrique)
Les coût fixes ne dépendent pas de la quantité produite. Si faible quantité
produite coût unitaire élevé ( existence de seuil de prix de quantités
produite pour amortir les coûts)
Une fois le réseau installé, le coût d’une unité supplémentaire est faible
49
49
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Coûts fixes rendements d’échelle croissants. Le coût par unité produite
diminue avec l’échelle (le niveau) de production
Distinction coûts fixes et coûts variables :
CT(y) = CV(y) + CF
CT(y) = p1x1(y) + p2x2(y) +…….+ pnxn(y) + CF
50
50
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
La fonction de coût moyen
La fonction de coût moyen mesure le coût par unité d’output. Le coût
Fonction de coût marginal
Le coût marginal mesure la variation du coût total engendrée par une
moyen représente le coût unitaire de production
CM ( y ) =
variation de l’output c'est-à-dire la variation de coût résultant de la
production d’une unité supplémentaire d’output :
CT ( y )
y
Cm =
Le coût moyen peut être décomposé en coût fixe moyen et coût variable
CV ( y ) CF
moyen
CM ( y ) =
+
= CVM + CFM
y
y
Les CFM décroissent à mesure que y augmente
∆CT ( y )
∆y
ou
Cm =
∂CT ( y )
∂y
Le coût marginal est la dérivée du CV car la dérivée du CF est nulle
Les CVM décroissent en période de rendements croissants et deviennent
croissants en période de rendements décroissants
La courbe de CM diminue quand baisse des CFM puis augmente quand
croissance des CVM courbe en U
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Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
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52
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Coût marginal et maximisation du profit
Représentation graphique des fonctions de coûts
C 'M ( y ) =
Soit
CT ' ( y ) y − CT ( y )
C 'M ( y ) =
y
2
=
π = Max[ py − CT ( y )]
Programme de maximisation du profit : Max
y
y
∂CT ( y )
= 0 ⇒ p = Cm( y )
CPO : π ' = p −
∂y
Cm ( y ) y − CT ( y )
y
1
( Cm ( y ) − C M ( y ) )
y
2
Coûts,
prix
sD
Interprétation : le niveau de production y choisi par la firme est tel que le Cm
est égal au prix de vente (déterminé par le marché)
ŵ
D
En y3 , le coût d’une unité
Cm
La fonction de coût marginal coupe
la fonction de coût moyen en son
minimum
p
Cm
π > 0 si p.y > CT c’est-à-dire si p >
CM
LJ0
53
53
p
&D
LJϭ
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
LJ
y1 y4 y2 y3
54
54
y
supplémentaire est
supérieure au prix de vente,
il faut baisser la production
En y4 , coût de production
inférieur au prix de vente, on
continue à produire
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
L’offre du producteur
La contrainte technologique, la fonction de
La courbe de coût marginale met en relation la quantité offerte par
l’entreprise et le prix de vente, c’est donc une courbe d’offre
production, le taux marginal de substitution
technique
Productivité et élasticité de production
La maximisation du profit
La minimisation des coûts
Les rendements d’échelle
Les fonctions de coûts
L’offre du producteur
55
55
Chapitre II – Le producteur Supélec Gif - 2007/08
Pour maximiser son profit, la firme produit jusqu’à ce que p=Cm(y)
(CPO)
La condition de second ordre est : Π " ( y ) = −CT " ( y ) ≤ 0 soit
C 'm ( y ) ≥ 0
Au niveau de production optimal, le Cm est croissant
La quantité optimale produite est dans la partie croissante de la
courbe de coût marginal (y2)
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Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Les seuils de prix : présentation
Si l’entreprise décide y = 0, elle paie tout de même les CF et π = -CF
L’entreprise ne produit que si son profit est au moins supérieur à –CF
CV ( y )
soit : Π ' ( y ) = py − CF − CV ( y ) ≥ −CF cad
ou p ≥ CVM ( y )
p≥
y
Les seuils de prix : représentation graphique
Surface hachurée : profit du producteur
Lecture : si le prix est p il faut produire y(p) (on trace la parallèle à l’abscisse jusqu’à
l’intersection avec le Cm)
WƌŝdžͬĐŽƸƚ
ŵ
D
Ɖ
si p ≤ CVm( y ) les recettes p.y ne permettraient pas de couvrir les coûts variables
CV(y) (salaires, matières premières…) le déficit s’aggraverait avec la
production cessation d’activité
Soit p0 le prix égal à la valeur minimale du coût variable moyen et p1 la valeur
^ĞƵŝůĚĞƌĞŶƚĂďŝůŝƚĠ
Ɖϭ
^ĞƵŝůĚĞĨĞƌŵĞƚƵƌĞ
Ɖ0
sD
minimale du coût total moyen, avec p0<p1
p0 seuil de fermeture
p1 seuil de rentabilité
LJ
LJ;ƉͿ
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57
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
58
58
Les seuils de prix : définition analytique (1/2)
L’entreprise réalise un profit positif qui est maximum lorsque le coût
marginal est égal à p. Ceci est réalisé pour une production égale à y(p). Le
profit Π est alors : Π ( y ) = py ( p ) − CT ( y ( p ) )

CT ( y ( p ) ) 
soit Π ( y ) = y ( p )  p −
 = y ( p )  p − CM ( y ( p ) ) 
y ( p ) 

Le profit est donc la quantité vendue y multipliée par la marge unitaire pCM (sur le graphique, le profit est donc positif)
Si prix de vente inférieur au seuil de rentabilité mais supérieur au seuil de
fermeture (p0<p<p1), le profit est toujours maximal au point où y(p) est t.q.
p=Cm, mais il est négatif (p<CM marge < 0).
Le prix restant > au CVM
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Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
Les seuils de prix : définition analytique (2/2)
Si prix de vente inférieur au seuil de rentabilité mais supérieur au seuil de
fermeture (p0<p<p1), le profit est toujours maximal au point où y(p) est t.q.
p=Cm, mais il est négatif (p<CM marge < 0).
Le prix restant > au CVM, l’entreprise minimise ses pertes en remboursant
une partie de son coût fixe. Formellement :
-CF <Π ( y ) = y ( p )  p − CVM ( y ( p ) ) − CF <0
Si prix inférieur au seuil de fermeture (p<p0), y(p)=0
Π ( y ) = y ( p − CVM ( y ) ) − CF
60
60
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
< -CF
L’offre du producteur : représentation graphique
L’élasticité prix de l’offre de l’entreprise
La fonction y(p) qui associe au prix de vente la quantité produite est appelée la
fonction d’offre d’entreprise :
Élasticité prix : rapport de la variation relative de la quantité offerte par
l’entreprise et la variation relative du prix de vente :
WƌŝdžͬĐŽƸƚ
ŵ
D
Ɖ
sD
Ɖ0
LJ;ƉͿ
61
61
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08
LJ
∆y
y
ρ=
∆p
p
Prix < seuil fermeture offre nulle
Prix > SF y t.q. p = Cm
Fonction d’offre = partie de la
courbe de Cm située au-dessus de la
courbe de CVM (et segment vertical
au point y = 0).
Fonction d’offre croissante et
discontinue au point p = p0
Mesure le pourcentage de variation de quantité offerte y quand le prix de
vente augmente de 1%
Pour des fonctions continues :ρ =
62
62
dy p y ' ( p ) p
=
dp y
y ( p)
Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08